コラッツ予想がとけたらいいな　その2

コラッツ予想がとけたらいいな　その2 at MATH

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300:M.B.
18/06/24 20:15:43.15 JZQSNXZT.net
>>299
× q = 0 かつ q ≡ 1 (mod 4)のとき、
〇 p = 0 かつ q ≡ 1 (mod 4)のとき、

301:righ1113
18/06/24 20:30:52.33 DiBEd+/F.net
>>298
う～ん、今の時点では何とも……
剰余コラッツ予想の時みたいに、何か部分的な成果があると良いのですが……

302:M.B.
18/06/24 20:49:40.29 JZQSNXZT.net
>>300
肝心なことを書き忘れていました。
A・B・C・D は、演算子あるいは作用素みたいなものなんです。
これに対して、ノルム（絶対値みたいなものです）を (p, q) に
対して与える関数 N((p, q)) を考えます。
このとき、操作 A・B・C・D に対してノルムが単調減少し、
すべての有限な量 (p, q) に対して N() が有限であるということが
証明されれば、コラッツ予想は肯定的に証明された、と
謂えるように思います。
もっとも、N が実数に対して写像されちゃうと、
「１／２を何回掛けても 0 にはならない」みたいに
底抜けになってしまうので、N() はあくまで
整数域に対する関数でないと困るわけですが。

303:M.B.
18/06/24 21:00:26.22 JZQSNXZT.net
> 剰余コラッツ予想の時みたいに、
> 何か部分的な成果があると良いのですが……
p は上下しながら 0 に向かっているというのは
数値実験上は傾向として掴んでいるのですが、
メルセンヌ数を与えたときに、初期値の p を超えちゃう
場合があるんですよね。
>>289 における p = 5 から p = 6 とか。
ただ、>>289 を見てもらえればお分かりになると
思うんですけど、この逆転が起きるのは、q に
(3n + 1) / 2 操作を施した場合に限られていそうに
思うんですよ。
そうなると、「p が増加しない」が謂えて、
「無限ループが存在しない」が謂えれば、
なんとか抑えこめそうな気がしています。
剰余コラッツ予想の場合でも、
「かりに無限ループが存在しても、
その周期は 5×2^60 より長い」みたいな
下限は与えられそうに思うんですが。

304:M.B.
18/06/24 21:11:52.43 JZQSNXZT.net
>>302
なお、仮に N() が具体的に求められたとしても、μ再帰関数である
アッカーマン関数のように、とんでもなく大きい値を与える
関数になってしまい、具体的な上限値が計算できるようなシロモノ
ではなかろう、と予想しています。
だけど有限は有限なので、「少なくとも無限ではない」という意味で、
証明に結びつきうるのではないかと考えています。

305:righ1113
18/06/24 21:18:08.31 DiBEd+/F.net
>>302-304
(上から目線でｽﾏﾅｲ)
いくつかの「思う」を『定理』『補題』として言えれば、もっと素晴らしくなると思います。

306:１３２人目の素数さん
18/06/24 22:21:29.01 fzgyO7V1.net
M.B.さんトリップもつけとけば？
念のため。

307:M.B.
18/06/25 05:43:48.60 i3V6MyI3.net
>>305
じつは、このアイデアは「原始ピタゴラス数は三分木をなす」という
Barning と Hall の定理（小林吹代『ピタゴラス数を生み出す
行列のはなし』参照）が元ネタです。e = {3, 4, 5} に行列
U・D・A を順次掛けてゆくと、すべての原始ピタゴラス数が
一意に表されます。
原始ピタゴラス数は、「互いに素で偶奇が異なる自然数 (m, n)
（0 < m < n）」、または「互いに素な奇数 (p, q)（0 < p < q）」
で表されます。ここで、m × n または p × q が単調減少し、
その減少のしかたが三通りあって、それぞれが U・D・A を掛ける
操作と対応することを示しました。
この定理の “泣きどころ” は、任意の原始ピタゴラス数を与えたときに、
それを e と U・D・A の列の積の形に分解できない（逆問題が解決
されていない）点だったのですが、このアプローチで解決できました。

308:M.B.
18/06/25 05:49:55.64 i3V6MyI3.net
>>307
コラッツ問題は、問題の設定としてはこの逆で、任意の n から
e へのルートがあるのは確からしいのに、それが e に収束するか
どうかが（途中の値が一見カオティックに上下するために）、
「（Barning = Hall 問題のような m × n や p × q のような）
単調減少するノルムに対応させることができていない」という
ところに難関があると考えています。

309:M.B.
18/06/25 05:58:56.50 i3V6MyI3.net
>>307
なお、「泣きどころ」うんぬんの話は、細矢治夫『トポロジカル・インデックスー
フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学』
にありました。同書には細矢先生が Barning = Hall 問題
にどのようにアプローチしたかが丁寧に書かれていて、興味ぶかく
読ませていただきました。

310:M.B.
18/06/25 06:11:49.38 i3V6MyI3.net
スレ違いですが、{x, y, z} が原始ピタゴラス数、すなわち
x^2 + y^2 = z^2 のとき、
{x, y, z} = {n^2 - m^2, 2× m × n, m^2 + n^2}
がいえて、
{m, ABS(n - 2m)} が新しい m, n の値（順不同。小さいほうが m）に
なります。
なお、e = {3, 4, 5} = (1, 2) です。2 - 1×2 が 0 になっちゃうので、
行きどまりになり、ここが三分木の根になります。

311:M.B.
18/06/25 06:43:11.89 i3V6MyI3.net
あまり見込みはありませんが、「二つの逆コラッツ操作
（「２倍する」と「２倍して１を引いてから３で割る」）が
実質的に同じものと見なせる」ことを示す、というアプローチも
考えられます。
(m, ABS(n - 2m)) → (m, n)
がなぜ三分木に対応するかというと、この操作の逆操作が
・m に n の二倍を足す
・n に m の二倍を足す
・n の二倍から m を引く
という三つの操作に対応するからです（m × n の長方形を
考えるとわかりやすいです。互除法の変形です。互除法
なので、連分数とかかわってきます）。
ただ、このアプローチはせめて「コラッツ操作によって、
任意の n についての中間値が最大どこまで大きくなるか」の
上限値を n の関数として表せないと無理筋なので、
攻めるとすればここかな？と思っています。つまり、「最下位の
オンビット列の連鎖が、どう現れるのか」です。
連投ごめんなさい。m(_ _)m

312:M.B.
18/06/25 17:53:09.88 i3V6MyI3.net
ついでながら、なんでこのスレでのたくっているかというと、
佐藤郁郎先生（URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)）に
「コラッツ予想も、Barning = Hall 問題のノリで
解けるかもしれない」みたいな話をしちゃったのが
きっかけなんですよ。
みなさん、期待されてます。

313:１３２人目の素数さん
18/06/25 20:22:13.67 /XT/YqNK.net
俺予想
xから始まってコラッツの操作で到達できる数のうち最大のものをcollatz_max(x)とする
あるnとcが存在しn<xならばlog(collatz_max(x))/log(x)<=cが言える。

314:M.B.
18/06/25 20:46:18.33 i3V6MyI3.net
>>313
それって、かなり確からしいけど、
リーマン予想みたいに「例外がない」ことを示すのが
難しいっていうのが泣きどころなのよねぇ ……

315:１３２人目の素数さん
18/06/25 21:05:06.15 /XT/YqNK.net
>>314
コテ名乗るならトリつけたほうがよくない？
ひょっとしたらこのスレから世紀の発見ってこともかんがえられるしｗ

316:M.B.
18/06/25 21:17:21.66 i3V6MyI3.net
すでに「コラッツむし」という名前で話題に出ているのですが、
蒸し返しです。
オートマトンに関連する話題なんだけど、
「一斉射撃の問題」というのがあって、これはいろいろ研究されてて
コラッツ問題の解決のヒントになるかもしれないな、と思っています。
「オートマトンが 0 番から m 番まで (m + 1) 個並んでいる。左端の
A0 から、時刻 0 で、ある信号が発せられた。一定の時間後に (m + 1)個が
すべてのオートマトンが同時に特別の状態（「射撃」状態）にはいるように、
オートマトンの動作表を設計せよ。」
これを変形すると、「0 から、ある状態にセットされたオートマトンが
あったときに、その状態は無限遠（m が無限）まで到達できない」ことが
示されるかどうかという話に持ってゆけます。これだと、「２で割る」という
操作は「先頭位置がズレてゆく」ことになりますので、また違った面から
議論できそうに思います。
「歴史的な背景などについては、後藤英一：一斉射撃の問題。数理科学
１１－１０、４２－４６（１９７３）を参照のこと。また、小林考次郎：
オートマトン理論のパズル、数理科学１９７６年１１月増刊「パズルＩ」にも
解説がある。」とのこと。
出典は有澤誠『プログラミングレクリエーションーソフトウェア実習の
ガイド』（近代科学社）、p.132。

317:M.B.
18/06/25 21:20:40.37 i3V6MyI3.net
>>315
べつにいいじゃない。このスレがきっかけになるんなら。
だいたい、独立に発見された定理なんか、山ほどあるでしょうに。

318:１３２人目の素数さん
18/06/25 21:30:29.74 /XT/YqNK.net
ふむ？コテ名乗るような奴はトリもつけたがるものだとおもってたが。
まあ無理強いはしませんがね。

319:M.B.
18/06/25 21:36:29.09 i3V6MyI3.net
「コラッツ予想の解決」、つまり「コラッツ予想が正しい／間違って
いる」とはおそらく関係しないけど、「先頭位置が、必ずしも
「一回一回の操作が終了する」まで待たなくてよくて、先頭から
次々とシグナルが送られてゆく、と考えてもいいわけですよね？
だったら、テープワームみたいな形でネットに放して、
空いてるコンピュータ・リソースを総動員して「どこまで正しいか」を
検証するという手はあるかと思います（犯罪っぽいけど）。

320:M.B.
18/06/25 21:39:48.99 i3V6MyI3.net
>>318
数学板だと、誰が喋ってんのかわかんないと文脈っつーか
脈絡っつーか、そういうのが分かりにくいんじゃないかなー、という
配慮です。
だいたい、あたしの騙りとかって、難しいと思うよ？

321:１３２人目の素数さん
18/06/25 22:22:25.93 /XT/YqNK.net
xから始まってコラッツの操作で到達できる数のうち最大のものをcollatz_max(x)とする。
n以下の自然数の中にlog(collatz_max(x))/log(x)>=3を満たすようなxが存在するか？
という問いはNP問題になると思う。
これをSATとしてあらわしてSATソルバに食わせて一気にデカいnについて解くというのはどうだろうか？

322:１３２人目の素数さん
18/06/25 22:25:29.22 /XT/YqNK.net
いやにNPならないか。
コラッツの過程を計算するのに指数リソース食うかも

323:１３２人目の素数さん
18/06/25 23:08:39.50 /XT/YqNK.net
xからコラッツ逆操作で到達できる数のうち最小のものをcollatz_inverse_min(x)とする。
xを入力としてxとcollatz_inverse_min(x)が等しいかどうかは多項式時間で判定できるか？

324:M.B.
18/06/26 08:03:44.37 0z6GeZu4.net
縦軸に (3n+1)/2、横軸に /2 の回数を取って、
Me(k) についてプロットしてみる、とかいうのも
面白そう。

325:１３２人目の素数さん
18/06/27 20:13:28.48 JI1+mB/E.net
M.Bさんはjava使いなの？

326:M.B.
18/06/27 20:36:49.75 dy3jMf1T.net
>>325
『【好調】Java の宿題ここで答えます【三巡目】』
（ｽﾚﾘﾝｸ(tech板)）
＞＞38 以降とか。
兄者は件のサーバーアプリを再興しようと、
マ板でのさばっておりますわん。

327:righ1113
18/06/29 00:06:15.82 iQFgCDGa.net
剰余コラッツ予想の例のプログラムですが、
Coqに移植できました。
Coqの関数は全て停止するので、例のプログラムも停止する事になって、
『剰余コラッツ予想は真！』
……と言いたいところですが、怪しさ満載ですので、今しばらく調査します。

328:前786
18/06/29 01:00:09.65 CMkNZo9B.net
わくわく
Coq については名前を聞いたことがあるぐらいで詳しくは知りませんが、
なにか手伝えることがあればおっしゃってください。

329:righ1113
18/06/29 01:15:11.78 iQFgCDGa.net
おーお久しぶりです。
Coqというプログラミング言語(定理証明支援系)では、再帰関数を作る際に、停止性をチェックされて、それをパスした関数だけが定義されます。
手伝って欲しいことは後々出てくると思うので、よろしくお願いします。

330:１３２人目の素数さん
18/06/29 03:51:44.66 iREabCnd.net
>>329
> Coqというプログラミング言語(定理証明支援系)では、再帰関数を作る際に、停止性をチェックされて、それをパスした関数だけが定義されます。
最近のCoqの現状は全く知らないのですが、そもそもCoqの文法に従って（チェックされなければ）停止しない関数を書けるような構文になってましたっけ？
Coqは構成的型理論と呼ばれるものに属する形式的体系の１つに基づいているので、その基づいている型理論に即して素直に項の構文（関数はこの構文を使って定義することになるので
この構文がその構成的型理論の体系が与えるプログラミング言語に相当する）を作ると、そもそも停止するか否かがわからないような関数を定義することは構文的に不可能だと理解しているのですが
それとも最近のCoqは書きやすさとかのためにgeneral recursionのような書き方を許す構文も導入しているのかなあ

331:M.B.
18/06/29 06:56:09.36 bG5MqPr9.net
>>327 >>328
おかえりなさ～い！

332:righ1113
18/06/29 07:10:56.55 iQFgCDGa.net
>>330
質問の答えになっているか分からないですが、
今回の方法だと、再帰関数を書き終えた時点で証明モードに入って、そこでの証明を終えると、関数が定義されます。
具体的には、Coq.Program.Wfをインポートして、減少する引数をmeasureで指定して、Program Fixpointで関数を書きます。
URLﾘﾝｸ(www.google.com)URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)

333:１３２人目の素数さん
18/06/29 19:22:32.47 PBV1h0j5.net
もし本当なら相当な成果？

334:righ1113
18/06/29 19:58:55.32 IWPhIwZs.net
いや、待って下さい。なんかダメっぽいんです。詳細はこの後書きます。

335:１３２人目の素数さん
18/06/29 21:27:05.32 KSe/m9fx.net
それにしてもCoq使えるのは凄いな。
あれは高度な数学力とプログラミング力を要するからな。

336:righ1113
18/06/29 21:29:41.42 R9VAP49J.net
>>335
前スレで教えてもらいました。

337:１３２人目の素数さん
18/06/29 22:20:51.29 iREabCnd.net
>>332
レスありがとうございます。
> 今回の方法だと、再帰関数を書き終えた時点で証明モードに入って、そこでの証明を終えると、関数が定義されます。
> 具体的には、Coq.Program.Wfをインポートして、減少する引数をmeasureで指定して、Program Fixpointで関数を書きます。
例を拝見しました。なるほど、関数そのものは構文としては文字通りのfixpointつまりgeneral recursionで定義するのを許す代わりに
停止性を保証するmeasureを自分で与えて停止性証明を正しく構成しなければ関数定義として認めないということですか。
構造帰納法で上手く定義できない関数を扱う上では強引な印象もありますが、実用的にはとても役に立ちそうなアプローチですね。
御教示どうもありがとうございました。

338:１３２人目の素数さん
18/06/29 23:49:39.74 KSe/m9fx.net
はよはよｗ

339:righ1113
18/06/30 00:17:51.21 ePd1LYGC.net
>>334
問題点は、19x+1版にしても、Coqは「停止する」って言っているのです。
19x+1版は、>>94で反例が出ています。
以下が考えられます。
・Coqの停止性の証明が間違っている
・オールNothingが出ても無限走行するとは限らない
これらを調査しないといけないのですが、
すみませんがマイペースでやらせて下さいf(^_^;

340:１３２人目の素数さん
18/06/30 00:31:00.91 P0VnQOuD.net
つか、Coqが間違ってないとすれば計算が進むたびに減少するなにがしかの量を>>1が見つけたってことだよね？
>>274が言ってたことだよね？
ホントならかなりすごいよね？

341:righ1113
18/06/30 00:44:28.49 ePd1LYGC.net
>>328
>>786氏に見て欲しいことがあるのです。
・オールNothingが出ても無限走行するとは限らない
オールNothingが出た後、本当に無限走行するのか、アルゴリズムで見ていただけないでしょうか。

342:前786
18/06/30 08:42:24.23 f79gd0NI.net
>>341
なるほど了解です。考えてみます。
>>340
これは剰余コラッツ予想(>>2)についての話なので>>274は関係ないかと…

343:前786
18/06/30 10:23:33.09 f79gd0NI.net
って、これはほとんど明らかのように思います。
例えば
「C の元を 3 倍して 1 を加えて C' のどのグループに属するか調べる」
のときにオールNothingが出たとします。
この後に「上の作業で得られた C' のグループ」を用いて組を探すことになりますが、
これは空集合なので再びオールNothingとなります。
以下同様に繰り返し、延々とオールNothingが繰り返さることになります。

344:righ1113
18/06/30 13:47:05.15 LW37VaWU.net
>>343
ありがとうございます。
ということは、僕のCoqの証明がどこか間違っているのですね。お騒がせしました。

345:M.B.
18/06/30 19:28:50.32 ckl4mAPG.net
>>342
剰余系で考えると関係ないですねぇ。順序性が成り立たないので。
ちなみに >>274 は私。

346:１３２人目の素数さん
18/06/30 21:37:24.40 P0VnQOuD.net
うーん、残念。
移植の際になにかアルゴリズム変えたとか考えられないの。

347:righ1113
18/07/01 10:37:15.78 EGw3ladd.net
いや～

348:M.B.
18/07/03 21:20:35.06 E9NFMLeH.net
マジスレは伸びが遅いからツラいわぁ～。
これは「あんたが真面目にプログラム書いて、結果を出して書け」って
いうことなのよね？
雑談レベルでもいいから、進捗でも聞きたいわぁ。

349:１３２人目の素数さん
18/07/03 22:16:57.74 k+GYaRHt.net
雑談のネタすら出尽くした感あるからな。

350:前786
18/07/04 00:59:10.40 5hzvz8Kq.net
最近思いついた小ネタ
"コラッツ操作を3進法で考えると計算しやすい"
多分証明には役立たない。

そもそも3進法なら「3 倍する」という操作が楽になるというのはすぐわかるが、
さらに手間を減らす方法を見つけた。
3進法では、コラッツ操作は次の操作で代用できる。
「2 で割った商と余りを求め、余りが 0 なら商を次の数とする。余りが 1 なら商の末尾に 2 を付け加えたものを次の数とする。」
この操作により、偶数は 2 で割った数に、奇数は 3 倍して 1 足して 2 で割った数になる(証明略)。
例えば奇数 212 (十進法では 23) でやってみる。
まず普通のコラッツ操作では
　212→(3倍して1を足す)→2121→(2で割る)→1022
となる。
上の操作をすると
　212→(2で割る)→102あまり1→(商の末尾に2)→1022
で、同じ結果になる。

3 進法では奇数か偶数かの判定がしづらいが、この方法なら判定の必要がなくなる。
ひたすら数を 2 で割っていくだけで操作が進むので、なかなか楽。

351:M.B.
18/07/04 09:28:44.07 j9YYwXR+.net
>>349
根から辿ってくときに mod 3 で考えるのはやったけど、
正の操作で三進法で考えるっていうのは盲点だったわ。

352:１３２人目の素数さん
18/07/04 11:07:08.33 tkaOgGjn.net
三進法だと２を除するのが簡単でないのよね
全部の桁を見ないと偶奇が判断できないわけだし。

353:前786
18/07/04 12:32:19.99 T5pAcVUI.net
>>352
偶奇の判断はいらないって言ったじゃないですかー！
2 で割るのはまあ……慣れですかね

354:M.B.
18/07/04 14:25:09.10 j9YYwXR+.net
あのさぁ、そろそろ夏休みも近いんだよね。
最近は義務教育でもプログラミングとか教えてるんだよね。
「夏休みの自由研究」的な感じで、コラッツ問題について
基礎から解説するとかいった話はあっていいんじゃないの？
スレも伸びてるし、このスレには解ってるヒトがいるわけだし。
うちらとしても、「いっぺん基礎から見直す」っていうのは
大事なことだと思うのね？
昔の『Java の宿題ここで答えます』みたいに、ソースコードを
ベタベタに貼っちゃっていいんだったら、やっちゃうよ？
ム板じゃなくて数学板だから遠慮してたけどさぁ。

355:M.B.
18/07/04 14:43:49.52 j9YYwXR+.net
>>353
> 偶奇の判断はいらないって言ったじゃないですかー！
「オンドゥルルラギッタンディスカー！」
「（笑）」ってつけなかったから許してね。
ネタ元は自分でググッてちょうだい。

356:M.B.
18/07/04 14:47:29.20 j9YYwXR+.net
>>352
そこで六進法ですよ。

357:righ1113
18/07/04 14:51:32.25 s2K0d62t.net
>>354
ソース貼ってもいいっすよ。

358:前786
18/07/04 18:58:15.26 eTkck1YB.net
なるほど六進法……って、それだと ×3 も ÷2 も面倒になって本末転倒なような。
(>>353はどちらかというと「梅雨明けてないじゃないですかー！」を意識して……ってどうでもいいですね)
(ｵﾝﾄﾞｩﾙ語は半角がジャスティス)

コラッツ予想の基礎ってどういう内容ですかね

359:M.B.
18/07/04 19:14:40.38 j9YYwXR+.net
>>358
> コラッツ予想の基礎ってどういう内容ですかね
それ言ったら、ラザフォードじゃないけど
> 剰余コラッツ予想(Residue Collatz Conjecture)
ってどういう概念なのよ？ってウェイトレスに説明できないと
ダメなんじゃないの？っていう話に戻ってきちゃいそうに
思うんですが。
「２で割る」「三倍して１を足す」っていう操作は、
「小学生にも理解できる」っていうのがコラッツ問題の
醍醐味なんだから。

360:前786
18/07/04 19:43:54.51 eTkck1YB.net
>>359
いや、貴方が>>354で仰った案について具体的に話を進めようと思っただけなんですが……
今は剰余コラッツ予想の話をするつもりはありませんよ。

361:１３２人目の素数さん
18/07/04 20:04:35.43 tkaOgGjn.net
>>353
済まんね
偶奇の判断をする事と２で割った余りを求める事の違いが良くわからなかったよ
今もわからん
なお３進数なら全体に含まれる１の数を数えれば事足りるが、いずれにしても全体を見る必要がある事に違いはない

362:M.B.
18/07/04 20:08:45.05 j9YYwXR+.net
>>361
いや、ここで敬語を使われても気まずいので、せめて
タメ口でお願いします(^_^!)。罵倒されるのは
慣れてるんですけど。
少なくとも、「奇数について証明すれば足りる」
「n ≡ 1 (mod 4) について言えれば足りる」
みたいな話は、参考文献とか、とりあえずの証明とかは
示しておいたほうがよさそうだなー、と。
コラッツ問題に関する、まとまった文献というのは、
おそらく簡単に入手できるような形では、出回ってないと
思うんですよ。
だったら、ネット上で簡単に見つかるような形で
提示しておくのが親切かなー、と。そういう話です。
WikiPedia に書いておく、というのもひとつの手ですが、
あそこは「要出典」とか「独自研究？」とか
言われちゃいそうなので。

363:１３２人目の素数さん
18/07/04 20:16:46.82 tkaOgGjn.net
まあ
３進法で２で割る操作を先にしてしまえば計算が省けるという点はよいと思う
ただ
セルオートマトンで考えたとき、次の世代のパターンが周辺のいくつかのセルから求まると都合がいいので、セル全体を見る必要がある表現には問題ある、ということを言いたかった
その意味では６進法は意外と良い発想かもしれない

364:M.B.
18/07/04 20:26:25.59 j9YYwXR+.net
>>362
いま見たら、WikiPedia の「プリンプトン３２２」の項目が
だいぶ変わってた（笑）
あれは、うちの上司と同僚の功績のような気がします。
このスレの住人はプログラムを書けるヒトが多いと思うので
言っちゃうけど、あれは「0 < p < q < 180」の奇数について、
「q^2 - p^2, p*q, p^2 + p^2」からなる長方形（縦横の
辺と対角線が自然数の比で表される長方形）のうち、
正方形と黄金長方形の間にあるもので、縦横比を六十進数で
表現したときに有限小数になるもの、があの十五個だというので
ほぼ決着したようです。

365:１３２人目の素数さん
18/07/04 20:28:10.22 ek6yEHt4.net
>>363
コラッツ予想については、次の世代のパターンに必要なのは「セル全体」だよ。
これはどんな表現を使っても同じこと。
・オートマトンで考えるなら、パターンに必要なのは「セル全体」。
・コラッツ予想を漸化式の形で表すなら、漸化式を弄っていくと式自体が爆発的に複雑になって手に負えなくなる。
・剰余コラッツ予想にしても、単純なステップの組み合わせで予想全体が証明できるということがなく、
　チェック項目が際限なく爆発していく。
どんな手段を使っても、結局はコラッツ予想が持っている本来の爆発的な複雑さが
大きな壁となって出現する。だからコラッツ予想は難しいわけ。

366:M.B.
18/07/04 20:32:06.42 j9YYwXR+.net
>>363
六進法の泣きどころは、「六進数」っていうのが、あんまり普及して
いないところなんですよね。
『ベッドルームで群論を ― 数学的思考の愉しみ方』なんかだと、
三進法とかだったら、意外に筋がいい、みたいな話はあるんですけど。
個人的には、古代メソポタミアまで戻って六十進法とかで
議論したほうが、話が通じやすいような気はします。

367:１３２人目の素数さん
18/07/04 20:34:16.63 ek6yEHt4.net
結局何が言いたいかというと、
「セル全体を見る必要がある表現には問題ある」(>>363)
という認識の仕方はズレていて、
「どう転んでもセル全体を見るしかない構造のバケモノ問題にどうやって向き合えばいいのか」
という認識の仕方をしないと前進しないってこと。
もちろん、正しい向き合い方が誰も分からないから未解決問題なのだが。

368:１３２人目の素数さん
18/07/04 20:34:53.65 tkaOgGjn.net
>>363
６進数で数を表現した場合
コラッツ操作とは：
まず３を掛けて、
・１の位が３ならそれを４に置き換える
・１の位が０なら右に１つシフトする
３を掛けるとは：
その桁とひとつ下の桁を見て
・00 01 20 21 40 41 のいずれかなら０
・02 03 22 23 42 43 のいずれかなら１
・04 05 24 25 44 45 のいずれかなら２
・10 11 30 31 50 51 のいずれかなら３
・12 13 32 33 52 53 のいずれかなら４
・14 15 34 35 54 55 のいずれかなら５
とすれば良いので、セルオートマトン向きの問題になるかなと。

369:M.B.
18/07/04 20:37:16.91 j9YYwXR+.net
>>364
あ、ごめん。
×「q^2 - p^2, p*q, p^2 + p^2」
〇「(q^2 - p^2) / 2, p*q, (p^2 + p^2) / 2」
テヘッ。

370:１３２人目の素数さん
18/07/04 20:46:06.70 x4dIsVJo.net
空気を読まずに2進法ネタ。
正整数xの2進表現を下位から
1から最初の0 または 0から最初の1
で区切っていく
3x+1の2進表現は
区切られた各々の最下位を反転(0⇔1)して、
全体の上位に1を付け加えたものになる

371:前786
18/07/04 21:10:13.60 eTkck1YB.net
>>361
確かに余りを見ることで偶奇の判定をしていると言えますが……
「わざわざ偶奇の判定のためだけに割く労力が(ほぼ)ない」とか言った方が適切だったかもしれません。
2 で割った商を求めるのは必要な計算で、その副産物として余りが求まるので。

372:１３２人目の素数さん
18/07/04 21:48:46.13 G1SbPY+q.net
ぶっちゃけ何進数にしようが計算機で回すときにネイティブ２進数より速度が出るとは思えないがな。
ネイティブ２進数より速度アップするならそれはそれで一定の成果といえるかも。

373:M.B.
18/07/04 21:55:59.01 j9YYwXR+.net
>>361 >>371
現在のコンピュータのアーキテクチャは二進法ベースなので、
偶奇を判定するには最下位ビットのオンオフだけ見ればいいという
利点はあるのよね。
三相のアーキテクチャのマシンもそれなりに現実性があるので、
コラッツ問題が解決するときに（解決したとして）、「どっちが
貢献したか」という話には、なるかもしれないと思いますけど。

374:M.B.
18/07/04 22:03:07.75 j9YYwXR+.net
>>372
そのあたりの議論は、ノーバート・ウィーナーの『サイバネティクス』あたりが
起源なんだけど、「二進法と三進法のどっちがいいか」については、「どうやって
実装するか」の問題もあって、まだ結論は出てないのよね。
お婆ちゃんが口出ししてごめんね。

375:M.B.
18/07/04 22:11:28.76 j9YYwXR+.net
>>372
そのあたりの議論は、>>366 の文献を参照してねぇ～

376:１３２人目の素数さん
18/07/04 22:39:56.95 tkaOgGjn.net
>>368
４入力１出力のセルを用意し、その状態遷移関数fを以下のように定義する
f(E,I,X,E)=f(X,E,I,F)=0
f(E,J,X,E)=f(X,E,J,F)=1
f(E,K,X,E)=f(X,E,K,F)=2
f(F,I,X,E)=f(X,F,I,F)=3
f(F,J,X,E)=f(X,F,J,F)=4
f(F,K,X,E)=f(X,F,K,F)=5
但し上の表現で
Eは0,2,4のいずれか、Fは1,3,5のいずれか、
Iは0,1のいずれか、Jは2,3のいずれか、Kは4,5のいずれか、
Xは0,1,2,3,4,5のいずれかを指す
現在の状態{S_k}(k≧0,S_kは0,1,2,3,4,5のいずれか)に対して次の状態{S'_k}を
S'_k=f(S_(k+1),S_k,S_(k-1),S_0) k＞0のとき
S'_0=f(S_1,S_0,0,S_0)
で定義する
どんな正整数mについても k＞m ⇒ S_k=0 となる初期状態{S_k}(k≧0) からは必ず k≧m ⇒ S_k=0 となる状態に遷移するのか、
あるいはその否定で
ある正整数mが存在して k＞m ⇒ S_k=0 となる初期状態{S_k}(k≧0) のうち k≧m ⇒ S_k=0 となる状態に決して遷移しないものが存在するのか
という問題を考えたらコラッツ予想と同じ問題を扱っていることにならないか

377:M.B.
18/07/04 22:51:00.84 j9YYwXR+.net
>>376
なんかマッチョな方がいらっしゃって頼もしいわぁ～
だけど、アルゴリズム系の話の証明は、単調減少する
加算無限量に落としこまないと、なかなか数学的な
証明に結びつかないのよね。
そういう意味では、「二で割る」っていう操作が
けっこうクセモノのように思うんだけど、
そのあたりの意見は聞きたいと思う。

378:M.B.
18/07/05 18:11:01.74 G+U/rWyk.net
>>377
×加算無限量
〇可算無限量
要するに、アレフ・ゼロ（自然数とか整数とか有理数とか）と、
アレフ１（実数とか）の違いね？
そういえば、高校のときに、「アレフ 0 は『すけすけぎっちり』
（稠密だけど連続じゃない）で、アレフ 1 は『べったり』（稠密かつ
連続）」だというのを教わったけど、「そんなのが何の役に立つんだ」
とか思ってなかったのよね。大学に入って解析の時間に（微積分とかの
絡みで）ε＝δ とか使ってコリゴリやらされるとは思わなかったわぁ。

379:M.B.
18/07/06 17:24:33.58 mC4p97C0.net
>>386
このあたりの話は、自然数だったら単調減少すれば 1 に収束するのは
確実なんだけど、実数だと、単調減少しても必ずしも一定値（だいたい
ゼロだけど）に収束するとは限らないところに問題があるのよね。
そのあたり、数学屋さんに念入りにツッコミを入れてもらえると、
たぶん、このスレも伸びがいいと思うんだけど。

380:１３２人目の素数さん
18/07/08 01:21:38.13 BpK1sXCu.net
単調減少すれば１に収束するといえばM.B.さんはグッドスタインの定理ってご存知？

381:M.B.
18/07/08 09:25:12.51 v0TMFGoL.net
>>380
いま初めて知ってググってみたら、
スタインハウスの多角形表記とか
竹内郁雄さんの tarai 関数とか思い出した。
「たかだか有限個」っても侮りがたくデカい
数というのがあるんだよなぁ ……

382:M.B.
18/07/08 09:44:20.18 v0TMFGoL.net
ちょっとスレ汚しさせていただきます。
その１）
航空宇宙工学科と数学科は、日大ではどちらも理工学部である。
航宇「レポートが１９個もたまっちまったよ！」
数学「フン、たかだか有限個」
その２）
理工学部の二人の学生が試験を受けた。空のヤカンとガスコンロがあって、
「湯を沸かしなさい」という。二人とも、流しにいってヤカンに水を入れ、
コンロに載せて火をつけた。
次に、コンロの上に水の入ったヤカンが載っていて、「湯を沸かしなさい」
という。
航宇の学生は、コンロに火をつけた。
数学の学生は、流しにいってヤカンの水を捨てた。「これで前問に帰着した」

383:M.B.
18/07/08 13:24:34.43 v0TMFGoL.net
「なんか次のレスとか上がってないかなー」とか
思って、このスレを覗いてるヒトがいるかもしれないので、
スレ汚しは承知の上でヒマネタ（スレ主さんごめんなさいm(_ _)m）。
弟子「ε＝δ が理解できません。一言で言えば、要するになんですか」
師匠「“矢でも鉄砲でも持ってこい”だ」
逆数で考えると、「山より大きい猪は出ない」になりそうな気がします。
>>380 さん、グッドスタインの定理はいろいろ面白いので感謝してます。
とくにペアノの公準が通用しなそうだ、という話は、数学基礎論の
関連で面白いと思いました。
だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
「0 と ∞を含む閉集合と、含まない開集合で考えてるだけじゃない！」と
思うんですけど。このあたり、数学畑のひとは、どういう意見をお持ちなんで
しょうか。トポロジー（とくにカタストロフィ理論とか）なんかでは、
「閉集合と開集合の関係」に関して、かなり厳密に研究されているので、
そのあたりの話は聞きたいと思ってるんですけど。

384:１３２人目の素数さん
18/07/08 13:57:22.60 qI7WVHvt.net
偏見？闘う？なに言ってるんだこのアホは。
グッドスタインの定理は、自然数に0を含めるか含めないかという話とは無関係。
グッドスタインの定理で対象となっている数は
0,1,2,3,…
という数である。これを「自然数」と呼びながらグッドスタインの定理を記述するのが気に食わないなら、
「非負整数」とでも呼びながらグッドスタインの定理を記述すればいいだけの話。
対象となっている 0,1,2,3,… をどのような総称(自然数 or 非負整数 or etc)で
表記するのかを気にしているのが M.B. とかいうアホ。
しかし、そんなものはグッドスタインの定理とは全く関係がない。
書いている内容がトンチンカンすぎて話にならない。

385:１３２人目の素数さん
18/07/08 14:23:10.26 qI7WVHvt.net
トンチンカンと言えば、ついでだからもう1つ。
M.B.「ソースコードをベタベタに貼っちゃっていいんだったら、やっちゃうよ？」(>>354)
↑このレスよりも前から貼る貼る言ってた気がするが、未だに何も貼る気配が無い。
　そもそも何を貼りたいのかも意味不明。
M.B.「コラッツ問題について基礎から解説するとかいった話はあっていいんじゃないの？」(>>354)
前786「コラッツ問題の基礎ってどういう内容ですか？」(>>358)
M.B.「(返答に窮するので話題逸らしのために) それ言ったら剰余コラッツ予想ってどういう概念なの？」(>>359)
前786「アホかてめーは。話を逸らすな。お前の話に乗ってやってるんだろうが。」(>>360)
↑このやりとりでの M.B. は特に酷い。
総評：M.B.は浅はかな思い付きで独りでおしゃべりしてるだけのアホ。
レスの内容も「言葉のサラダ」の一歩手前で、意味が通るギリギリのラインを攻めた
おかしな文章ばかりであり、何かの病気にかかってるように見える。
前々から気になってはいたが、いい加減にウザったいのでもう書き込まないでほしい。
誰もいないクソスレだからって、下らないおしゃべりで埋めていいわけではない。

386:M.B.
18/07/08 14:35:50.69 v0TMFGoL.net
>>384 >>385
なんかヘンなのが来ちゃったなぁ。
みなさん、ごめんなさい。 m(_ _)m

387:M.B.
18/07/08 14:47:21.04 v0TMFGoL.net
>>284
ひとつ謂っておくと、
空集合というのは、「すべての空集合は同一な空集合」なんですよね。
たとえば、「空のみかん箱」も、「空のりんご箱」も、
「空のトントカ芋の箱」も、基本的にはまったく同じものであって、
Java だったら「==」で比較して「真」が返ってくるものなんで、
「equals()」で比較するのとは、また別な話なんですよ。
このあたりをニコラ・ブルバキ（まぁ、アンドレ・ヴァイユ他の
合同ペンネームなんですけど）あたりが整理しようと思ったらしいですけど、
ちょっと前に出た「グッドスタインの定理」云々の話みたいに、
数学基礎論的には、まだ未解決なんですよ。

388:M.B.
18/07/08 15:12:54.47 v0TMFGoL.net
>>387
× >>284
〇 >>384
ごめんなさい。

389:１３２人目の素数さん
18/07/08 15:13:00.75 qI7WVHvt.net
>>387
これもトンチンカン。
なぜいきなり空集合が出てくるのか意味不明。
グッドスタインの定理に空集合は何の関係もない。
ペアノ算術における「0」を空集合と勘違いしているのかもしれないが、
ペアノ算術における「0」は空集合とは無関係である。
なぜなら、ペアノ算術は集合論とは無関係に定義されるからだ。
集合論と無関係に記述できる時点で、ペアノ算術における「0」は空集合と無関係である。
ペアノ算術に相当するものをZF集合論の中で実装しようとしたときには、
標準的な実装のもとでは空集合を 0 に割り当てることが多いが、
それは 0 が空集合を意味することにならない。なぜなら、実装の一例として空集合を
利用しているだけだからだ(実際、空集合以外の集合を割り当ててペアノ算術を実装することも可能である)。

390:１３２人目の素数さん
18/07/08 15:24:55.18 qI7WVHvt.net
>>387
＞Java だったら「==」で比較して「真」が返ってくるものなんで、
＞「equals()」で比較するのとは、また別な話なんですよ。
＞このあたりをニコラ・ブルバキ（まぁ、アンドレ・ヴァイユ他の
＞合同ペンネームなんですけど）あたりが整理しようと思ったらしいですけど、
＞ちょっと前に出た「グッドスタインの定理」云々の話みたいに、
＞数学基礎論的には、まだ未解決なんですよ。
ここに関しては「言葉のサラダ」としか言いようがない。意味が通ってない。
基礎論的には何かが未解決問題であると読めるが、
では一体「なにが」未解決問題なのかきちんと書かれていない。
また、グッドスタインの定理はペアノ算術の範囲で記述される定理であり、
Java で記述される定理ではない。仮に Java で記述したとしても、その Java の上で
「==」や「equals()」によってナニカを比較したときの両者の "差異" に関する話は、
Java 言語の内部的な実装の話もしくは Java 言語の意味論に関する話であり、
グッドスタインの定理とは何の関係もない。

391:M.B.
18/07/08 15:37:03.15 v0TMFGoL.net
>>389
そのあたりは >>299 あたりの議論を把握してから来てほしいように
思います。べつに、好きなことを仰っても、誰にも止める権利は
ありませんけどね（そのかわり、あたしたちにも好きなことを
言っていい権利はありますけど）。

392:M.B.
18/07/08 15:42:21.56 v0TMFGoL.net
>>390
集合には、外延的定義と内包的な定義があるんですけど、
外延的定義による集合があったとしても、
内包的な定義は無数にありうるんですよ。
ですから、外延的には空集合は「ただ一つ」
なんですけど、内包的な定義は無数にありうるんです。
このあたりは、プロの数学者でも、うっかりするような
話なんですが。

393:１３２人目の素数さん
18/07/08 15:50:59.75 qI7WVHvt.net
>>391
レス番号が合っていると思えない。
>>299はコラッツ予想に関する話であり、今はグッドスタインの定理に関する話である。
そして、グッドスタインの定理に空集合は何の関係もないのである。
つまり、君のレスは>299を考慮してもなおトンチンカンのままなのである。
ちなみに、君のレスは>299に対してもトンチンカンである。
なぜなら、>299は空集合と無関係に記述できるからだ。

394:１３２人目の素数さん
18/07/08 15:54:07.76 qI7WVHvt.net
>>392
集合の内包的な定義が無数にあるからと言って、それが何？
「グッドスタインの定理に空集合は何の関係もない」
という事実は揺るがないよ？つまり、君のレスがトンチンカンであるという事実は揺るがないよ？

395:M.B.
18/07/08 16:22:07.17 v0TMFGoL.net
>>394
> 集合の内包的な定義が無数にあるからと言って、それが何？
外延的な定義による集合が一個あって、それを内包的な定義によって
示せば、数学的には正しいのよ。
{2}は、「最小の偶数」であったり「最小の素数」であったり「唯一の
遇素数」であったりするわけなんだけど、「x^n + y^n = z^n」が成り立つ
最大の自然数とかでもあるわけです。
こんなの、あたしみたいなお婆ちゃんに説教されなくても、そこいらの
数学をマジメにやってる若い衆に訊けば、すぐ教えてくれそうに思うんですけど、
あんた、数学板に出張ってきてるくらいだったら、そういう友達っていないの？

396:１３２人目の素数さん
18/07/08 16:27:15.36 qI7WVHvt.net
>>395
グッドスタインの定理は集合論とも空集合とも関係がない、という俺の指摘に対して、
なぜ君は懲りずに無関係な集合論の話でレスを返してくるのだね？
俺がさっきからずっと言っていることは、
(1) ペアノ算術は集合論と無関係に定義される。
(2) ペアノ算術における「0」は空集合とは無関係。
(3) グッドスタインの定理も空集合とは無関係。
(4) グッドスタインの定理で対象となっている数は 0,1,2,3,… という数であり、
　　これを「自然数」と呼びながらグッドスタインの定理を記述するのが気に食わないなら、
　「非負整数」とでも呼びながらグッドスタインの定理を記述すればいいだけの話。
ということ。
「Javaで == や equals() を使ってナニカを比較すると、両者には "差異" がある」
「空集合は外延的には1つに定まるが、内包的な記述の仕方は無数にある」
「外延的な定義による集合が一個あって、それを内包的な定義によって示せば、数学的には正しい」
といったレスは、1ミリたりとも(1)～(4)の反論になってない。
集合論とは関係がない、という内容の(1)～(4)に対して、
なぜ君は懲りずに無関係な集合論の話でレスを返してくるのだね？
君のレスは極めてトンチンカンである。

397:M.B.
18/07/08 16:35:53.00 v0TMFGoL.net
>>390
> グッドスタインの定理はペアノ算術の範囲で記述される定理であり、
なのは解ってるけど、ペアノ算術の範疇で正否が証明できるかどうかは
別問題なのよ。それはゲーデルの第一不完全性定理によって証明されてるでしょ？
WikiPedia には
「ペアノ算術の範囲では証明も否定の証明もできないが、集合論の公理系、
特に無限集合の公理を用いると真であることが言える。」
って書いてあるし。
このスレの住民をナメたらいかんぜよ！

398:１３２人目の素数さん
18/07/08 16:44:42.71 qI7WVHvt.net
>>397
＞> グッドスタインの定理はペアノ算術の範囲で記述される定理であり、
＞なのは解ってるけど、
それが分かってたら
＞だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
＞含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
こんなトンチンカンなこと書けない。

399:M.B.
18/07/08 16:48:52.49 v0TMFGoL.net
冷静に考えたら、前スレにもけっこう荒らしはいたのよね。
数学板のヒトは耐性がないんじゃないかと思って心配してたんだけど
杞憂だったみたいね。
じゃ、おいしそうじゃないエントリは、基本スルー進行で。
とはいえ、スレ主にごめんなさいm(_ _)m

400:１３２人目の素数さん
18/07/08 16:51:23.03 qI7WVHvt.net
なぜトンチンカンかというと、繰り返しになるが、グッドスタインの定理は、
自然数に0を含めるか含めないかという話とは無関係だからだ。
グッドスタインの定理で対象となっている数は 0,1,2,3,… という数である。
これを「自然数」と呼びながらグッドスタインの定理を記述するのが気に食わないなら、
「非負整数」とでも呼びながらグッドスタインの定理を記述すればいいだけの話。
「非負整数」でも気に入らないなら、何か自分で新しい名前を考案して、その名前を使えばいいだけの話。
グッドスタインの定理を証明するときに集合論を使う場合でも、
ペアノ算術を集合論の中で実装するのに空集合を使う必要は無いので、
空集合がどうこうという話はこの文脈においても依然としてトンチンカンのまま。
また、そこで得られた集合論的ペアノ算術を、集合論の中で「自然数」と呼ぶか「非負整数」と呼ぶか、
はたまた自分で考案した新しい名前で呼ぶかは、やはり集合論と無関係であり、どのような名称で
呼び出いのかという生理的な話にすぎない。つまり、
＞だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
＞含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
というレスは、集合論の中でペアノ算術を考えてもなおトンチンカンのまま。
結局、君の発言は、ペアノ算術の中で考えるとトンチンカンであり、
集合論を持ち出して議論するときもやはりトンチンカンのまま。

401:１３２人目の素数さん
18/07/08 16:58:36.75 qI7WVHvt.net
>>399
このスレにとっては君自体が荒らしだよ。
スレ主にごめんなさいをするなら、君自体がもう書き込まないことだね。
君の発言は浅はかな思い付きのいい加減なレスばかりである。
そういうレスにマジメに「おかしい」と指摘すると、
さらにたくさんの的ハズレなレスが飛んでくる。問題外である。
そして、君の代表的な振る舞いは、>>385で2つ掲載している。
2つ目の振る舞いは特に酷い。

402:M.B.
18/07/08 16:59:27.73 v0TMFGoL.net
>>388
> だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
> 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
わりと最近の『数学セミナー』で見かけたんだけど、あたしの気のせいかなぁ …

403:M.B.
18/07/08 17:06:22.16 v0TMFGoL.net
あの有名な、「角の三等分」的なヒトなのかしら。
コラッツ問題が解けそうな人だったら、円積問題とか、
立方体倍積問題とか解いてもらえるかも知れないわよ？
みんなで応援する？
あと、連続体仮説とか選択公理とか。

404:１３２人目の素数さん
18/07/08 17:10:50.97 qI7WVHvt.net
>>402
言ってるそばから的外れなレス。トンチンカン。
自然数に0を含めるか含めないかという話とは無関係な話題であるにも関わらず
＞だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
＞含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
という発言が出てくることのおかしさを、俺はずっと指摘しているのである。
君が見た数学セミナーには、グッドスタインの定理という、
自然数に0を含めるか含めないかという話とは全く関係のない話題から出発しているのか？
そのような無関係の話題から出発して
＞だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
＞含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
という話に繋がっていくのか？そんな滅茶苦茶な論理展開が数学セミナーに載っているのか？
違うだろ？
滅茶苦茶なのは君だけなんだよ。

405:M.B.
18/07/08 18:05:41.48 v0TMFGoL.net
えー、今日は釜の火ぃ落としてお酒飲んじゃったから営業終了。
こっからはグチだからスルーしてね。スレ主さんごめんなさーい！
だいたいねぇ、ユークリッド幾何学の基本の「定規とコンパス」の
「コンパス」の定義っていうのが曖昧なのよ！　もともと
「長さを移す」ってことができないのが、ユークリッド幾何学に
おける「コンパス」なのよ！　だったら、「任意長の線分と、
その他に任意の点を与えて、その点を中心とした、与えられた
線分と同じ半径の円を描け」っていうことでしょう？
そういうのを、中学校の数学教師とかが理解してないのよねぇ。
数学板の住民として、腹立たない？

406:M.B.
18/07/08 18:11:04.08 v0TMFGoL.net
コラ、そこで ROM ってニヤニヤしてる奴、ちょっと来い。
ババァの酌じゃ酒飲めないってぇのかコラ。

407:前786
18/07/08 18:49:53.49 HJ7RZOoz.net
概ねID:ql7WVHvtさんに同意ですが、
>>359 >>360に関しては>>362で返答をいただいたので特に気にしていませんので。

408:M.B.
18/07/08 20:27:02.31 v0TMFGoL.net
>407
うん。構成的な数学というものに対する真摯な態度というのは
尊重するんだけど、たとえば「背理法」というものに対する
態度っていうのに関しては、いささか疑問があるのよね。
狭義の背理法と広義の背理法って、あるじゃないですか。
「二重否定の除去」っていうのは、古典論理の上でしか成り立たないでしょう？
直観論理の上では、二重否定の除去は成り立たないじゃないですか。
同じ前提からＡと￢Ａが導出できたら、そりゃあ「おかしい」と思うけどさ、
だったらゲーデルの第二不完全性定理はどうなるのか？っていう話とか、
「前提が偽だったら、あらゆる命題は真であるということが証明可能である」
みたいな話に向かっちゃいそうに思うんだけど。
このあたり、ルイス・キャロルも『亀がアキレスに言ったこと』で
問題にしてたように思うんだけど ……
コラッツ問題とはとりあえず関係ないとは思うんだけど、単調減少する
自然数域に写像できるんだったら、とりあえず証明は可能な感じは
するんだけど、WikiPedia によれば『ところがペアノ算術からは
全てのグッドスタイン数列が収束することは証明できないので、
ペアノ算術はこのチューリングマシンが計算しているのが全体関数で
あることを証明できない。』とかいった話なので、基礎論寄りの
議論をしないと決着はつかないのかなー、と。

409:１３２人目の素数さん
18/07/09 06:15:21.65 RfKEQZmA.net
>>408
＞基礎論寄りの議論をしないと決着はつかないのかなー、と。
これもトンチンカン。次から次へとトンチンカンなレスが飛び出す。
俺は最初からずっと
＞だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
＞含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
というレスに対して話をしているのである。このレスは基礎論の話と無関係であり、
グッドスタインの定理とも無関係であり、このレスに関する議論は既に決着がついている。
「 M.B. は浅はかな思い付きによるバカな発言をした」
これが決着。

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