分からない問題はここに書いてね441

分からない問題はここ ..

959:１３２人目の素数さん
18/03/29 07:21:49.30 jEAdHobt.net
>>610の解法
S[n,M]=Σ{k=0→[M/2]} C(M-k,k)/n^k とする。
①(1/n)S[n,2m]+S[n,2m+1]=(Σ{k=0→[2m/2]} C(2m-k,k)/n^k)/n+(Σ{k=0→[(2m+1)/2]} C((2m+1)-k,k)/n^k)
=(Σ{k=0→m} C(2m-k,k)/n^k)/n+(Σ{k=0→m} C(2m-k+1,k)/n^k)
=(Σ{k=1→m+1} C(2m-(k-1),k-1)/n^(k-1))/n+(Σ{k=0→m} C(2m-k+1,k)/n^k)
=(Σ{k=1→m+1} C(2m-(k-1),k-1)/n^k)+(Σ{k=0→m} C(2m-k+1,k)/n^k)
=(Σ{k=1→m} C(2m-(k-1),k-1)/n^k + C(2m-((m+1)-1),(m+1)-1)/n^(m+1))+(C(2m-0+1,0)/n^0 +Σ{k=1→m} C(2m-k+1,k)/n^k)
=(Σ{k=1→m} C(2m-k+1,k-1)/n^k + C(m,m)/n^(m+1))+(C(2m+1,0)/n^0 +Σ{k=1→m} C(2m-k+1,k)/n^k)
=C(2m+1,0)/n^0 + Σ{k=1→m} (C(2m-k+1,k-1)/n^k + C(2m-k+1,k)/n^k) + C(m,m)/n^(m+1)
=C(2m+2,0)/n^0 + Σ{k=1→m} C(2m+2-k,k)/n^k + C((2m+2)-(m+1),m+1)/n^(m+1)
=Σ{k=0→m+1} C(2m+2-k,k)/n^k
=S[n,2m+2]
②(1/n)S[n,2m-1]+S[n,2m]=(Σ{k=0→[(2m-1)/2]} C((2m-1)-k,k)/n^k)/n+(Σ{k=0→[2m/2]} C(2m-k,k)/n^k)
=(Σ{k=0→m-1} C((2m-1)-k,k)/n^k)/n+(Σ{k=0→m} C(2m-k,k)/n^k)
=(Σ{k=1→m} C((2m-1)-(k-1),k-1)/n^(k-1))/n+(C(2m-0,0)/n^0 + Σ{k=1→m} C(2m-k,k)/n^k)
=C(2m,0)/n^0 + (Σ{k=1→m} C(2m-k,k-1)/n^k + Σ{k=1→m} C(2m-k,k)/n^k)
=C(2m,0)/n^0 + Σ{k=1→m} (C(2m-k,k-1)/n^k + C(2m-k,k)/n^k)
=C(2m+1-0,0)/n^0 + Σ{k=1→m} C(2m+1-k,k)/n^k
=Σ{k=0→m} C(2m+1-k,k)/n^k=S[n,2m+1]
①②より(1/n)S[n,M]+S[n,M+1]=S[n,M+2]
(1/n)+X=X^2 となる X の2解をα,βとすると、α+β=1,αβ=-1/nから、-αβS[n,M]+(α+β)S[n,M+1]=S[n,M+2]
これを変形して③α(S[n,M+1]-βS[n,M])=S[n,M+2]-βS[n,M+1]、④β(S[n,M+1]-αS[n,M])=S[n,M+2]-αS[n,M+1]
③より(S[n,M+1]-βS[n,M])=α^M(S[n,1]-βS[n,0])、④より(S[n,M+1]-αS[n,M])=β^M(S[n,1]-αS[n,0])を得る
これらをS[n,M]で解いてS[n,M]=(α^M(S[n,1]-βS[n,0])-β^M(S[n,1]-αS[n,0]))/(α-β)
与式=S[n,n]にα=(1+√(1+4/n))/2,β=(1-√(1+4/n))/2,S[n,0]=C(0,0)/n^0=1,S[n,1]=C(1,0)/n^0=1を代入して、
与式=(α^n(1-β)-β^n(1-α))/(α-β)=(α^(n+1)-β^(n+1))/(α-β)
=(((1+√(1+4/n))/2)^(n+1)-((1-√(1+4/n))/2)^(n+1))/√(1+4/n)

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