面白い問題おしえて～な 26問目

面白い問題おしえて～ ..

534:１３２人目の素数さん
18/05/29 18:12:11.36 n11ck1yy.net
>>471 と >>489 の結果から、(AE + BD)/2 = x　として
五角形ABCDEは
　∠A = ∠E = 104.73844ﾟ，∠B = ∠D = 113.06566ﾟ，∠C = 104.3918ﾟ　（正五角形： 108ﾟ)
　AB = DE = 0.406444x，BC = CD = 0.69826x，AE = 0.89660x，BD = 1.10340x
　S_5 = 0.62920xx
台形CDHIは
　CI = FL = 0.67141x，CI～DH　0.68912x
　∠C = ∠I = 99.2793ﾟ，∠D = ∠H = 80.7207ﾟ
S_4 = 0.54027xx
合計で
　S = 4.6779xx
　V = 0.75219x^3
>>464 と >>471 の設定は x=2 です。
計算はチラシの裏でもできますが…

535:イナ
18/05/29 19:01:38.40 2oLTtdTc.net
―／￣￣￣/＼
_/＿＿＿_/　|
∥￣￣￣∥　|
∥　　　∥／~~~~
~＼　　／~~~~~
―-＼／~~~
前>>505訂正。72°⇒108°

536:イナ
18/05/29 22:07:16.16 2oLTtdTc.net
前>>507訂正。>>502角度を60°⇒内角を120°おもしろい問題でしたね。0.074は自力では綺麗に決まりそうにないですが、0.073が二通りも示せたことをうれしく思います。
□ ∥◇/n_n＿_n n_＿＿
。 ∥>//￣￣￣￣￣￣//
_∩∩//＿＿＿＿＿＿//|
(　(`)(-^-)（ -~-)zz..
(っц)_U_Uzz.````_/|_/
_|υυ￣￣￣￣￣￣|＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿

537:イナ
18/05/30 02:31:18.23 HVx7wYPO.net
一辺xの正方形4つと正五角形4つをおじゃみか玉入れの玉のように互い違いに編んだ八面体の表面積は、
前>>508
4x^2+4{(1+√5)/2}x^2=1
(6+2√5)x^2=1
(1+√5)^2･x^2=1
x={(√5)-1}/4≒0.309……
V(x)=
八面体を正四角錘4つと正五角錐4つに分解したい。
V'(x)=0

538:１３２人目の素数さん
18/05/30 05:32:35.18 ddqYu1Wl.net
>>505
一辺xの正五角形では、
BD = φx,
CI = FL = x/φ,
5角面の傾き：　arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099°
となる。ここに、
　φ = (1+√5)/2 = 1.61803399　　(黄金比)
　sin(18ﾟ) = (φ-1)/2,　　　cos(18ﾟ) = (1/2)√(2+φ),
　sin(36ﾟ) = (1/2)√(3-φ),　cos(36ﾟ) = φ/2,
S = 4(S_5 + S_4)
　= {5φ/√(φ+2) + √(3φ-1)} φxx
　= 4(1.7204774 + 0.7941257) xx
　= 10.0584124 xx,
V = {(7φ+4)/12}√(2φ) x^3
　= 2.297540285 x^3,
V / S^(3/2) = 0.072022630
う～む
>>506 を見ると、内角は108ﾟに近いが、辺長は不均衡（AB と DE が短く、AE が長い）
　辺長を変えれば改善するか？

539:１３２人目の素数さん
18/05/30 06:12:08.84 ddqYu1Wl.net
>>510
BC = CD = x
BD = φx,
CI と DH，BJ の距離　(1/2)√(3φ-1) x,
CI と BDHJ の高低差　x/√(2φ),
5角面の傾き：　arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099°
は>>510 のままで
AB = DE = x-φz,
AE = x+z,
CI = FL = x/φ + z,　( =y )
BDHJ と AEGK の高低差　(x-φz)√(φ/2),
とすると…
>>505
　台形の面積は (1/4)(x+y)^(3/2)･√(3x-y) ...

540:１３２人目の素数さん
18/05/30 07:12:00.25 6H7MnT2U.net
コンピュータを使うなら以下のような方式はどうか
(1)８枚の面の緒元(法線ベクトルと原点からの距離)をランダムに決める
(2)各面の微小変異(傾きと距離)に対する評価関数(V^2/S^3など)の変量を計算し、最も変量の大きい面について評価関数が最良になるよう調整する
(3)手順(2)を繰り返す
面積は交線で囲まれる図形から、体積は面積×原点距離÷３の総和、ってことで機械的に求められるのではないか

541:１３２人目の素数さん
18/05/30 07:46:45.48 FdL02lRD.net
実は関数方程式も大好物でござる
A. 725.
Let R+ denote the set of positive real numbers.
Find all functions f:R+→R+ satisfying the following equation for all x,y∈R+:
f(xy+f(y)2)=f(x)f(y)+yf(y).
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)

542:１３２人目の素数さん
18/05/30 09:56:31.72 ddqYu1Wl.net
>>511
S(x,z) = 4(S_5 + S_4)
　= √(2+φ)･{(φ+2)xx -2φxz +φzz} + √(3φ-1)･(φx+2z)x,
V(x,z) = (1/6)√(φ/2)･{(5φ+2)xx + (2φ^3)xz +zz}(x-φz) + √(φ/2)･{(φφ/3)x + z}xx,
最大となるのは z = 0.2509325x のときで
　BC = CD = x,
　AB = DE = 0.5939827x,
　AE = 1.2509325x,
　CI = 0.8689665x,
　S = 4 (S_5+S_4) = 4 (1.2858838 + 1.0404394)xx = 9.30529256xx,
　V = 2.104005x^3,
　V / S^(3/2) = 0.07412278177
>>471 >>489 には及ばないが、正8面体、正6角柱、などは超えた…

543:１３２人目の素数さん
18/05/30 10:09:10.39 ddqYu1Wl.net
>>514 訂正ｽﾏｿ
S(x,z) = 4(S_5 + S_4)
　= √(2+φ)･{(φ+2)xx -2φxz －φzz} + √(3φ-1)･(φx+2z)x,

なお、以前の解( >>471 >>489 >>506 ) で BC=CD=1 とすると
AB = DE = 0.58208，　AE = 1.28405　となる。。。

544:イナ
18/05/30 17:10:49.78 HVx7wYPO.net
一辺xの正五角形の面積
(x^3)(√(25+10√5)}/4
前>>509
三辺x、一辺(√5-1)/4の台形の面積
{x+(√5-1)x/4}･xsin18°･(1/2)
={(3+√5)/4}x^2･(√5-1)/4･(1/2)
(√5+1)/16･(x^2)
S=(x^3){√(25+10√5)}+(√5+1)(x^2)/4=1
V(x)=
V'(x)=0
台形が2つずつとなりあってるのに対し、正五角形は4つ連なってる。不思議な美しさ。

545:イナ
18/05/30 17:39:59.82 HVx7wYPO.net
前>>516
体積V(x)の八面体の天地を90°ねじれの位置にある短い棟として、台形の長さxの三辺のうちの真ん中の一辺で水平に切る。上中下3つの物体は上と下がまったく同じかたちで、V㊤=V㊦
2つの断面はx×(√5+1)/2の長方形である。
すべての辺がxの関数で表され、正五角形が3次、台形が2次、V(x)は高々4次、微分してV'(x)=0で3次方程式が出て、V(x)=
雨だ―……

546:イナ
18/05/30 21:55:18.04 HVx7wYPO.net
前>>517訂正。
x(√5+1)/2
⇒(x^2)(√5+1)/2)

547:１３２人目の素数さん
18/05/31 03:44:32.13 eo/xqWlC.net
そろそろ次の問題出していい？

548:１３２人目の素数さん
18/05/31 11:12:45.39 1i3xzGBS.net
三辺x、一辺(3-√5)x/2の台形の面積
{x + (3-√5)x/2}･x cos(18ﾟ)･(1/2)
= {(5-√5)/2}xx･√(10+2√5)/4･(1/2)
= √(50-10√5)/8･xx
= 0.6571639 xx,

549:イナ
18/05/31 12:03:08.39 oQbVMAkg.net
>>520台形の一辺が違ってましたか？
一辺xの正五角形の面積
(x^3)(√(25+10√5)}/4
三辺x、一辺(√5-1)x/4の台形の面積
台形の一辺は(3-√5)x/2ですか―。
前>>518

550:１３２人目の素数さん
18/05/31 12:22:47.56 LSNoQXxv.net
拘束条件がなさすぎて数学の問題としてやるには難しすぎるし、そういうアプローチをしてる人もいないし無意味

551:イナ
18/05/31 14:11:34.74 oQbVMAkg.net
一辺xの正五角形4つと、
三辺x、一辺xよりやや小さい台形4つで、表面積が1で、
前>>521
八面体の体積出して微分して=0にして、体積0.074が出ればそれでじゅうぶんです。
もっと大きな八面体があるいは存在するかもしれませんが、一辺xの正五角形4つと、三辺x、一辺xよりやや小さい台形4つで、表面積が1のやつは一意に決まると思うもんで、それがまずは知りたい。
この問題、競りのようでおもしろい。自分が最高値を出すのを楽しみにしてる。

552:１３２人目の素数さん
18/05/31 14:36:51.92 89o9fjti.net
>>519
どうぞどうぞ。
KYで声のでかい奴の専用スレじゃないので。

553:１３２人目の素数さん
18/05/31 15:04:47.94 fih1epUm.net
>>519
少し遡れば解かれずに放っとかれてる問題ある程度あるし気にせず出しちゃえ

554:１３２人目の素数さん
18/06/01 22:29:12.26 ISxYUmxo.net
左右の次数が一致しない漸化式（例えばa_(n+1)=(a_n)^2+1）は一般には解けないが、初項を置き換えるとうまくいくことがある。
(1)
-1≦a_1=A≦1
a_(n+1)=2(a_n)^2-1
の一般項を求めよ。
(2)
b_1=B∈R
b_(n+1)=(b_n)^2-2
の一般項を求めよ。

555:１３２人目の素数さん
18/06/01 23:21:09.08 977NFEF3.net
倍角？

556:１３２人目の素数さん
18/06/02 01:38:49.70 L/4yyydP.net
>>526
(1) a_n=cosθ[n] と置くと cosθ[n+1]=cos(2θ[n])
この解は θ[n]=θ[1]*2^(n-1),
a_n=cos(2^(n-1) arccos A)
Wlfram Alphaの解答 URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)

557:5D%3D%3D2*a%5Bn%5D%5E2-1,a%5Bn%5D,n%5D (2) (1)と同様に b_n=e^(z[n])+e^(-z[n]) と置くと b_n=α^(2^(n-1))+β^(-2^(n-1)), (α,β=(B±√(B^2-4))/2) Wlfram Alphaの解答 http://www.wolframalpha.com/input/?i=RSolve%5Bb%5Bn%2B1%5D%3D%3Db%5Bn%5D%5E2-2,b%5Bn%5D,n%5D 類題：√Xの開平計算で使うNewton法 x_0=1, x_(n+1)=((x_n)^2 +X)/(2x_n) の一般項はx_n=coth(y_n)と置くと x_n=(√X){(1+√X)^(2^n) + (1-√X)^(2^n)}/{(1+√X)^(2^n) - (1-√X)^(2^n)} Wlfram Alphaの解答 http://www.wolframalpha.com/input/?i=RSolve%5Bx%5Bn%2B1%5D%3D%3D(x%5Bn%5D%5E2-X)%2F(2x%5Bn%5D),x%5Bn%5D,n%5D

558:１３２人目の素数さん
18/06/02 02:27:05.94 G2b8XSzz.net
(2) は両辺2で割って a_n = (1/2)b_n とおいて(1)使えばよいのでわ？

559:イナ
18/06/02 05:51:13.38 zaslUUou.net
正五角形4つの各辺と台形4つの三辺をxとし、台形どうしの接する屋根の棟および逆屋根の下端に位置する辺をy(x>y)とすると、
前>>523(図は省略)
y^2-2xy+(38/√5-19)x^2=0
y={1-√(20-38/√5)}x
棟の長さがxで表せた。
あとは体積。
V(x)=
V'(x)=0
上棟するには微分するしかない。

560:イナ
18/06/02 08:38:40.89 zaslUUou.net
y^2-2xy+(38/√5-19)x^2=0
前>>530おかしい。
y=x-√{x^2-(38/√5-19)x^2}
=x-x√(20-38/√5)
={√(20-38/√5)-1}x
=0.7337482……･x
台形の接合線yは、xの7割ぐらいだとは思うんだが｡
V(x)をどうやって出すか。V(x)=y/10ぐらいだと理想的。

561:１３２人目の素数さん
18/06/02 08:46:00.26 qc99k5Fr.net
>>528
√a の開平計算で使うNewton法は
x_{n+1} = x_n - 2x_n {(x_n)^2 -a}/{3(x_n)^2 +a}
　　= x_n {(x_n)^2 +3a}/{3(x_n)^2 +a}
でござる。これの一般項も出せぬか??

562:１３２人目の素数さん
18/06/02 11:37:24.31 L/4yyydP.net
>>352
cothの3倍角の公式：coth3x=(coth x)(coth^2x + 3)/(3coth^2x+1)から
x_n=(√a)coth z_n と置くと coth z_{n+1} = coth 3z_n
∴ z_n=3^n z_0,
x_n=(√a)coth(3^n arccoth(x_0/√a))

563:１３２人目の素数さん
18/06/02 11:51:16.40 L/4yyydP.net
>>532 の間違い。
一般にp次収束するNewton法は、(収束先)*[1+(p^nの指数関数)]という形になり、
一般項が簡単な式であらわされる場合があります。

564:１３２人目の素数さん
18/06/02 16:54:14.55 ItLI/UY3.net
某botで唯一☆12(Legend)を付けられている問題
a,b,c,dが正のとき
(a-b)(a-c)/(a+b+c)
+(b-c)(b-d)/(b+c+d)
+(c-d)(c-a)/(c+d+a)
+(d-a)(d-b)/(d+a+b)
≧0
を示せ。
模範解答は3つあるが、いずれもエレガントな解き方ではない

565:１３２人目の素数さん
18/06/02 16:56:52.26 ItLI/UY3.net
ちなみに縮小（拡張の反対）したバージョン2通り
(1)
(a-b)(a-c)/(a+b+c)
+(b-c)(b-a)/(a+b+c)
+(c-a)(c-b)/(a+b+c)
=(a^2-ac+b^2-ba+c^2-cb)/(a+b+c)
=(1/2)(2a^2-2ac+2b^2-2ba+2c^2-2cb)/(a+b+c)
=(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/(a+b+c)
≧0
等号成立はa=b=c
(2)
(a-b)/(a+b)
+(b-c)/(b+c)
+(c-d)/(c+d)
+(d-a)/(d+a)
≧0？
(a-b)/(a+b)
+(b-c)/(b+c)
+(c-d)/(c+d)
+(d-a)/(d+a)
=((a-b)(b+c)(c+d)(d+a)+(a+b)(b-c)(c+d)(d+a)+(a+b)(b+c)(c-d)(d+a)+(a+b)(b+c)(c+d)(d-a))/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
=2(abca+abdd+accd-acda+bbcd-bbda-bcca-bcdd)/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
=2(a-c)(b-d)(ac-bd)/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
a≦c≦b≦dのとき負であるから偽

566:１３２人目の素数さん
18/06/02 16:58:09.50 ItLI/UY3.net
>>536
訂正
最後の行は「a<c<b<dのとき負であるから偽」

567:526
18/06/03 22:40:41.09 8Esgc1bN.net
>>528　(1),(2)正解
(2)は(c+1/c)^2=(c^2)+1/(c^2)+2が思い出せるかが鍵であった。
(1)も初項を(1/2)(c+1/c)（

568:これはc=e^xとすればcosh(x)の定義）とおけば解ける。 >>529 b_1∈[-2,2]の場合は確かに2cosθとおくと解ける初項を三角関数でおくと解けるような漸化式のパターンは整理してまとめる必要があるかもしれない

569:１３２人目の素数さん
18/06/04 09:18:52.07 tzM+Pvvj.net
>>533 >>534
　かたじけのうござる。
>>535 [100]
　 IMO-2008 Short List A.7
　a-c=x，b-d=y の2次式と考えて、半正定値となることを示す。
　確かに面倒くせぇ…

570:イナ
18/06/04 14:37:57.78 8ezyuuAm.net
>>420
ほととぎすの鳴き声を聴きながら、黄金二等辺四面体の中にある、正五角形4つと三等辺台形4つからなる八面体を切りだすことを考えています。前>>531

571:イナ
18/06/04 14:54:40.80 8ezyuuAm.net
前>>540
y={(√5-1)/2}x≒0.618x<x
これはあってるはず。
八面体を囲む黄金二等辺四面体の高さh'も、二等辺三角形{二辺(1+√5)x、底辺2x}の高さhと同様、xで表せるはず。
あとはそこから切り落とす部分。

572:イナ
18/06/04 14:55:01.70 8ezyuuAm.net
前>>540
y={(√5-1)/2}x≒0.618x<x
これはあってるはず。
八面体を囲む黄金二等辺四面体の高さh'も、二等辺三角形{二辺(1+√5)x、底辺2x}の高さhと同様、xで表せるはず。
あとはそこから切り落とす部分。

573:１３２人目の素数さん
18/06/04 15:38:18.38 tzM+Pvvj.net
>>536
(1) は (a+b+c) を掛けた方が分かりやすい…
(2) の類題
[166]　a～d>0 のとき
　　(a-b)/(b+c) + (b-c)/(c+d) + (c-d)/(d+a) + (d-a)/(a+b) ≧ 0,
　　クロアチア MEMOTST-2009 day1-Q.1

574:イナ
18/06/05 05:22:33.74 +cO1MVWm.net
>>420近似値を求めよとは言ってない。
>>438にあるように、
V=√(√3)/18
のような確定的な値を示すべきだ。
前>>542
一辺xの正五角形4つと三等辺台形[三辺がxで、あと一辺は{(√5-1)/2}x]4つからなる八面体の体積を0.074という近似値ではなく、
V=√(√3)/18
のような確定的な値で示せないか。これが示せて初めて正解だろ。
もっともxやx^2の値は、表面積1の条件から近似値が求まる。が、求める値はxやx^2の値ではないし、そもそも近似値は近い似た値であって正解じゃない。

575:１３２人目の素数さん
18/06/05 05:53:05.51 E6Px16gW.net
続けたまえ

576:１３２人目の素数さん
18/06/05 06:32:38.78 RI7aB28L.net
>>539
　礼には及ばぬ。お気に召さるな。

577:１３２人目の素数さん
18/06/05 10:22:27.38 Ysbk5G+R.net
>>544
方程式が代数的に解けない可能性があることを忘れずに。
先の>>464を偏微分で解こうとして式をたててみたところ、rについて５次の項が出てきたので、その可能性はあると考えている。
なので、まず解析的に解くという方針は正しいかもしれない。

578:１３２人目の素数さん
18/06/06 07:05:16.27 xxwxn7ab.net
>>543 (2)
(a-b)/(b+c) = (a+c)/(b+c) -1
(c-d)/(d+a) = (a+c)/(d+a) -1
辺々たすと
(a-b)/(b+c) + (c-d)/(d+a) = (a+c){1/(b+c) + 1/(d+a)} -2
　≧ 4(a+c)/(a+b+c+d) -2,　　　(← AM-HM)
同様に
(b-c)/(c+d) + (d-a)/(a+b) ≧ 4(b+d)/(a+b+c+d) -2,
辺々たす。

579:イナ
18/06/06 16:11:11.85 NQEcakbH.net
>>420八面体の体積をxで表せれば解ける可能性がある。
六角柱は微分した。
ホームベース型五角形4つと長方形4つは微分しなかったが六角柱と同値。
前>>544正五角形4つと台形4つが最大かどうかはともかく、これらを超えることは明らか。体積をxで表せれば。
台形同士がとなりあう辺は2つあり(仮に棟木と底辺と名づける)、長さは、
(√5-1)/2
たがいにもっとも離れていて、90°ねじれている。
正五角形を含む二等辺三角形を延長してできる、4つの二等辺三角形で囲まれた四面体から、棟木と底辺の2つの水平面で切り分けた、断面2x･(√5-1)x/2の長方形を底面とする五面体（八面体の外にある）の体積は、
(x^3)√(25+10√5)/4
この因数は、かなりあってると思う。

580:イナ
18/06/06 16:15:29.57 NQEcakbH.net
前>>549修正。
八面体の体積をxで表せれば解ける可能性がある。
六角柱は微分した。
ホームベース型五角形4つと長方形4つは微分しなかったが六角柱と同値。
正五角形4つと台形4つが最大かどうかはともかく、これらを超えることは明らか。体積をxで表せれば。
台形同士がとなりあう辺は2つあり(仮に棟木と底辺と名づける)、長さは、
(√5-1)x/2
たがいにもっとも離れていて、90°ねじれている。
正五角形を含む二等辺三角形を延長してできる、4つの二等辺三角形で囲まれた四面体から、棟木と底辺の2つの水平面で切り分けた、断面2x･(√5-1)x/2の長方形を底面とする五面体（八面体の外にある）の体積は、
(x^3)√(25+10√5)/4
この因数は、かなりあってると思う。

581:１３２人目の素数さん
18/06/06 18:03:07.23 n39uR33J.net
ちょっと方向性を変えて、現時点で8面体の場合は難しいとして、何面体までなら現時点で求まるんだろう？5面体ぐらいまでならなんとか厳密解は求まる希ガス。6面体位が解決出来るか否かの瀬戸際？

582:１３２人目の素数さん
18/06/06 19:45:37.39 LsL7ewWi.net
>>551
五面体って四角錘と三角柱(と位相同形なもの)の他にあったっけ？

583:１３２人目の素数さん
18/06/06 21:40:07.01 n39uR33J.net
>>552
多分それで全部。でも4面体でもかなりムズイ

584:イナ
18/06/06 22:13:34.88 NQEcakbH.net
>>552ある。
2x、(√5-1)x/2の長方形を底面とする五面体。
x、2x、x、(3+√5)x/2の台形で前後、
x、x、(√5-1)x/2の二等辺三角形で左右を挟む。
前>>550名づけて、ニベアの底。
{(x^3)/4}√(25+10√5)

585:１３２人目の素数さん
18/06/06 22:48:25.85 EP2keEH6.net
>>554
それ結局三角柱と同形だろ

586:１３２人目の素数さん
18/06/06 22:49:45.62 LsL7ewWi.net
>>554
それは三角柱と位相同形

587:イナ
18/06/06 23:20:48.78 NQEcakbH.net
前>>554
>>555 >>556違う。三角柱じゃない。左右の二等辺三角形の面が底辺の長方形に対して外に開いてる。五面体だ。
2xより(3+√5)x/2のほうが少し大きい。ラミネートチューブのニベアだぞ。八面体を四面体の中に封じこめた。水平に斬った。断面は正方形だ。
一辺(3+√5)/4
斬った2体を横に並べて同じかたちに等積変形していく。直方体にすれば絶対求まる。二方向は足し算や平均で出る。一方向だけは三平方の定理が必要。ニベアの底でもやったし、二種類の台形と二等辺三角形2つと長方形で囲まれた五面体でもすでにやった。
全体が正しく求まればあとは引き算で出る。八面体をxの三次式で出すぞ。微分して二次だして=0で字数を下げる。シンプルな式になればいいんだけど。

588:１３２人目の素数さん
18/06/07 00:02:00.50 n/uc+6Kl.net
>>557
もしかして：位相同形の意味知らない？

589:１３２人目の素数さん
18/06/07 01:12:11.48 i4FD80T1.net
なんか綺麗な形とかにならわのかね

590:１３２人目の素数さん
18/06/07 01:22:47.10 Y05WzRQF.net
4面体は正四面体だろうけど、５面体はどうだろう？
歪めた３角柱だろうなとは思う。正三角柱くさいが。
４面体で最大も結構示しにくい。

591:イナ
18/06/07 04:17:01.76 fHjWRa4l.net
前>>557
>>560正五角形と三等辺台形でできる八面体がすっぽり入る黄金比二等辺三角形四面体の体積を求めました。
最大値をxで表して微分して=0で次数下げてx^2からx出して最大値求めて電卓使って近似したら11.686935
0.074よりはるかに大きくなりました。

592:１３２人目の素数さん
18/06/07 10:08:48.01 n/uc+6Kl.net
表面積1の球の体積が約0.094
これより大きくはなりようがないと思うが如何か

593:１３２人目の素数さん
18/06/07 10:43:47.55 BLDmLkdD.net
計算間違いと逆数にしたのと。

594:１３２人目の素数さん
18/06/07 11:23:31.73 55KNO4WC.net
>>551
n＝4,5,6,7,12以外は未解決らしい
「離散幾何学における未解決問題集」シュプリンガー・ジャパン(2009) p.394

595:イナ
18/06/07 14:45:01.84 fHjWRa4l.net
前>>561
四角形どうしがとなりあう辺がやや短い{(√5-1)/2}xと気づいたが、もしかすると五角形どうしがとなりあう辺と、五角形と四角形がとなりあう辺とでは、その条件の違い�

596:ｩら長さを変えてくるんじゃないか、自然界は。あと、計算間違いの可能性はある。 √(√3)/18を超えたい。中に水溜めてメスシリンダーに移しかえて実測値を量りたいわけじゃない。背面跳びでもベリーロールでもいい、ただ超えたいだけ。

597:１３２人目の素数さん
18/06/07 14:47:26.69 1rV5JhAO.net
初めてなのでルール違反があれば教えてください
g.c.d(a_1,a_2,…,a_n)はa_1,a_2,…,a_nの最大公約数である
a_1,a_2,…,a_nが互いに素であるとは、g.c.d(a_1,a_2,…,a_n)=1である事を意味する
a_1,a_2,…,a_nがk個ごとに素であるとは、a_1,a_2,…,a_nの中からどの様にk個取ってきても互いに素である事を意味する
σ_k(a_1,a_2,…,a_n)はk次の基本対称式とする
ただし、σ_0(a_1,a_2,…,a_n)=1
この時
「a_1,a_2,…,a_nがk個ごとに素である」…①
と
「σ_(n-k+1),σ_(n-k+2),…,σ_nが互いに素である」…②
が同値である事を示せ

598:１３２人目の素数さん
18/06/07 15:21:37.68 3xfkAX0Q.net
>>566

f(x)=(x-a1)…(x-an)とおく。
①⇄∀p f(x)のxの多重度がmod pでk未満
⇄∀p f(x)のk以下の次数の係数のいずれかが0でない
⇄②

599:１３２人目の素数さん
18/06/07 17:07:02.73 1rV5JhAO.net
>>567
想定していなかった解答ですが、自分が考えた物より遥かにエレガントです
もう自分の解答なんか出せない…
ので代わりに、用意していたもう片方の問題をば
Λを原点を除く2次元列ベクトル空間の格子点の集合とする
列ベクトル(a,b)∈Λに対し、aとbが互いに素である事を(a,b)～1と表記する事にする
全てのv∈Λに対してAv∈Λなる行列Aを格子行列と呼ぶ
この時、格子行列Aが「任意のv∈Λに対して、v～1ならばAv～1である」を満たす時、Aの行列式を求めよ
これもすぐ解かれたらもう少し勉強します

600:１３２人目の素数さん
18/06/07 22:42:17.40 HuW8Hkll.net
>>420
未解決問題じゃねえか
糞が
ﾀﾋね
お前の頭劣等感婆か？

601:イナ
18/06/07 23:18:10.31 fHjWRa4l.net
>>569未解決なの？
0.074超えの数値が出ただけか。
前>>565
>>438てことは一辺x高さyの六角柱を微分して出した√(√3)/18か、三つのパラメーターで空間座標設定した人のが今のとこ人力で導かれる最大値か。

五角形は正五角形なのかとなりあわない二辺が少し短いのか、四角形は三等辺台形なのかただの等脚台形なのか、まだなぞがいっぱいです。

602:１３２人目の素数さん
18/06/07 23:51:56.94 zA2lx+rZ.net
>>564
>n＝4,5,6,7,12
の場合の答えはなにか載ってました？
n=4,6,12のときは流石に正多面体の時っぽいけど。

603:１３２人目の素数さん
18/06/07 23:54:19.77 zA2lx+rZ.net
>>564
たっか～。
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)

604:１３２人目の素数さん
18/06/08 00:24:31.13 r5bxmv7X.net
>>564 >>571
n=4,6,12 のときは正n面体らしい。
　(∵ 各頂点に3本の稜が集まり、球面に外接する。）
>>443 のリンク
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)

605:１３２人目の素数さん
18/06/08 00:53:07.64 DFewMgI5.net
>>568
泥臭いけど。
整係数の行列A,Bについて
B=[[1,k],[0,1]]A, A[[1,k],[0,1]], [[1,0],[k,1]]A, A[[1,0],[k,1]]→A≡B
をみたす最小の同値関係を≡とする。
一般にPID上の行列はこの変形で対角化される。(証明はry)
行列は行ベクトルに右から作用させるものとする。
(旧課程の高校の教科書の逆だけど気にしない。)
(※):任意のv∈Λに対して、v～1ならばAv～1である
と定める。
以下整係数行列Aに対しBをA≡BでBは対角行列となるものとする。
このとき
ユークリッドの互除法の議論より
Aが(※を満たす)⇔Bが(※を満たす)。
また
detA = detBより
detA=±1⇔detB=±1
一方でB=[[p,0],[0,q]]とするとき
Bが(※を満たす)⇔p,q=±1
detB = ±1⇔ p,q=±1

606:１３２人目の素数さん
18/06/08 00:56:07.50 9tvzJv7X.net
>>573
thx!
n=20も流石に正多面体っぽいね、n=8のときが唯一の例外臭いね。

607:１３２人目の素数さん
18/06/08 01:05:42.81 OwX5577s.net
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
の
＞多面体の等周問題は，単位球に外接する多面体では，
＞　Ｖ＝Ｓ／３
＞となることから，
＞　Ｓ^3／Ｖ^2＝９Ｓ＝２７Ｖ
＞したがって，与えられた面数ｎをもつ多面体に関する等周問題は，最小の体積または
＞最小の表面積をもち，球に外接するｎ面体を定めるという問題に帰着されます
がわからない？？これなんでかだれかわかります？？
もしV^2/S^3で球に外接しないものがあるとすると何故矛盾するんでしょう？

608:イナ
18/06/08 03:10:33.54 n7O1sKDD.net
>>573
ゴールドバーグさんは示されたんですね。前>>570その歴史の存在はわかりました。
でも我々は、式とそこから導かれた答えでないと認めないルールでやってきてます。それにできればそのビジュアル八面体とやらを図示していただきたい。
手書きでもいいですが、できれば実物の模型がいいですね。辺の長さとかバランスとかどうなってんですかね。
四角形と五角形がどんな四角形とどんな五角形か、納得いくようにその立体のかたちを説明してください。実在するんですか。

609:１３２人目の素数さん
18/06/08 07:08:45.48 xXWPeHIT.net
やっと見つけた。
Theorem(L. Lindelöf)
面積^3/体積^2の最小値を与える多面体は球に外接する
証明載ってそうな本
URLﾘﾝｸ(link.springer.com)
37.75ユーロ…orz

610:１３２人目の素数さん
18/06/08 08:08:27.84 ITi87fOm.net
>>578
しかもフランス語…
例のGoldbergの論文の最初のあたりをちゃんと読むと、
同じ面の数の多面体でＳ^3/Ｖ^2を最小にするのは
すべての面が１つの球に各面の重心で接するときだ、ということを
Lindelofが示した、とたしかに書いてますね。
直感的に考えると、そういう状態でないと極小値にならない
（少し動かしたらもっと小さくできる）
というような話なのかとは思います。
そうすると、>>486のメディアル8面体で、そのような状態になるような
パラメータa,b,rを求める、というのはできそうですかね。
それが>>471，>>489あたりの数値計算の結果と一致するか
もしくは、Goldbergの論文の180.23という値と一致するか、も
知りたいところです。

611:１３２人目の素数さん
18/06/08 11:08:18.22 uyKvXzxT.net
次の定理を下に示す4つの場合について証明せよ。
多面体の面の

612:全てに、その面積を大きさにもちそれぞれの面から垂直に多面体を飛び出す向きにベクトルをとると、そのベクトルの和は零となる。 (1)四面体 (2)角錐 (3)凸多面体 (4)多面体

613:１３２人目の素数さん
18/06/08 11:23:46.15 E/oBAxNr.net
すべての多面体は、有限個の四面体に分割できる
と仮定していいの？

614:１３２人目の素数さん
18/06/08 12:07:26.06 r5bxmv7X.net
・正8面体　…　明らかに球面に外接する。
・正6角柱
　　一辺xの正六角形を底面とする高さyの正六角柱
　　y = (√3)x のとき最大で、球面に外接する。>>425 >>430
・メディアル8面体
　>>464 の座標を使うと、
5角面ABCDE は x +(a/b)z = 1,
原点～5角面の距離は d_5 = b/√(aa+bb),
台形面CDHI は z = br + my，m = b(r-1)/(1+a),
原点～台形の距離は d_4 = br/√(1+mm),
>>489 の結果の数値から
　d_5 = 0.96477885
　m　 = 0.74846993
　d_4 = 0.96477948
∴ 球面に外接する。（誤差の範囲内で)

615:１３２人目の素数さん
18/06/08 12:47:23.35 r5bxmv7X.net
>>580
i番目の面に対するベクトルをＳ_iとおく。
任意の向きの単位ベクトルｅをとる。
この多面体をｅに垂直な面に射影する。
向こう向きの面(S_j) の影の面積は　e・Ｓ_i
手前向きの面(S_j) の影の面積はｅ・(-Ｓ_j) である。
・は内積。
それぞれ合計したものは多面体の輪郭と一致するから
　ｅ・(ΣＳ_i) = ｅ・(-ΣＳ_j),
　ｅ・ΣＳ = ｅ・(ΣＳ_i + ΣＳ_j) = 0,
ｅの向きは任意だったから
　ΣＳ = Ｏ.

616:１３２人目の素数さん
18/06/08 12:57:46.26 E/oBAxNr.net
七面体の解はどんなだろう？
正五角柱か、あるいは立方体の角を落としたものか

617:１３２人目の素数さん
18/06/08 13:30:54.48 r5bxmv7X.net
>>582 追加
・切頂立方体
立方体の一辺をx、切り取る二つの直角三角錐の3稜をyとする。
　y = {(3-√3)/2}x のとき最大で、　　　>>483 >>485 >>488
　原点と（x/2-y/3，x/2-y/3，x/2-y/3) の距離は (x/2 -y/3)√3 = x/2,
∴　球面に外接する。

618:１３２人目の素数さん
18/06/08 14:53:42.28 ITi87fOm.net
>>582
Goldbergの論文によると、球に外接する正五角柱です。
どんな場合もメディアル多面体の中に正解があると予想しているのだから、
少なくとも今まで正解が判明しているものはすべて答えはメディアル多面体。
７面体の場合は、四角形5つと五角形2つの五角柱と同じ面／辺／頂点の構成と
なってるのがメディアル多面体で、その中で、辺と頂点からなるグラフの持つ
対称性がそのまま図形としての対称性となってる正五角柱が正解なのは
自然な結論。

619:１３２人目の素数さん
18/06/08 15:41:39.47 9F3pIZPF.net
>>578の定理めっちゃ面白いのにネットに証明転がっってないのは残念。
自分で示せそうにないし。
なんかMinkowskiの不等式なるものを使うっぽいけどそれ自体も見つからんし。

620:イナ
18/06/08 19:01:20.32 n7O1sKDD.net
メディアル八面体がわかるなら式を書いてよ。辺をxとかyとか未知数で表した式を。未知数は二つぐらいのほうがいいと思う。メディアル八面体より小さくてもいいよ。
前>>577ホームベース型五角形4つと長方形4つで
√(√3)/18になったのを進化させた次のやつがあるんじゃないの。屋根120°って勝手にきめてこの値が出たんだ。体積が大きくなりそうなかたちを勝手に決めようよ。未知数2つで三次式なら微分して表面積=1で一文字消えて解けるよ。だからなるべく簡単な構造がいい。

621:１３２人目の素数さん
18/06/08 19:12:17.79 Mfly9++H.net
>>571
最大を達成する形については特に載って�

622:ﾈかったなやっぱりGoldberg氏の論文が紹介されてるそれとGoldbergの面白い予想(当然未解決) 「当たられた面数、表面積と最大体積をもつ全ての3次元多面体は単純である (多面体が単純⇔各頂点がちょうど3本の辺に属しているもの)」ってのが載ってた

623:１３２人目の素数さん
18/06/08 19:47:16.52 Mfly9++H.net
>>588
何変数あろうとラグランジュの未定常数法みたいなの使えばいいだけでしょ

624:１３２人目の素数さん
18/06/08 19:52:05.48 E/oBAxNr.net
メディアル８面体の式なら既出じゃんか

625:イナ
18/06/08 20:23:46.96 n7O1sKDD.net
>>591
xの三次式とかそういうかたちでお願いします。
S=1なんで式の中にSがあれば計算して消えます。
前>>588

626:１３２人目の素数さん
18/06/08 20:32:23.17 E/oBAxNr.net
>>464に頂点の座標、>>471に面積と体積の式がある

627:イナ
18/06/08 20:33:37.98 n7O1sKDD.net
前>>592
超えられない斜めの壁がある。計算しやすい簡単な数字を探す。
六角柱=長方形屋根120°壁ホームベース型上下点対称八面体=√(√3)/18
＜√(√π)/18
＜0.0074
＜メディアル八面体

628:１３２人目の素数さん
18/06/08 21:22:34.50 ITi87fOm.net
>>587
ミンコフスキーの不等式なら、Wikipediaにも載ってるし、
解説もあちこち落ちてる気がする。

629:１３２人目の素数さん
18/06/08 21:26:44.53 ITi87fOm.net
（あげてしまったorz）
なんか自由度３の状況をパラメトリックに表現したものに対して
変数を２個に減らせと言ってるのを目撃した気がするが、きっと気のせい。

630:１３２人目の素数さん
18/06/08 21:59:37.50 pJljV8zI.net
式本体は見かけるんだけど証明が見つかんない。
とても自力では解ける気かしない。
しかもそれをどう使えば>>578が出るのかもさ～っぱり。

631:イナ
18/06/08 22:16:18.57 n7O1sKDD.net
前>>594
いつか体積、
√(√3)/18=1/6√(3√3)
を超える八面体の鳥瞰図を描きたい。
0.074は超えられなくてもいい。ちゃんと辺の長さをつきとめたい。
五角形の長い辺は、四角形の短い辺の二倍ぐらいなのかなぁ。

632:１３２人目の素数さん
18/06/08 23:50:26.48 r5bxmv7X.net
・一辺がxの正5角形を切り詰めたもの (内角は108ﾟのまま)　>>510 >>511
中心Oを通る水平断面で考えると、OからABDEの中央までの距離は
　(EG + DH)/4 = {φx + (x+z)}/4 = {(φ+1)x + z}/4,
5角面の傾きθ = arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099ﾟ
∴　cosθ = 0.9457416
∴　d_5 = {(φ+1)x+z}/4・cosθ = 0.6189959x + 0.2364354z,
C と B,D の高低差は x/√(2φ) = 0.5558930x,
BD = φx,
∴ CI と DH の距離は √{(φ/2)^2 + 1/(2φ)}･x = (1/2)√(3φ-1)･x = 0.9815933x,
Cと中心Oの高低差は x/√(2φ) + √(φ/8) (x-φz),
これに φ/√(3φ-1) = 0.8241875 を掛けて
d_4 = {x/√(2φ) + √(φ/8)(x-φz)}・φ/√(3φ-1) = 0.8288193x - 0.5997393z,
z=0 のときは
　d_5 = 0.6189959x
　d_4 = 0.8288193x
となり、球面に外接しない。　>>510
最大となるのは z = 0.2509325x のときで
　d_4 = d_5 = 0.67832525x
∴ 球面に外接する。　　　>>511

633:１３２人目の素数さん
18/06/09 00:02:37.79 yMt1Scsm.net
>>599
そのとき各面の重心は接点になってますか？

634:１３２人目の素数さん
18/06/09 00:35:33.78 Jtq6JHO

635:s.net

636:１３２人目の素数さん
18/06/09 00:49:37.84 Mhqr64dw.net
n=8のときの図っぽいのが載ってる。文章よんでないから知らんけど。
接点を結んだ双対多面体と一緒になってる図がある。
URLﾘﾝｸ(schoengeometry.com)

637:１３２人目の素数さん
18/06/09 01:29:58.35 bO8NYEjH.net
>>602 のサイトの下のほうにP_8(と彼は呼んでいるn=8の場合の表面積極小メディアル８面体)の面のjpeg画像がある。
４種類出てくるらしい。
数式だせよな……
URLﾘﾝｸ(schoengeometry.com)(1).jpg
URLﾘﾝｸ(schoengeometry.com)(2).jpg
URLﾘﾝｸ(schoengeometry.com)(3).jpg
URLﾘﾝｸ(schoengeometry.com)(4).jpg

638:１３２人目の素数さん
18/06/09 09:56:15.29 U/DEwkMV.net
>>603
いや、４種類あるわけじゃなさそうだけど。
図形は２種類で、その４つのテンプレートのミソは、頂点に番号が振ってあるとこで
同じ番号の頂点同士が一致するように組み立てれば８面体の半分ができるから
それを２つ組み合わせて立体をイメージしてね、ってことでしょ？
面の形は２種類。

639:１３２人目の素数さん
18/06/09 10:43:16.31 hShDyG0j.net
>>604
そうなんすか？8面なのに画像が4枚しかないから合同なのは除いてると思った。一度誰か厳密な頂点の座標出してくれません？

640:イナ
18/06/09 10:51:23.69 ASELe/sj.net
もういいよ、頂点は。
それより辺の長さとバランスだよ。前>>598
意外と台形太いね。
気づいていたさ、ずっと眺めてんだから。寝ても覚めても。
五角形の屋根と底は違うのかもね。文字数多すぎるだよ。

641:イナ
18/06/09 12:25:33.04 ASELe/sj.net
目標0.074488
二種類の平面図のおかげで鳥瞰図が描けた。
棟木と垂木は9x
若干垂木が長く見えるが、誤差と見た。
軒桁を12xにして垂木は若干放射状になる。
柱は5x少し斜めに立て、立体の重心だか中心に対して点対称の立体を地下に作る。
前>>598できそうだ。

642:イナ
18/06/09 12:32:27.47 ASELe/sj.net
棟木と垂木は9x
軒桁を12xにして垂木は若干放射状になる。
柱は5x少し斜めに立て、立体の中心に対して点対称の立体を地下に水平90°回転で作る。
前>>607前々>>606

643:１３２人目の素数さん
18/06/09 14:18:02.73 1x4Xd21b.net
立体視にするとこんな感じかな
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
A( 0.255096, 0.207265, 0.0876588)
B( 0.207265, 0.255096,-0.0876588)
C( 0.155171, 0.000000,-0.278602)
D( 0.207265,-0.255096,-0.0876588)
E( 0.255096,-0.207265, 0.0876588)
F( 0.000000,-0.155171, 0.278602)
G(-0.255096,-0.207265, 0.0876588)
H(-0.207265,-0.255096,-0.0876588)
I(-0.155171, 0.000000,-0.278602)
J(-0.207265, 0.255096,-0.0876588)
K(-0.255096, 0.207265, 0.0876588)
L( 0.000000, 0.155171, 0.278602)

644:１３２人目の素数さん
18/06/09 15:23:19.97 cFMku2n5.net
おーなんか綺麗な形だ

645:イナ
18/06/09 17:06:23.64 ASELe/sj.net
前>>608
実測値から式を推定する。
なんどか言ったが、少数にするのは近似値を出すためじゃない。√や比を推測して体積を表す式を導きたいからだ。

646:イナ
18/06/09 18:32:27.65 ASELe/sj.net
今回は期待できる｡前>>511台形の

647:高さが9xとか五角形の下半分の高さが5xとか、平方根が出ない。壁の傾きを考えると出ないわけないが、ゴールドバーグさんが言った簡単な構造になるだったか、あの言葉を信じたい。

648:１３２人目の素数さん
18/06/09 22:22:54.65 U/DEwkMV.net
なんか無理数の存在を認めなかったピタゴラス学派の時代からほとんど進歩してない奴がいるな

649:１３２人目の素数さん
18/06/10 04:20:07.33 73iwKoh1.net
とけた。たぶん。美しい……

650:１３２人目の素数さん
18/06/10 04:31:38.32 73iwKoh1.net
解けてなかったorz。おやすみなさい。

651:１３２人目の素数さん
18/06/10 05:26:41.33 73iwKoh1.net
いや、やっぱり解けたかな。
でもなんか面白い。
立て方がヘタクソなのか、最初立式した時は未知数4つが入り乱れててこんなん解けるかボケって思えたけど、いざ整理していくと不思議とまとまっていく。
やっぱり受験問題みたいにムリクリ作った問題とは一足違う。

652:１３２人目の素数さん
18/06/10 12:01:54.66 KetZUwRK.net
>>609
配置は >>464
a，b，r は >>489
表面積を１に揃えるため、 √S = √18.7116 = 4.32569 で割ったでござるか。

653:１３２人目の素数さん
18/06/10 15:29:05.27 Cphvbc4E.net
>>617
だいたいそんな感じです
データはWolframAlpha先生が教えてくれたものを使いました
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
（変数 p,q,r は >>464 の a,b,r-1 に対応しています）

654:１３２人目の素数さん
18/06/10 15:32:58.71 KetZUwRK.net
>>510 は
　>>464 で
　a = 2φ-3 = 0.236068
　b = √(2√5 -4) = 0.6871215
　r = 2φ-1 = √5 = 2.236068
とした場合。
　x = 4(2-φ) = 1.527864
>>511 は
　>>464 で、(AE+BD)/2 = {(x+z)+φx}/2 = 2 として
　a = (BD-AE)/4 = {φx - (x+z)}/4,
　b = AB/2・√(φ/2) = (x-φz)/2・√(φ/2),
　r = 1 + x/(2φφa)
とした場合。
最大のときは
　a = 0.127956
　b = 0.3724407
　r = 3.0809832
とした場合。
　x = 1.3942303
　z = 0.3498577 = 0.2509325x
>511 は >464 に含まれるゆえ、>514 は >471 >489 には及ばぬでござる。

655:１３２人目の素数さん
18/06/10 15:54:42.86 KetZUwRK.net
>>618
　a = 0.103404
　b = 0.379223
　r = 3.17776
のとき
　0.074344868　ぐらい…

656:１３２人目の素数さん
18/06/10 17:44:15.34 Cphvbc4E.net
データは >>489 のほうがWolfram先生より良い(体積が大きい)みたいです。
あと、>>609 の座標は計算に誤りがあったので計算しなおしました。
A( 0.25508091, 0.20727281, 0.087668243)
B( 0.20727281, 0.25508091,-0.087668243)
C( 0.15521551, 0.00000000,-0.27858864)
D( 0.20727281,-0.25508091,-0.087668243)
E( 0.25508091,-0.20727281, 0.087668243)
F( 0.00000000,-0.15521551, 0.27858864)
G(-0.25508091,-0.20727281, 0.087668243)
H(-0.20727281,-0.25508091,-0.087668243)
I(-0.15521551, 0.00000000,-0.27858864)
J(-0.20727281, 0.25508091,-0.087668243)
K(-0.25508091, 0.20727281, 0.087668243)
L( 0.00000000, 0.15521551, 0.27858864)

657:イナ
18/06/10 18:15:14.87 VRYWqgPw.net
もっとずっと簡単な整数比をみつける。前>>612ゴールドバーグさんも言ってた。自然界は簡単な構造だというようなことを。
計算が楽になりそうな数字がみつかるまで、もう計算しない。
自然界はもっとずっと簡単な構造で、楽に計算できる数学を選んでくるはずだから。簡単な整数比じゃないと計算したくない。

658:１３２人目の素数さん
18/06/10 18:34:29.44 y9Cpd902.net
まだ無駄なことやってんのか

659:イナ
18/06/10 18:53:24.67 VRYWqgPw.net
前>>622
整数比じゃなくてもいい。黄金比とか自然界にはなるべくしてなる比が存在している。
整数比だったり√3だったり√5だったり。
無駄なことが報われるときってのは、無駄を回避したことが無駄じゃなかったとわかったときだ。

660:１３２人目の素数さん
18/06/10 19:48:25.30 Cphvbc4E.net
回してみた。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)

661:イナ
18/06/10 23:51:51.67 VRYWqgPw.net
>>626すげー!!　まわってる、まわってる!!
前>>625すごいね。写メ保存したら動画のまま保存できてびっくりした。棟木をズームして実測、3.6xにしたら、V(x)=86.192(x^3)、x^2=1/131.68あんまり大きくならなかった。計算間違いかな。見た目は球体に近づいてるのに。
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662:１３２人目の素数さん
18/06/11 00:09:48.47 tIqikLWN.net
いずれにしてもキレイなケースになりそうですよね

663:１３２人目の素数さん
18/06/11 03:01:19.91 zkIOdW8D.net
これだけ長い議論になると八面体の別スレを設けたほうがいいレベルだな

664:１３２人目の素数さん
18/06/11 09:13:19.80 E/XZVJ+8.net
八面体だけだと狭すぎる
多面体一般にしたら需要あるかも

665:１３２人目の素数さん
18/06/11 09:26:08.70 1c3kALJq.net
>>628
そうだな、いいかげんうんざりしてる

666:１３２人目の素数さん
18/06/11 10:23:50.28 TnGShdQw.net
>>466 >>472
菱形6面体（菱面体）のとき
　辺の長さL = √{(2aa+cc)/3},
　体積 V(0) = aac,
　表面積 S(0) = 6LL･sinβ = 2a√{3(aa+2cc)},
　中心Oから各面までの距離 d = (√3)/2・ac/√(aa+2cc),
>>467
頂点から k･L まで(Lは辺長、0≦k≦3/2) の部分を切り落とす。
　体積 V(k) = V(0){1 - (1/3)k^3}　　　　(0≦k≦1)
　　　　　　= V(0)(9/4){1 - (1-2k/3)^2}(1-2k/3)　(1≦k≦3/2)
　表面積 S(k) = S(0) - (√3){√(aa+2cc) -a}ak^2,　(0≦k≦1)
　k = 3/2 -(√3)d/c　のとき、平面z=±d で切るので球面に外接する。
　(1) c=a (立方体、β=90ﾟ)のとき、k=(3-√3)/2，d=c/2 で外接。 >>488
　(2) c=2a（β=60ﾟ) のとき、k=1，d=c/√12 で外接。（正8面体）
　(3) c>2a のときは k>1 となり、やや面倒でござる。

667:１３２人目の素数さん
18/06/11 11:36:32.77 f053/Yvw.net
>>629
何で3次元に限るのって話

668:１３２人目の素数さん
18/06/11 16:31:57.45 alvL18N0.net
皆さんにお詫びと訂正を。昨日解けたといってた>>616ですがやっぱり解けてませんでしたorz。
参考までに私の失敗した方法です。
>>621さんと同じ配置で内接球の半径を１に規格化した点をA～Lとします。
A(a,c,b)、L(0,d,e)とします。
OからALFEにおろした垂線の足をX(cosα,0,sinα)、Y(cosβ,0,sinβ) (0<β<α<π/2)とおきます。
xz平面への射影の図をみれば
a=cos((α-β)/2) / cos((α+β)/2)、
b=sin((α-β)/2) / cos((α+β)/2)、
e=1/sinα、
c cosβ+ b sinβ=1、
d cosβ+ e sinβ=1
がわかります。
ここからLindeloefの条件
・ALFEの重心=X、ABCDEの重心=Y　……(※)
から条件が２つでてα、βの満たす方程式をだしていこうとしました。
そこで恥ずかしながら
ALFEの重心＝ALFEの座標の和/4
とかわけのわからんミスをして失敗しました。
原理的には(※)からtanα/2, tanβ/2の代数方程式がでて

669:、その終結式からtanα/2、tanβ/2の満たす方程式がでるはずですが五角形の重心の計算が面倒くさすぎて断念。もちろん∂面積/∂α=∂面積/∂β=0を再利用して方程式２つ出す手もありますし、一般論ではでない本問特有の必要条件をみつけて利用する手もあるかとおもいます。ご参考までに。

670:１３２人目の素数さん
18/06/11 16:36:46.10 oM4RlGEN.net
>>633
すいません。
誤：Y(cosβ,0,sinβ)
正：Y(cosβ,0,-sinβ)
です。

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