コラッツ予想がとけたらいいな　その2

コラッツ予想がとけたらいいな　その2 at MATH

[前50を表示]
500:１３２人目の素数さん
18/07/24 08:01:55.49 02nFAly/.net
>>492
なら、その挑発について謝罪を要求すべきで、間違いに謝罪を要求するのは筋違い。
マウント取ろうとしているアスペにしか見えんわ。

501:１３２人目の素数さん
18/07/24 15:07:08.96 39yeaM0t.net
今回の話は、>>493 が投下された時点で全てが消し飛んでしまい、
俺としても、もうやり取りする気は無いのだが、何やら野次馬が
新しいレスをつけているので、昨日の騒動の残り火だと思って、
ちょっとだけ勘弁してくれｗ

502:１３２人目の素数さん
18/07/24 15:17:50.10 39yeaM0t.net
>>500
ID:02nFAly/ 君よ、間違ったときにゴメンナサイするのは常識だろ？
君には「道徳」が無いのか？しかも、
「こっちの勘違いだったようだ。すまん」
と軽くゴメンナサイするだけでこの話は終わっていたと何度も言っている。
これのどこがマウント取りなんだね？俺のことをどうしてもマウント取りのアスペに
仕立て上げたい君の、悪意ある難癖にしか見えないね。
たぶん、「アスペ」の部分が君の本音で、俺をアスペに仕立て上げるためには、
君はどんな難癖だってつけるんだろう。君のレスに「道徳」が無いのも、
こう考えると筋が通る。だから、君の発言には説得力が1ミリもない。
それとも、本当に君は「挑発レスに対して謝罪を要求していれば満足だった」のかね？
たかがその程度の形式的な差異が、本当に君にとっての不満点なのかね？
…こう考えると、やっぱり君は難癖をつけているようにしか見えないね。
そもそも、この程度の形式的な差異を問答無用で重要視して道徳を完全無視する君の方が、
よっぽどアスペに見えるぞ。

503:１３２人目の素数さん
18/07/24 16:08:26.83 39yeaM0t.net
一応、レスの内容にも返答しておくか(他の住人のみなさん、ゴメンナサイ)。
>>500
＞なら、その挑発について謝罪を要求すべきで、間違いに謝罪を要求するのは筋違い。
同じことだよ。対象となっている「数学を貶めている半可通が嫌い」という挑発レスには、
「少なくともこの話題に関しては、自分は半可通ではない(＝わたしの主張は数学的に正しい)」
という意図が込められている。よって、相手からすれば、これについて謝罪することは、
自身の間違いを認めて謝罪するのとほとんど同じ意味になってしまう。 … (1)
すると、仮に俺が挑発レスの方に謝罪を要求していたとしても、ID:02nFAly/ は
「表面的にはその挑発レスに対して謝罪を要求しているが、上記の(1)のとおり、
　実際には間違いに謝罪を要求しているのと同じだから、これは結局マウント取りだ」
などと、もっともらしい理屈で俺に難癖をつけることが可能になってしまう。あるいは、
上記の挑発レスのうち、数学的な意図を取り除いて "煽り成分だけ" を抽出して、
そこにのみ謝罪を要求していたとすると、今度は
「そんなに "挑発されたことそのもの" が悔しいのか？数学の話に集中しろよ」
という別の批判が飛んでくるようになる。結局、この話題はどこまで突っ込んでも
難癖にしかならない。このことからも、ID:02nFAly/ の発言には何の説得力も無い。以上。

504:１３２人目の素数さん
18/07/24 19:02:23.13 AgAd74xG.net
>>69
＞乗法群とは、「積に関して逆元を持つ要素を集めた群」です (群がよく分からなければ集合と読み替えてください)。
(＾～＾)

505:前786
18/07/24 21:29:27.26 O1MfDDEg.net
(・ω・)?

506:１３２人目の素数さん
18/07/24 21:51:30.21 AgAd74xG.net
群論とは、抽象的な研究である。

507:前786
18/07/24 22:38:19.92 O1MfDDEg.net
>>506
あ、そういうことですか。
>>69は>>53や>>66で現れた「乗法群」、すなわち環や体の乗法群について説明したものです。
当時は文脈上この書き方で問題なかったと思いますが、
後からここだけ見ると確かに誤解を生みかねない表現ですね。反省します。

508:M.B.
18/07/25 15:38:46.42 +NKwYrVS.net
炎上しているところを申し訳ないんですけれど、
ちょっと聞き捨てならない NG ワードが出てしまったので復帰しました。
悪意がないのは重々承知しておりますが、
> マウント取ろうとしているアスペにしか見えんわ。
は、
「マウント取ろうとしている反社会性パーソナリティ障害にしか見えんわ。」
に、訂正していただけるとありがたく存じますm(_ _)m
「アスペルガー症候群」というのは、青少年犯罪との絡みで有名になった
言葉ですので、俗称としての「アスペ」っていうのが通用しているのは
ほとんど気にしていませんし、こっち側（はい、あたしもアスペです）
の「高機能広範性発達障礙」の方に「これだからアスペは（笑）」と
いうのは洒落で済むんですが、侮蔑的な表現として使われるのは
不本意なので。
カリフォルニアで仕事をしてたときに、「敵性国民である日本人に対して
“ジャップ”と言うのは当然だけれども、アメリカ市民権を得たアメリカ国民である
日系人を“ジャップ”と呼ぶのはいかがなものか？」みたいな話をしたら、
なんか一目置かれちゃったので居心地が悪うございました(w。
だけど、「ムース（日本人の娘さん）」はやめて欲しかったなぁ。

509:Mr.Moto
18/07/25 15:48:57.24 +NKwYrVS.net
>>502
> 間違ったときにゴメンナサイするのは常識だろ？
> 君には「道徳」が無いのか？
「道の道というべきは、常の道に非ず」。
君は「道徳経」を、ちゃんと読んだことがあるのかい？

510:Mr.Moto
18/07/25 15:57:04.90 +NKwYrVS.net
「これのどこがマウント取りなんだね？俺のことをどうしてもマウント取りの
アスペに仕立て上げたい君の、悪意ある難癖にしか見えないね。」
明らかにマウント取りにしか見えないので、君に自分が「マウント取りの
反社会的パーソナリティ障害者であることを疑ってみることを強く奨めて
いる」だけだと思う。
善意による助言であり、「悪意ある難癖にしか見えない」ならば、
カウンセラーさんに相談したほうがいい。
ついでながら、うちらは『自然言語処理スレッド　その４』
（ｽﾚﾘﾝｸ(tech板)）と
いう過疎ったスレッドでのたくっているので、存分に荒らしてくれると
言語的なデータが取れてうれしい。歓迎する。

511:Mr.Moto
18/07/25 16:02:44.24 +NKwYrVS.net
>>502
> 君の発言には説得力が1ミリもない。
電通鬼十則の 8
> 自信を持て！　自信が無いから君の仕事には、迫力も粘りも、そして
> 厚みすらがない。
キミは電通の社員か（笑）
だいたい数学の話で 1 ミリってなんだよ。何の量を基準としてミリを
定義してるんだよ。数学は量の学問じゃないだろ？

512:M.B.
18/07/25 16:16:48.39 +NKwYrVS.net
>>502
> 対象となっている「数学を貶めている半可通が嫌い」という挑発レスには、
> 「少なくともこの話題に関しては、自分は半可通ではない(＝わたしの主張は
> 数学的に正しい)」
> という意図が込められている。
連体修飾詞には、「暗黙の主語」が存在するので、「彼は恥ずかしい」は
「彼は私をして“恥ずかしい”と感じせしめる人物である」を含意する、
という話はしたよね？
あたしは半可通ですけれどもね、数学に対しては敬意をもって接して
います。
だからこそ、「(数学を貶めている(半可通))が嫌い」なのであって、
それを、よりにもよって敬愛する数学板の住民（もちろん、このスレ
の住民）に「挑発レス」呼ばわりされるっていうのは不本意です。
と、いうわけで、
> 「少なくともこの話題に関しては、自分は半可通ではない(＝わたしの主張は
> 数学的に正しい)
というのは妄想であって、それこそ「だったら証明しなさいよ！」と言わせて
もらいます。

513:１３２人目の素数さん
18/07/25 16:26:43.41 aDXdgazr.net
>>509-512
少なくとも、>>493 を投下するような君が道徳を語る資格は全く無い。
そして、君がどんな道徳の知識を持っていたとしても、
自演やウソばかりの君の見苦しい行動、そして >493 という決定打を見る限り、
君の道徳の知識は全く生かされてないと言える。今回のレスにしたって、
なぜか君は M.B. と Mr.Moto という2つのコテを使い分けている。
が、ID:+NKwYrVS が完全一致しているので同一人物である。
まさかこれも自演ではあるまいな？
また、>>509-512は、俺と野次馬とのレスに君が横やりを入れているだけであり、
これは完全にスレ違いである。無意味に話を長引かせるのはやめたまえ。
(ただし、>>508には文句はつけない。これは内容的に許容しなければならない。)
まあ、俺の方もちょっとケンカ腰が過ぎたかなという反省はある。
その点については君に謝るよ。すまなかった。

514:１３２人目の素数さん
18/07/25 16:45:34.28 aDXdgazr.net
そして、>>501の繰り返しになるが、今回の話は、>>493が投下された時点で
全てが消し飛んでしまった。俺としては、もう君とやり取りする気は全く無い。
なので、君とのやり取りは、このレスで最後とさせてもらう。
なんか>>510で言語処理のスレッドを俺に勧めているようだが、
俺はそういう話題には興味がないので、そのスレに行くことは無い。
ここから先は、君が俺にレスをしてきても、俺の方からは何の反応も無いことを約束する。
もう一度書くが、俺の方もちょっとケンカ腰が過ぎたかなという反省はある。
その点については君に謝るよ。すまなかった。
ではさようなら、M.B. さん。

515:１３２人目の素数さん
18/07/25 20:07:04.90 P28JF8uN.net
分数を小数に展開すると繰り返しになるよね
コラッツの無限に発散する数列も
ある地点からパターンが現れるかどうかは考察できないかな？

516:M.B.
18/07/25 21:05:45.44 +NKwYrVS.net
>>515
循環小数になるか有限小数になるかは、数学板の別スレで議論
されてて、「分母の基数が何で表されるか」と、「分子が分母の
基数の約数の積の形で表されるかどうか」という点に帰着するのよね。
その観点から考えると、群論によるアプローチは有意義だと
思うんだけど、「そんなにうまくゆくんだったら、コラッツ問題は
そろそろ解決されていそうに思うんですけど？」とも思うんですよ。
まぁ、このスレが解決に貢献できたら、「おめでとー！」って
言いますけどね。

517:M.B.
18/07/25 21:22:07.10 +NKwYrVS.net
とりあえず、collatz_max(n) を考えると、少なくとも
（コラッツ予想が正しければ）collatz_max(n) はただ一つ
なんですよね？（でなかったら循環しちゃうので）
そうなると、n から collatz_max(n) までのルートと、
collatz_max(n) から 1 までのルートに分けられると
思うんですよ。で、collatz_max(n) が “何か” と考えると、
2 の冪乗という「下り」系列と、(3n + 1) / 2 という
「上り」系列に引っかからざるを得ないわけです。
それを考えると、collatz_max(n) に着目して、
「どういう上り系列に引っかかって、どういう下り系列に
乗っかれるか？」を考えるというアプローチは、あるかと
思います（「やれ」と言われると困るけど）。

518:前786
18/07/25 22:13:56.25 RKQO4rTt.net
>>515
例えば偶奇について言うと、
ある初期値からコラッツ操作を繰り返してループに到達しないとすると、
「ある地点から先で同じ偶奇のパターンが無限に繰り返される」ということは起こらないことが証明できます。

519:513
18/07/25 22:28:48.00 1xEqj1Ql.net
>>518 へぇ知らなかった
よければ詳しく

520:１３２人目の素数さん
18/07/25 22:50:31.07 yPOp7QnY.net
前786氏は本当は群論が苦手で無理してるような気がす

521:M.B.
18/07/26 12:57:15.46 JRXvy3Hy.net
そのあたりの議論については、たぶん
>>115-118
あたりの話につながりそうに思うので、
そこいらからツッコミをいれてくれると
分かりやすいと思います。

522:前786
18/07/26 17:31:49.36 eprs9+Ti.net
>>518の命題を証明します。
以降、奇数に対しては「3倍して1を足して2で割る」までをひとつの操作とします。
また、面倒な条件付けを避けるため、整数の範囲で考えることにします。(さらに広げることもできますが、省略します)
コラッツ操作を f で表します。
まず、後で使う補題をひとつ用意します。
補題
任意の整数 a,k に対して、f(a+2k)=f(a)+ck, ただし c=1 or 3
証明
a が奇数の場合
　f(a+2k) = (3(a+2k)+1)/2 = ((3a+1)/2)+3k =f(a)+3k
a が偶数の場合
　f(a+2k) = (a+2k)/2 = (a/2)+k = f(a)+k □
次に「コラッツ展開」を定義します。
（私が勝手に作った言葉であり、一般的な言い方ではありません）
定義
整数 a に対して、数列 {a[n]} を
　a[1]=a
　a[n+1]=f(a[n]) (n≧1)
によって定める。
次に、0 と 1 からなる無限列を
　a[n] が偶数なら第 n 項は 0、a[n] が奇数なら第 n 項は 1
として構成する。
こうしてできる無限列を a のコラッツ展開と呼ぶことにする。
例えば a=5 のとき数列{a[n]} は
　5,8,4,2,1,2,1,2,…
となるので、5 のコラッツ展開は
　1,0,0,0,1,0,1,0,…
となります。
一般に、f(a) のコラッツ展開は a のコラッツ展開の初項を除いたものになります。

523:前786
18/07/26 17:32:25.15 eprs9+Ti.net
補題
a,b を整数とする。このとき
　a と b のコラッツ展開が少なくとも第 n 項まで等しい ⇔ a≡b (mod 2^n)
証明
n=1の場合
　コラッツ展開の初項が等しい ⇔ a と b の偶奇が等しい
より成り立つ。
n=m まで成り立つとして、n=m+1 の場合を示す。
左⇒右:
少なくとも第 m 項まで等しいので、ある整数 k を用いて
　a=b+2^m*k
と表せる。a,b にコラッツ操作を m 回施して得られる数を a', b' とすると、前補題より
　a'=b'+3^e*k　（e は非負整数）
と表せる。仮定より、a' と b' の偶奇は等しいので k は偶数。
よって a≡b (mod 2^(m+1))
右⇒左:
整数 k を用いて
　a=b+2^(m+1)*k
と表せる。a,b にコラッツ操作を m 回施して得られる数を a', b' とすると、前補題より
　a'=b'+3^e*2k　(e は非負整数)
と表せる。よって、a' と b' の偶奇は等しいので、a と b のコラッツ展開の第 m+1 項は等しい。□
系
整数 a,b に対し、両者のコラッツ展開が一致するならば a=b

524:前786
18/07/26 17:32:59.15 eprs9+Ti.net
>>518の命題の対偶を証明します。
命題
整数 a のコラッツ展開が、有限個の項を除いて循環しているとする。
このとき、a にコラッツ操作を繰り返し施すとループに到達する。
証明
a のコラッツ展開が第 n 項から循環しているとし、k 項ずつ繰り返しているとする。
このとき、a にコラッツ操作を n 回施して得られる数を b、
a にコラッツ操作を n+k 回施して得られる数を c とすると、
b と c のコラッツ展開は一致するので、系より b=c
したがって、a にコラッツ操作を繰り返し施すとループに到達する。□

525:１３２人目の素数さん
18/07/26 18:39:32.05 VbgF2ohA.net
ん、なんか上手くいき過ぎな気がするが
かといって間違えを指摘できるわけでもない
ちょっと考えてみます

526:M.B.
18/07/26 19:00:28.10 JRXvy3Hy.net
うん。概念的に理解しやすいのがいい。
久々のビッグウェーブが来た予感。
今後の展開に期待。

527:１３２人目の素数さん
18/07/26 19:09:16.60 VbgF2ohA.net
>>1の目にはどう映る？
上手くいき過ぎじゃね？

528:１３２人目の素数さん
18/07/26 20:35:49.91 e5fE+xPz.net
たとえばだけど任意の有限長の01列に対してそのコラッツ展開をもつ整数が存在する
とかは言えるの？

529:１３２人目の素数さん
18/07/26 20:45:09.99 e5fE+xPz.net
ちょっと言い方がおかしいか
任意の有限長の０１列（長さｎ）に対してコラッツ展開の初項から第ｎ項が一致する整数が存在する
はいえるの？
なら通じるかな

530:前786
18/07/26 21:30:21.51 eprs9+Ti.net
>>529
これは言えます。
1 から 2^n までの自然数のコラッツ展開を考えます。
どの2つを見ても、>>523の補題より、初項から第 n 項までが一致することはありません。
長さ n の 01 列は全部で 2^n 通りあるので、全てのパターンが現れていることになります。
例えば長さ 3 の場合を考えると、
1→101
2→010
3→110
4→001
5→100
6→011
7→111
8→000
となって、全てのパターンが現れていることが確認できます。

531:１３２人目の素数さん
18/07/26 21:39:47.97 e5fE+xPz.net
えっなんかすげくね？
ここから対角線論法つかってごにょごにょしたら
なんか出てきそうな気もするけどそんな甘くないかな

532:１３２人目の素数さん
18/07/26 21:52:15.76 DzfgC6eJ.net
>529
f(x×2+0)=x×1+0
f(x×2+1)=x×3+2
xの係数は奇数なので、この奇偶はxの奇偶によって定まる。
さらに x→x×2+0, x→x×2+1
で置き換えてコラッツ操作を行うと
4x+y(y=0,1,2,3)について長さ2のコラッツ展開は全て異なることがわかる
以下繰り返すことにより
f^k(x×2^n+y)のnの係数は奇数(3の冪)であり、
y=0,1,…,2^n-1に対し長さnのコラッツ展開は全て異なることが示せる

533:１３２人目の素数さん
18/07/26 21:55:10.54 e5fE+xPz.net
いくら場合わけしてもとり尽せない理由もこのへんにあるのかなぁ

534:530
18/07/26 22:03:15.00 DzfgC6eJ.net
これに気づいた時点で「単純な分類でとうにかするのは無理だ」とは考えました
上位ビットを適当に選べば、増加を繰り返すものが必ずあるのか、と
突破するにはパラダイムシフトが必要でしょうね……

535:１３２人目の素数さん
18/07/26 22:21:07.82 e5fE+xPz.net
たとえば√2を2進数で表したとして、
その第n桁までコラッツ展開が一致する数のうち最小のもをa_nとおいて
F(√2)=lim n->∞ a_n
とでもして
F(√2)が有限の値をとるかどうかは考察できる？

536:righ1113
18/07/26 22:24:11.72 oGOxsIYS.net
>>527
異常ありませんでした!

537:１３２人目の素数さん
18/07/26 22:52:09.41 e5fE+xPz.net
>>536
おおう、まじか。
チェックありがとうございます。
ちなみにe5fE+xPzとVbgF2ohAは同一です

538:１３２人目の素数さん
18/07/27 03:28:39.24 Qrst/WBH.net
このスレで証明されたら誰の手柄になるの？

539:M.B.
18/07/27 09:27:20.65 7B8ArIq3.net
>>538
手柄とかはどうでもいいんじゃね？
論文に名前が出るかっていう話なら、
有限群の分類とか新素粒子の発見の論文みたいに、
著者の名前のリストのほうが本文より長かったりするんじゃねーの？
おれの名前は入ってなくていーや。
でなかったら『電車男』の「電車」と「エルメス」みたいに
「righ1113」と「前786」と「その他協力者のみなさん」とか。

540:M.B.
18/07/27 14:01:13.64 7B8ArIq3.net
あー、なんか厭な予感がしてきた。
べつに >>518 以降の議論を尊重しないわけじゃないけど、
>>148 あたりの議論を考えると、たぶん全射にならないんじゃないかと
思うんですけどね。そこを避けるための手当をすればイケる感じは
あると思います。
「コラッツ展開」の精密化と、関数 f() の性質について、さらに検討すれば、
>>532 氏のいう
> 突破するにはパラダイムシフトが必要でしょうね ……
のあたりに到達できそうな気はするんですけど ……
「また元に戻ってきてガックリ」みたいな話は、ありそうに
思うんですけどね。

541:１３２人目の素数さん
18/07/27 19:31:28.11 By0CvhQ2.net
任意の{0,1}無限列に対して、
コラッツ展開が一致する正整数が存在するかと言えば否。
00000…には0,
11111…には-1が対応する。

542:１３２人目の素数さん
18/07/27 19:50:56.29 By0CvhQ2.net
では整数に拡張すれば大丈夫かと言えば、これも否で、
2進整数(2-adic integer)まで拡張する必要がある
任意の{0,1}無限列に対し、
先頭のn項がコラッツ展開と一致する非負整数はZ/2^nZで一意になり、また、nの増加とともに下位を共有しなから伸びていくのはすでに示された通りだけど、
これがちょうど2-進整数の条件を満たしている

543:１３２人目の素数さん
18/07/27 23:23:55.63 MXAhD8nB.net
>>1に頼みたいんだが以下の仕様でプログラム組んでくれない？
n(自然数)を入力とする
nビット以下の01列とそれに対応するコラッツ展開をもつ2^n以下の自然数を列挙する
例　n=3の時
0:{2,4,6,8}
1:{1,3,5,7}
00:{4,8}
01:{2,6}
10:{1,5}
11:{3,7}
000:{8}
001:{4}
010:{2}
011:{6}
100:{5}
101:{1}
110:{3}
111:{7}
お願いします。

544:１３２人目の素数さん
18/07/28 00:41:28.27 7NxoS75W.net
なにかグレイコードっぽい雰囲気を感じる
あくまで雰囲気だけど

545:righ1113
18/07/28 09:07:10.25 lMBBDrWw.net
>>543
しばしお待ちを。

546:前786
18/07/28 11:48:18.14 wb0cTFEt.net
コラッツ展開は 2 進展開に似ていますが、
以下のようにして明確に類似物であることを説明できます。
コラッツ操作 f の代わりに
　x が奇数のとき g(x)=(x-1)/2
　x が偶数のとき g(x)=x/2
という操作 g を考えます。
操作 g を用いて、整数( 2 進整数でも可)に対してコラッツ展開と同様に 0,1 からなる無限列が得られますが、
この無限列(を逆の順で並べたもの)は初期値の 2 進展開に一致します。
実際の 2 進展開の手順と見比べてみればわかると思います。

同様に、奇数 p,q を固定して
　x が奇数のとき h(x)=(px+q)/2
　x が偶数のとき h(x)=x/2
という操作 h を考えれば、同じ手順で 01 列への展開が得られ、
>>523 >>524で示した事実の類似が成り立ちます。

547:righ1113
18/07/28 17:56:46.51 lMBBDrWw.net
>>543
できたよ～
URLﾘﾝｸ(github.com)

548:１３２人目の素数さん
18/07/28 18:15:36.05 7NxoS75W.net
>>547
おお、仕事速いっすな。
ありがとうございます。

549:１３２人目の素数さん
18/07/28 19:04:59.11 FfbExHmU.net
Python版
def collatz_bits(n):
result = [0] * pow(2,n)
for i in range(1, pow(2,n)+1):
x = i
s = ""
for j in range(n):
s += str(x % 2)
x = x // 2 if x % 2 == 0 else (3*x+1) // 2
result[int(s,2)] = i
return result
def print_collatz_bits(n):
for bits, k in enumerate(collatz_bits(n)):
print(f"{bits:0{n}b}:{k}")
>> collatz_bits(3)
[8, 4, 2, 6, 5, 1, 3, 7]

550:１３２人目の素数さん
18/07/28 19:12:39.28 7NxoS75W.net
>>547
動かしてみました。
確かになんらかの法則性があるように見えますが、うまく言語化できないorz
うーん。なんだろうこれは

551:１３２人目の素数さん
18/07/28 19:16:50.85 7NxoS75W.net
前786さんならなにかピンとくるものがあるかも知れませんねぇ

552:１３２人目の素数さん
18/07/28 19:29:16.09 7NxoS75W.net
>>1へ
とりあえず前786さんにも見ていただきたいのですが、
前見たく出力結果をgithubにあげていただけませんか？
とりあえずn=10位がいいかなぁ

553:１３２人目の素数さん
18/07/28 20:14:20.24 7NxoS75W.net
あるビット列xに対し対応するコラッツ展開を持つ数を昇順にならべたものを[a_1,a_2,,,,a_2n]
とすると
x+'0'に対応するコラッツ展開をもつ数は[a_1,a_3,a_5,,,a_(2n-1)]
x+'1'に対応するコラッツ展開を持つ数は[a_2,a_4,a_6,,,a_2n]
になる？

554:righ1113
18/07/28 20:14:28.87 lMBBDrWw.net
>>552
n=10を上げました。
URLﾘﾝｸ(github.com)

555:１３２人目の素数さん
18/07/28 20:17:08.60 7NxoS75W.net
いや、ちょっとちがうな。
でも添え字が偶数のものと奇数のものに分かれるのは言えそう。

556:１３２人目の素数さん
18/07/28 20:20:56.40 7NxoS75W.net
>>554
ありがとうございます。
前７８６さんもぜひご覧になってなにか法則性がないか考察お願いします。

557:１３２人目の素数さん
18/07/28 20:49:43.10 7NxoS75W.net
すいません。また>>1にお願いがあるのですが
今１０進で表示されている数字をnビット先頭0埋め2進数で表示させられませんか？
ひょっとしたら法則性が見えやすくなるかもしれないのですが。

558:righ1113
18/07/28 21:32:38.98 lMBBDrWw.net
あげました～
URLﾘﾝｸ(github.com)
プログラムでやりたい場合は、
最新版のCollatzExpansion.hsの
74行目をコメントアウトして、
75行目のコメントを外すと、バイナリになります。

559:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:00:14.13 7NxoS75W.net
おお、ありがとうございます。
さらに追加で要求でもうしわけないんですが、
１０進版とバイナリ版のexeもgithubに上げてもらえませんか
exeなら前786さんやほかの方も抵抗が少ないだろうし

560:righ1113
18/07/28 22:21:49.34 lMBBDrWw.net
上げました。
URLﾘﾝｸ(github.com)
CollatzExpansion.exe
CollatzExpansionB.exe
です。

561:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:31:14.58 7NxoS75W.net
おお、何度もありがとうございます。
>>1にも聞いてみたいですが結構法則性ありそうに見えますよね？

562:righ1113
18/07/28 22:36:46.25 lMBBDrWw.net
>>561
2進数で左右反転しているのと、そうでないのとがありますね。

563:前786
18/07/28 22:40:43.24 wb0cTFEt.net
あまり期待はしないで下さいな。
出力の並び順ですが、
00000
10000
01000
11000
:
:
のようにしてもいいかもしれません。可能ならば。
>>546で言ったようにコラッツ展開を2進展開の類似物と捉えると、
コラッツ展開の初項が一の位に対応するので。
もしくは2進展開にならってコラッツ展開も右から左に書くことにするとか。

564:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:51:31.58 7NxoS75W.net
確かに左右反転してるのが結構ありますねぇ…

565:M.B.
18/07/29 00:20:38.47 sLBYc3Xd.net
ぜんぜん関係のない話なんで、スレ汚しスマン。
以前、原始ピタゴラス数の絡みで、直角二等辺三角形に
収束する数列を、スターン＝ブロコット木の上で追いかけていたら、
そこにフィボナッチ数列が出てきたことがある。
どういう境界条件で左右反転が起きるのかは、追いかけてみたら
面白そうな気がする。
（私が面白そうな気がするだけで、結果についてはいっさい責任は
取らないということは、いうまでもないが）

566:１３２人目の素数さん
18/07/29 01:01:26.47 apdazvkC.net
桁数：左右反転している個数
1: 2
2: 4
3: 6
4: 10
5: 16
6: 22
7: 30
8: 44
9: 58
10: 68
11: 80
12: 96
13: 122
14: 144
15: 162
16: 182
17: 200
18: 212
19: 228
20: 254

567:１３２人目の素数さん
18/07/29 01:05:24.07 apdazvkC.net
割合的には急激に減る
桁数をnとすると、n*log nくらいのオーダーか？

568:１３２人目の素数さん
18/07/29 01:06:53.56 oePH1MMB.net
さらに>>１にお願いしたいが
入力ｎに対して丁度nビットの01列とそれに対応するコラッツ展開をもつ2^n以下の自然数を列挙
コラッツ展開と自然数を２進であらわしたものが反転してる関係にあるものは行頭に空白４個入れる
反転ではないものは行頭に空白を入れずに表示
でプログラムお願いできない？

569:１３２人目の素数さん
18/07/29 01:14:15.62 apdazvkC.net
左右反転になるもの
1 [0, 1]
2 [0, 1, 2, 3]
3 [0, 2, 3, 4, 6, 7]
4 [0, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 15]
5 [0, 3, 6, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 22, 24, 27, 28, 30, 31]
6 [0, 6, 11, 12, 15, 16, 22, 24, 28, 30, 31, 32, 38, 43, 44, 47, 48, 54, 56, 60, 62, 63]
7 [0, 12, 15, 22, 24, 30, 32, 43, 44, 47, 48, 56, 60, 62, 63, 64, 76, 79, 86, 88, 94, 96, 107, 108, 111, 112, 120, 124, 126, 127]
8 [0, 15, 24, 30, 43, 44, 48, 60, 63, 64, 79, 86, 88, 94, 96, 107, 111, 112, 120, 124, 126, 127, 128, 143, 152, 158, 171, 172, 176, 188, 191, 192, 207, 214, 216, 222, 224, 235, 239, 240, 248, 252, 254, 255]
9 [0, 30, 43, 48, 60, 63, 79, 86, 88, 96, 120, 126, 128, 158, 171, 172, 176, 188, 191, 192, 214, 222, 224, 235, 240, 248, 252, 254, 255, 256, 286,
299, 304, 316, 319, 335, 342, 344, 352, 376, 382, 384, 414, 427, 428, 432, 444, 447, 448, 470, 478, 480, 491, 496, 504, 508, 510, 511]
10 [0, 60, 79, 86, 96, 120, 126, 158, 171, 172, 176, 191, 192, 240, 252, 255, 256, 316, 342, 344, 352, 376, 382, 384, 428, 444, 448, 470, 480, 496,
504, 508, 510, 511, 512, 572, 591, 598, 608, 632, 638, 670, 683, 684, 688, 703, 704, 752, 764, 767, 768, 828, 854, 856, 864, 888, 894, 896,
940, 956, 960, 982, 992, 1008, 1016, 1020, 1022, 1023]

570:前786
18/07/29 12:59:45.00 sVL1UhWV.net
左右反転については考えたことは無かったですね。
とりあえず偶数は奇数に帰着されるので、奇数だけ見るのがいいような気がします。

571:righ1113
18/07/29 14:30:52.71 z6BL7vg2.net
>>568
>>563の案についてはどうしましょうか？
ビット列を左から書くようにすると、
ビット列とコラッツ展開が『左右反転している』　→　『同一である』
になって分かりやすいと思うのですが。

572:566
18/07/29 14:59:40.32 QwhF8wXZ.net
>>571
じゃあ採用してみましょうか
お願いします

573:righ1113
18/07/29 16:26:02.64 z6BL7vg2.net
>>572
できました。
URLﾘﾝｸ(github.com)
CE02_n=10.txt
CollatzExpansion02.exe
CollatzExpansion02.hs

574:１３２人目の素数さん
18/07/29 16:49:37.95 QwhF8wXZ.net
ありがとうございます
いま外にいるので帰ったらみてみます

575:１３２人目の素数さん
18/07/29 17:29:22.44 oePH1MMB.net
ん、これコラッツ展開のビットのほうを左右反転させたんじゃなくて
コラッツ展開に対応する自然数のビットを反転させたってことですかね？

576:righ1113
18/07/29 17:53:25.69 z6BL7vg2.net
いや、両方反転させてるような......
なのに『同一』？？？

577:１３２人目の素数さん
18/07/29 18:13:30.45 oePH1MMB.net
>>576
つまりどういうことだってばよ？

578:righ1113
18/07/29 18:15:38.20 z6BL7vg2.net
>>576は無視してください。
コラッツ展開のビット（初項）を反転させています。

579:１３２人目の素数さん
18/07/29 18:34:34.10 oePH1MMB.net
すまん、まだよくわかってないんだが、
そうするとこの10進で表示してあるのは何を表してるの？

580:righ1113
18/07/29 18:41:19.06 z6BL7vg2.net
>>579
初項がコラッツ展開のビットで、
第二項が初期値（2進数）で、
第三項が初期値（10進数）です。

581:１３２人目の素数さん
18/07/29 18:44:40.84 oePH1MMB.net
第二項は左右反転してません？

582:righ1113
18/07/29 18:53:23.89 z6BL7vg2.net
してますね～　う～ん

583:１３２人目の素数さん
18/07/29 19:20:56.12 oePH1MMB.net
字下げされているデータは、上からｎ番目にあると第三項もnになる
という法則はありそうなきがする

584:righ1113
18/07/29 19:26:26.92 z6BL7vg2.net
>>583
あ、それはコラッツ展開のビットを1から順番に並べているので、
コラッツ展開と初期値が一致するなら、当然そうなると思われます。

585:righ1113
18/07/29 19:31:39.53 z6BL7vg2.net
>>575-582
色々とすみませんでした。
プログラムの説明不足でした。

586:１３２人目の素数さん
18/07/29 19:36:14.28 oePH1MMB.net
どうでもいいことだけど、いま私のメインマシンが壊れていて
古いノートPC（32bit OS)使ってます。
githubにあげてもらったexeは64bit版ですかね？動きませんでした。
私はソースのほう使ってるのでそれでも大丈夫ですが。

587:前786
18/07/29 21:59:54.79 sVL1UhWV.net
・コラッツ展開の表記は元のまま。縦の並び順だけを変えている。
・2進数表記は反転させている。
という状態みたいですね。
2進数表記を変えると混乱を招きそうなので
コラッツ展開の方を反転させた方がいいかも？。
つまり
("0000000000","0000000000",1024)
("0000000001","0101010101",341)
("0000000010","1010101010",682)
("0000000011","0011100011",227)
("0000000100","0101010100",340)
：
：
と出力させる感じで。

588:righ1113
18/07/31 21:40:25.63 RSiZq6mC.net
　　　　　 |
　　＼　　__　　／
　　＿　（ｍ）　＿ﾋﾟｺｰﾝ
　　　　　|ミ|
　　／　｀´　＼
　　　　　('A`)
　　　　　ノヽノヽ
　　　　　　　くく

589:righ1113
18/07/31 22:16:53.79 RSiZq6mC.net
コラッツ展開の一部が、コラッツ値の2進表示下位nビットと一致するなら、
「コラッツ展開の一部を2進数で覆う」と言う事にします。
例を挙げます。
9',14,7',11,17,26',13,20',10,5,8,4',2,1,...
1'　0　1'　1　1　0'　1　0'　0　1　0　0'　0　1
9'
1'　0　（0　1）　2進
7'
1'　1　1　2進
26'
0'　1　（0　1　1）　2進
20'
0'　0　1　0　（1）　2進
4'
0'　0　1　2進
繋げると1'　0　1'　1　1　0'　1　0'　0　1　0　0'　0　1になります。
この後の0,1の繰り返しは2の2進数01で覆えます。

590:righ1113
18/07/31 22:20:11.18 RSiZq6mC.net
そして、
「コラッツ展開を、下位2ビット以上の2進数の連結で覆い尽くせる」→「コラッツ操作で1に辿り着く」
が言えれば良いと思うのです。

591:１３２人目の素数さん
18/07/31 23:08:52.93 M/YYnaxA.net
ん、よくわからん。
前７８６さん、わかります？

592:前786
18/08/01 13:01:17.37 p3PictoW.net
どういう操作をしてるかはなんとなく分かりましたけど、
なんかNGワードがあるとかで書き込めないので画像にて失礼。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
そこからの>>1さんの主張は私もはっきりとはわかりませんが、
「常に 2 ビット以上覆う」ということを利用してコラッツ予想を証明できないか、みたいな感じでしょうか。

593:righ1113
18/08/02 10:26:14.57 dbqVsLkv.net
>>592
そうです、こんな感じです。
（確かに26は3ビット覆えますね）

594:righ1113
18/08/04 14:45:23.85 T94V2xDI.net
うまくいきませんでした。

595:１３２人目の素数さん
18/08/06 20:24:49.16 msOD46p7.net
登って下がってというループで山が四つくらいまでのループは無いらしいが、この方面では難しそうだ
Zudilin あたりが書いた超越数の≪(3/2)^n≫ あたりからなんか言えんかね
ABC が絡むような話もどこかにあったような気がするのは気がふれたみたいだからさようなら

596:righ1113
18/08/08 20:15:08.57 owzSvaKk.net
ちょっと思い出話でも。
自分がスレを立てる前のコラッツスレに、
「割数列」というものがありました。
コラッツ操作で2で割った回数を並べます。
これを割数列と名付けます。
例えば9の場合は、コラッツ列は
9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1
ですから割数列は
[2,1,1,2,3,4]
となります。
初期値が3の倍数の割数列を完全割数列と名付けます。
（コラッツ予想は3の倍数だけ調べれば良いのは周知です）
9[2,1,1,2,3,4]は完全割数列です。
7[1,1,2,3,4]はふつうの割数列です。

597:前786
18/08/08 22:53:01.75 4mjRQHYS.net
(割数列の話を始めたのも私だったり)

598:righ1113
18/08/08 23:11:14.38 owzSvaKk.net
マジっすか!?

599:righ1113
18/08/08 23:29:36.29 owzSvaKk.net
star変換というものがありました。
（名前は勝手に僕がつけました）
長さｎの完全割数列→長さｎ＋１の完全割数列
まず、長さｎの完全割数列を、初項に０をつけたｎ＋１型で表す。
長さｎの完全割数列でできる最終値を９で割ったあまりが・・
３　・・　A:[6,-4]orB:[1,-2]をつける
６　・・　C:[4,-4]orD:[3,-2]をつける
０　・・　E:[2,-4]orF:[5,-2]をつける
元の初項が負になる場合はあらかじめG:[+6]をおこなう。
例
21≡3(mod 9)　21[0,6]
このとき、21[6,6-4]と3[1,6-2]が存在する。

600:前786
18/08/08 23:56:36.04 4mjRQHYS.net
いやあ、懐かしいですねぇ
ちなみに割数列とコラッツ展開は密接に関係しています。
実はコラッツ展開は、割数列から派生して得られたものだったりします。
例えば 9 のコラッツ展開は
　1,0,1,1,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,…
ですが、このとき 1 が現れてから次の 1 が現れるまでの項数を見ていくと
　2,1,1,2,3,4
となり、これが割数列に一致します。

601:righ1113
18/08/09 00:04:34.00 h30rXcjy.net
なるほど。そんな歴史があったのですね。

602:righ1113
18/08/09 05:30:13.84 h30rXcjy.net
>>599
前スレで、「全てのstar変換後の完全割数列は、全ての3の倍数の奇数を尽くす」事を証明しました。
しかし、後ろに無限に長く、base caseである21[6]にたどり着かない
完全割数列を排除できなくて、その時は挫折しました。

603:righ1113
18/08/09 23:59:53.30 h30rXcjy.net
star変換後に、割数列の要素が0や負になる事は禁止していますが、
これを認めたらどうなるでしょうか。
2つほど試してみます。
9[2,1,1,2,3,4]
↓　F[5,-2]　y=8x/3-3
21[5,0,1,1,2,3,4]
・確認の計算
割数列を逆から辿る。4->3->2->1->1まででコラッツ値は7だから
(7*2^0-1)/3 = 2
(2*2^5-1)/3 = 21　辻褄は合ってます
15[1,1,1,5,4]
↓　C[4,-4]　y=x/3-2
3[4,-3,1,1,5,4]
・確認の計算
割数列を逆から辿る。4->5->1->1まででコラッツ値は23だから
(23*2^-3-1)/3 = 5/8
((5/8)*2^4-1)/3 = 3　辻褄は合ってます
どちらも、コラッツのルールからは外れるけれども、
(3x+1)/2^pの計算自体は出来ているようです。

604:righ1113
18/08/10 00:28:24.11 tK64NAzp.net
全ての場合でうまくいく訳ではありません。
star変換それぞれについて見てみます。
・3 mod 9
A[6,-4]　y=4x/3-7　x=3+9t　⇒　y=3(4t-1)　t=0は禁止する
B[1,-2]　y=x/6-1/2　x=3+9t　⇒　y=3t/2　t:奇数は禁止する
・6 mod 9
C[4,-4]　y=x/3-2　x=6+9t　⇒　y=3t　t=0は禁止する
D[3,-2]　y=2x/3-1　x=6+9t　⇒　y=3(2t+1)　オールオッケー
・0 mod 9
E[2,-4]　y=x/12-3/4　x=9t　⇒　y=(3/4)(t-1)
　　　　　　　　　　　　　　　t-1が4の倍数でない時禁止する
F[5,-2]　y=8x/3-3　x=9t　⇒　y=3(8t-1)　オールオッケー

変換後のコラッツ値が、0や負や分数になるものを禁止すれば、
この変換は、3の倍数から3の倍数に写ります。
これで得られる割数列を「拡張完全割数列」「拡張コラッツ予想」と呼ぶ事にします。

605:righ1113
18/08/10 23:41:44.61 tK64NAzp.net
拡張完全割数列のうちで、後ろに無限に長く、base caseである21[6]にたどり着かない、
最小反例を考えます。
この割数列にstar変換を施したものも、後ろの方は変わっていないので、反例です。
この反例が最小反例よりも小さければ、矛盾を引き出すことができます。
こういう目論見です。

606:righ1113
18/08/13 15:49:38.48 7T5v8z4w.net
考えていた物と別の証明が浮かんだので、そっちを書きます。
>>605の最小反例に、コラッツ値が偶数のものはありません。
2で割るとさらに小さくなるからです。
ということは、拡張完全割数列でコラッツ値が偶数のものは有限項です。
これに、star変換を逆に施した、普通の完全割数列も有限項（1に辿り着く）ということです。

607:righ1113
18/08/13 15:53:03.94 7T5v8z4w.net
普通の完全割数列に、star変換を施して、変換後のコラッツ値が偶数になるものを見てみましょう。
・3 mod 9
各star変換　変換関数　返還前　変換後
A[6,-4]　y=4x/3-7　x=3+18t　⇒　y=24t-3　偶数はない
B[1,-2]　y=x/6-1/2　x=3+18t　⇒　y=3t　t:偶数でyは偶数　⇒　x=36t+3は有限項
・6 mod 9
C[4,-4]　y=x/3-2　x=15+18t　⇒　y=6t+3　偶数はない
D[3,-2]　y=2x/3-1　x=15+18t　⇒　y=12t+9　偶数はない
・0 mod 9
E[2,-4]　y=x/12-3/4　x=9+18t　⇒　y=(3/2)t　t:4の倍数でyは偶数　⇒　x=72t+9は有限項
F[5,-2]　y=8x/3-3　x=9+18t　⇒　y=48t+21　偶数はない

608:righ1113
18/08/13 16:12:32.34 7T5v8z4w.net
コラッツ値x=36t+3とx=72t+9は1にたどり着く事が分かりました。
（3と9は手計算で、ということにしましょう）
ここで思ったのですが、このパターン、剰余コラッツ予想で解かれてなかったっけ！？
>>4
＞前スレ>>786の予想は、以下の場合に証明できています。
＞・n は 83 以下の奇数, k は任意
36は81に帰着されるので有効、
72は243なので今のところout

609:righ1113
18/08/14 15:24:26.87 jD9M+OTo.net
偶数は「最小でない反例」の可能性があるのですね。
失礼しました。
>>606-608は無しでお願いします。

610:righ1113
18/08/15 13:30:28.73 GlbaFw1x.net
>>605を証明します。
拡張完全割数列のうちで、後ろに無限に長く、base　caseである21[6]にたどり着かない、　
最小反例cを考えます。
「cは奇数」であり、「c≠3」「c≠9」とします。
「c≡3 mod 9」「c≡6 mod 9」「c≡0 mod 9」で場合分けをします。
・c≡3 mod 9のとき
　　star変換B[1,-2]をおこないます。変換関数はy=c/6-1/2
　　入力は
　　　c=9t+3　(t≦0)　から始めて
　　　cは奇数なので　c=18t'+3　(t'≦0)
　　　cは3ではないので　c=18t'' +21　(t''≦0)
　　変換関数に代入すると
　　　y=3t'' +3 < c　　より小さい反例が得られました。
・c≡6 mod 9のとき
　　star変換D[3,-2]をおこないます。変換関数はy=(2/3)c-1
　　入力は
　　　c=9t+6　(t≦0)　から始めて
　　　cは奇数なので　c=18t'+15　(t'≦0)
　　変換関数に代入すると
　　　y=12t' +9 < c　　より小さい反例が得られました。

611:righ1113
18/08/15 13:33:56.44 GlbaFw1x.net
・c≡0 mod 9のとき
　　star変換E[2,-4]をおこなうと、分数になる場合があります。
　　なので入力を分割します。
　　　c=9t+9　(t≦0)　を
　　　　c1=36t'+9　(t'≦0)　　9を除いて36t'' +45　(t''≦0)
　　　　c2=36t'+18　(t'≦0)　　偶数なので除外
　　　　c3=36t'+27　(t'≦0)
　　　　c4=36t'+36　(t'≦0)　　偶数なので除外
　　　・c1のときはE[2,-4]をおこなう
　　　　　y=c1/12-3/4 = 3t'' +3 < c1　　より小さい反例が得られました。
　　　・c3のときは、以下をそれぞれF後のmod9に応じておこないます。
　　　　　F → C　　(1/3)((8/3)c3-3)-2 = (8/9)c3 -3 < c3
　　　　　F → B　　(1/6)((8/3)c3-3)-1/2 = (4/9)c3 -1 < c3
　　　　　F → E　　(1/12)((8/3)c3-3)-3/4 = (2/9)c3 -1 < c3
　　　　　　　どの場合も、より小さい反例が得られました。
　なお、F → Eのときは循環する可能性がありますが、
　y=(8/3)(27+36t')-3 = 72+96t'-3 = 27+ 42+96t'
　　42+96t' = 36t''　とおくと、一次不定方程式になりますが、
　　42はgcd(96, 36)=12 の倍数ではないので、この式は整数解を持ちません。
　　よって、27+36t'　―F→　27+36t''　になることはありません。

いずれの場合も、より小さい反例が得られたので、
最小反例cは存在しません。

612:righ1113
18/08/15 13:38:16.32 GlbaFw1x.net
拡張完全割数列に対して、無限項のものがないと分かりました。
よって、全ての項が正である、通常の完全割数列に限定しても、無限項のものはありません。
以上より、全ての3の倍数の奇数は、1に辿り着くことが言えました。

613:１３２人目の素数さん
18/08/15 16:53:18.16 GLWugf1o.net
えっ
ちょい待ち
全ての6n-3が1を含む枝に属する事が証明できた？
コラッツ予想の証明完了じゃん

614:righ1113
18/08/15 17:00:20.05 GlbaFw1x.net
>>613
そうなりますねぇ......

615:１３２人目の素数さん
18/08/15 23:30:39.14 kdLKmBaZ.net
マジで？
記念ﾊﾟﾋﾟｺ

616:前786
18/08/16 00:57:42.04 M+raKM1N.net
>>610で、c=18t''+21 から y=3t''+3 への変換で
対応する割数列の変換が本当に B[1,-2] になってるかが怪しいような。

617:righ1113
18/08/16 05:27:05.36 TWEwRPxI.net
>>616
c=18t''+21　ーB[1,-2]→　y=3t''+3　を
先頭5個を手計算してみました。
21[0,6]　→　3[1,4]
39[0,1,1,2,1,...　→　6[1,-1,1,2,...
57[0,2,1,2,2,...　→　9[1,0,1,2,...
75[0,1,2,8]　→　12[1,-1,2,8]
93[0,3,1,5,4]　→　15[1,1,1,5,4]
ひとまずうまくいっているようです。

618:righ1113
18/08/16 07:46:18.73 SnTp/ir+.net
c≡0 mod 9のときに不備がありそうです。
調査します。

619:前786
18/08/16 10:23:39.87 M+raKM1N.net
0 や負の項を許しているのを失念していました。
ただそうすると、一つの数に対して複数の数列が対応することになります。
c=18t''+21 の割数列に変換 B[1,-2] を施すと、y=3t''+3 の拡張完全割数列の一つが得られますが、
それは y=3t''+3 の通常の割数列と同じとは限らず、通常の割数列が無限に長いとは言い切れない、
すなわち反例になっているとは言い切れないと思います。

620:righ1113
18/08/16 13:10:13.37 1OdknrZ/.net
うーむ……
もうちょっと考えてみます。

621:１３２人目の素数さん
18/08/17 03:14:56.80 vsonpbq1.net
せっかく解けない問題があるんだから、何かに使えないんでしょうか
数独のようなパズルを作る
乱数を作る
暗号システムを作る

622:righ1113
18/08/18 15:11:04.30 D9NuquiS.net
>>619
入力も拡張完全割数列にすればどうでしょう。
図を書いてみました。
URLﾘﾝｸ(github.com)
反例を、
「ある3の倍数のコラッツ値を表す、拡張完全割数列の少なくとも一つが無限項である」
と定義します。これならどうでしょうか。

623:righ1113
18/08/18 15:15:35.49 D9NuquiS.net
画像が見えませんでした
URLﾘﾝｸ(imgur.com)

624:前786
18/08/19 13:08:49.21 Nc96juHr.net
最小反例が 3 である可能性がありますね。
その場合、コラッツ値をより小さくすることはできず、矛盾は生じません。

625:righ1113
18/08/19 16:15:52.14 z4KwPURj.net
そうですねぇ、だめですね……
ありがとうございました。

626:righ1113
18/08/20 11:12:57.60 rrcWSjx+.net
もうちょっと粘ってみます。

627:righ1113
18/08/24 21:38:07.63 md4HSYVM.net
レベルというものを導入します。
6x+3のコラッツ値で、全ての項が正の完全割数列のみがあらわす
ものを、レベル0のコラッツ値とします。
レベル0のコラッツ値と、全ての項が正の完全割数列は、
1対1対応しています。
レベル0のコラッツ値を、0,負も認めたstar変換を1,2,3回施した
ものを、レベル1のコラッツ値とします。
レベル1のコラッツ値で、最小反例が無い事を証明します。
・レベル1のコラッツ値3が最小反例でない事
3から、star変換を逆に施していきます。
それぞれ、1,2,3回逆に施したところで、レベル0に戻るので、
1対1対応した割数列を割り当てます。
有限個の割数列が得られるので、1つ1つ有限項か計算すれば良いです。

628:righ1113
18/08/24 21:40:15.28 md4HSYVM.net
プログラムを使って説明します。
コラッツ値をあらわす割数列を列挙する関数allDivSeqを考えます。
第一引数は、コラッツ値です。
第二引数は、star変換を施した回数です。
allDivSeq 3 1を例にとって説明します。
star変換を1回施して、コラッツ値が3になるものを考えて、
allDivSeq 3 1
　= B[1,-2] ++ allDivSeq 21 0
　, C[4,-4] ++ allDivSeq 15 0
　, D[3,-2] ++ allDivSeq 6 0
　, E[2,-4] ++ allDivSeq 45 0
と再帰的に表せます。
第二引数が0になった所で、そのコラッツ値があらわす、
全ての項が正の完全割数列を当てはめます。偶数は無視します。
allDivSeq 3 1
　= B[1,-2] ++ [6]
　, C[4,-4] ++ [1,1,1,5,4]
　, D[3,-2] ++ Nothing
　, E[2,-4] ++ [3,2,3,4]
と、有限項の割数列で列挙できました。

629:righ1113
18/08/25 07:17:46.04 uY6dzjku.net
レベル1のコラッツ値3x+3に、最小反例が存在しない事を証明します。
3と9はallDivSeqを使って、
残りの数は、>>610-611を手直ししたものを使います。

630:righ1113
18/08/26 21:21:27.79 Oj7Z7mtg.net
3の倍数に0も含めることにします。
3も9もstar変換で0になって、小さくなるのでOKとします。
レベル1のコラッツ値3xに、最小反例が存在しない事を証明します。（後日）
0はallDivSeqを使って、
残りの数は、>>610-611を手直ししたものを使います。

631:righ1113
18/08/31 10:08:50.31 rYUAgAC8.net
いろいろ見直しています。
時間がかかりそうです。

632:righ1113
18/09/07 00:24:45.25 cStMejnA.net
見直しというか、証明の形式化にチャレンジしています。
Idrisというマニアックな言語を使っています。Coqみたいな事ができます。
型を合わせるのがめんど……いや、難しいですね。

633:righ1113
18/09/10 00:29:04.64 3QK+PA5a.net
場合分けが尽くせてないですが、Ver0.1をリリースします。
URLﾘﾝｸ(github.com)
最終的な定理はProofColDivSeqMain.idrにあって、以下です。
allDivSeqInfFalse : (n:Nat)
　-> any unLimited (allDivSeq (n+n+n) 0) = False
これは、3の倍数の奇数の完全割数列が全て、有限項である（1に辿り着く）
事を示しています。

634:righ1113
18/09/10 17:40:25.69 5z7WrYfQ.net
レベルを下げる関数に不備がありそうです。

635:righ1113
18/09/17 02:46:14.64 bqQZOfDF.net
>>634
関数を変更中です。手こずっています。

636:１３２人目の素数さん
18/09/18 19:02:33.53 pWdQneLm.net
笑

637:１３２人目の素数さん
18/09/18 21:06:42.03 Ww3uzjyt.net
しかし >>1の情熱がすごい
よくあきらめないな

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