面白い問題おしえて～な 26問目

面白い問題おしえて～な 26問目 at MATH

1019:１３２人目の素数さん
18/07/28 18:40:27.16 Sc9m8D2O.net
ちなみに8次でも同じような問題できる
2＾n次でできるのかも

1020:１３２人目の素数さん
18/07/28 19:32:48.35 57kIc8+e.net
>>2
7+8-5=10
俺の勝ち
ちなみに
ID:AT99r3l3(>>24,29)　→　9+9/(3*3)=10

1021:１３２人目の素数さん
18/07/28 19:33:18.55 57kIc8+e.net
そろそろ次スレを

1022:１３２人目の素数さん
18/07/28 20:56:04.78 zqnKg1oN.net
>>981
不正解
>>979でも言ったけど左右対称じゃない

1023:１３２人目の素数さん
18/07/28 20:58:42.11 zqnKg1oN.net
>>981
しかもそれ4より大きいじゃん

1024:１３２人目の素数さん
18/07/28 21:04:35.57 5RD8Md9I.net
数列{a_n}

1025:を以下のように定める。 a_1 = 3 a_(n+1) = (a_n)^2 - 2 この時、 a_n が合成数になるような n は存在するか。

1026:１３２人目の素数さん
18/07/28 21:36:52.34 Nf1txf93.net
>>988
mod 1087で考えると
a_1≡3
a_2≡7
a_3≡47
a_4≡33
a_5≡0
明らかにa_5>1087なのでa_5は合成数

1027:１３２人目の素数さん
18/07/28 21:46:55.05 boOQAkuB.net
ちなみにmod 127でも
a_1≡3
a_2≡7
a_3≡47
a_4≡48
a_5≡16
a_6≡0
a_6>127よりa_6は合成数
1087も127も勘で見つけた

1028:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:05:52.09 ttDOnSiN.net
>>990
正解、1087は見つけられんかったわ　すごい
pがメルセンヌ素数の時にフィボナッチ数列がmodpでp+1を周期に持つ条件やら何やらを考えてて127を偶然見つけたけど、
メルセンヌ素数かどうかの判定法でリュカテストというのがあって、殆ど同じことやってたのを問題出してから知った…

1029:イナ
18/07/28 22:32:30.32 6VVd4WCT.net
前>>981対角線2つのほかに、あえて対称じゃない分割線を一本引いたのに、対称と言われた。
―――――
①対角線1つ=(1+√5)/2
②対角線から最寄りの頂点への垂線=(1/4)√(10-2√5)
③中心角72°の扇形の弧=2π/5
④扇形の弧から残りの頂点への垂線={(1+√5)/2}-1
―――――
①+②+③+④=√5+2π/5+(1/4)√(10-2√5)
=4.08049029……ぉしい!!

1030:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:40:01.22 boOQAkuB.net
まあa_5, a_6をwolframに因数分解してもらって、modで書き直しただけなんだけど

余談だが、素数を無限に生成する関数
強い順に
f(n)=p_n
{f(n)}=Pかつf(m)≠f(n)
{f(n)}=P
{f(n)>0}=P
は存在するが、いずれも人為的なものであり実用性は乏しい（下の論文では"engineered"と表現している）
漸化式で定義された数列では
a_1=7
a_n=a_(n-1)+gcd(n, a_(n-1))
の階差数列b_nは1か奇素数になる
しかも全ての奇素数が現れるという
{a_n}=7,8,9,10,15,18,19,20,21,22,33,36,37,…
{b_n}=1,1,1,5,3,1,1,1,1,11,3,1,…
URLﾘﾝｸ(cs.uwaterloo.ca)

1031:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:45:27.23 XEewS8qw.net
>>983
そりゃできるんじゃね？
|a b c d|
|b ax d cx|
|c d ay by|
|d cx by axy|
なら行列は０行０列から数えるとして
1の位が0の行、つまり0行目と2行目に√xをかけ、1の位が１の列、つまり１列目と３列目を√xで割る。
同じことを２の位について√yで行えば√x=u、√y=vとして
|auv bv cu d|
|bv auv d cu|
|cu d auv bv|
|d cu bv auy|
となって結局
|A B C D|
|B A D C|
|C D A B|
|D C B A|
を考えることになる。
2行目＋３行目＋４行目を１行目にたせば１行目は全部A+B+C+Dだからdetは(A+B+C+D)で割り切れる。
ー2行目＋３行目ー４行目を１行目にたせば１行目は全部A-B+C-Dだからdetは(A-B+C-D)で割り切れる。
2行目ー３行目ー４行目を１行目にたせば１行目は全部A+B-C-Dだからdetは(A+B-C-D)で割り切れる。
ー2行目ー３行目＋４行目を１行目にたせば１行目は全部A-B-C+Dだからdetは(A-B-C+D)で割り切れる。
A^の係数は１だからdet = (A+B+C+D)(A-B+C-D)(A+B-C-D)(A-B-C+D)。
これ2^2でやったけど2^nでもできると思う。

1032:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:58:36.93 Sc9m8D2O.net
>>994
なるほど

1033:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:00:35.26 Sc9m8D2O.net
2^nだとどう並べたら良いかな

1034:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:17:01.50 XEewS8qw.net
とりあえず2^2のパターンを２つつかって2^3は
A B C D E F G H
B A D C F E H G
C D A B G H E F
D C B A H G F E
E F G H A B C D
F E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
でこのパターンをまた文字変えて並べて…でいけると。
1,-1のパターンは
n=1のとき1,1と1,-1
n=2のとき1,1,1,1と1,-1,1-1と1,1,-1,-1と1,-1,-1,1 (２つコピペして並べたものとそのままと-1倍したものを並べたもの)
n=3のとき1,1,1,1,1,1,1,1,と1,1,-1-1,1,1,-1-1と1,-1,1,-1,1,-1,1,-1と1,-1,-1,1,1,-1,-1,1と…
でいけると思う。このパターンで各行を足したり引いたりしたら全成分同じ値が並ぶ行が出てくると思う。

1035:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:46:15.45 Sc9m8D2O.net
A=[[a,b],[b,a]]という形式の行列でテンソル積を取っていけばよいのかな>>997
A*A=[[aA,bA],[bA,aA]]
A*A*A=[[aA*A,bA*A],[bA*A,aA*A]]
みたいな
ただし
aA=[[aa,ab],[ba,bb]]
の成分は非可換でA*^nの成分はaaa…aからbbb…bまでの2^n通りで

1036:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:54:37.19 Sc9m8D2O.net
そしたら
|A*^(n+1)|=|[(a+b)A*^n,(a+b)A*^n],[bA*^n,aA*^n]|=|[a+b)A*^n,O],[bA*^n,(a-b)A*^n]|=|(a+b)A*^n||(a-b)A*^n|
から上手く因数分解した形で求められそう

1037:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:58:12.29 XEewS8qw.net
>>998
テンソル積でうまく表現できるかもですね。
いま思いついたんだけどGを可換有限群としてGの元gに対応する不定元Agを用意しておいてg行h列がAghである行列にすればよさそう。
GがZ/2Zをn個直積した場合が今回の例でG=Z/nZの場合が巡回行列の行列式の理論になる。
その行列式はGの既約指標x(g)にたいしてΣ[g] x(g)Agの形の一次式をn個の指標全体でかけ合わせたものになると思う。
それで今回の話も巡回行列の行列式の理論も同様に説明できるみたい。

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