面白い問題おしえて～な 26問目

面白い問題おしえて～ ..

983:82
18/07/27 08:03:17.37 sps923Uv.net
出典
(A)
URLﾘﾝｸ(www.cut-the-knot.org)
このサイトに証明が2つ載っている。
1つ目は上記。
2つ目は>>87と同じ方針で最後に[補a]を使わない方法である（三角形の内角の大小関係を使っている）。
(B)
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
1点を欠いた図形を考えるのがミソである。この一工夫で証明はかなり楽になる。クレバーな方法。
(B)の画像はGeoGebraで自作した。
この手の問題は
「定幅図形（またはそれらに内包される図形）で元の図形を被覆／分割して、鳩の巣原理に持ち込む」
のが定石だが、効率の良い被覆や分割は発見に試行錯誤を要することが多い。
「図形Aに、どのようにk個以上の点を配置しても、ある2点間の距離がd以下/未満になる」
みたいな一般化は厳しいだろう。

984:188
18/07/27 08:05:38.26 sps923Uv.net
>>188の正解
正n角形について、辺AB,BC,CD…の順に鏡映を取っていく操作を
nが偶数ならばn-1回
nが奇数ならば2n-1回
それぞれ繰り返せば、l(n)を「平行な2辺間を結ぶ直線か折れ線の長さ」に帰着することができる。折れ線のときは直線のときより長いことを利用すれば、幾何的にl(n)の最小が求まる。
もちろん

985:>>189みたいに式で解けるならそれに越したことはないが…

986:１３２人目の素数さん
18/07/27 09:50:50.05 NlkV/5Nh.net
>>856
解答です。
PQRSにおける接線の交点を結んで得られる四角形をXYZWとする。
XからCに引いた２接線の接点の交点をx、y,z,wに対するそれをy,z,wとする。
仮定よりXYZWは円D上にあるしてよい。
このときDのCに関する反転をdとするとxyzwはd上である。
よって主張は成立する。□

987:１３２人目の素数さん
18/07/27 22:17:47.94 uXdC9xjt.net
一辺の長さ1の正五角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さの最小値を求めよ

988:１３２人目の素数さん
18/07/27 22:19:49.89 uXdC9xjt.net
正n角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さが最小となるとき、分岐点の角度は必ず120°となることを証明せよ

989:１３２人目の素数さん
18/07/27 22:22:17.06 uXdC9xjt.net
>>953
ごめんこれ嘘
なんでもない

990:
18/07/28 00:32:41.08 6VVd4WCT.net
>>952
2π
∵五角形の中に桜の花びらを描くように半径1の弧を各頂点から描くと、
弧の最小単位
2π×(36°/360°)
が十個、頂点と分岐点を交互に通るかたちになる。
前>>925開運!!

991:１３２人目の素数さん
18/07/28 00:38:05.20 EnyRsA6W.net
>>953
n=3 のときはフェルマー点

992:535
18/07/28 07:52:44.92 o+vDTN8W.net
>>535の正解発表
【Step 1　与式の分割】
例えば最初の分数式について
(a-b)(a-c)/(a+b+c)
=(1/2)(a-c)(a-c)/(a+b+c)
+(1/2)(a-c)(a-2b+c)/(a+b+c)
は容易に確認できる。
そこで
s=a+b+c+d
A'=(a-c)(a-c)/(s-d)
A''=(a-c)(a-2b+c)/(s-d)
B'=(b-d)(b-d)/(s-a)
B''=(b-d)(b-2c+d)/(s-a)
C'=(c-a)(c-a)/(s-b)
C''=(c-a)(c-2d+a)/(s-b)
D'=(d-b)(d-b)/(s-c)
D''=(d-b)(d-2a+b)/(s-c)
と置くと
(与式の左辺)
=(1/2)[A'+A''+B'+B''+C'+C''+D'+D'']
=(1/2)[(A'+B'+C'+D')+(A''+B''+C''+D'')]
と分割できる。

993:535
18/07/28 07:55:37.99 o+vDTN8W.net
【Step 2　A'+B'+C'+D'の評価】
√A',√B',√C',√D',√(s-a),√(s-b),√(s-c),√(s-d)にコーシー・シュワルツの不等式を適用すると
[A'+B'+C'+D'][(s-a)+(s-b)+(s-c)+(s-d)]
≧[{√A'}*{√(s-a)}+{√B'}*{√(s-b)}+{√C'}*{√(s-c)}+{√D'}*{√(s-d)}]^2　…△
⇔3s(A'+B'+C'+D')≧(|a-c|+|b-d|+|c-a|+|d-b|)^2
⇔3s(A'+B'+C'+D')≧(2|a-c|+2|b-d|)^2
相加相乗平均の不等式より
2|a-c|+2|b-d|≧2√(2|a-c|*2|b-d|)>0
だから
(2|a-c|+2|b-d|)^2≧16|a-c||b-d|　…▲
よって
3s(A'+B'+C'+D')≧16|a-c||b-d|
⇔A'+B'+C'+D'≧16|a-c||b-d|/(3s)　…①

994:535
18/07/28 08:02:39.32 o+vDTN8W.net
【Step 3　A''+B''+C''+D''の評価】
(a-c)(a-2b+c)(s-b)+(c-a)(c-2d+a)(s-d)
=(a-c)[(a+c-2b)(a+c+d)-(a+c-2d)(a+c+b)]
=(a-c)[{(a+c)^2+(d-2b)(a+c)-2bd}-{(a+c)^2+(b-2d)(a+c)-2db}]
=(a-c)[(d-2b-b+2d)(a+c)]
=3(a-c)(d-b)(a+c)
またM=(s-d)(s-b)とおくと
M=s(s-b-d)+db=s(a+c)+bd
A''+C''
=[(a-c)(a-2b+c)(s-b)+(c-a)(c-2d+a)(s-d)]/[(s-d)(s-b)]
=3(a-c)(d-b)(a+c)/M
同様にN=s(b+d)+acとおくと
B''+D''=3(b-d)(a-c)(b+d)/N
よってW=(b+d)M-(a+c)Nとおくと
W=(b+d){s(a+c)+bd}-(a+c){s(b+d)+ac}=(b+d)s(a+c)+(b+d)bd-(a+c)s(b+d)-(a+c)ac=(b+d)bd-(a+c)ac
A''+C''+B''+D''
=3(a-c)(b-d)[(b+d)/N-(a+c)/M]
=3(a-c)(b-d)[(b+d)M-(a+c)N]/(MN)
=3(a-c)(b-d)W/(MN)
ここで
MN={(a+c)s+bd}{(b+d)s+ac}=(a+c)(b+d)s^2+{(a+c)ac+(b+d)bd}s+bdac
>{(a+c)ac+(b+d)bd}s
x>0,y>0のときx+y>|x-y|より
{(a+c)ac+(b+d)bd}s>|(a+c)ac-(b+d)bd|s=|W|s
よって
MN>|W|s⇔(1/s)>|W|/(MN)
ゆえに
|A''+C''+B''+D''|=3|a-c||b-d||W|/(MN)≦3|a-c||b-d|/s　…▼
したがって
A''+C''+B''+D''≧-3|a-c||b-d|/s　…②

995:535
18/07/28 08:06:13.82 o+vDTN8W.net
【与式の証明と等号成立条件】
①と②より
(与式の左辺)
=(1/2)[(A'+B'+C'+D')+(A''+B''+C''+D'')]
≧16|a-c||b-d|/(3s)-3|a-c||b-d|/s
=

996:16|a-c||b-d|/(3s)-3|a-c||b-d|/s =7|a-c||b-d|/(3s)　…☆ 明らかに 7|a-c||b-d|/(3s)≧0=(与式の右辺)　…★ よって (与式の左辺)≧(与式の右辺) (与式の等号が成立する) ⇔(☆、★の等号が成立する) ⇔(①、②、★の等号が成立する) ⇔(△、▲、▼、★の等号が成立する) ▲の等号成立条件は 2|a-c|=2|b-d|⇔|a-c|=|b-d| ▼と★の等号成立条件は |a-c|=0∨|b-d|=0⇔a=c∨b=d よって a=c∧b=d このとき△でも等号が成立している。したがって、与式の等号成立条件はa=c∧b=d　■

997:535
18/07/28 08:08:38.70 o+vDTN8W.net
他の2つの模範解答もどう発想するのか判らない解答であるうえ、ただ煩雑で汚いので省略。
リンク先で見てください。
出典：IMO2008SL-A7
URLﾘﾝｸ(www.imo-official.org)

998:１３２人目の素数さん
18/07/28 08:13:53.49 Sc9m8D2O.net
|a b c d|
|b bx d cx|
|c d ay by|
|d cx by axy|
を因数分解せよ

999:１３２人目の素数さん
18/07/28 09:35:34.58 pdtqHzrG.net
>>418
解答です。
R=F[T]/(T^2+1)、X1={(x,y,z)∈X | z≠0}、X2={(x,y,z)∈X | z=0}
とおいてR^をRの可逆元のなす群としN:R→Fをノルム写像とする。
またTの類T+(T^2+1)をtとする。
x,y∈FにたいしてN(x+yt) = x^2+y^2である。
x∈Fでx^2+1≠0かつx^2+1がGに属さないものがとれる。
(∵1～q-2のうちa∈G,a+1はGに属さないaをとってx^2=aとなるxをとればよい。)
このときN(x+t)=x^2+1はGに属さず0でもないのでx+tはR^＼N^(-1)(G)に入る。
よってR^/N^(-1)(G)はR^の真部分群であり準同型定理によりZ/2Zであるとわかる。
とくに#N^(-1)(-G) = (1/2)#R^である。
以上により
#X = 2・(1/2)#R^ + (R＼R^) = #R^ = q^2
である。
以下(a/q)を平方剰余記号とする。
(-1/q)=-1のときX2={(0,0,0)}であり#X2=1である。
(-1/q)=1のときu^2=-1となるu∈FをとればX2={(x,±ux,0)}であるから#X2=2q-1である。
以上により
#Y=#X-3#X2+3-1
=q^2-1 (q≡3 mod 4)、=q^2-6q+5 (q ≡ 1 mod 4)
である。
つぎに
Y2={(x,y,z) | x=y,xyz≠0}
とおくとき(-2/q)=-1ならばばY2=∅であり、
(-2/q)=1ならばv^2=-2となるv∈FをとればY2={(x,x,±vx)|x∈F^}であるから#Y2=2q-2である。
また
#Z=#Y-3#Y2
であるから以上と第２補充法則により
#Z=q^2-12q+11 (q ≡ 1 (mod 8))
#Z=q^2-6q+5 (q ≡ 3,5 (mod 8))
#Z=q^2-1 (q ≡ 7 (mod 8))
を得る。

1000:１３２人目の素数さん
18/07/28 09:38:12.21 z2BC7zek.net
log2=0.3010, log3=0.4771が与えられている.
ここから, log11の小数第2位の値を求めよ.

1001:１３２人目の素数さん
18/07/28 09:41:05.15 pdtqHzrG.net
>>962
>|a b c d|
>|b bx d cx|
>|c d ay by|
>|d cx by axy|
determinant(matrix([a,b,c,d],[b,b*x,d,c*x],[c,d,a*y,b*y],[d,c*x,b*y,a*x*y])),factor;
a^3*b*x^2*y^2－a*b^3*x*y^2－a^2*b^2*x*y^2+b^4*y^2－a*b*c^2*x^2*y－a^2*c^2*x^2*y－a*b*d^2*x*y－a^2*d^2*x*y+2*b^2*c*d*x*y+6*a*b*c*d*x*y－2*b^2*c^2*
x*y－2*b^2*d^2*y+c^4*x^2－2*c^2*d^2*x+d^4
？？？？

1002:１３２人目の素数さん
18/07/28 10:40:19.76 bjlcOHL6.net
>>962
とりあえず２行２列のbはaのまちがいっぽいけどそれでもまだ既約みたいやね。

1003:１３２人目の素数さん
18/07/28 10:43:17.16 eDTZE8Ag.net
>>962
こう？
determinant(matrix([a,b,c,d],[b,a*x^2,d,c*x^2],[c,d,a*y^2,b*y^2],[d,c*x^2,b*y^2,a*x^2*y^2])),factor;
(a*x*y－b*y－c*x+d)*(a*x*y－b*y+c*x－d)*(a*x*y+b*y－c*x－d)*(a*x*y+b*y+c*x+d)

1004:１３２人目の素数さん
18/07/28 13:37:27.98 25At2aHe.net
>>955
今更だけど不正解
少なくとも4つの辺を結べば5点を結べるから4より小さくないとおかしい

1005:１３２人目の素数さん
18/07/28 14:57:21.13 z4N8++BV.net
>>953
分岐点に隣接する３点の作る三角形の外心と、分岐点が一致する
ということでいいんでない？

1006:１３２人目の素数さん
18/07/28 15:11:48.34 z4N8++BV.net
いや、>>969はたぶん違うな……
むしろ分岐点の角がすべて120°のほうが正しい気がしてきた

1007:イナ
18/07/28 15:20:45.41 6VVd4WCT.net
>>968長さ4だと正五角形の周長より短いじゃないか。曲線じゃない直線だし。
一つの頂点を一回通ればいいってことか。
前>>955

1008:１３２人目の素数さん
18/07/28 15:24:47.07 dqaEH9OC.net
続けたまえ

1009:イナ
18/07/28 15:37:26.36 6VVd4WCT.net
>>972わかった。十個の弧のうち四個は省けるね。
2π×(36ﾟ/360ﾟ)人人
/＿/×6=4π/5（＿^_)
/＿/＿/＿/＿/（＿＿)
/＿/＿/＿/＿/（^｡^))
/＿人人＿/＿/_(＿っ┓
/_(＿)_)_/＿/◎┻υ◎
/_( _＿)_/＿/＿/＿/＿
/_(_（`)_/＿/＿/＿/＿
/_(υ＿)┓＿/＿/__/＿/
/◎υ┻-◎＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/屁でもねえや。前>>971それよかいいワープロねえか。

1010:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:14:37.96 Sc9m8D2O.net
>>966
axの間違い

1011:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:15:36.89 Sc9m8D2O.net
>>967
も1つ
abcdの多項式でxyについては2次拡大まで使うと1次4つの積に

1012:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:21:20.32 RosE4Rin.net
>>952
角度120度の前提で 3.891156823 って数値が出たけど、これより良い結果ある？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

1013:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:24:52.44 EnyRsA6W.net
ax = f, cx = g とおくと

|a, b, c, d|
|b, f, d, g|
|c, d, ayy, byy|
|d, g, byy, fyy|
= {(af-bb)yy + (cg-dd)}^2 - (ag+cf-2bd)^2 yy
= {(af-bb)yy +(ag+cf-2bd)y +(cg-dd)}{(af-bb)y^2 -(ag+cf-2bd)y +(cg-dd)},

1014:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:40:58.48 Sc9m8D2O.net
>>977
もひとつ

1015:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:56:48.40 zqnKg1oN.net
>>971
そう、一つの頂点を一回通ればいいってこと
あと直線も曲線の一部
>>969,970
正7角形の場合、周をなぞるのが一番短いから角度は120°じゃないって言おうとしたけどジャンクションではないね
ジャンクションに限定するなら120°は成り立ちます
「プラトーの法則」
>>976
不正解です
実は左右非対称になる

1016:イナ
18/07/28 17:37:50.18 6VVd4WCT.net
直線も曲線のうち!?
;;;;;;;;;;;人人;;;;;;
;;;;;;;;;;(_;^_);;;;;
;;;;;;;;;;(_^;_);;;;;
;;;人人;;;(^｡^;);;;;;
;;(＿)_);;(＿っ┓;;;;
;;(_(＿);◎ﾞ┻υ◎ﾞ;;
;;(_（`);;;;;ｷｺｷｺ……
;;(υ＿)┓;;;;;;;;;;;
◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿/__/＿/
/＿/ｷｺｷｺ……/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/きっといい地境がみつかる。前>>973

1017:イナ
18/07/28 18:05:00.89 6VVd4WCT.net
前>>980
対角線2つ=1+√5
対角線の一つに残りの頂点から引いた垂線={√(5+2√5)}/2-{√(10-2√5)}/4
分割線=1+√5+{√(5+2√5)}/2-{√(10-2√5)}/4

1018:１３２人目の素数さん
18/07/28 18:38:01.92 Sc9m8D2O.net
>>967
正解だったどもスマン

1019:１３２人目の素数さん
18/07/28 18:40:27.16 Sc9m8D2O.net
ちなみに8次でも同じような問題できる
2＾n次でできるのかも

1020:１３２人目の素数さん
18/07/28 19:32:48.35 57kIc8+e.net
>>2
7+8-5=10
俺の勝ち
ちなみに
ID:AT99r3l3(>>24,29)　→　9+9/(3*3)=10

1021:１３２人目の素数さん
18/07/28 19:33:18.55 57kIc8+e.net
そろそろ次スレを

1022:１３２人目の素数さん
18/07/28 20:56:04.78 zqnKg1oN.net
>>981
不正解
>>979でも言ったけど左右対称じゃない

1023:１３２人目の素数さん
18/07/28 20:58:42.11 zqnKg1oN.net
>>981
しかもそれ4より大きいじゃん

1024:１３２人目の素数さん
18/07/28 21:04:35.57 5RD8Md9I.net
数列{a_n}

1025:を以下のように定める。 a_1 = 3 a_(n+1) = (a_n)^2 - 2 この時、 a_n が合成数になるような n は存在するか。

1026:１３２人目の素数さん
18/07/28 21:36:52.34 Nf1txf93.net
>>988
mod 1087で考えると
a_1≡3
a_2≡7
a_3≡47
a_4≡33
a_5≡0
明らかにa_5>1087なのでa_5は合成数

1027:１３２人目の素数さん
18/07/28 21:46:55.05 boOQAkuB.net
ちなみにmod 127でも
a_1≡3
a_2≡7
a_3≡47
a_4≡48
a_5≡16
a_6≡0
a_6>127よりa_6は合成数
1087も127も勘で見つけた

1028:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:05:52.09 ttDOnSiN.net
>>990
正解、1087は見つけられんかったわ　すごい
pがメルセンヌ素数の時にフィボナッチ数列がmodpでp+1を周期に持つ条件やら何やらを考えてて127を偶然見つけたけど、
メルセンヌ素数かどうかの判定法でリュカテストというのがあって、殆ど同じことやってたのを問題出してから知った…

1029:イナ
18/07/28 22:32:30.32 6VVd4WCT.net
前>>981対角線2つのほかに、あえて対称じゃない分割線を一本引いたのに、対称と言われた。
―――――
①対角線1つ=(1+√5)/2
②対角線から最寄りの頂点への垂線=(1/4)√(10-2√5)
③中心角72°の扇形の弧=2π/5
④扇形の弧から残りの頂点への垂線={(1+√5)/2}-1
―――――
①+②+③+④=√5+2π/5+(1/4)√(10-2√5)
=4.08049029……ぉしい!!

1030:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:40:01.22 boOQAkuB.net
まあa_5, a_6をwolframに因数分解してもらって、modで書き直しただけなんだけど

余談だが、素数を無限に生成する関数
強い順に
f(n)=p_n
{f(n)}=Pかつf(m)≠f(n)
{f(n)}=P
{f(n)>0}=P
は存在するが、いずれも人為的なものであり実用性は乏しい（下の論文では"engineered"と表現している）
漸化式で定義された数列では
a_1=7
a_n=a_(n-1)+gcd(n, a_(n-1))
の階差数列b_nは1か奇素数になる
しかも全ての奇素数が現れるという
{a_n}=7,8,9,10,15,18,19,20,21,22,33,36,37,…
{b_n}=1,1,1,5,3,1,1,1,1,11,3,1,…
URLﾘﾝｸ(cs.uwaterloo.ca)

1031:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:45:27.23 XEewS8qw.net
>>983
そりゃできるんじゃね？
|a b c d|
|b ax d cx|
|c d ay by|
|d cx by axy|
なら行列は０行０列から数えるとして
1の位が0の行、つまり0行目と2行目に√xをかけ、1の位が１の列、つまり１列目と３列目を√xで割る。
同じことを２の位について√yで行えば√x=u、√y=vとして
|auv bv cu d|
|bv auv d cu|
|cu d auv bv|
|d cu bv auy|
となって結局
|A B C D|
|B A D C|
|C D A B|
|D C B A|
を考えることになる。
2行目＋３行目＋４行目を１行目にたせば１行目は全部A+B+C+Dだからdetは(A+B+C+D)で割り切れる。
ー2行目＋３行目ー４行目を１行目にたせば１行目は全部A-B+C-Dだからdetは(A-B+C-D)で割り切れる。
2行目ー３行目ー４行目を１行目にたせば１行目は全部A+B-C-Dだからdetは(A+B-C-D)で割り切れる。
ー2行目ー３行目＋４行目を１行目にたせば１行目は全部A-B-C+Dだからdetは(A-B-C+D)で割り切れる。
A^の係数は１だからdet = (A+B+C+D)(A-B+C-D)(A+B-C-D)(A-B-C+D)。
これ2^2でやったけど2^nでもできると思う。

1032:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:58:36.93 Sc9m8D2O.net
>>994
なるほど

1033:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:00:35.26 Sc9m8D2O.net
2^nだとどう並べたら良いかな

1034:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:17:01.50 XEewS8qw.net
とりあえず2^2のパターンを２つつかって2^3は
A B C D E F G H
B A D C F E H G
C D A B G H E F
D C B A H G F E
E F G H A B C D
F E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
でこのパターンをまた文字変えて並べて…でいけると。
1,-1のパターンは
n=1のとき1,1と1,-1
n=2のとき1,1,1,1と1,-1,1-1と1,1,-1,-1と1,-1,-1,1 (２つコピペして並べたものとそのままと-1倍したものを並べたもの)
n=3のとき1,1,1,1,1,1,1,1,と1,1,-1-1,1,1,-1-1と1,-1,1,-1,1,-1,1,-1と1,-1,-1,1,1,-1,-1,1と…
でいけると思う。このパターンで各行を足したり引いたりしたら全成分同じ値が並ぶ行が出てくると思う。

1035:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:46:15.45 Sc9m8D2O.net
A=[[a,b],[b,a]]という形式の行列でテンソル積を取っていけばよいのかな>>997
A*A=[[aA,bA],[bA,aA]]
A*A*A=[[aA*A,bA*A],[bA*A,aA*A]]
みたいな
ただし
aA=[[aa,ab],[ba,bb]]
の成分は非可換でA*^nの成分はaaa…aからbbb…bまでの2^n通りで

1036:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:54:37.19 Sc9m8D2O.net
そしたら
|A*^(n+1)|=|[(a+b)A*^n,(a+b)A*^n],[bA*^n,aA*^n]|=|[a+b)A*^n,O],[bA*^n,(a-b)A*^n]|=|(a+b)A*^n||(a-b)A*^n|
から上手く因数分解した形で求められそう

1037:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:58:12.29 XEewS8qw.net
>>998
テンソル積でうまく表現できるかもですね。
いま思いついたんだけどGを可換有限群としてGの元gに対応する不定元Agを用意しておいてg行h列がAghである行列にすればよさそう。
GがZ/2Zをn個直積した場合が今回の例でG=Z/nZの場合が巡回行列の行列式の理論になる。
その行列式はGの既約指標x(g)にたいしてΣ[g] x(g)Agの形の一次式をn個の指標全体でかけ合わせたものになると思う。
それで今回の話も巡回行列の行列式の理論も同様に説明できるみたい。

1038:1001
Over 1000 Thread.net
このスレッドは１０００を超えました。
新しいスレッドを立ててください。
life time: 159日 23時間 37分 2秒

1039:過去ログ ★
[過去ログ]
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています