分からない問題はここに書いてね441

分からない問題はここ ..

333:B ①任意の x について g(2x)=2g(x) それぞれの条件において y=x とすると (a) 4xg(x) ≦ 2xg(2x), すなわち 2g(x)≦g(2x) (b) g(2x)≦2g(x) したがって g(2x)=2g(x) ②任意の x,n について g(nx)=ng(x) n=2^k のときは、①よりOK。そうでない n について、帰納法で示す。 n より小さい全ての数で成り立っていると仮定する。 2^k < n < 2^(k+1) となる k をとる。 (b) より g(nx) ≦ g(2^k*x) + g((n-2^k)x) = 2^k*g(x) + (n-2^k)g(x) = ng(x) また、(b) を変形した g(y) ≧ g(x+y)-g(x) を用いると g(nx) ≧ g(2^(k+1)*x)-g((2^(k+1)-n)x) = 2^(k+1)*g(x) - (2^(k+1)-n)g(x) = ng(x) (途中で 2^(k+1)-n < n を用いているが、これは 2^k < n から従う) したがって g(nx)=ng(x) ③任意の x について g(x)≦0 条件(a)において y=2x とすると 10xg(x) ≦ 9xg(x) (②を用いた) よって g(x)≦0 ④g(x) は広義単調減少 (b)と③より g(x+y)-g(x) ≦ g(y) ≦ 0 よってOK。さて、g(1) = m とおく。③より m≦0 ①、②より、任意の k, n について g(n/(2^k)) = (n/(2^k))*m よって、g は稠密な集合上で g(x) = mx を満たす。さらに④より広義単調減少なので、全ての x について g(x) =mx したがって、f(x) = mx^2 逆に、f(x) = mx^2 (m≦0) は条件を満たす。

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