コラッツ予想がとけたらいいな　その2

コラッツ予想がとけた ..

48:前786
18/05/16 23:09:35.30 /MdEF5MU.net
>>47
n と m が互いに素であるとき Z/mnZ は (Z/mZ)×(Z/nZ) に同型なので
何かしら関連付けることはできるかもしれませんが、
完全に帰着させるのは難しそうというのが正直なところ。
これには根拠がありまして、プログラムの出力結果を見ると
例えば n=35 にかかった計算量は
n=5 と n=7 の計算量の合計よりかなり多いということが見て取れます。
そうすると、n=35 を n=5 と n=7 に帰着させるのは苦しいんじゃないかなあと思うわけです。

49:１３２人目の素数さん
18/05/16 23:17:00.63 Ux+htuCY.net
>>48
ふーむそうなのか。
ありがとうございます。
先は長そうですな。

50:前786
18/05/16 23:32:04.61 /MdEF5MU.net
このままだと、場合分けが延々と広がって収拾がつかなくなる、
といういつもの感じになりそうな雰囲気がぷんぷんしますけどね。

とりあえず示せたのはこちら。
定理
>>44において指数が 2 であり、かつ p≡3 (mod 4) のとき、
k=1,2,…,p-1 に対して予想が成り立つ。
証明は後日。

51:１３２人目の素数さん
18/05/16 23:38:41.29 Ux+htuCY.net
mod 4 ですか？　意外な数字がでてきましたね。
まあ、証明を楽しみに待ちます。

52:１３２人目の素数さん
18/05/22 10:07:26.93 WVNRebn9V
>>51
> mod 4 ですか？　意外な数字がでてきましたね。
　n mod 4 が 3 の場合に帰着するので、わりと順当な話だろうと思われる。
任意の偶数が「２で割りつづけると奇数に到達する」というのも自明。
問題なのは、「任意の奇数を『３倍して１を足す』と、１２で割って８余る偶数」
に到達するという上に向かうルートがあるのだが、
その一番下の奇数の性質とか、ルートの長さとか場所とかの分布が
なかなか追いきれないという点だ。

53:前786
18/05/20 00:54:51.37 Cf9ohYZi.net
途中まで。
p は 5 以上の素数で Z/pZ において 2 の生成する部分群の指数が 2 であり、p≡3 (mod 4) と仮定する。
乗法群 (Z/pZ)* において、2 で生成される部分群を A1 とし、
A1 に属さない元の全体を A2 とおく。
指数が 2 という仮定より |A1|=|A2|=(p-1)/2。
補題1
(1) A1 は (Z/pZ)* における平方数全体の集合に一致する。
(2) A2 は (Z/pZ)* において λ*(平方数) の形で表せる元全体の集合に一致する。ただし λ は平方数でない任意の (Z/pZ)* の元。
証明
(1) Z/pZ の原始根の一つを α とする。
ある d で α^d≡2 (mod p) となる。
両辺を (p-1)/2 乗すると
　α^(d(p-1)/2)≡1 (mod p)
α の位数は p-1 だから、d(p-1)/2 は p-1 の倍数。
よって d は偶数。α^d≡2 (mod p) より 2 は平方数である。
A1 の元は 2 の累乗なので全て平方数。
A1 の要素数は (p-1)/2、(Z/pZ)* の平方数の個数も (p-1)/2 なので、
A1 は平方数全体に等しい。
(2) Z/pZ の原始根の一つを α とする。
A1 は α の偶数乗全体なので、A2 は α の奇数乗全体。
λは平方数でないので、αの奇数乗。
よって λ*(平方数) もαの奇数乗。
したがって、λ*(平方数) の形の元は A2 に属する。
λ*(平方数) の形で表せる元は (p-1)/2 個。A2 の要素数も (p-1)/2 なので、
A2 はλ*(平方数) の形で表せる元全体に等しい。□

54:前786
18/05/20 00:55:45.58 Cf9ohYZi.net
次に (Z/3pZ)* におけるグループ分けを考える。
そのために 2 の位数を考える。
(Z/3pZ)* は (Z/3Z)*×(Z/pZ)* に同型で、
(Z/3Z)*, (Z/pZ)* それぞれにおいて 2 の位数は 2, (p-1)/2。
p≡3 (mod 4) より (p-1)/2 は奇数。
よって、(Z/3pZ)* における 2 の位数は 2, (p-1)/2 の最小公倍数である p-1。
一方、(Z/3pZ)* の要素の個数は 2(p-1)。
(Z/3pZ)* において 2 で生成される部分群を B1 とし
B1 以外の元全体を B2 とおくと、|B1|=|B2|=p-1。
補題2
3 の倍数でも p の倍数でもない整数 b に対し、
(1) b が mod 3p で B1 に属する ⇔ b が mod p で A1 に属する
(2) b が mod 3p で B2 に属する ⇔ b が mod p で A2 に属する
証明
(1)のみ示せば十分である。
まず b が mod 3p で B1 に属するとすると、ある d で
　b≡2^d (mod 3p)
と書ける。このとき b≡2^d (mod p) も成り立つので、b は mod p で A1 に属する。
したがって ⇒ が成り立つ。
ここで、射影 π:(Z/3pZ)* → (Z/pZ)* を考える。πは全射。
さらに (Z/3pZ)*, (Z/pZ)* の要素数がそれぞれ 2(p-1), p-1 であることから、πは2対1写像。
⇒ が成り立つことから π(B1)⊂A1 が成り立つが、要素数を比較して π(B1)=A1 を得る。
したがって ⇔ が成り立つ。□

55:前786
18/05/20 00:56:31.04 Cf9ohYZi.net
補題3
λを平方数でない (Z/pZ)* の元とする。
x,y についての 4 つの方程式
(a) x^2+1≡y^2 (mod p)
(b) x^2+1≡λy^2 (mod p)
(c) λx^2+1≡y^2 (mod p)
(d) λx^2+1≡λy^2 (mod p)
が、(Z/pZ)* に解を持てば、n=p, k=1,…,p-1 の場合に予想が成り立つ。
証明
・k が mod p で A1 に属する場合
T を木とし、3 の倍数でも p の倍数でもない b∈T を任意に取る。
b は mod p で A1 か A2 のいずれかに属するが、A1 の場合は
　b*2^d≡k (mod p)
となる d が存在するのでOK。
b が mod p で A2 に属するとする。b は mod 3p で B2 に属する。
このときは、
　「ある c∈A1 が存在して 3c+1∈B2」　…(*)
が成り立てば予想が成り立つ。
補題1,2 より、条件(*)は
　3x^2+1≡λy^2 (mod p)
を満たす x,y∈(Z/pZ)* が存在することと同値。
この方程式は、3 が Z/pZ で平方数なら
　x^2+1≡λy^2 (mod p)
と同値であり、3 が Z/pZ で平方数でなければ
　λx^2+1≡λy^2 (mod p)
と同値である。
・k が mod p で A2 に属する場合
上の場合において、A1 と A2, B1 と B2 を入れ替えれば同様に議論でき、
「ある c∈A2 が存在して 3c+1∈B1」　…(**)
が成り立てば予想が成り立つ。
補題1,2 より、条件(**)は
　3λx^2+1≡y^2 (mod p)
を満たす x,y∈(Z/pZ)* が存在することと同値。
この方程式は、3 が Z/pZ で平方数なら
　λx^2+1≡y^2 (mod p)
と同値であり、3 が Z/pZ で平方数でなければ
　x^2+1≡λy^2 (mod p)
と同値である。□

56:前786
18/05/20 00:58:06.31 Cf9ohYZi.net
あとは方程式 (a)～(d) の解の存在を示せばよい。
とりあえずここまで。
前にもあったけど、こうやって代数方程式に帰着できたのは個人的に面白いと思った。

57:righ1113
18/05/20 03:49:10.15 lv8XOQh3.net
ところで流れと関係ない質問ですが、
プログラムの3のところを5に変えたら、
5x+1問題を論じている事になりますか？

58:前786
18/05/20 09:48:45.09 Cf9ohYZi.net
>>57
なると思います。

59:前786
18/05/20 16:32:50.23 Cf9ohYZi.net
>>55の続き
補題4
λを平方数でない (Z/pZ)* の元とする。
x,y についての 4 つの方程式
(a) x^2+1≡y^2 (mod p)
(b) x^2+1≡λy^2 (mod p)
(c) λx^2+1≡y^2 (mod p)
(d) λx^2+1≡λy^2 (mod p)
は、(Z/pZ)* に解を持つ。
証明
以下、≡ を＝で書くことにし、「mod p」は省略する。
まず (a) を考える。方程式は
　y^2-x^2=1
　(y+x)(y-x)=1
と変形できる。y+x=t とおくと、t≠0 で y-x=1/t である。
y+x=t
y-x=1/t
を x,y について解くと、x=(t^2-1)/(2t), y=(t^2+1)/(2t)
逆に t∈(Z/pZ)* が与えられたとき、t^2-1≠0, t^2+1≠0 であれば、上のように x,y を定めれば (a) の解になる。
t^2-1=0 となる t は t=±1 の2個。
t^2+1=0 となる t は存在しない (p≡3 (mod 4) より)。
よって、(a) は p-3 個の解を持つ。
次の方程式に移る前に、(a) の解に現れる x が何通りかを見ておく。
(x,y)=(x0,y0) をひとつの解とすると (x,y)=(x0,-y0) も解であり、
x0 を固定したとき対応する y は ±y0 しかない (y について 2 次方程式だから)。
よって、p-3 個の解には同じ x が2回ずつ現れるので、
x は (p-3)/2 通り。

60:前786
18/05/20 16:33:24.36 Cf9ohYZi.net
(b) x^2+1=λy^2 について考える。
(a) の解に現れる x は (p-3)/2 通りであった。
これはすなわち、x^2+1 が 0 でない平方数となるような x は (p-3)/2 通りあるということに他ならない。
x^2+1 は 0 にならないので、残りの (p-1)-(p-3)/2=(p+1)/2 個の x に対しては
x^2+1 は平方数でない数になる。
このとき x^2+1∈A2, したがって補題1より、ある y で x^2+1=λy^2 が成り立つ。
これは (b) の解である。
((b) の解が p+1 個であることも分かる)
(c)も(b)と同様に考えられる。
(a) の解に現れる y は、x と同様に (p-3)/2 通り。
したがって、y^2-1 が 0 でない平方数となるような y は (p-3)/2 通りある。
y^2-1 は y=±1 のとき 0 になるので、これも除いて残りの (p-1)-2-(p-3)/2=(p-3)/2個の y に対しては
y^2-1 は平方数でない数になる。
あとは (b) と同様に λx^2+1=y^2 の解を得る。
((c) の解は p-3 個ある)
(d)は(a)と同様に計算できる。方程式は
　y^2-x^2=1/λ
　(y+x)(y-x)=1/λ
と変形できる。y+x=t とおくと、t≠0 で y-x=1/(λt) である。
y+x=t
y-x=1/(λt)
を x,y について解くと、x=(λt^2-1)/(2λt), y=(λt^2+1)/(2t)
逆に t∈(Z/pZ)* が与えられたとき、λt^2-1≠0, λt^2+1≠0 であれば、上のように x,y を定めれば (d) の解になる。
λt^2-1=0 となる t は存在しない (λが平方数でないから)。
λt^2+1=0 となる t は 2 個 (-1,λが共に平方数でないから、-1/λ は平方数)。
よって、(d) は p-3 個の解を持つ。□
補題3,4によって以下が示された。
定理
p が 5 以上の素数で、Z/pZ において 2 の生成する部分群の指数が 2 であり、p≡3 (mod 4) であるとき、
n=p, k=1,…p-1 の場合に予想が成り立つ。

61:前786
18/05/20 16:36:22.12 Cf9ohYZi.net
あ、あと訂正。
>>44で「指数1, mod 3 で 1」の欄に 131 があるけど、
131 は「指数1, mod 3 で 2」の欄でした。

62:１３２人目の素数さん
18/05/20 17:38:06.32 faL44BH0.net
ぬおー複雑すぎてついていくのがしんどいorz
平方数がどうとかいうのは群論でも普通によく使われるテクニックなんですか？

63:前786
18/05/20 18:16:56.14 Cf9ohYZi.net
>>62
群論というより、どちらかというと整数論ですかね。
少なくとも自分はよく使います。

64:１３２人目の素数さん
18/05/20 22:31:52.19 faL44BH0.net
>>1は理解できてる？
基本このスレには3人しかいないから俺がだめなら>>1しかいない。。。

65:righ1113
18/05/21 01:21:10.42 zGYj2oYV.net
>>64
いや～4割ぐらいっすねー

66:１３２人目の素数さん
18/05/21 20:37:31.44 4VRAtjed.net
とりあえず、この場合の平方数というのは
可換体 K の乗法群 K* の部分集合 {x2 | x ∈ K} （直積集合と紛れるおそれのないときには
これを (K*)2 などと表す）の元を平方数や平方元と呼ぶことがある。（wikipediaより）
であってますかね？

67:前786
18/05/21 21:02:18.85 VLLcdro9.net
>>66
あってます。
Z/pZ の場合は「平方剰余」という呼ばれ方をすることが多いですが、
私は「平方数」の方が慣れているのでそうしました。

68:１３２人目の素数さん
18/05/21 21:25:13.58 4VRAtjed.net
誠に申し訳ないが乗法群の説明がwikiじゃよくわからんorz.
むかし学校で習ったような気もするがあまりに昔の話で記憶が霞んでるorz.
とりあえずこのページ見つけたけどこれでいい？
URLﾘﾝｸ(math-note.xyz)

69:前786
18/05/21 21:59:04.76 VLLcdro9.net
>>68
>>53で扱っているものは「環の乗法群」あるいは「体の乗法群」というもので
そこには載ってないですね…
乗法群とは、「積に関して逆元を持つ要素を集めた群」です (群がよく分からなければ集合と読み替えてください)。
Z/nZ の場合、これは 0 から n-1 のうちで n と互いに素な数だけを集めたものになります。
したがって、
Z/pZ の乗法群は {1,2,...,p-1}
Z/3pZ の乗法群は 3 の倍数でも p の倍数でもない元全体の集合
となります。

70:１３２人目の素数さん
18/05/21 22:24:15.94 4VRAtjed.net
>>69
おお、ありがとうございます。
群に関して解説しているお勧めページありましたら教えてください。

71:１３２人目の素数さん
18/05/21 22:54:59.90 4VRAtjed.net
あ～すいません。
群じゃなくて環、体なんですかね？

72:前786
18/05/21 23:20:03.77 VLLcdro9.net
有名ですけどこの辺りとか
物理のかぎしっぽ - 代数学
URLﾘﾝｸ(hooktail.org)
群、環、体について基本的なことが載っています。
Z/nZ の話に絞れば、例えば
Excel VBA 数学教室 - 数学辞典 - 整数論入門講座
URLﾘﾝｸ(excelmath.atelierkobato.com)
この辺りも詳しそうです。

73:前786
18/05/21 23:34:55.13 VLLcdro9.net
ざっと見たところ、上記のサイトには
>>54で用いた直積の話 ((Z/3pZ)* は (Z/3Z)*×(Z/pZ)* に同型) が載ってなさそうです。
探したらこれに載ってました。
URLﾘﾝｸ(nakano.math.gakushuin.ac.jp)
(学習院大学の講義資料)
講義資料一覧はこちらから見られるようです。
URLﾘﾝｸ(nakano.math.gakushuin.ac.jp)

74:１３２人目の素数さん
18/05/21 23:45:47.55 4VRAtjed.net
ありがとうございます。
1から勉強だなこりゃ

75:１３２人目の素数さん
18/05/22 20:15:30.49 GnlOeguJ.net
私が勉強追いつくのは結構時間かかると思うのでスレは自由に進めてくださいねｗ

76:前786
18/05/22 23:49:30.33 kTVPAnQh.net
>>75
まあこちらもそんなに大きな進展はないですけどね。
>>11の②の場合 (n=p、p は 5 以上の素数、Z/pZ で 2 が原始根、p≡1 (mod 3)) で
k=0 だけ抜けてるのをやはり何とかしたいので考え中。
まだ証明はできてませんが、この場合ほとんどの p ではアルゴリズムが C で終わりそうです。
実際、200 以下の出力では n=13 を除いて全ての場合でアルゴリズムが C で終わっています。

77:前786
18/05/23 00:52:33.04 KVhZBaB6.net
一旦理屈をすっ飛ばしますが、
n=p、p は 5 以上の素数、Z/pZ で 2 が原始根、p≡1 (mod 3) で k=0 のとき、
とりあえず以下の方法で検証できることが分かりました。
(1) 縦２マス横 (p-1)/2 マスのマス目を考え、図のように３色で塗り分ける。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
(2) Z/pZ における数列 {a[n]} を
a[1]=(2p+1)/3
a[n+1]=4a[n]+1　(n≧2)
で定義し、図のようにマス目に添える。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
※ {a[n]} の一般項は ((2p+2)4^(n-1)-1)/3 である。
※ a[n+(p-1)/2] ≡ a[n] (mod p) が成り立ち、周期的な数列となる。
(3) a[i] が Z/pZ で平方数であればその列の下側のマスに印をつける。
そうでなければ上側のマスに印をつける。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
(4) ３色とも少なくとも１つのマスに印がついていれば予想が成り立つ。

78:前786
18/05/23 00:56:44.28 KVhZBaB6.net
あ、>>77の(4)は「予想が成り立つ」より「アルゴリズムが C で終わる」の方が適切です。
n=13 の場合、次のような結果になります。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
黄色マスに印がつかないので、アルゴリズムは C で終わりません。

79:righ1113
18/05/23 01:21:25.86 1DxWfvsk.net
プログラムでイレギュラーを見つけました。
プログラムの3を19に変えてn=7で、
---
(4) A' の各元 a に対し、3a+1 がどの Bi に属すかを見る。（どの Bi にも属さないこともある）
---
で全ての3a+1が属さないのです。
プログラム上ではオールNothingになります。
詳しい説明は今晩します。

80:righ1113
18/05/23 01:31:18.18 1DxWfvsk.net
正確にはこうです。
プログラムの3を19に変えてn=7で、
---
(4) A' の各元 a に対し、19a+1 がどの Bi に属すかを見る。（どの Bi にも属さないこともある）
---
で全ての19a+1が属さないのです。
プログラム上ではオールNothingになります。

81:１３２人目の素数さん
18/05/23 12:01:38.73 m0d+bsHd.net
　整数論関係で盛り上がっているところで申し訳ないのだが、
二進数表記で ON ビットが二個以上連結すると、
上（偶数に向かうシークエンス）というのが、
ON ビット n に対して n - 1 個連続する。
　２の倍数を XY 座標のの X に取るとすると、
偶数は、「２で割る」操作のどっかでシークエンスに引っかかる
（つーか、奇数になる）。
　コラッツ操作がカオティックな挙動をするというのは、
「３ｎ＋１の結果が奇数でありつづける」（つまり、下位のビットが
ON でありつづける）と、「２で割り続ける」と、「偶数は割り続けると、
どこかで奇数になる」という、周期３のループに引っかかっている
せいではないかという気がしてきた。
　「３ｎ＋１」で無限大に発散することはありえない
（メルセンヌ数との関連で、それは自明）。
　つーことは、「下位がオンビットの値（奇数）で受けとめきれない」
偶数があるかどうか、みたいな話になりそうな気がする。

82:righ1113
18/05/23 19:18:42.10 l+nV4t+w.net
>>81
>　「３ｎ＋１」で無限大に発散することはありえない
>（メルセンヌ数との関連で、それは自明）。
詳しく知りたいです。

83:１３２人目の素数さん
18/05/23 20:35:47.24 m0d+bsHd.net
>>82
　メルセンヌ数（2^n - 1）は、たぶん奇数である。
　とはいえ、2^0 - 1 は 1 - 1 なので、「0 は偶数だ」という反論はあると思う。
　これくらいのネタを振っておかないと、数学関係では馬鹿にされるので、とりあえず。
　すべての「“メルセンヌ数”ではない、4 で割って 3 余る奇数（n mod 4 = 3）、かつ 11 （1 + 2 + 8）以上の自然数」は、
　(2^p - 1) + 2^p + (2^( p + 2) × q)
で表される。なんでかというと、二進法で表したときに、「二個以上の 1 と 0 のあと（つーか、上位）に、 0 のみではないビット列が並んでいる」からだ。
　そこに、「三倍して１を足す（ 3n + 1 ）操作」を繰り返すと、「2^p + (2^( p + 2) × q)」の部分に「三倍して２を足す」操作を p 回繰り返すのと同じことになる。
　その間、「2^p + (2^( p + 2) × q)」の桁数が増えた結果、そのビット列に p 個以上の 1 が現れて、元の p よりも数が増えると、これは発散してしまう恐れがある。
　実際に、それらしい例はある。 31 の場合、31 - 47 - 71 - 107 - 161 の列から 319 - 479 - 719 - 1079 - 1619 - 2029 を経る場合がある。
　ただ、これが「無限に連鎖するか？」という話になると、「メルセンヌ素数は無限に存在するか？」みたいな話になるので、「今のところ、わからん」と言うしかない。
　とりあえず、「すべての自然数が、コラッツ操作によって p と q の網（木）に引っかかるか？」を考えている。
　ただ、「三倍して１を足す（ 3n + 1 ）操作」の回数は、 p を超えることはないことが判っている。

84:１３２人目の素数さん
18/05/23 20:40:42.01 m0d+bsHd.net
×　> そのビット列に p 個以上の 1 が現れて
〇　> そのビット列に p 個以上連続した 1 が現れて

85:１３２人目の素数さん
18/05/23 20:43:34.27 m0d+bsHd.net
あかん。
>> 4 で割って 3 余る奇数（n mod 4 = 3）
は余計だった。すまぬ。

86:righ1113
18/05/23 21:07:48.22 l+nV4t+w.net
>>83
なるほど。下位の連続した1のビットに注目しているのですね。
自分もコラッツパターンで考えていました。
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)

87:１３２人目の素数さん
18/05/23 21:36:38.24 amwAZ2U3.net
お、新人さんかい？

88:前786
18/05/24 00:50:30.75 COzmyM7A.net
>>79 >>80
これ気になるんで詳細待ってます。
正常に動いていれば Nothing 以外も出てくるはずですが…

89:righ1113
18/05/24 01:01:12.08 BvJJodRF.net
>>88
すいません今晩はムリでした(>_<)

90:前786
18/05/24 01:22:11.96 COzmyM7A.net
>>89
さいですか。
まあ、気長に待ちますんでお気になさらず。

91:１３２人目の素数さん
18/05/24 10:37:42.13 hntPmxCh.net
　また通りすがりのプログラマが覗きにきました。お邪魔します。
　「奇数 →（奇数 →）６で割って２余る偶数 → 奇数」
というループに乗っていないのは１だけ。
　「奇数 → 偶数」というルートを通らないのは２の冪乗数だけ。
　それ以外で、“ループではない”「奇数 → ６で割って２余る偶数 → 奇数」という
“ルート”に乗って“いる”のは２の冪乗のうち「６で割って２余る偶数」だけ。
　つまり、ここから先は、上記の条件に引っかからない「６で割って２余る偶数」と
「奇数」だけを考えればいい。
　ここからは、単純に上記の条件に引っかからない「６で割って２余る偶数」と
「奇数」だけを考えればいいような気がする。
　このあたりから始めて、「コラッツ操作を根っこのほうから逆に辿って、
枝がどう伸びているか」を逆に辿ってみようとしているのだが、
辿ってみた結果をどう整理したらいいのかが、正直わからん。484 と 485 とか、
変なところでニアピンしてる奴がいるんだよなぁ（どっちも３ステップ後に
182 を通る）。
　これは三次元表示とかを考えたほうがいいのかね？　映像として見ることで、
なんかしらの法則性が見えてくるということもあるわけだし。

92:righ1113
18/05/24 17:50:33.60 Ht7/ViD0.net
>>91
「6で割って2余る数」か「奇数」かたっぽだけ調べれば良いような気がします。
画像表示はカオティックなものしか得られずにう～ん……という感じです。

93:１３２人目の素数さん
18/05/24 19:31:53.90 hntPmxCh.net
>>92
確かにカオスって「断面」で見るからそういう感じはするんだよね orz
つーても一次元で見ても傾向がわからんような気が。

94:righ1113
18/05/24 19:35:11.39 x3TjQ3yB.net
>>90
お待たせしました。プログラムとログです。
URLﾘﾝｸ(github.com)
19x+1でn=7は、
A : [[0],[1,2,4],[3,5,6]]
です。最初の二つは問題ないです。
最後がC'でオールNothingとなり、C''でカラになります。ここで止めました。
どこかプログラムがバグってるんですかね。
自分はてっきり、これが無限走行へ至る道かと思ったのですが。

95:１３２人目の素数さん
18/05/24 19:40:13.49 hntPmxCh.net
漏れは航空宇宙工学科出身なので
「可視化」っつーのは重要だとは思ってるんだけど、
カオス系のように「見えたからって、なんも解決せん」とか、
f^-1 ゆらぎのように「実際に計測してみたら、単なる
対数分布だった」（ラーメンの汁に浮いてる油滴なんかがそう）とか、
ハズレが多いのは分かってるんだが ……
なんかしら別視点に期待する部分はあると思われ。

96:前786
18/05/24 20:30:26.05 COzmyM7A.net
>>94
>>88は B の段階で全て Nothing になったのだと勘違いしていました
ちゃんと見てみます。

97:righ1113
18/05/24 20:34:17.94 x3TjQ3yB.net
ああすみません。
>>80の書き方が悪かったです。

98:１３２人目の素数さん
18/05/24 20:52:34.74 c3neDLsf.net
可視化はいいけどどうやって可視化するかはアイディアあんのか？
３次元表示だけじゃ具体性に乏しい。

99:前786
18/05/24 21:45:42.25 COzmyM7A.net
>>94
とりあえずこの出力結果は間違ってなさそうです。
詳細は後ほど。

100:righ1113
18/05/24 22:08:44.37 x3TjQ3yB.net
おお~~

101:１３２人目の素数さん
18/05/24 22:53:57.29 c3neDLsf.net
>>99
新展開ですか？

102:前786
18/05/25 00:00:11.96 cjcsGDRA.net
出力結果が正しいことの説明もしたいところですが、その前に別の話を。
まず一応誤解のないように言っておきますが、
この結果から即座に「コラッツ予想の 19n+1 版は成り立たない」とは結論づけられません。
ここで「コラッツ予想の 19n+1 版」とはそもそもなんなのかを考えなければなりませんが、
ここでは
「木を同様に定義したとき、自然数全体の集合が一つの木となる」
というものだとします。
（先行研究は特に知りません。情報があれば教えてください。）

今回の結果の意義について述べるために、改めてコラッツ操作についてまとめます。
一般化して、奇数 k を固定して「奇数は k 倍して 1 を加える」というルールだとします。
操作1：奇数に k をかけて 1 を加える。
操作2：偶数を 2 で割る。
操作3：mod k で 1 であるような偶数から 1 を引いて k で割る。
操作4：数に 2 をかける。
操作1,2 を「コラッツ操作」、操作3,4 を「コラッツ逆操作」と呼ぶことにします。
どんな数から始めても、操作1～4の繰り返しで目的の数にたどり着けるか、というのが（一般化された）コラッツ予想。
この「目的の数」を mod n で考えたものが私の予想です。

103:前786
18/05/25 00:01:05.77 cjcsGDRA.net
で、お気づきかもしれませんが、現在のアルゴリズムはコラッツ逆操作しか考えていません。
これが「コラッツ予想の 19n+1 版は成り立たない」とは結論づけらない理由です。
（コラッツ逆操作しか考えていない理由は、これだけでもさしあたってうまくいっていたことと、コラッツ操作まで考えると一気に複雑さが増すことということです）
（逆操作だけというのはかなり制限しているように見えますが、実はそれほどでもありません。また今度話します。）
今回の結果についてですが、
まず出力結果にある C' は「mod 133(=7*19) で 2 のべきである数の集合」になります。（これもまた今度）
このことから今回の結果を次のように述べることができます。
定理
コラッツ予想の 19n+1 版を考える。
このとき、mod 133 で 2 のべきである数からコラッツ逆操作を繰り返しても、
mod 133 で 2 のべきである数以外は得られない。
これはちょっと予想外でした。
3n+1 では今までコラッツ逆操作だけでうまくいってたけど、
そのうちコラッツ操作も考えなきゃいけなくなるかもしれない…

104:１３２人目の素数さん
18/05/25 05:24:49.37 FB8NYZZI.net
>>98
n が 127 以下については、手で描いてみた（A4 の 5mm 方眼紙四枚とか）。
以前誰かが書いてたように、「場合分けが面倒臭いことに
なって手に負えなくなる」という感じのある錯綜したケース
（確かに127 以下はけっこうややこしい）を脱して
ある程度規則性が見えてくるのは、ここより先
（255 とか 1023 とか 2047 とか）らしいんだよね。
そうすると、もう手描きだと追いつかなくなるのと、関係が錯綜して
見づらくなる（つーか、局所的な関係はわかるんだが、全体像が
把握できなくなる）ので、「２で割る」「３n + 1 して 2 で割る」
「その数の大きさ」みたいに次元を分けて空間的に散らばらせて、
ぐるっと見渡せれば何かわかるかな、と。
乱数の品質とかも、二次元空間にマッピングすると「あ、この
アルゴリズムだと、品質悪いな」とか判ったりするじゃん？
あんな感じ。

105:righ1113
18/05/25 22:16:46.77 cO+AwSH2.net
>>102-103
う～む、そんなに単純ではないのですね。
ちなみに、
コラッツ予想の19n+1版において
7で割って
・0,1,2,4余る数→全ての木に現れる
・3,5,6余る数→一部の木にしか現れない
これは言えるのでしょうか？

106:前786
18/05/25 23:19:00.95 cjcsGDRA.net
>>105
それが言えちゃうとまさに「コラッツ予想の 19n+1 版は成り立たない」になっちゃいます。
・0,1,2,4余る数→全ての木に現れる
これはプログラムによって証明できていますが、
・3,5,6余る数→一部の木にしか現れない
こっちは証明できていません。

107:righ1113
18/05/25 23:32:11.70 cO+AwSH2.net
なるほど～失礼しましたー

108:１３２人目の素数さん
18/05/25 23:45:29.86 IeZ+TUSP.net
しかし実際問題として19n+1版の反例というのはそんなに簡単には見つからないものなんですか？

109:righ1113
18/05/26 00:04:16.67 n+Y56waB.net
>>108
bn+1版でbが大きくなると、遷移の上昇幅も大きくなるから、無限大に発散する可能性は高くなると思います。
適当にプログラムを走らせて、どんどん大きくなっていくようなら、この初期値は無限大に発散する可能性が高い、とは言えると思います。
「無限大に発散する!」という証明はかなり難しいと思います。

110:前786
18/05/26 00:08:59.09 PVjl5sK1.net
>>108
どうでしょうね…あまり考えたことはないので、難易度も分かりません。

111:前786
18/05/26 00:55:24.03 PVjl5sK1.net
「コラッツ逆操作だけ」というのがそれほど強い制限でないという話。
まず、コラッツ逆操作では操作 3 を行うか操作 4 を行うかで分岐が起こりますが、
コラッツ操作では分岐は起きません。
なので、例えばある数にコラッツ逆操作を行ってからコラッツ操作を行うと、元の数に戻ることになります。
予想を証明するには、
「ある数 a からコラッツ操作、コラッツ逆操作を繰り返してある数 b にたどり着けるか」
を考える必要がありますが、上記のことから
「ある数 a から何度かコラッツ操作を行い、その後何度かコラッツ逆操作を行うことである数 b にたどり着けるか」
という道筋だけ考えればいいということになります。
そうすると、コラッツ逆操作だけを考えるというのは大体、操作の後半だけを考えるということになります。
これが強い制限と思うかどうかは人それぞれですが、
実際にこれまでは多くの場合にうまくいっているので、大した制限じゃないのだろうと私は思っています。

112:前786
18/05/26 00:55:45.59 PVjl5sK1.net
ちなみにこれまで「コラッツ操作」の方を全く考えていない訳ではなく、
前スレ>>787の
命題
T を木とし、k=1 or 2 とする。
このとき、ある a∈T が存在して a≡k (mod 3) となる。
や、前スレ>>851の
補題
n を 5 以上の奇数とする。
任意の木には、3 の倍数でも n の倍数でもない数が含まれる。
（元々は奇数でなく素数としていたが、全く同じ証明で奇数の場合も示せる）
ではコラッツ操作を用いています。

113:righ1113
18/05/26 05:32:28.98 c0tJyFtX.net
通常のコラッツ予想3x+1ですが、
①プログラムが無限走行→オールNothing出る
(Cを繰り返すと集合が1つになる事が使えないか)
②オールNothing出ない→プログラムは停止
③全てのnでオールNothing出ない(難しい?)
④全てのnでプログラムは停止する
というのを考えたのですが、
実際証明するとなると難しいですかね。

114:１３２人目の素数さん
18/05/26 06:33:58.67 SzRdqnm/.net
　また邪魔なプログラマが通りますよ
　コラッツ逆問題（３ｎ＋１版。「1 から出発して、すべての自然数に
到達できるか」）について、「（有限な）すべての偶数は、２で割り続ける
ことによって奇数に帰着するので、奇数についてだけ証明できれば足りる」
のは確か。
　逆コラッツ操作は、
　１）ｎを２倍する。
　２）ｎを二倍して１を引いたものが３で割りきれるなら、それ（２ｎ－１）を
３で割る。
が可能。
　で、このとき、「ｎが３で割りきれる場合は、（１）の操作によって
『ｎを二倍して１を引いたものが３で割りきれる数』が出てこない」ことが
判っていて、ｎの偶奇によらず（１）の操作の結果は偶数になるので、けっきょく
奇数は出てこないことがわかる。
　（２）に対応する正のコラッツ操作は、結果的に「ｎを二倍して１を引いたものが
３で割りきれない数」に「２ｎ＋１」操作を繰り返して「６で割って２余る偶数」に
至る“縦のルート”（有限長の上下のルート）を描くことであり、このとき（ｎの
偶奇によらず）３の倍数が出てきたときは逆コラッツ操作の
（１）（“右へ向かうルート”。こちらは際限なく右に延長できる）は
考慮しなくていい。
　なお、“縦のルート”は、最下位ビットが「２個以上の連続するオンビット」である
状態と関連している。
　この制約条件のもとで、「１を出発点として、すべての奇数に到達できるか？」が、
コラッツの逆問題となる。
　で、「最下位のオンビットが連続しない」数は、「４で割って１余るｎ」であり、
それが正のコラッツ操作（２）によって「６で割って２になる数」に変換されるはず
だから、それを満たす数について考えればいい ― ような気がする。
　だけど、コラッツ予想に関する議論で「mod 12」って話が出てきたのを
見た記憶がオレにはないんだよな (-_-!)。
　これって、オレがなにか盛大な勘違いをしているってぇコトなのか？

115:righ1113
18/05/26 15:26:37.54 R0apbE/z.net
>>114
>「ｎを二倍して１を引いたものが３で割りきれない数」に「２ｎ＋１」操作を繰り返して「６で割って２余る偶数」に至る“縦のルート”
ここが分かりません。
具体的な一連の数とかありますか?

116:１３２人目の素数さん
18/05/26 17:07:34.51 SzRdqnm/.net
>>115
とりあえずこんな感じかな？
242:242 -> 161 -> 107 -> 71 -> 47 -> 31
728:728 -> 485 -> 323 -> 215 -> 143 -> 95 -> ☆63
1214:1214 -> 809 -> 539 -> 359 -> 239 -> ☆159
1700:1700 -> 1133 -> 755 -> 503 -> 335 -> 223
2186:2186 -> 1457 -> 971 -> 647 -> 431 -> 287 -> 191 -> 127
2672:2672 -> 1781 -> 1187 -> 791 -> 527 -> ☆351
3158:3158 -> 2105 -> 1403 -> 935 -> 623 -> 415
3644:3644 -> 2429 -> 1619 -> 1079 -> 719 -> 479 -> 319
4130:4130 -> 2753 -> 1835 -> 1223 -> 815 -> ☆543
4616:4616 -> 3077 -> 2051 -> 1367 -> 911 -> 607
5102:5102 -> 3401 -> 2267 -> 1511 -> 1007 -> 671 -> ☆447
5588:5588 -> 3725 -> 2483 -> 1655 -> 1103 -> ☆735
6074:6074 -> 4049 -> 2699 -> 1799 -> 1199 -> 799
6560:6560 -> 4373 -> 2915 -> 1943 -> 1295 -> 863 -> 575 -> 383 -> ☆255
7046:7046 -> 4697 -> 3131 -> 2087 -> 1391 -> ☆927
7532:7532 -> 5021 -> 3347 -> 2231 -> 1487 -> 991
8018:8018 -> 5345 -> 3563 -> 2375 -> 1583 -> 1055 -> 703
8504:8504 -> 5669 -> 3779 -> 2519 -> 1679 -> ☆1119
8990:8990 -> 5993 -> 3995 -> 2663 -> 1775 -> 1183
9476:9476 -> 6317 -> 4211 -> 2807 -> 1871 -> 1247 -> ☆831
9962:9962 -> 6641 -> 4427 -> 2951 -> 1967 -> ☆1311
詳細はのちほど。

117:１３２人目の素数さん
18/05/26 17:11:05.80 SzRdqnm/.net
つーか、「コラッツ操作」ということを考えたら、
「->」じゃなくて「<-」のほうが判りやすかったかも。
あ、「3n + 1」じゃなくて、「(3n + 1) / 2」で
表示してるのは、このスレを見てるような人だったら
察してくれるよね？

118:１３２人目の素数さん
18/05/26 17:16:10.29 SzRdqnm/.net
言うまでもないけど、
“☆”がついている値は、
「３の倍数なので、2 の冪乗を掛けても
『2n - 1 が 3 で割りきれる数にならんので、
下に延びる枝（3n + 1 操作の逆操作）がない枝』」
っちゅーことです。

119:righ1113
18/05/26 17:54:29.76 R0apbE/z.net
>>116-118
>>114は大体理解できました。mod12は分かりません。
>　で、「最下位のオンビットが連続しない」数は、「４で割って１余るｎ」であり、
>それが正のコラッツ操作（２）によって「６で割って２になる数」に変換されるはず
>だから、それを満たす数について考えればいい >― ような気がする。
例えば17を見ると、4で割って1余る。
コラッツ操作(2)で26になって、6で割って2余る。
しかし17を2倍して1引いた数が3で割りきれてしまう。
コラッツ操作(2)に違反していると思うのだけど、こういう数はどう処理するの?

120:１３２人目の素数さん
18/05/26 18:02:39.81 SzRdqnm/.net
>>115
ごめん。
>（２）に対応する正のコラッツ操作は、結果的に「ｎを二倍して１を引いたものが
３で割りきれない数」に「２ｎ＋１」操作を繰り返して「６で割って２余る偶数」に
至る“縦のルート”（有限長の上下のルート）を描くことであり、
っつーのは、
>（２）に対応する正のコラッツ操作は、結果的に「ｎを二倍して１を引いたものが
３で割りきれない数」に「（３ｎ＋１）／ 2」という操作（←ここ重要）を繰り返して「６で割って２余る偶数」に
至る“縦のルート”（有限長の上下のルート）を描くことであり、
という意味だ。
とりあえずツッコミは歓迎なのだが、いまは遠山啓先生の『初等整数論』で
理論武装中なので、殲滅的攻撃は勘弁してくれいm(_ _)m。

121:righ1113
18/05/26 18:19:59.67 R0apbE/z.net
>>120
すみません、つい熱くなってしまって……

122:１３２人目の素数さん
18/05/26 18:20:36.68 SzRdqnm/.net
>>119
> 例えば17を見ると、4で割って1余る。
> コラッツ操作(2)で26になって、6で割って2余る。
> しかし17を2倍して1引いた数が3で割りきれてしまう。
> コラッツ操作(2)に違反していると思うのだけど、こういう数はどう処理するの?
典型的な例を挙げたので分かりにくかったと思うが、
(26 ->)17 -> 11 -> 7 というのは確かにあって、
「必ず 3 の倍数で終わる」とかいう話ではないのだ。
つーか、「どのあたりで齟齬が生じているか」について、
数学屋さんと電算屋の間では分かりにくいのだ。
「素数には必ず原始根がある」というのは納得するにせよ、
「原始根って複数あるんじゃないの？　そのあたりはどうなの」とか、
「そもそも『指数』という概念がよくわからん」とか、
「QRコードとか乱数生成とか、リクツは判らんでもないけど、
原始多項式うんぬんとか言われても、正直な話、小分かりがせんのよ」
みたいな感想がある。
そもそも「Z/pZ」っつーのが、「演算を定義せんと意味がねぇ」みたいな
話があって、よくわからん（加法なのか乗法なのかとか）。
せっかく大勢の人が見てくれているのだから、「数学的に厳密な記述」
ではない「わかりやすい説明」（まぁ、「『分かりやすい説明』は、
嘘の温床だ」という意見は確かにあるのだが）っつーのも
試みてくれんか。このスレで（見ているだけの奴もいるし、
書いている奴もいるわけだが）“解っている” 人間も
少なかろうと思うので。

123:１３２人目の素数さん
18/05/26 18:35:17.86 SzRdqnm/.net
>> 119
> すみません、つい熱くなってしまって……
いや、熱くなるのはまったく問題ないので、「こちらこそ、数学の門外漢が
半煮えの議論を持ち出してすまん m(_ _)m」とお詫びしたい。
とはいえ、実験数学が未解決問題の解決に貢献することもあるし、
「素人目線からの、視覚化だのなんだの」が有効なことがあるのだ。
数学屋さんには数式という武器があり、
電算屋にはプログラミング言語という武器がある。
（個人的に Wolfram は気に入らないが）Mathematica みたいに
その間を繋ぐツールもある。
とりあえず「共通の土俵」っつーのを用意したいと思う。

124:１３２人目の素数さん
18/05/26 19:04:19.46 mODZs90x.net
具体的にプログラム言語は何使えんのよ？

125:１３２人目の素数さん
18/05/26 19:04:56.28 mODZs90x.net
ちなみに>>1はhaskell使いらしい

126:１３２人目の素数さん
18/05/26 19:52:05.47 SzRdqnm/.net
>>124
> 具体的にプログラム言語は何使えんのよ？
わしゃぁのう、年寄りじゃけん、本当はアセンブラしか解らんのじゃ。
じゃけんども、C とか LISP とかは、理屈がよう分るんじゃ。
Pascal は、P-system があったんで、Java んような「中間言語」とか
「仮想マシン」っちゅーたらコンセプトは分らんでもないんじゃ。
年取ったけん、IDE がなけりゃプログラムなんぞ書けんように
なってしもうた。
そんなわけで、ようやく Java を使ってなんとかプログラムを
書いとるんじゃ。
ごめんつかぁさい。

127:１３２人目の素数さん
18/05/26 20:15:39.62 mODZs90x.net
中身のある話振ってくれるなら歓迎するけどね。
アイディアがあるなら具体的に頼む。

128:１３２人目の素数さん
18/05/26 20:56:17.99 SzRdqnm/.net
>>127
> アイディアがあるなら具体的に頼む。
ありがとう。
生煮えなので申し訳ないのだが、右（２の冪乗）から来る
値は、n ≡ 1(mod 3)か n ≡ 2(mod 3) だというのが
解っている（3 の倍数だったら、下((2n -1 が 3 の倍数になるので、
(3n + 1) / 2 の逆操作ができない)へ行けない)）と思う。
そうすると、わりとスケスケな感じで自然数の空間が
視えてくるような気はするのだが、「数直線」という
言葉があるように、フツーは自然数というのは一次元なんだよな？
そのあたり、なんかしらのパラダイム・シフトが必要な気はするんだが、
「それが具体的に何か」と訊かれても、「う～ん …」になっちゃうのだ。
「6 で割って 2 余る」とか「4 で割って 1 余る」とかいった話は
あるんだけど、6 と 4 の最小公倍数って 12 なんで、「(mod 12) って
ありそうな感じじゃねぇ？」とか言ってみただけな部分はあるわけですよ。
具体的な話をすると、「場合分けがパンクする」っつっても、
Tic-Tack-Toe＜（n-th Queen ではない）8-Queen ＜ make 10
＜ペントミノ＜四色問題と並べてみると、組合せ的な話であれば
ペントミノ程度の話なんじゃねーかと思ってるワケですよ。
ただ、「どういうコンセプトで捉えたら、数学的かつ計算器数学的な
問題に落とせるか」っていう切り口がわからんのよね。
そんなわけで、「アイディアがあるなら具体的に頼む。」という問いには、
「こっちが知りてぇよ」と応えざるを得ない。済まぬ m(_ _)m。

129:１３２人目の素数さん
18/05/26 22:12:44.62 mODZs90x.net
逆にxn+1問題で無限大に発散する場合もあるxを探すというのは？

130:１３２人目の素数さん
18/05/26 22:44:42.03 9vYDmViG.net
コラッツ予想をセルオートマトンで可視化する事を試してみました。
URLﾘﾝｸ(dotup.org)
キーは3nplus1です。
大まかに４つのパターンを図示してみました。
1）完全にランダムなパターン
2）1のビットが長く続くパターン(2^n-1)
3）最下位ビットと最上位ビットの間が0のビットで隔てられてるパターン(2^n+1)
4）1のビットが長く続き、さらに離れて最上位ビットが存在するパターン((2^n+1)*2^m-1)
最下位ビットが0の行は赤に塗ってあります。
プログラムに間違いがあればすいませんが、結構興味深い遷移がみられました。

131:１３２人目の素数さん
18/05/26 23:12:06.85 9vYDmViG.net
>130 まとめ
○コラッツ操作を行った際に操作前よりも数が増えるのは最下位ビットから2ビット以上1が連続した場合のみ。それで増加する桁数は連続していた1の桁数よりもおそらく少なくなる。
○0が2ビット以上続いた箇所でグループを分けた場合(1011001101→1011　001101)、コラッツ操作3n+1のうち+1の影響を受けるのは最下位のグループのみ。それ以上のグループは3nの挙動となる。
○n桁の連続した1は3n+1操作で10(n-2桁の1)01になる。これが最下位グループなら+1操作で最下位ビットが繰り上がり10(n-1桁数の1)となる。
とりあえず挙げられるのはこんなところでしょうか。
既知の情報でしたら申し訳ない。

132:１３２人目の素数さん
18/05/26 23:26:44.26 mODZs90x.net
整数をビット列とみなして考えるのは>>1がかなりやってたから>>1の意見を聞きたいね。
まあ、この程度の成果では驚きはないだろうけど。

133:１３２人目の素数さん
18/05/26 23:31:56.87 mODZs90x.net
結構きれいな絵だけどきれいなものだけ抜き出したの？
よくわからんが全部きれいになるならもしかして凄いのかな？

134:１３２人目の素数さん
18/05/27 00:11:19.66 PUTG2O+S.net
>133
綺麗なパターンが出る値を選んでます。
大抵は増えて減ってを繰り返すパターンになると思いますが、その出現に規則性が見られるように思えます。
まぁ勘違いかもしれないんですが orz

135:１３２人目の素数さん
18/05/27 07:33:04.20 hLMSuDSm.net
>>131
「最下位ビットから2ビット以上1が連続した場合」については、
以下のようなことを考えたことがある。
「ここで、新たな操作を追加する。
　（３）n' = 3n + 2
である。
　たとえば "11101" のように、左に '1' が二個以上連続した部分（m 個）が
あるとする。これを、m - 1 個の '1' と '1' に分ける。 "11101" だったら
"11" と "101" だ。このとき、"11101" は、"**"と「 "101" に（３）の操作を
二回施した結果」で表される。
"11" -> "*" + "101"
"111" -> "**" + "10001"
"1101" -> "*" + "10001"
"1111" -> "***" + "101011"
"11001" -> "*" + "10111"」
その他の悪戦苦闘っぷりは
URLﾘﾝｸ(animaleconomicus.blog106.fc2.com)
を参照されたい。

136:１３２人目の素数さん
18/05/27 08:58:45.44 hLMSuDSm.net
逆コラッツ操作を行なうプログラムの中で、ずっと
「ｎを二倍して１を引いたものが３で割りきれたら３で割る」
とかいうロジックを使っていたのだが、よく考えたら
「ｎを３で割って２余る」（n ≡ 2(mod 3)）でよかったことに、
いま気づいた。
2*(m + 2) - 1 = 2m + 4 - 1 = 2m + 3
なんだから、3|m（「m が 3 で割切れる」あるいは「m は 3 の倍数」。
遠山啓さんの『初等整数論』のスタイルだと「3)m」）なら
当たりまえじゃん（だから数学は苦手なんだと(ry）。
　そうすると、
１）ｎを３で割って２余るなら、二倍して１を引いてから２で割る。（それが終わったら、次にｎを二倍して右を探す）
２）ｎを３で割って１余るなら、右に逃げる（ｎを二倍して右を探す）。
３）ｎが３で割りきれるなら、下には行けないし右側にも奇数へ向かう枝が出ないので、ひとつ前（根に近い数）に戻る。
という操作で再帰をかければ、「逆コラッツ操作で出てくる奇数の木を探索する」ことができるはずだ。
こうなったら奇数偶数関係ねぇじゃん。orz

137:１３２人目の素数さん
18/05/27 13:50:43.81 OB+BVTS7.net
個人的最近色々とデータをいじっているんだが、1になるまでの回数にちょっとした発見があるんだけど需要ある??

138:１３２人目の素数さん
18/05/27 13:53:03.11 OB+BVTS7.net
あとは逆コラッツとフィボナッチの関連性やn次のコラッツ、コラッツに群の導入などなど

139:righ1113
18/05/27 14:30:36.56 TGwE04e6.net
>>130-131
残念だけど目新しい情報はないかなあ。

140:１３２人目の素数さん
18/05/27 17:28:34.65 hLMSuDSm.net
>>137
> 個人的最近色々とデータをいじっているんだが、1になるまでの回数に
> ちょっとした発見があるんだけど需要ある??
>>138
> あとは逆コラッツとフィボナッチの関連性や、n 次のコラッツ、コラッツに群の
> 導入などなど
ここは、たぶん「『需要ある??』とか、つまんねぇ遠慮なんかしてるんじゃねぇ！　さっさと晒せよ！」
…… っつースレですから。燃料を投下していただければ、いくらでも。

141:１３２人目の素数さん
18/05/27 19:19:29.97 Eccfjv+j.net
スレがにぎわい始めましたね。
あとは>>786の議論についていけるレベルの人が来てくれればいい感じなのですが。

142:１３２人目の素数さん
18/05/27 19:52:38.57 hLMSuDSm.net
>> 139
> あとは（前スレの）＞＞786の議論についていけるレベルの人が来てくれればいい感じなのですが。
つーても、数学板は敷居が高いのよ。
前スレの＞＞8 の
> 最初に偶数はアウト（１に収束）
> ４の倍数になったらアウト
っつーのも、
×「最初に偶数はアウト」
〇「最初に２の冪乗数はアウト」（つーか、２で割り続ければ奇数に帰着するので、
奇数について証明できればオッケー。てなワケで「４の倍数になったらアウト」と
いうのも、ここに帰着）
とかいったツッコミ（つーか、解説）を誰かしてくれよ、みたいな話にはなる。
むしろ、素人目線の解説を丁寧にしてくれるヒトがいてくれると、もっと盛り上がる
ような気がするのだが。

143:１３２人目の素数さん
18/05/27 21:51:55.33 Lbd03fNz.net
藤林丈司

144:前786
18/05/27 22:57:17.76 oX99EjGQ.net
なんだか盛り上がってますが
とりあえず>>94の出力が正しいことの説明がやっと書けそうなので、投下してから見ます。

145:前786
18/05/28 00:37:34.73 juv57CZY.net
頭の中では図と数式だけしかないから大したことない議論に思えるけど
ちゃんと書こうとするとどうも長くなってしまう…

>>94の出力が正しいことの説明。
Z/nZ を図で表すイメージを導入します。
まず n が素数のときは、アルゴリズム (1) のようにグループ分けし、
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
図のように 2 倍すると右に 1 マス進むように数を並べます。
各グループの左端と右端は繋がっているイメージです。
n が素数べきの場合も同様です。
さらに一般の n でも同様の表現が可能ですが、ここでは別の表現を導入します。
p,q を相異なる素数とするとき、Z/pqZ は
Z/pZ を横軸、Z/qZ を縦軸にとった二次元配列で表せます。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
「Z/pqZ は (Z/pZ)×(Z/qZ) と同型」というのはこのことを表します。
例えば下図の赤マスは
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
mod 7 で 4、mod 3 で 2 であるような数、すなわち 11 を表します。
Z/pqZ の図で数を 2 倍すると、右上のマスに移ります。
ただし、各ブロックで左右の端、上下の端はそれぞれつながっています。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
図は一部のみ示していますが、どの矢印も 2 倍を表しています。

146:前786
18/05/28 00:38:11.51 juv57CZY.net
ここから>>94の出力の話。
19n+1 版で、プログラムに 7 を入力して、A'={3,5,6} とした状況を考えます。
B は Z/133Z において、
「 19 の倍数でも 7 の倍数でもなく、mod 7 で 3,5,6 出ない数」
を考えるので、Z/133Z の下図の部分だけを見れば十分です。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
グループ分けを考えると、2 倍すると右上に進むことから
図のように 3 つのグループに分かれます。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
縦のマス数 18 が 3 の倍数であることに注意。
次に {3,5,6} に 19 をかけて 1 を足すと
3*19+1=58≡2 (mod 7)
5*19+1=96≡5 (mod 7)
6*19+1=115≡3 (mod 7)
より 3 に対してのみ B のグループが対応します。
58≡1 (mod 19)、58≡2 (mod 7) より
58 は図の位置になります。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
よって、緑グループのみ得られます。

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