大学学部レベル質問スレ 11単位目

大学学部レベル質問ス ..

521:１３２人目の素数さん
18/05/29 19:12:40.90 f5vIlzv/.net
f が全実数で微分可能な関数で lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ なら、
f'(x) = 0 となる点 x が存在することを示せ。
f(x) ≡ 0 の場合には↑の命題は成り立つ。
f(x) ≠ 0 となる x が存在すると仮定する。
f(b) ≠ 0 とする。
c < x ⇒ |f(x)| < |f(b)| となるような c が存在する。
b ≦ c である。
x < a ⇒ |f(x)| < |f(b)| となるような a が存在する。
a ≦ b である。
a ≦ b ≦ c である。
a = c のときには、すべての x に対して |f(x)| ≦ |f(b)| であるから、
f(x) は x = b で最大値または最小値をとる。
ロルの定理の証明と同様の論法により、 f'(b) = 0 である。
よってこの場合には、↑の命題は成り立つ。
a < c の場合を考える。
f(x) は [a, c] で連続だから [a, c] で [a, c] 内での最大値 M および最小値 m をとる。
K := max{|M|, |m|} とおく。
|f(b)| ≦ K だから、 f(x) は [a, c] 内の点 d で、 R 全体での最大値または最小値をとる。
ロルの定理の証明と同様の論法により、 f'(d) = 0 である。
以上より、↑の命題は成り立つことが分かった。

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