大学学部レベル質問スレ 11単位目

大学学部レベル質問ス ..

148:１３２人目の素数さん
18/05/03 00:00:59.04 p8vx6fNI.net
区間 (a, b) で連続な関数 f(x) に対して
lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
が存在するならば
(4.35) ∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
と定義する。ここで(4.35)は任意の正の実数 ε に対応して一つの正の実数 δ(ε)
が定まって、 b - δ(ε) < t < b, a < s < a + δ(ε) ならば
| ∫_{a}^{b} f(x) dx - ∫_{s}^{t} f(x) dx | < ε
となることを意味するが、点 c, a < c < b, を一つ定めれば
∫_{s}^{t} f(x) dx = ∫_{s}^{c} f(x) dx + ∫_{c}^{t} f(x) dx
であるから
lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
=
lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx,
したがって(4.35)は
∫_{a}^{b} f(x) dx
=
lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx
とも書かれる。

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