面白い問題おしえて～な 26問目

面白い問題おしえて～な 26問目 at MATH

936:１３２人目の素数さん
18/07/20 03:59:51.98 +Kx7eSAL.net
>>857
やっと題意が見えた。
以下、zの共役をz'で表す。
z≠0のとき、r=|z|，z=rwとおくと、
w'=1/w，z'=r/w
与式をzで割って
z^3-3z'z+z'^2/z+2=0より
r^3・w^3 + rw'^3 - 3r^2+2 = 0
w^3が実数でないとき，r^3=r　∴ r=1
このとき、w^3 = αとおくと
α + 1/α -1 = 0
α^2 - α + 1 = 0
∴ α = e^(±πi/3)
∴ z = w = e^(±πi/9)，e^(±7πi/9)，e^(±13πi/9)
一方、w^3が実数のとき，w^3=±1
w^3=1のとき，r^3-3r^2+r+2 = 0
r＞0より，r=2,(1+√5)/2
w=1,ω,ω'
z = rw = …
w^3=-1のとき，-r^3-3r^2-r+2 = 0
r＞0より，r=(-1+√5)/2
w=-1,-ω,-ω'
z = rw = …

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