コラッツ予想がとけた ..
172:１３２人目の素数さん
18/05/29 21:09:33.77 hqRqM8Wt.net
>>169
> 最後がよく分からないです。
>> 2 で割ったときに、「『2 < n| 2^n - 1』が無限連鎖するか？」
> 詳しい説明が欲しいです。
あ、ごめん。言葉が足りなかった。
最下位に「連続した２個以上のオンビットがある」というのが
n ≡ 3(mod 4)
ということなわけで、
その場合は「下位のメルセンヌ部分を除去したビット列に、
3n + 2 操作を行ないつづけることで、n ≡ 1(mod 4) に帰着する」
ということが謂える。
だから、「メルセンヌ部分を除いた本体が、増えるか減るか」が
肝心なところであって、「最下位に一個以上の 0 があって、本体の長さが
減る」のか、「最下位に二個以上の 1 が現れて、本体の長さが増える」のかが
問題になるわけだ。
その部分に着目すると、コラッツ操作の逆操作を考えたときに、かなり計算量が
減るように思うので、「コラッツ予想は 5 × 2^60 までは成り立つ」みたいな
ショボい話（IEEE の long よりも小さい）ではなくて、メルセンヌ素数的な
デカい数まで（たとえば 10^100 とかまで）コラッツ予想は成り立つことが、
“数値実験的に”ではなく、“数学的に”（といっても、コンピュータによる
実験的な検証が入っているので、数学的な厳密性に欠けているという点については
完璧ではないのだが）「コラッツ予想は成立する」と断言しちゃっていい、
みたいな話になると思うのだ。
173:１３２人目の素数さん
18/05/29 21:10:17.02 hqRqM8Wt.net
少なくとも、「フツーにプログラムを動かしていたら、例外が見つかった」とか、
飛行機が堕ちて死ぬとか巨大彗星が堕ちてきて人類が滅亡するとか、そういった
確率の何百万分の１以下のところまで絞りこめれば、「実用的には、コラッツ問題は
解決した」（とはいえ、コラッツ問題の実用性というのが、あるとは思えないが）と
言っちゃっていいと思う。
暗号理論だって、「偶然、解読のための鍵が見つかっちゃう確率は 0 ではない」という
意味では完璧ではないわけで、「じゃあ、具体的には、コラッツ予想は、どこまでの
範囲で成り立つのか？」という限界を、「可能性がありそうな部分を、一個づつ
ブルート・フォース・アプローチによって潰してゆく」より効率のよさそうな方法で
ツブしてゆくというアプローチがありそうに思う。
で、その過程で、「なんか、こっから先には なんにもなさそうな気がする」という
限界が うっすらと見えてきたら、そこから逆に「じゃあ、このあたりには何があるの？」とかいった見当がつくのかもしれない、と思う。
コラッツ予想はメルセンヌ素数 8,191 に絡んで、2^8191 - 1 あたりで組合せ論的には
頭打ちになると思う。実際にメルセンヌ数から出発してメルセンヌ数に落ちるケースは
127 かなんかが最高だったので、あとは「メルセンヌ数ではない数から出発して、
3n + 1 操作“のみ”によってメルセンヌ数に落ちる」ケースを潰してゆけば、
コラッツ予想が成立する限界点は もっと先まで確認できるように思うし、
ひょっとしたら（四色問題や有限群の分類みたいに）「この先は、組合せ論的にいって
ありえない」みたいなコトになるかもしれない（とはいえ、私は数学の専門家では
ないので、数学者の誰かが証明できたとしても、その証明を理解できる自信は
まったくないのだが(-_-!)）。
てなワケで、現在探索を続行中。
174:１３２人目の素数さん
18/05/29 21:15:32.62 f2WjLLel.net
>>173
探索を実行中ってことはもうプログラムがあるってこと？
なんなら>>1みたいに晒してくれてもいいのよ？
175:１３２人目の素数さん
18/05/29 21:38:00.75 hqRqM8Wt.net
>>170
ごちゃごちゃ長文を書いてしまって申し訳ない。m(_ _)m
要するに、「いままで、『n 以下までにはコラッツ予想の
反例はない』というのを示すのに O(n) の手間がかかって
いたのだが、それを O(lon(n)) に持ってくことができたら、
5*2^60 とかいう ショボい話じゃなくて、 2^127 くらい
までは（できれば 2^4095 くらいまでは）持ってけねぇか？」
っつー話。
>>174
> 探索を実行中ってことはもうプログラムがあるってこと？
『Java の宿題ここで答えます』の回答者側の常連だったので、
「とりあえず動く」レベルのものはあるのだが、やっつけで
書いたもんだから（これが Hacker というものだ）あんまり
フツーのプログラマが見て分かりやすいモンじゃねぇんだよな(-_-!)
自前でやってる WebLog のほうに、近々さらすことにして、
ソーズは もうちょっと洗濯させてくれ m(_ _)m
176:righ1113
18/05/29 22:09:23.31 HdpfadtL.net
>>175
今ひとつ分からないので、自分はソースを待ちます。
177:１３２人目の素数さん
18/05/29 22:34:19.60 f2WjLLel.net
やはり>>786が論理を構築し>>1がその論理をプログラムで実装するというのがこのスレのベストプラクティス。
なにかいいネタはないかな。
178:righ1113
18/05/29 22:53:33.64 HdpfadtL.net
>>177
>>113とか、どうですかね?
179:１３２人目の素数さん
18/05/29 23:17:54.07 f2WjLLel.net
いまいちよくわかってないんだが>>113の①②③はそれぞれ別々に証明する必要があるってこと？
で①②③がいえれば④がいえるってこと？
180:前786
18/05/29 23:19:19.88 z3i0m55/.net
>>177
プログラムの結果を参考にして証明を進める、までできれば私としてはベストですね。
今は>>168で書いた案について考え中。
>>178
>>113の①はなんとかなるかもしれません。
「繰り返すと１つになる」というよりは「繰り返しても集合の個数が増えない」という論法になりそうです。
ちょうど>>168のアイデアにも関連します。
このあと軽く説明します。
181:righ1113
18/05/29 23:30:01.77 HdpfadtL.net
>>179
①と②は対偶関係なので、
①を証明する→③を証明する→④が言える
です。
182:前786
18/05/29 23:38:41.79 z3i0m55/.net
そもそも>>94の説明がなぜあれだけで済んだのかというと
・mod 7*19 で考えるところを、mod 7 と mod19 に分けた。
・mod 7*19^2 で考えるところを mod 7 と mod 19^2 に分け、
さらに mod 19^2 で考えるところは実質 mod 19 で考えるだけで済んだ。
ということが効いているんじゃないかと思います。
それで、一つ目はおいといて二つ目の
mod 19^2 で考えるところが mod 19 で済む
という部分がポイントで、
こういうのが許されるのはちょうど「C を繰り返して集合が増えないとき」になりそうなんです。
さらに、プログラムを進めていくとどこかで「繰り返しても集合が増えない」となることも証明できそうなので、
これを利用してプログラムの計算量を減らせそう、という考えです。
時間があるときにちゃんと考えようと思います。
183:前786
18/05/29 23:51:01.24 z3i0m55/.net
（実際のところ、>>156が分かる人がどのくらいるのかちょっと気になる）
184:righ1113
18/05/30 00:00:21.34 SjK0M6Ur.net
>>183
自分は分かっている……つもりです……
185:１３２人目の素数さん
18/05/30 05:29:09.70 BsxBoGmV.net
2倍の繰り返しで
1→2→4→8→16≡7→14≡5→10≡1
0→1
3の倍数が残るけど2で割り続けて奇数になったあと
3n→3n×3+1≡1
でおしまい
2倍は「好きなだけ遡れる」ところがポイントかね
186:１３２人目の素数さん
18/05/30 07:45:42.08 pjE9OVg/.net
13 だったらまだ理解できるんだがな。
1 → 2 → 4 → 8 → 16 ≡ 3 → 6 → 12 → 11 → 9
→ 18 ≡ 5 → 10 → 20 ≡ 7
つーても、これがコラッツ予想の解決とどう結びつくのかがわからんが。
187:１３２人目の素数さん
18/05/30 07:46:53.88 pjE9OVg/.net
あ、
×
188:１３２人目の素数さん
18/05/30 07:48:45.57 pjE9OVg/.net
あ、
× 12 → 11 → 9
〇 12 → 24 ≡ 11 → 22 ≡ 9
だった。
189:１３２人目の素数さん
18/05/30 08:09:47.45 pjE9OVg/.net
mod 7、三倍（原始根は 3）
1 → 3 → 9 ≡2 → 6 → 18 ≡ 4 → 12 ≡ 5 → 15 ≡ 1
mod 19、二倍（原始根は 2）
1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 ≡ 13 → 26 ≡ 7 → 14 →
28 ≡ 9 → 18 → 36 ≡ 10 → 20 ≡ 1
あたりが関係してくるらしいのは見当がつくんだが、
3n + 1 で巡回することを考えてみたらいいのか、
それとも 3 で割って 2 余る数について逆操作の (2n - 1)/3 を
考えたらいいのか …… わからん。
190:前786
18/05/30 08:32:25.52 8DwWThhE.net
>>185
残念
Z/9Z において 0→1 (3倍して1を足す) は可逆でないので、これだと不十分です。
実際、この方針で例えば 16 から 9 の倍数を作ろうとすると、
2 を 2 回かけて 16→32→64
1 を引いて 3 で割って 64→21
で、9 の倍数になりません。
>>186
確かに私の予想が証明できてもすぐにはコラッツ予想に繋がりませんが、
まあ外堀を埋めるような感覚です。
それに、もし万が一私の予想に反例が見つかれば、その時点でコラッツ予想も不成立となるので、
そういう意味ではコラッツ予想を直接攻めていると言えなくもないかなと。
191:１３２人目の素数さん
18/05/30 15:44:56.54 pjE9OVg/.net
>> 174
> 今ひとつ分からないので、自分はソースを待ちます。
ただ待たせっぱなしにするのも気づまりなので、
「メルセンヌ数から 1 に落ちる途中で メルセンヌ数を経由する」
という例は挙げておこうと思う。
7 <- メルセンヌ素数の 2 番
31 <- メルセンヌ素数の 3 番
127 <- 1 メルセンヌ素数の 4 番
511: 7 を経由
2047: 127 を経由
4095: 127 を経由
8191: 127 を経由
16383: 127 を経由
131071 <- メルセンヌ素数の 6 番。経由せず。
262143: メルセンヌ素数の 7 番。経由せず。
524287: 7 を経由
1048575: 7 を経由
2097151: 31 を経由
4194303: 31 を経由
でもって、
2^61 - 1 -> 31
2^62 - 1 -> 31
2^63 - 1 -> 31
2^64 - 1 -> 31
とかいう話になっているので、「コラッツ予想は数値実験によって
5*2^60 まで正しいことが確認されている」とかいった WikiPedia の
記述は、このあたりに絡んでいるのかもしれないと思う。
192:righ1113
18/05/30 18:37:06.75 0W4YjiD/.net
>>191
下位に2^n-1が出てくるだけじゃなくて、実際のメルセンヌ数も絡むの?!
ますます分からなくなる(>_<)
193:１３２人目の素数さん
18/05/30 19:01:13.88 pjE9OVg/.net
>>192
> 下位に2^n-1が出てくるだけじゃなくて、実際のメルセンヌ数も絡むの?!
> ますます分からなくなる(>_<)
だからコラッツ問題は面白いんじゃないですか (^_^)v
194:１３２人目の素数さん
18/05/30 21:14:57.31 fCXVi6t2.net
そういえば剰余コラッツ予想(前>>786の予想)の反例が見つかったと仮定して、
その反例から元のコラッツ予想の反例を求めることは簡単なの？
195:前786
18/05/30 23:24:08.24 8DwWThhE.net
>>194
（その名前使ってくれてありがとう）
これは簡単です。
剰余コラッツ予想の反例があるということは、
ある自然数 a,n,k が存在して
「a からコラッツ操作、コラッツ逆操作を繰り返しても、n で割って k 余る数に到達できない」
ということです。
このとき特に、a から k に到達することができません。
ここで、もし a,k が共にコラッツ操作で 1 になるとすると、
a→1→k のルートで a から k に到達できてしまい矛盾します。
したがって、a,k のいずれかがコラッツ予想の反例となります。
196:１３２人目の素数さん
18/05/30 23:43:24.81 fCXVi6t2.net
え、じゃあa,kのいずれかは5*2^60より大きくなきゃいけないってことか
197:前786
18/05/31 00:03:29.44 sTlF47Ao.net
>>196
あ、ほんとだ
素で気づいてませんでした。
ちょっとこれは認識を改めないといけないかもしれない
198:righ1113
18/05/31 00:15:22.71 hTYeS4Jm.net
プログラムもそこまでとか、ムリだからねっ
199:righ1113
18/05/31 00:24:01.59 hTYeS4Jm.net
>>197
ちなみに今のプログラムで反例が見つかっても>>195に繋げられる?
200:前786
18/05/31 00:41:52.06 sTlF47Ao.net
>>199
ちょっとまだ分かりません。
反例が見つかったら考えようと思っていました。
ちなみに今のプログラムは剰余コラッツ予想を完全に確かめられるものではない（>>103の話）ので、
5*2^60 以下でもプログラムでの反例が見つかる可能性はあります。
201:righ1113
18/05/31 00:46:19.98 hTYeS4Jm.net
弱い成果が得られるやつですよね。
202:前786
18/05/31 00:58:27.40 sTlF47Ao.net
そうですそうです。
203:１３２人目の素数さん
18/06/02 21:15:03.31 2LuxVRMt.net
n ≡ 1 (mod 4) に 3n + 2 操作を（連続して）行なったときに
何が出てくるかと、
n ≡ 1 (mod 4)に 3n + 1 操作を行なったときに、
n ≡ 0 (mod 2) と 1 ≡ 3 (mod 4) がどんなふうに
出てくるかと、
四進法で 11111 …… がどんなふうに出てくるかで
（これはどっちかというと効率上の問題）、
どうやら 2^63 の壁は突破できそう。
ただ、アルゴリズムの効率がいまひとつなので計算機パワーに
頼っているのと、数学的に理解しやすい表現に落ちないんだよな ……
連分数による無理数の近似を行なおうとすると、φがいちばん
誤差が収束しづらいとか、そんな話になりそうなんだよな。
遠山 啓先生の『初等整数論』の終わりのほうにもそんな話が
出てきてて、「うーん、オレが求めているのは、
そういう結果じゃないんだけどな」と思ってはいるんだが。
204:１３２人目の素数さん
18/06/07 19:47:31.27 ddCD53Qi.net
スレが止まってるが大丈夫か？
205:righ1113
18/06/07 21:30:24.45 hy9kJ5h9.net
特に進展がないのです……
206:１３２人目の素数さん
18/06/07 21:38:46.18 GMXTgnWv.net
>>204
「大丈夫だ。問題ない」… とは言えんな。
いまのところ２つのアプローチを考えている。
「下位のオンビット列を切り離して、3n + 2 操作を繰り返したあとに
残った 1(mod 4) に 3n + 1 操作を加えたときに
下位に何が（オンの連続かオフの連続か）出るか（そこで 0(mod 4) が
出るまではいいとしても）」、数学的に考えると「下位のオンビット列を
切り離す」操作をどう考えたらいいかとか、操作が複数になるので
理論的にややこしくなるという問題がある。
かといってそれを素直にビット列で考えてコンピュータで
処理しようと思うと、桁数が多くなる（2^63 を超えたあたり）と
31（2^5 - 1）とかが出てきて収拾がつかなくなりそうな
気がする。
数学的素養にしろコンピュータの性能にしろ、
「そんな装備で大丈夫か？」的な不安はある。
207:１３２人目の素数さん
18/06/08 13:40:04.11 gOsCxwff.net
数学板でこれを言ったらボロクソに叩かれるのは承知しているが、
「1 ビットに収束する という制約を外して、セルオートマトンで表現する」
とかいった形で画像にしてみて、
その画像に FFT とか ウェーブレット変換とかをかけて挙動を推測する、
とかいうアプローチは あるんじゃねぇ？
画像で表現したときに、「最終的にONな 1 ビットが移動するだけ」になるのは
（実験的には）確認されているんだから、画像的に逆三角形が「どん」という
感じで出現するかどうか、っつー話なわけだから。
208:１３２人目の素数さん
18/06/08 20:05:54.99 ID4JGGod.net
アイディアを出すのは構わないが実装するのはきみだ
209:１３２人目の素数さん
18/06/08 20:12:20.69 gOsCxwff.net
>>208
> アイディアを出すのは構わないが実装するのはきみだ
解ってる。問題は「他にできる奴がいねぇ」っつー点なんだわ。
やんなくていいから、せめて まともなツッコミくらい
入れてくれないと、気分が萎えるんだよ。
210:１３２人目の素数さん
18/06/08 20:43:30.22 ID4JGGod.net
まともな突っ込みが欲しければもっとアイディアを具体化してくれ。
まだ突っ込み云々の段階じゃないだろ。
211:１３２人目の素数さん
18/06/08 21:15:37.98 gOsCxwff.net
>>210
> まともな突っ込みが欲しければもっとアイディアを具体化してくれ。
わかった。要するにお前は
「下位に 0 または 1 が連続するパターンに、
3n + 1 の逆操作を（偶数を経由せずに）1(mod 4) に
至る数の性質を明らかにしろ」っつーコトだな？
そんなもん、簡単にできたら苦労しねぇよ orz
212:１３２人目の素数さん
18/06/08 21:50:50.71 gOsCxwff.net
>>211
> そんなもん、簡単にできたら苦労しねぇよ orz
いや待て。ちょっと待て。
> 「下位に 0 または 1 が連続するパターンに、
> 3n + 1 の逆操作を（偶数を経由せずに）1(mod 4) に
> 至る数の性質を明らかにしろ」
っつても、「偶数を経由せずに」じゃなくて、
「1(mod 4)を経由せずに」なんじゃねぇの？
（末尾が二進数で 00 とか 01 とか 11 だったら、
別のケースに帰着しちゃうんだから）
これだったら結構 効率よく追っかけられそうな
気はするんだよな
頑張ってみる。サンクス。>>210
213:１３２人目の素数さん
18/06/09 09:51:12.21 12rdjGpD.net
>>212
× 「偶数を経由せずに」じゃなくて、「1(mod 4)を経由せずに」
〇 「偶数を経由せずに」じゃなくて、「1(mod 4)だけを経由して」
214:righ1113
18/06/09 19:25:47.19 3gm5u4YA.net
プログラムを使って、
n=3037から6367までの素数396個、全て正常終了を確認しました。
オールNothing出ないですね……
215:１３２人目の素数さん
18/06/09 19:32:18.47 XXNgJp1+.net
ほほう。
>>1乙です。
216:１３２人目の素数さん
18/06/09 19:39:31.39 XXNgJp1+.net
ちなみに素数に絞ったのはなにか根拠があるんですか？
それともなんとなくですか？
217:righ1113
18/06/09 19:59:06.87 3gm5u4YA.net
本当はむしろ合成数をやりたかったのです。
素数なら30分で終わるところが、合成数だと2時間かかったり。
ほんで素数にしました。
218:１３２人目の素数さん
18/06/09 20:20:31.16 12rdjGpD.net
>>214
とりあえずコラッツ予想の反例が出なかった、という意味では
順当な結果だと思います。ともあれご苦労様ですm(_ _)m
そうすると、現時点で「コラッツ予想が成立する数の上限値」と
いうのは、どの程度なんでしょうか。
IEEE の 64 bit INT（＝Java の long）までは反例がない、
とかいった話ではあるんでしょうか。
219:righ1113
18/06/09 20:48:37.47 3gm5u4YA.net
>>218
>>191の後半に
>「コラッツ予想は数値実験によって
>5*2^60 まで正しいことが確認されている」
>とかいった WikiPedia の記述
があるからそれだと思います。
220:１３２人目の素数さん
18/06/10 02:56:21.72 tquT+eik.net
>130ですが、また別のアプローチを試みてみたところ、少し面白い結果が得られたのでご報告。既知の情報だったら申し訳ないですが…
「ある奇数にコラッツ操作(3n+1→奇数になるまで2で割る)を試みた結果どんな数になるか」をまとめたところ、以下のような規則性があるのに気づきました。
操作後の数をＡとして、Ａを３で割った余りが
○1(1.7.13…)の場合：(Ａ*4-1)/3を初項として、以下(4n+1)と掛け合わせた数がＡとなる
(1←1.5.21.85…)(7←9.37.149.597…)
○2(5.11.17…)の場合：(Ａ*2-1)/3を初項として、以下(4n+1)と掛け合わせた数がＡとなる
(5←3.13.53.213…)(11←7.29.117.469…)
○0(3.9.15…)の場合：コラッツ操作でＡになる数は存在しない
一旦切ります。
221:218
18/06/10 03:30:20.71 tquT+eik.net
続きです。
で、余り0はほっといて、余り1と余り2をそれぞれまとめてみました。
1： 1. 5. 21. 85. 341. 1365…
7： 9. 37.149. 597. 2389. 9557…
13：17. 69.277.1109. 4437.17749…
19：25.101.405.1621. 6485.25941…
25：33.133.533.2133. 8533.34133…
31：41.165.661.2645.10581.42325…
5： 3.13. 53. 213. 853. 3413…
11： 7.29.117. 469.1877. 7509…
17：11.45.181. 725.2901.11605…
23：15.61.245. 981.3925.15701…
29：19.77.309.1237.4949.19797…
35：23.93.373.1493.5973.23893…
…縦と横を入れ替えると、全部等差数列になってるんですよね、これ。
もう少し続きます。
222:218
18/06/10 03:41:04.40 tquT+eik.net
続きです。長くなってしまって申し訳ない。
3.7.11.5.19.23 初項3 公差4
1.9.17.25.33.41 初項1 公差8
13.29.45.61.77.93 初項13 公差16
5.37.69.101.133.165 初項5 公差32
53.117.181.245.309.373 初項53 公差64
21.149.277.405.533.661 初項21 公差128
213.469.725.981.1237.1493 初項213 公差256
85.597.1109.1621.2133.2645 初項85 公差512
853.1877.2901.3925.4949.5973 初項853 公差1024
341.2389.4437.6485.8533.10581 初項341 公差2048
3413.7509.11605.15701.19797.23893 初項3413 公差4096
1365.9557.17749.25941.34133.42325 初項1365 公差8192
…。
1+2=3
3+2=5
5+8=13
13+8=21
21+32=53
53+32=85
85+128=213
213+128=341
341+512=853
853+512=1365
1365+2048=3413
なんていう分布を見ると、「それぞれの項目が重なり合わないように敷き詰められている」ように思えてなりません。素人なんではっきり証明できる力はないのですがorz
以上、気づいた点のご報告でした。
スレ汚し失礼いたしました。
223:１３２人目の素数さん
18/06/10 08:07:49.10 GkYmcQpB.net
初項2x+1 (x:整数)
漸化式 a_(n+1)=4 a_n+1
で与えられる数列の各項はコラッツ予想の操作で合流する
(2x+1)×3+1=6x+4
(4(2x+1)+1)×3+1=24x+16=4(6x+4)
一般項a_n=((6x+4)/3)^n-1/3
224:１３２人目の素数さん
18/06/10 08:29:53.23 GkYmcQpB.net
重ならないように、というのは、
×4+1した隙間の奇数が次々に出てくるのかな
225:１３２人目の素数さん
18/06/10 09:11:07.49 gH+TEyZw.net
>>204
> 「それぞれの項目が重なり合わないように敷き詰められている」ように思えてなりません。
コラッツ予想は、言い方を変えると「４で割って３余るすべての奇数は、
『３倍して１を足す』『２で割る』という二つの操作によって、
１を根とした二分木上に一意に配置される」ということだから、
その認識は正しいと思います。
> 素人なんではっきり証明できる力はないのですがorz
まぁまぁ、そうおっしゃらずに。数学者は数学的な道具の取り扱いに長けているので、
つい自分の使い慣れた道具で扱おうとして、結果的に灯下探索症候群に
陥ることもあるようですから、素人目線も重要ですよ。
行列を使って永らく未解決だった問題が、連分数や図的解法（古代メソポタミアでは
普通に使われていましたが、二十一世紀に再評価されるまで、ほとんど博物館の
展示物扱いでした）で あっさり解けちゃった例もありますし。
ヘヴィサイドの演算子法みたいに、「とにかく解けるんだからいいじゃないか」と
いうのに後から数学的なリクツがついてきた、という例もあるので。
226:１３２人目の素数さん
18/06/10 09:27:08.31 gH+TEyZw.net
>>220 の指摘は、「二分木上に一意に配置される」という観点からいうと、
ある「４で割って1 余る奇数」を d （odd の d です。o だとゼロと紛らわしい
ので）としたとき、「d が d≡0(mod 3)のときには、そこより先に（次の数 d' が
出てくるような）枝はない」「d が d≡1(mod 3)のときには、奇数枝が出ないので、
あるとすれば偶数枝の先に d' がある」「d が d≡2(mod 3)のときには奇数枝も
出るので、奇数枝と偶数枝の両方の先に d' （とか d'' とか）がある可能性がある」という
話になるんじゃないか、と思います。ですから、非常に納得のゆく視点です。
等差級数うんぬんの話というのは、そこから自然に導かれる帰結なのでは
ないでしょうか。
227:１３２人目の素数さん
18/06/10 09:38:45.60 gH+TEyZw.net
>>226
ごめんなさい。「奇数枝」というのは、「(3n + 1) / 2 操作によって
奇数に至るルート」なので、途中で偶数を経由しています。したがって、
「3n + 1 操作」ベースで考えると、「それは偶数枝として一般的に
扱ったほうが適切なんじゃねぇんの？」という批判は（たぶん）
あるかと思います。
228:１３２人目の素数さん
18/06/10 11:33:20.33 GkYmcQpB.net
1
2
4←1
8
16←5
32
64←21
128
256←85
512
…
5
10←3
20
40←13
80
160←53
320
640←213
1280
…
229:１３２人目の素数さん
18/06/10 11:48:45.88 GkYmcQpB.net
一般化するとこんな感じで枝分かれを繰り返してくわけだが
6n+1
12n+2
24n+4←8n+1
48n+8
96n+16←16n+5
192n+32
384n+64←128n+13
…
6n+5
12n+10←4n+3 「奇数枝」はここかな？
24n+20
48n+40←16n+13
96n+80
192n+160←64n+53
…
230:１３２人目の素数さん
18/06/10 13:29:24.03 gH+TEyZw.net
>>229
> 12n+10←4n+3 「奇数枝」はここかな？
よく分からんが、たぶんそうだと思う。
>>116 の再録になるが、
> 242:242 -> 161 -> 107 -> 71 -> 47 -> 31
> 728:728 -> 485 -> 323 -> 215 -> 143 -> 95 -> ☆63
> 1214:1214 -> 809 -> 539 -> 359 -> 239 -> ☆159
> 1700:1700 -> 1133 -> 755 -> 503 -> 335 -> 223
> 2186:2186 -> 1457 -> 971 -> 647 -> 431 -> 287 -> 191 -> 127
> 2672:2672 -> 1781 -> 1187 -> 791 -> 527 -> ☆351
> 3158:3158 -> 2105 -> 1403 -> 935 -> 623 -> 415
> 3644:3644 -> 2429 -> 1619 -> 1079 -> 719 -> 479 -> 319
> 4130:4130 -> 2753 -> 1835 -> 1223 -> 815 -> ☆543
> 4616:4616 -> 3077 -> 2051 -> 1367 -> 911 -> 607
> 5102:5102 -> 3401 -> 2267 -> 1511 -> 1007 -> 671 -> ☆447
> 5588:5588 -> 3725 -> 2483 -> 1655 -> 1103 -> ☆735
> 6074:6074 -> 4049 -> 2699 -> 1799 -> 1199 -> 799
> 6560:6560 -> 4373 -> 2915 -> 1943 -> 1295 -> 863 -> 575 -> 383 -> ☆255
> 7046:7046 -> 4697 -> 3131 -> 2087 -> 1391 -> ☆927
> 7532:7532 -> 5021 -> 3347 -> 2231 -> 1487 -> 991
> 8018:8018 -> 5345 -> 3563 -> 2375 -> 1583 -> 1055 -> 703
> 8504:8504 -> 5669 -> 3779 -> 2519 -> 1679 -> ☆1119
> 8990:8990 -> 5993 -> 3995 -> 2663 -> 1775 -> 1183
> 9476:9476 -> 6317 -> 4211 -> 2807 -> 1871 -> 1247 -> ☆831
> 9962:9962 -> 6641 -> 4427 -> 2951 -> 1967 -> ☆1311
みたいな系列だ。
231:１３２人目の素数さん
18/06/10 13:37:00.64 gH+TEyZw.net
あ、念のため。
このスレに集っている方々にとっては常識だろうけれど、
‘☆’がついてるのは、三の倍数（n ≡ 0 (mod 3)）の場合な？
「偉そうに」とか「上から目線」とか、そう思われるのは
不本意なので。
232:righ1113
18/06/10 15:13:02.69 FdIQbMom.net
>>220
自分も昔似たような事を考えていました。
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
でも後が続かないのですよね……
同じ事を考えた方がいたのは嬉しいです。
233:１３２人目の素数さん
18/06/10 16:52:17.37 gH+TEyZw.net
>>232
> 同じ事を考えた方がいたのは嬉しいです。
つーか、似たようなことを考えてる輩（やから）が
このスレに集まってるんだろうがよ（笑）。
234:218
18/06/11 07:22:40.87 l+PAssIA.net
>224
>222を初項の小さい順に並べ直してみると、
1.9.17.25.33.41…a
3.7.11.15.19.23…b
5.37.69.101.133.165…c
13.29.45.61.77.93…d
21.149.277.405.533.661…e
53.117.181.245.309.373…f
a___a___a___a___a___a___a___a___a
_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_
__c_______________c______________
______d_______d_______d_______d__
__________e______________________
__________________________f______
と、フラクタル的な配置が出現しているように思います。
言い換えれば、全ての奇数がこの配置のどこかに格納される事が証明できれば、「とんでもなく大きな数で例外が現れる」可能性を除去できるのではないかと考えたんですが、いかがでしょうか？
あとは、この数列が例外なくコラッツ操作後1に繋がる(1.5.21.85.341.1365…)の数列に帰結する事が証明できれば、コラッツ予想を証明したと言えるのではないかと。
(「そんなんできねーよw」と自分では思ってたんですが、>223が糸口になりそう？)
頓珍漢な事を言ってたら申し訳ないです。
235:１３２人目の素数さん
18/06/11 08:14:51.55 CCISXKIi.net
>>234
いや、発想としては順当だろうと思う。>>207 も発想としては同じだろう。
下向きの三角形というのは、一次元セルオートマトンではしょっちゅう
出てくるパターンだし、タガヤサンミナシ（イモガイの一種）の模様にも
あるような普遍的なパターンなので、シェルピンスキーの三角形みたいに
大きな三角形が「ずどん」と出るケースをうまく避けられれば
証明に結びつくと思う。
…… つーか、そのネタはウラムも思いついていて、ノイマンあたりと一緒に
追いかけてたかもしれない。それでコラッツ→ウラム→ノイマン→角谷と
伝わって、ここでこうして議論されているという話はありうる。
236:１３２人目の素数さん
18/06/11 08:16:22.58 CCISXKIi.net
×シェルピンスキーの三角形
〇シェルピンスキーのギャスケット
237:１３２人目の素数さん
18/06/11 08:42:28.48 CCISXKIi.net
あと、厳密な（解析的な）解決には結びつきそうもないが、
セルオートマトン → チューリング → 二重勾配 → 形態形成
→ フィボナッチ螺旋 → 互除法 → 連分数 みたいなルートは
なんとなく臭い、と思う。「二重勾配」あたりに位置するのが、
「ビットシフト」と「算術演算」（2n + n + 1 ＝ 3n + 1）
であり（こっちが速い過程）、結果的に起きるキャリー（繰上り）の
連鎖とビットパターンの分布の相互作用（こっちが遅い過程）
ではないかと。そのあたりが話をややこしくしているように思う。
238:１３２人目の素数さん
18/06/12 07:21:50.27 /TgiGIzK.net
オートマトンといえば昔考えた、
×3+1を計算する有限オートマトン
文字: 0,1,空白
先頭が下位の2進数、後は空白のテープを考える
状態: 0(×3+0), 1(×3+1, 初期状態), 2(×3+2), 3(停止).
遷移表:(移動は常に右)
遷移|0 |1 |空
s0|0/s0|1/s1|空/s3|
s1|1/s0|0/s2|1/s3|
s2|0/s1|1/s2|0/s1|
例:7×3+1=22
s1: [1]11空空空
s2: 0[1]1空空空
s2: 01[1]空空空
s2: 011[空]空空
s1: 0110[空]空
s3: 01101[空]
停止せずに折り返して先頭の0を空白に置き換えるように改造すればコラッツ問題を再現するけど、停止しなくなる
1…10と0…01が状態s1を保つので、これでうまく分類できないかなぁ、まで考えた
239:１３２人目の素数さん
18/06/12 13:08:59.15 B3CrVbdR.net
>>238
> まで考えた
Java の開発環境があるなら、前にも「それなりに頑張ってるんだけど」
的な話をしたので、 Java のソース貼るけど？
ただ、ム板（プログラム技術板）でも「ソース貼られると
読んでて邪魔だ」と言われて嫌われて、
「どっかいけ」みたいな感じで追い出されたのだが。
『★★ Java の宿題ここで答えます Part 74 ★★』とかに
“出題”してくれれば、名目が立つんだが。
240:１３２人目の素数さん
18/06/12 19:25:58.43 psqSBNTM.net
>>1みたいにgithub使えばよろし
まあ、無理にとは言わんが
241:１３２人目の素数さん
18/06/12 21:30:52.62 B3CrVbdR.net
>>240
> github使えばよろし
> まあ、無理にとは言わんが
WikiPedia によれば、GitHub は
> 2018年にマイクロソフトによる買収が発表されている
そうだ。
ゲイツが死んで三十年くらい経ったら考えてみてもいい。
242:１３２人目の素数さん
18/06/12 21:33:17.05 psqSBNTM.net
もしかして言語がJavaなのもアンチゲイツのせいなのか？ｗ
243:１３２人目の素数さん
18/06/13 09:31:54.51 86YPnV22.net
>>242
Eclipse を使ってるのもアンチゲイツのせいだw
Eclipse の原型は OS/2 で動いてた VisualAge C/C++ なんだぜ。
244:１３２人目の素数さん
18/06/13 19:07:29.31 86YPnV22.net
ところで、このスレはコンピュータ使いが多いと思うんだが、
・計算器で限界に挑戦するなら C 言語
・プログラマが本業だったら、仕事にも使える Java
・研究とかも含めて、ロジックとか そっちの方にも視野を
向けてるんだったら Lisp 系
・教育のほうに向いているんなら N-BASIC とか Mathematica とか
みたいな言語ごとの棲み分けみたいなのがありそうに思うんだが、
お前ら何（＝どんな言語）使ってる？
245:１３２人目の素数さん
18/06/13 20:27:07.06 9eZXXRM3.net
そういやコラッツてプッシュダウンオートマトンとかで実装できるの？
246:１３２人目の素数さん
18/06/13 21:21:20.83 86YPnV22.net
>>245
なんかしら Wolfram がチューリングマシンをどうこうして、
どっかの学生が証明したのなんだの、という話が
二三日前の新聞にあったような。
ggrks 、とセルフつっこみ。
247:righ1113
18/06/13 21:27:55.75 RdFyYz3+.net
>>245
チューリングマシンなら、あるんだがなあ。
URLﾘﾝｸ(m.youtube.com)
248:１３２人目の素数さん
18/06/13 21:33:44.48 9eZXXRM3.net
そりゃチューリングマシンはあるだろうさ
249:１３２人目の素数さん
18/06/13 22:05:18.39 6aITicNF.net
JavaScript で実装してみた
たぶん新しめのブラウザでないと動かない
最上位の1は暗黙の存在とし、内部的には全部'_'になって止まる
第1引数は下位を先頭とする2進数の文字列
(※最上位の1は入力からは除外する)
第2引数は途中で止めたい時用に処理する最大桁数
出力は途中経過の配列(最上位の1は補完)
function collatz(a,m){
const STT=[
['___','___','___'], // 停止
['10L','11L','6_R'], // 最下位まで戻る
['___','___','10L'], // 繰り上がり処理
['30R','41R','11L'], // ×3+0
['31R','50R','20R'], // ×3+1
['40R','51R','21R'], // ×3+2
['6_R','5_R','0_R'], // 割る2
];
let s=6, i=0, r=[a+1];
a=[...a];
while(s>0&&i<m){
let c='01'[a[i]]||'2';
let n=STT[s][c];
s=n[0]; // 状態
a[i]=n[1]; // 文字
i+=(n[2]=='R')?1:-1; // 移動
if(s==6)r.push(a.join('')+1);
}
return r;
}
250:１３２人目の素数さん
18/06/13 22:08:23.72 xW9095UW.net
>>249
ん、これコラッツのプッシュダウンオートマトンなの？
251:１３２人目の素数さん
18/06/13 22:12:54.50 6aITicNF.net
なお出力の途中経過は×3+1,÷2のいずれかが完了したところだけ出してる
252:１３２人目の素数さん
18/06/13 22:13:28.53 6aITicNF.net
あ、プッシュダウンではないね
ただのオートマトン
253:１３２人目の素数さん
18/06/13 22:14:59.61 xW9095UW.net
有限オートマトンのこと？
コラッツってそんな弱いの？
254:１３２人目の素数さん
18/06/13 22:25:22.86 6aITicNF.net
弱い強いはよくわからんが
「ある整数からコラッツ問題の通りに計算を続けて1に到達する」と
「ある整数に対応する初期状態から開始すると止まる」が同値になるオートマトンは作れるかな？
というわけで作ってみたのだが
255:１３２人目の素数さん
18/06/13 23:07:39.84 xW9095UW.net
うーん、プログラムが正しくオートマトンの制限を守ってるかどうか判断できない orz
パッと見、チューリングマシンのようにも見える。LとかRとかあるし。
256:１３２人目の素数さん
18/06/13 23:23:40.12 6aITicNF.net
オートマトンは進む一方か……
チューリングマシンだったねこれ
257:１３２人目の素数さん
18/06/13 23:34:57.10 6aITicNF.net
とりあえずwikipediaで定義を見直してきましたが、チューリングマシンと呼ぶべきですね
チューリングマシンをオートマトンの一種とするならオートマトンといえなくもないかもですが……
有限オートマトンではありません
なんかごっちゃになってましたねー
258:１３２人目の素数さん
18/06/15 19:53:54.10 uqoBws9V.net
まあ、プッシュダウンオートマトンでコラッツを実装で来たらそれはそれで一定の成果なのかな？
コラッツ予想が真なら究極的には1状態有限オートマトンでもおｋなわけだから無い話ではないはず。
259:１３２人目の素数さん
18/06/15 21:09:22.84 uqoBws9V.net
プッシュダウンオートマトンで実装で来たら無限に発散しないことが言えてしまう？
260:１３２人目の素数さん
18/06/15 21:10:02.85 uqoBws9V.net
いや、そうともかぎらんか。スマソ
261:前786
18/06/18 00:49:33.21 R9ITlpR3.net
すっかり別の話が進んでいるようですし、
私の方はなかなか次の話ができる見込みがないので、
私から剰余コラッツ予想についての話題を出すのは一旦休みたいと思います。
ここまでお付き合い下さった皆様、ありがとうございました。
262:righ1113
18/06/18 03:15:08.94 WdqZRIIM.net
残念ですぅ
263:１３２人目の素数さん
18/06/18 08:13:14.97 M5JNYBjP.net
解決に結びつくような話ではないのでスレ違いなんだが、
アラン・チューリングがチューリング・マシンの論文を
発表したのが一九三六年で、ローター・コラッツが
コラッツ予想を提出したのが一九三七年だろ？
なんかしらの関係はあったんだろうかね？
264:１３２人目の素数さん
18/06/18 08:44:33.72 M5JNYBjP.net
やべぇ。コラッツ予想は連続体仮説や選択公理みたいに、
証明不能であるかもしれないという疑惑が出てきた。
>>246 >>247
で話題になってたのは Wolfram が提出した問題なんだが
コラッツ過程を実行するチューリングマシン
（テープ上に、1, 0, -（データなし）の三状態が記録できる。
で、二往復すると、コラッツ過程が１ステップ進む）が、
万能チューリングマシンであることが示されたらしい
（>>247 の動画は、その実行例のデモ）。
そうなると、コラッツ予想は万能チューリングマシンの
停止性問題に帰着しそうな気がするんだが、どうだろう。
それとも「遷移規則をうまく構成する」ことで万能チューリングマシンを
実現することができるだけなので、「コラッツ予想を説くための
具体的な遷移規則」を与えたときに停止性が謂えるかどうかは、
まったくの別問題なのかな？
265:righ1113
18/06/18 10:36:46.36 qNaPdH2s.net
>>264
Wolframが提示して学生が解いたチューリングマシンは2状態3色で、8状態3色のコラッツとは別物ですね。
URLﾘﾝｸ(ja.osdn.net)
またおっしゃる通り、万能チューリングマシンに具体的な遷移規則を与えると、ある1つのチューリングマシンと等価になるので、万能性は消失すると思います。
266:１３２人目の素数さん
18/06/18 13:50:07.33 M5JNYBjP.net
>>265
ありがとう。安心した。
267:１３２人目の素数さん
18/06/18 21:39:43.70 mGDl57cN.net
コラッツ過程を実行するチューリングマシン
（テープ上に、1, 0, -（データなし）の三状態が記録できる。
で、二往復すると、コラッツ過程が１ステップ進む）が、
万能チューリングマシンであることが示されたらしい
これソースあるなら教えてくれる？
ひょっとしたら万能性が消失してないという話なのかもしれないので。
可能性は低いと思うけど。
268:１３２人目の素数さん
18/06/19 06:40:39.47 EReiwMfo.net
>>128
論文はこちら
URLﾘﾝｸ(www.wolframscience.com)
あとはこことか
URLﾘﾝｸ(reference.wolfram.com)
動画はガイシュツだけどこれ
URLﾘﾝｸ(m.youtube.com)
269:１３２人目の素数さん
18/06/19 06:46:57.18 EReiwMfo.net
あとはこれも
URLﾘﾝｸ(www.wolframscience.com)
270:１３２人目の素数さん
18/06/19 06:53:13.41 EReiwMfo.net
オートマトン関係ないけど、本筋的にはこんなのも
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
271:１３２人目の素数さん
18/06/19 22:10:02.87 3mIZP/N3.net
>>268
コラッツがチューリング完全とは書いてないっぽい
272:１３２人目の素数さん
18/06/21 13:52:02.84 qX+RK+7d.net
「何か進展はあるか？」みたいな話だとスレが進まないだろうけど、
「こういうアプローチはどうだろう？」みたいな
雑談っぽい話はあってもいいように思う。
このスレの住民は、悪戦苦闘したあげくに
このスレにいるわけだから、
たぶんバカにしたりとはしないぞ？
中学生とかが「こんな感じなんですけど、どうでしょうか？」
みたいな話をしたら、たぶん懇切丁寧に説明してくれるはずだ
（逆に、そういう初心者をバカにしたりしたら、総がかりで
ボコられると思う）。
このスレは数学板の中では、かなり優しいスレのうちに
入ると思う。
273:１３２人目の素数さん
18/06/21 19:09:13.28 3VWwsuqs.net
この手の問題は何をしたら証明したことになるのかが難しい
すぐに思いつくのは反例を見つけることだけど見つかる気がしない
この予想が正しかったら証明する方法なくね？って思ってしまう
274:１３２人目の素数さん
18/06/21 20:42:50.94 qX+RK+7d.net
>>273
とりあえず、ルートを逆に辿ることはできるんだから、
一意性は成り立っているわけだ。
だから、「任意の『４で割って１余る数』について、
なんかしらの順序的な保存量が定義できる」というのが表せれば、
証明になるんじゃないか？
現状、コラッツ操作によって値が上がったり下がったりするから、
「順序的な保存量」というのが定義できないわけだから。
275:１３２人目の素数さん
18/06/21 20:46:10.50 qX+RK+7d.net
>>273
あ、保存量として「何ステップで１に到達するか」を取るってのは
ナシだぞ？（笑） 「有限のステップで、必ず１に到達する」って
いうのが証明されてないわけだから。
276:１３２人目の素数さん
18/06/22 09:22:26.66 fZs8skv2.net
>>273
問題構造としては、「原始ピタゴラス数が三分木で表される」って
いうのと、ほぼ逆なんだよな。あっちは「最小の元から初めて、
三つの操作によってすべての元が一意に表せる」ことが解ってて、
「任意の元から最小の元へのルートが求められない」つーのが
問題だった。
コラッツ問題の場合は、「任意の元から最小の元へのルートが求められる
ことは、かなり確からしい（ただし、本当に最小の元へのルートがあるかは、
不明）」。で、「最小の元に二種類の操作を行なうことによって、
すべての元（任意の自然数）が一意に表される」かどうかは、
いまのところ不明であると。
なんか、自然数域から何か別の空間への写像を考えて、その別空間の
なかで、ある量に対する半順序構造が成り立つ、みたいなアプローチに
なるのかな？
たとえば f(128) < f(31) とか。
277:１３２人目の素数さん
18/06/22 09:46:11.31 fZs8skv2.net
わかりきったことを雑多に書くので落書きみたいなことに
なってしまうが、いちおう書いてみる。すまぬ。
2^∞＝∞で、「２で割る」操作が無限回必要だから、これは考えない。
したがって、[1, ∞) という自然数の開集合の中で考える。
n が偶数の場合は、n/2 に帰着するので、
「[1, ∞)の中の奇数」（{n|n は奇数かつ n∊[1, ∞)}）について考えれば足りる。
で、たしか
n が n≡3(mod 4) のときは、そこから先に奇数が出てこないので、
「{n|n ≡ 1(mod 4) ∧ n∊[1, ∞)}」について考えれば足りる。
みたいな話になってたような気がするんだけど、これで議論は
足りてるかな？
278:１３２人目の素数さん
18/06/22 17:03:30.74 fZs8skv2.net
>>277
あ、ぜんぜん足りてねぇな。
n ≡ 0 (mod 3) のケースについての話がなんにもない。
そのあたり、真面目に（高校生にも解るように）書いてると、
なんかしらスレを消費するだけなんだよな。
誰か（スレ主とか）が「やれ」って言ってくれりゃあ、
やるけど。
279:１３２人目の素数さん
18/06/22 20:03:26.94 iMFpB+6q.net
ごめん保存量とか知らない単語が出てきて自分には理解できなかった
自分で考えてて思いついたのは数学的帰納法くらいで
1～kの自然数が1に収束するならk+1も1に収束する、ということが言えれば証明できるのかなと
k+1が偶数なら次が(k+1)/2 < kだから1に収束する
k+1が4で割って1余るならkは4の倍数で次の3k+4も4の倍数
次の次が(3/4)k+1 < kだから1に収束する
あとはk+1が4で割って3余る場合を考えればいい
でもその先はパターンが無限の組み合わせになりそうだからこの方法では解けなさそう
280:righ1113
18/06/22 20:38:25.49 8OiWJMk5.net
>>277
ここってどういう意味?
> n が n≡3(mod 4) のときは、そこから先に奇数が出てこないので、
281:１３２人目の素数さん
18/06/22 21:02:12.79 fZs8skv2.net
>>279
> ごめん保存量とか知らない単語が出てきて自分には理解できなかった
いや、数学的には正確になんというか知らんのだが、
全部の要素が順番に並んでて、
「最初のものについて成り立つ」
「あるものについて成り立つならば、“その次のもの”について成り立つ」
「だったら、全部のものについて成り立つ」
っていうのが、数学的帰納法だろ？
現代数学って、「次の数」ベースで成立してる（ペアノの公準。「数え主義」
あるいは「順序数による」定義）で成り立っているので、「加法が成立する」っていう「量に基づく
考え方」（基数による定義）とは、ちょっと相性が悪いんだ。
「１は自然数である」「自然数＋自然数は自然数である」みたいなやりかたは、
現代数学じゃなくって、むしろ「算数」の考え方なんだよ。
282:１３２人目の素数さん
18/06/22 21:11:12.96 fZs8skv2.net
>>280
すまん。言葉が足りなかった。
そのあたりは、いちおう前のほうのエントリで議論は尽くされて
いると思うので、あらためて整理してからまた書く。
しばらく待っててくれ。
283:１３２人目の素数さん
18/06/23 07:13:55.05 if8U6rKp.net
話はかなり基礎的な話になる。
コラッツ予想は、“すべての有限な自然数”は、「偶数だったら２で割る」
「奇数だったら三倍して１を足す」という操作を繰り返してゆくと、
“有限回で” “必ず”１に到達する（そして１→４→２→１という
ループに落ちる）という話だ。
コラッツ予想の対偶は、逆操作である「２倍する」「１を引いて３で割る」という
操作を、１に対して有限回おこなうことで、“すべての数”に到達することができる、
というものだ。つまり、有限な自然数は、「２倍する」「１を引いて３で割る」
という二つの操作によって、１を根とした（有限の高さの）二分木構造を
なす、ということだ。
ここまでは、変なことは言ってないと思う。
２^∞を除く2の冪乗数は、プリミティブだから考えなくていい。
すべての偶数は、根のほうから見ると、奇数に2の冪乗数を
乗じたもので表されるから、「奇数の先にある」し
「奇数と奇数の間に出てくる」わけだから、考えなくていい。
このとき、 n が奇数のとき、3n + 1 は必ず偶数になるので、
コラッツ操作 3n + 1 は (3n + 1)/2 とし、逆問題が
「すべての有限な自然数」ではなくて「少なくともすべての有限な
基数（途中に出てくる偶数は、勘定に入れなくていい）」について
証明すれば足りる。
284:１３２人目の素数さん
18/06/23 07:21:29.24 if8U6rKp.net
ある奇数が 3 の倍数のとき、「×２」の操作を何度行なっても、
3 の倍数になる。そうすると、(3n + 1)/2 の逆操作が行なえない
（結果が自然数でなく分数になってしまう）ので、
「（n ではなく d（odd の d）と表記するとして）3 の剰余群
{0, 1, 2} のうち、d ≡ 1 または 2 のすべての有限な奇数が、1 を
根とした木の上にあることが示されれば、コラッツ予想は肯定的に
証明されることになる」と謂える。
285:１３２人目の素数さん
18/06/23 07:31:26.76 if8U6rKp.net
これをもう一段絞りこんで、4 の剰余群 {0, 1, 2, 3} のうち、d ≡ 1 (mod 4) の
場合にだけ注目すればいい、という話にならないか？ということ。
d ≡ 0 (mod 4) と d ≡ 2 (mod 4) は偶数なので、（逆操作の途中には
出てくるけれども）、証明の本質にはかかわってこない。
d ≡ 3 (mod 4) ということは、「下位ビットが 2 個以上の連続した
オンビット」なので、途中には出てくるけれど、d ≡ 1 (mod 4) の場合に
帰着する（つまり、d ≡ 1 (mod 4) の場合に吸収される）はずだ。
その結果、コラッツ予想は 3 と 4 の剰余群の直積集合上で考えていいわけで、
mod 12 で考えても一般性を失わないはず。
ただし、それで証明ができるかは別問題なんだが (-_-!)
286:１３２人目の素数さん
18/06/23 07:48:51.66 if8U6rKp.net
>>280
× > n が n≡3(mod 4) のときは、そこから先に奇数が出てこないので、
〇 > n が n≡0(mod 3) のときは、そこから先に奇数の枝が出てこないので、
287:１３２人目の素数さん
18/06/23 21:10:19.57 kMgEMQAn.net
以下、左が下位の2進表現とする
x→3x+1
10→00 10
01→11 10
10 01→00 11 10
10 01 01→00 11 11 10
10 01 01 01→00 11 11 11 10
…
27みたいなのはこういうパターンを踏んで大きくなるのか
288:１３２人目の素数さん
18/06/24 06:22:55.46 JZQSNXZT.net
最下位に 1 が連続して出てくると、そこからが
厄介なんですよ。
11 11 11 0### みたいなパターンを
[11 11 1 ]+[10###] と分けたとするでしょう？
そうすると、全体に五回 3x+1 操作を加えることは、
[10###] に５回 3x+2 操作を行なうのと等価になる。
それで 1 への収束が遅れるらしい。
だから、コラッツ予想を (m, n) という２変数に対する操作と
考えて、有限回で (0, 1) に到達するかどうか、と
言い換えるのはどうだろうか、と考えたことがある。
289:１３２人目の素数さん
18/06/24 06:32:53.97 JZQSNXZT.net
31 だと、
11111
*111101
**1110001
***1101011
****10000101
（中略）
*****/*/1101101
*****/*/*10010001
*****/*/**/1110011
*****/*/**/*11011001
*****/*/**/**10010111
*****/*/**/***/11110101
*****/*/**/***/*111000001
*****/*/**/***/**110100011
*****/*/**/***/***1000101001
（中略）
*****/*/**/***/****/*//***/**/111111001
*****/*/**/***/****/*//***/**/*111110111
*****/*/**/***/****/*//***/**/**1111001101
*****/*/**/***/****/*//***/**/***11101100001
*****/*/**/***/****/*//***/**/****11001010011
*****/*/**/***/****/*//***/**/*****101111101001
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//1111000111
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//*11101010101
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//**110000000001
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//***101000000011
と、途中で何度も 1 の連続が出てくるんで、なかなか収束しない。
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