分からない問題はここに書いてね441

分からない問題はここ ..

488:１３２人目の素数さん
18/03/15 13:01:31.92 0fp5JvfB.net
pを素数とする。次を満たす素数qが存在することを示せ。いかなる整数nについても、(n^p)-pはqで割り切れない。
(p^p-1)/(p-1)=1+p+p^2+.....+p^p-1
≡1+p (mod p^2)だから
qを(p^p-1)/(p-1)の素因子でq≡1 (mod p^2)とならないものとする
背理法で示そう
今、ある整数nが存在して,
n^p≡p (mod q)と仮定する
すると, qの定義から
n^(p^2)≡p^p≡1 (mod q)
Fermatの小定理よりn^(q-1)≡1 (mod q)
であり一方で, q-1は p^2で割り切れないので
pはgcd(q-1, p^2)の倍数となる
したがって, n^(q-1)≡1 (mod q)だから
n^p≡1 (mod q)
ゆえに, p≡1 (mod q)となる
すると
1+p+p^2+.....+p^p-1≡p (mod q)だから
qは(p^(p-1))/(p-1)の素因子であり
p≡0 (mod q)
ゆえにqが素数であることに矛盾する
すると, qの定義から
n^(p^2)≡p^p≡1 (mod q)
のp^p≡1 (mod q)が分からないので詳細な解説をください。
p≡1 (mod q)はどこから出てくるのですか？

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