面白い問題おしえて～な 26問目

面白い問題おしえて～ ..

428:１３２人目の素数さん
18/05/18 06:17:07.83 539vwTx6.net
>>373
>>374 のリンクより。
aの最高位の数字が4　⇔　a/4 と 2a が同じ桁数。
{1，2，…，2^(n-1)} のx_n カ所では同じ桁に4数、それ以外では同じ桁に3数がある。
(n -x_n -1)/3 ≦ n･log_10(2) < (n - x_n +1)/3,
∴　x_n / n → 1 - 3log_10(2) = 0.09691　(n→∞)

429:１３２人目の素数さん
18/05/21 04:38:31.67 kuqRYFm5.net
表面積1の八面体の体積の最大値を求めよ

430:イナ
18/05/21 13:14:33.19 6i5QRyXS.net
>>420一辺xの正八面体の一つの面は正三角形で、面積は、
(1/2)x×(√3/2)x=1/8
x^2=1/(2√3)
八面体の体積=(1/6)(x/√2)^3
=(1/12√2)x^3 (/12√2)×√3)√(2√3)
=1/48√(3√3)
違うかも。

431:１３２人目の素数さん
18/05/21 14:35:46.68 3I0IwGqI.net
>>421
不正解
正八面体より大きく出来る

432:１３２人目の素数さん
18/05/21 14:58:44.22 oCVK8vvs.net
>>421
これ八面体ってのは例えば底面が六角形の走らないとか七角形の錐とかもありなん？

433:１３２人目の素数さん
18/05/21 15:00:08.42 oCVK8vvs.net
走らないでなく柱ね。底面が六角形の注柱。これもありやとアホほど計算しなあかん希ガス

434:イナ
18/05/21 15:25:53.51 6i5QRyXS.net
>>420鉛筆を水平に斬る。前>>421
一辺xの正六角形を上底下底とする高さyの正六角柱の体積P(x,y)=(√3)/4x^2･y
P'(x,y)=0でyを消すと、
P'(x)=0を満たすxに対して、P(x)の最大値が出そうな気がします。

435:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:24:23.18 3I0IwGqI.net
>>423
>>424
ありです
とにかく面が八つある多面体は八面体です
ただとある法則を使えばそういうものは除外出来ます

436:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:28:56.50 3I0IwGqI.net
ごめんなさい「ある法則」で除外できる多面体は七角錐だけでした
六角柱は個別で議論する必要あるかも

437:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:32:02.75 +913qm6o.net
正六面体の角を２つ削ったようなやつもはいるよね。
三角柱から角５つ削るとか。アホほどあるなぁ。

438:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:32:31.05 +913qm6o.net
３角柱から角３っつね。

439:１３２人目の素数さん
18/05/21 17:57:16.22 9YF4F+CN.net
>>425
正6角柱だと、正8面体と変わらない...orz
1/{6√(3√3)} = 0.073115223
もっと丸い形にすればいい？

440:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:11:57.11 0vZfF+dt.net
四面体の４つの頂点から小さく四面体を取り除いてできるものとかだいぶ球に近くなるんじゃないかなあ

441:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:20:53.02 2xKr+/2q.net
それより、立方体の頂点2つを切り落としたほうがいいんでね？

442:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:47:13.96 9YF4F+CN.net
>>430
より多角形にして、辺と頂点を増やす…

443:１３２人目の素数さん
18/05/21 23:22:14.24 YccZYzuR.net
とある法則で除外できるのが７角錐だけだとかなり残る希ガス。
だいたい８面体と同じ配置とか立方体から２角おとしたのと同じ配置とかに制限したとして、それぞれの場合に最大値求めんのもどえらい面倒くさい気が…。
ほんとに面白いスパっと解ける解法あるんかな？

444:１３２人目の素数さん
18/05/22 04:39:03.52 RuE2vaj6.net
>>431
辺長のk倍だけ切り落とす。（0<k<1)
4つの頂点から、k倍サイズの4面体を切り落とす。
体積： V = (1-4k^3) V_0
表面積：　S = (1-2kk) S_0
V / S^(3/2) = (1-4k^3)/{6√(3√3)・√2・(1-2kk)^(3/2)}
　≦ V_0 / {S_0^(3/2)}
　= 1 / {6√(3√3)},　　（正8面体）
等号成立は k=1/2 (中点) のとき。

445:１３２人目の素数さん
18/05/22 07:10:03.28 mp+7pS00.net
>>434
>>427は語弊がありました
六角柱と七角錐だと七角錐は除外出来るってことです
ある法則を使えば他のパターンも除外出来ます
例えば正八面体のタイプもダメだということが分かります

446:イナ
18/05/22 22:06:05.02 6b1wDh1x.net
正六角柱の上底下底の一辺をx高さをyとする。
正六角柱の表面積Sについて、
S=(3√3)x^2+6xy=1
y=(1/6x)-(√3/2)x―①
正六角柱の体積V=(√3/4)x^2･y―②
①を②に代入。
V(x)=(√3/4)x^2{(1/6x)-(√3/2)x}
=(√3/24)x(1-3√3･x^2)
V'(x)=(√3/24)-(9/8)x^2=0
x^2=(√3)/27
x≒0.0487287のときV(x)は最大。
V(0.0487287)=(√3/24)0.0487287(2/3)
=0.0487287(√3)/36
=0.0013831

447:イナ
18/05/22 22:47:55.38 6b1wDh1x.net
前>>437修正。
正六角柱の上底下底の一辺をx高さをyとする。
正六角柱の表面積Sについて、
S=(3√3)x^2+6xy=1
y=(1/6x)-(√3/2)x―①
正六角柱の体積V=(√3/4)x^2･6･y―②
①を②に代入。
V(x)=(√3/4)x^2･6{(1/6x)-(√3/2)x}
=(3√3)/2･x^2･y
=(3√3)/2･x^2･{(1/6x)-(√3/2)x}
=(√3/4)x-(9/4)x^3
V'(x)=(√3/2)-(27/4)x^2=0
x^2=(√3)/27のとき、
V(x)=(√3/4)x-(9/4)x^3
=(√3/4)x{1-3√3x^2}
=(√3/4)x(2/3)
=(√3)x/6
=√(√3)/18
≒0.0731152

448:１３２人目の素数さん
18/05/22 23:58:04.62 QxWTmuux.net
八面体の種類がいくつあるか自力で調べようとして挫折したので検索してみたところ、何をどう数えたのかは不明ながら257種類という数値が出てきた。これではまるでお手上げである。
なんの計算もしていないが、個人的には「デューラーの立体」ど呼ばれる三角形２枚、五角形６枚でできた立体が気になる。

449:１３２人目の素数さん
18/05/23 02:32:32.49 LxIDPfuv.net
>>439
Link プリーズ

450:イナ
18/05/23 03:02:44.37 Rj3qNk6E.net
>>439
一辺xの正三角形1枚と正五角形3枚をサッカーボールみたいにたがいに百八十度回転させて噛み合わせるように貼りつける。
表面積S=1
八面体の各頂点から中心までの距離aは一意に決まる。正三角錐の底面同士は百八十度回転して平行。おそらく正五角錐の底面同士も百八十度回転して平行な位置にあるんじゃないかと。
八面体の体積V=正三角錐の体積×6+正五角錐の体積×2
正三角形同士の距離と対面する正五角形の距離は同じにできるのかな？
前>>438

451:イナ
18/05/23 03:07:00.40 Rj3qNk6E.net
前>>441逆々。訂正。
八面体の体積=正三角錐の体積×2+正五角錐の体積×6

452:１３２人目の素数さん
18/05/23 05:25:56.47 bPXXYTiJ.net
>>439 >>441 >>442
　歪重角錐ですか？
　正８面体や正６角柱よりは改良すると思います。
　　　　　　　　　　　　　V / S^(3/2)
・メディアル８面体　　0.074488　　　　　　 (4角形×4，5角形×4)
・歪重角錐　　　　　　0.074217
・正８面体　　　　　　0.07311522294　　　（アルキメデスの正プリズム）
・正６角柱　　　　　　0.07311522294
・反プリズム　　　　　0.07311522294 = 1/{6√(3√3)}　　（アルキメデス）
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
M. Goldberg: Tohoku Math. J.，４０，p.226-236 (1935)
"The isoperimetric problem for polyhedra"
---------------------------------------
f = 4　　正４面体　　　　　　0.05170027 = 1/{6√(6√3)}
f = 6　　立方体　　　　　　　0.06804138 = 1/(6√6)
f = 8　　メディアル８面体　0.07311522 = 1/{6√(3√3)}
f =

453:12　正12面体　　　　　0.08168837 f = 20　メディアル20面体　0.0866101　　　　　　　　　　　 (5角形×12，6角形×8) 球面に外接する？

454:１３２人目の素数さん
18/05/23 05:29:31.94 bPXXYTiJ.net
>>443 訂正
f = 4　　正４面体　　　　　　0.05170027 = 1/{6√(6√3)}
f = 6　　立方体　　　　　　　0.06804138 = 1/(6√6)
f = 8　　メディアル８面体　　0.074488
f = 12　正12面体　　　　　　0.08168837
f = 20　メディアル20面体　0.0866101　 (5角形×12，6角形×8)

455:１３２人目の素数さん
18/05/23 08:38:50.14 cqx5U6TU.net
>>441
細かくてすまんが、どう考えても正五角形ではないよな＞デューラーの立体の五角形

456:１３２人目の素数さん
18/05/23 09:21:27.45 cqx5U6TU.net
「歪重角錐」ってワード、検索してもikuro_kotaro氏しか使ってないようなのだけど、
もともとはどういう言葉の訳語？
言葉の印象から、デューラーの８面体とは別物のような気もするが。

457:１３２人目の素数さん
18/05/23 09:42:46.47 bPXXYTiJ.net
「メディアルｆ面体」
　 [ 6-12/f ] 角形と [ 6-12/f ] +1 角形のみからなるｆ面体。
　f≧12 のときは　5角形×12，6角形×(f-12)
f = 8　　　0.074488　　4角形×4，5角形×4
f = 10　　　　　　　　　4角形×8，4角形×2　　（シリコンフラーレン）
f = 14　　　0.0833652　　5角形×12，6角形×2　　ねじれ重角錐台（ゴールドバーグ）
f = 20　　　0.0866101　　5角形×12，6角形×8
f = 32　　　　　　　　　5角形×12，6角形×20　　切頂20面体（サッカーボール）
f = 42　　　　　　　　　5角形×12，6角形×30　　切稜12面体
　

458:１３２人目の素数さん
18/05/23 10:00:31.64 bPXXYTiJ.net
>>446
歪重角錐 = ねじれ双角錐
trapezohedron = deltohedron = antibipyramid = antidipyramid
の訳語らしい。
URLﾘﾝｸ(hp.vector.co.jp)

459:イナ
18/05/23 10:45:35.61 Rj3qNk6E.net
>>443正六角柱の体積の値があってたみたいでうれしいです。正八面体と同じだったとは。銅メダル二人みたいな。前>>442

歪重角錐か。歪んでるような気がしたんだよなぁ。するとその歪重角錐のさらにその上のビジュアル八面体とやらが0.074いくらで最大値か。

460:１３２人目の素数さん
18/05/23 11:04:54.26 SaS67Pru.net
ではそろそろ420の正解発表を聞こうか

461:１３２人目の素数さん
18/05/23 11:35:49.76 UmkZrt7x.net
正解ぷりーず

462:イナ
18/05/23 11:51:08.00 Rj3qNk6E.net
今のところ>>438が最大。正八面体と同じだったことは残念だが。前>>449アンカー訂正。前々>>442前々の前>>441
精度を増すと、
V=√√3/18
≒0.0731152229

歪重角錐は今のところ言葉による想像にすぎないし、四角形と五角形を貼りつける八面体の存在も確認できない。

463:１３２人目の素数さん
18/05/23 12:10:18.05 zzKr5Jg7.net
四角形４枚と五角形４枚ってこんな感じ？
頂点数＝12 (A～Lとする)
五角形:ABCDE,DEFGH,GHIJK,JKLAB
四角形:AEFL,BCIJ,CDHI,FGKL

464:イナ
18/05/23 14:10:25.08 Rj3qNk6E.net
>>453展開図を描いた。正方形ととなりあうのは正五角形3個と正方形1個。正五角形ととなりあうのは正五角形3個と正方形2個。たしかに存在しますね。
一辺xの正方形と正五角形から中心までの距離をそれぞれa、bとして、
V=(1/3)x^2･a･4+(1/3)(正五角形の面積)･b･4=1
一辺xの正五角形の面積がわからない。
(○+√5)/△
こんな感じだったような。
前>>452

465:イナ
18/05/23 14:38:08.07 Rj3qNk6E.net
前>>454だんだん球体に近づくと考えて、
半径rの球の表面積S=4πr^2=1
r=1/2√π
半径rの球の体積V=(4/3)πr^3
=r/3
=1/6√π
≒0.0940316

466:１３２人目の素数さん
18/05/23 15:10:18.65 cqx5U6TU.net
>>454
だから、「正方形」とか「正五角形」ではなく
ただの「四角形」とか「五角形」だと何度言えば。
＞たしかに存在しますね。
してません。
>>453
極大となるのが強い対称性を持つ場合だと仮定するなら
五角形CDEAB，FEDHG，IJKGH，LKJBAが互いに相似な
左�

467:E対称な五角形（CDEABであればEAの垂直二等分線が対称軸）であり、四角形LAEF，FGKL，CBJI，IHDCが互いに相似な等脚台形（LAEFであれば，LF//AE，LA=FE）となるケースで考えればよいですかね。五角形の形状が決まれば自動的に四角形の形状も決まります。

468:１３２人目の素数さん
18/05/23 15:15:29.02 /54JzC6H.net
>>420
正解をどうぞ

469:１３２人目の素数さん
18/05/23 15:28:32.45 cqx5U6TU.net
>>443 >>447 >>448
その用語を見ると、>>439さんが言ってるデューラーの立体（デューラーの８面体）は
「ねじれ重角錐台」に相当するのかな。

470:イナ
18/05/23 16:07:07.76 Rj3qNk6E.net
前>>455
ねじれでも腕ひしぎ逆十字でも、俺が出したこれは超えられまい。>>438
V=√√3/18
≒0.0731152229

471:１３２人目の素数さん
18/05/23 18:02:08.85 bPXXYTiJ.net
>>453
1辺がxの正6角形から1つの頂点を取り去った5角形4つを ∧∨∧∨ と並べて正方形柱にする。
辺がx，x√3 の長方形2枚で屋根を葺く。底も同様ですね。
このままだと 1/{6√(3√3)} つまり正８面体と同じ。
よって歪ませて正5角形に近づける？

472:１３２人目の素数さん
18/05/23 18:41:14.48 zzKr5Jg7.net
まず五角柱を考えて、その側面の四角形１枚に着目したとき、
上底面と下底面に接続する２辺それぞれに頂点を設けてそれらを結ぶと六角柱になります。
その代わりに、底面でない２辺上に頂点をそれぞれ設けてそれらを結ぶと五角形４枚＋四角形４枚の立体になります。
そう考えると、後者の方がなんとなく球体に近い形にできそうなそうでないような…？

473:１３２人目の素数さん
18/05/23 21:49:27.54 XdPIqpjy.net
ところで「デューラーの立体」って平行六面体の反対の角を切り落としたものだね

474:１３２人目の素数さん
18/05/23 22:29:36.30 zzKr5Jg7.net
>>462
そうね
２つある三角の面がそれ

475:１３２人目の素数さん
18/05/24 00:05:56.52 ksY6GGNA.net
対称性のあるメディアル８面体を一般化するため
>>453 に合わせて、実際の空間座標を設定してみた。パラメータはa,b,rの3つ。
これで実際に表面積と体積を計算して、最大になるケースを求めればよい。
A(1+a,1-a,-b)，B(1-a,1+a,b)，C(1-ar,0,br)，D(1-a,-1-a,b)，E(1+a,-1+a,-b)，
F(0,-1+ar,-br)，G(-1-a,-1+a,-b)，H(-1+a,-1-a,b)，I(-1+ar,0,br)，
J(-1+a,1+a,b)，K(-1-a,1-a,-b)，L(0,1-ar,-br)
ただし，パラメータは
-1<a<1，b>0，r>1，ar<1
を満たす範囲で動く。
実際には，0<a<1の範囲を考えればいい気はする。
あとで暇なら計算するが，だれかやって。
なお、線分BA，ED，HG，KJの中点が，xy平面上の原点を中心とする1辺2の正方形をなすように
配置してます。

476:１３２人目の素数さん
18/05/24 00:40:21.21 iiG4vaf/.net
>>462
さらに言えば、
ねじれ双3角錐（ねじれ重3角錐）　>>448
の頂点部を切り落としたもの。（～台）　>>458

477:１３２人目の素数さん
18/05/24 02:26:45.42 iiG4vaf/.net
>>462
ねじれ双3角錐（切り落とす前）の例
8つの頂点
　±（0，0，3c/√12）
　±（2a/√6，0，c/√12）
　±（-a/√6，a/√2，c/√12）
　±（-a/√6，-a/√2，c/√12）
辺の長さL = √{(2aa+cc)/3}
体積V = aac,
表面積S = 6LL･sinβ = 2a√{3(aa+2cc)},
　　β = arccos((cc-aa)/(2aa+cc))
　　V / S^(3/2) ≦ 1/(6√6),
等号は a=c のとき　（立方体）

478:１３２人目の素数さん
18/05/24 06:17:07.64 iiG4vaf/.net
>>466
　頂点から k･L まで（Lは辺長、0<k<1) の正3角錐を切り落とす。
　底辺：(√2)ak，底面積：(√3 /2)aak^2，高さ： (1/√3)ck，体積：(1/6)aac･k

479:^3, 　表面積の減少：(1/2)(√3){√(aa+2cc) -a}ak^2, 　V(k) = V(0) - (1/3)aac･k^3 　S(k) = S(0) - (√3){√(aa+2cc) -a}ak^2,

480:１３２人目の素数さん
18/05/25 06:34:50.00 ohjGIEVt.net
>>466 >>467
V/S^(3/2) が最大となるのは、
k = 1（反正3角柱、アルキメデスの反プリズム）でかつ
c = 2a，β = 60°のとき。
一辺 L = (√2)a の正4面体を切り落とす。残ったのは一辺 L の正8面体か。
>>462 が正しいなら、 >>439 もハズレのような。。。

481:イナ
18/05/26 03:00:37.86 IfNt0hdl.net
>>438これ、正解でよくね？
∥∩∩∥
（(-_-)
（っц)~
｢￣￣￣]前>>459

482:１３２人目の素数さん
18/05/26 05:12:26.07 idqdAluV.net
本当に人の話を聞かない御仁だな…＞コテハン

483:１３２人目の素数さん
18/05/26 05:58:03.55 Tm+bfCXy.net
>>464
計算した。
AE = DH = GK = JB = 2(1-a),
BD = EG = HJ = KA = 2(1+a),
CI = FL = 2(1-ar),
CI～DH，CI～JB の距離　√{(1+a)^2 + bb(r-1)^2}
5角形ABCDE = {4 + (r-1)(1+a)}√(aa+bb),
4角形CDHI = {2-(r+1)a}√{(1+a)^2 + bb(r-1)^2}
S = 4{4 + (r-1)(1+a)}√(aa+bb) + 4{2 - (r+1)a}√{(1+a)^2 + bb(r-1)^2}
V = 8(1-aa/3)b + 4(1+a)b(r-1){1-(2+r)a/3},
・a = 0，b = 1/√3，r = 2　のとき
　S = 12√3，　V = 4√3，　V/S^(3/2) = 1/{6√(3√3)},　　　　>>460
・a = 0.1035　　b = 0.379　　r = 3.180　のとき
　　S = 18.7092102　　V = 6.0163648　　V / S^(3/2) = 0.074344865
　やっと正8面体、正6角形、アルキメデス、デューラー etc を超えた。。。

484:１３２人目の素数さん
18/05/26 10:13:30.18 Tm+bfCXy.net
>>466
　は菱形6面体（菱面体）でしたね。

485:イナ
18/05/26 12:17:34.10 IfNt0hdl.net
>>438これ、正解でいいと思うんだけど、ビジュアル八面体とやらが、メディアルか、が座標設定して計算で最大値を更新したのは確からしいな。
ただ、V≒0.074をどうやって出したかまだわからない。
∥∩∩∥V/S^(3/2)の
（(-_-)3/2ってなんだ？
（っц)~　 V/S√Sか。
｢￣￣￣]前>>469

486:１３２人目の素数さん
18/05/26 12:25:25.83 p7ZlenKz.net
そろそろ正解が聞きたいなぁ。いろんな計算結果は上がってるけどあくまで数学なんだからそれは正解にはなり得ない。意味ないわけではないけど。

487:イナ
18/05/26 12:34:00.52 IfNt0hdl.net
そもそも題意はS=1だろ。S=1のときVがいくらになるかを求める問題だったはず。
>>438これが正解だ。
∥∩∩∥
（(-_-)
（っц)~
｢￣￣￣]前>>473

488:１３２人目の素数さん
18/05/26 12:47:38.91 Zk6GPK3+.net
まさか、正解を用意していなかったとかあるまいな

489:１３２人目の素数さん
18/05/26 13:32:39.72 p7ZlenKz.net
最初の頃は出題者らしき人がのレス付いてたけど途中から出てこなくなってるから、ちょっと危ない感じもするけど。

490:１３２人目の素数さん
18/05/26 13:51:29.80 idqdAluV.net
自分は出題者ではないし>>443でもないが
正解発表という意味では、
>>443 >>444あたりで紹介されてる
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
に記述のある
ゴールドバーグが見つけたメディアル多面体での
0.074488
ってのが現時点でのチャンピオンデータってことなんでしょ？
で、ikuro_kotaro氏の書き方も若干曖昧でゴールドバーグの論文を読んでみないと
本当のところはわからないけど、おそらくそれはまだ局所最適解に過ぎず
すべてのケースをくまなく調べたわけではないから、８面体についても未解決で、
ただゴールドバーグは一般にn面体についても
メディアル多面体において最大値をとると予想してる、って話だよね？
それが現時点での最大の結果でしょ？
それ以上の結果が出たらこんなところに書いてる場合じゃなくて論文を書くべき案件。
別に、答えが用意されてるパズルだけが「面白い問題」じゃないよね。
普通に思いつくところが正解ではなくて、まだ正解の探索の途中である問題だって
面白い問題には違いないのだから、それでいいじゃん。

491:１３２人目の素数さん
18/05/26 13:57:49.09 idqdAluV.net
ちなみに、V/S^(3/2)の意味を理解せずに議論に参加してるつもりの人がいるようだが
ある８面体の体積がV、表面積がSのとき、
その８面体と相似で表面積が1の立体の体積がV/S^(3/2)になる。
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp) では
V/S^(3/2) が最大、ではなく S^3/V^2 が最小という言い方をしてるが、同じこと。
>>443にある値は、そこに紹介されてるS^3/V^2の値をV/S^(3/2)に換算してるだけ。

492:１３２人目の素数さん
18/05/26 14:06:15.01 idqdAluV.net
>>471
お疲れさまです。ちゃんと、他のすぐ計算できるケースを超えるポイントが見つかったのですね。
SとVの式は自分も計算してみて同じ結果になりました。
ゴールドバーグはこんな計算から局所最適解を求めたのだろうけど
1935年だから、計算機による数値計算ではなくおそらく手計算だよな。
どうやったんだ…

493:１３２人目の素数さん
18/05/26 14:30:57.93 p7ZlenKz.net
別に答えが用意されてようが何だろうがそれはかまわないけど、それならそれでそれは明示しとかんとダメだと思う。

494:１３２人目の素数さん
18/05/26 16:37:28.91 N2EQPiGo.net
>>479
その辺のメトリックを理解しない数学徒は皆無だろう
理解しない非徒は説明されても理解しない可能性が大

495:イナ
18/05/26 17:10:10.91 IfNt0hdl.net
立方体の一辺をx、切りとる二つの直角三角錘の二辺と高さをaとする。
八面体の表面積Sについて、
S=6x^2-3a^2+{(√3)/4}(a√2)^2･2=1
6x^2-1=3a^2-a^2･√3
a=√{(3+√3)(x^2-1/6)}―①
一辺xの立方体から一辺aの直角三角錘2個を引く。
八面体の体積V=x^3-2(a^3)/6
V=x^3-(a^3)/3―②
①を②に代入。
V(x)=x^3-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
V'(x)=3x^2-(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
を満たすxにより、
V(x)=x^3-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
=x^3-(1+1/√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
≒？＞0.0731152229
前>>475

496:１３２人目の素数さん
18/05/26 19:41:49.72 ypScq2Bz.net
せめて「とある法則」ってのだけは教えてほしいわな
おそらく七角錐，正八面体はダメで六角錐は除外できないってことから
各頂点に接している面の数が3の多面体ってことなんだろうけど

497:イナ
18/05/26 21:31:07.58 IfNt0hdl.net
F'(x)=3x^2-(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
3x^2=(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}+(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
前>>483辺々を二乗すると、
9x^4=(4/9)x^2･(12+6√3)･(3+√3)(x^2-1/6)+(1/9)(12+6√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+2(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
9x^4=(4/9)x^2･(36+18+30√3)･(3+√3)(x^2-1/6)+(1/3)(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+(4x/9)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
81x^4=12(18+10√3)･(3+√3){x^4-(1/6)x^2}+3(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
81x^4=24(7+4√3){6x^4-x^2}+3(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
大変。

498:１３２人目の素数さん
18/05/26 22:03:24.34 p7ZlenKz.net
>>484
同意❗

499:
18/05/27 00:45:56.58 UhzuItQI.net
F'(x)=0でF(x)の最大値を出す法則と四則演算ならわかる。
前>>485
144･7-81+576√3)x^4-24(7+4√3)x^2+3(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
(927+576√3)x^4-(168+96√3)x^2+(54+30√3)(x^2-1/6)^2+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0

500:１３２人目の素数さん
18/05/27 01:33:00.38 i5aSKt1a.net
>>483 >>485
　辺長xのうち、頂点からaまでの部分を切り取るのだな。
　V = x^3 - (a^3)/3,
　S = 6xx - (3-√3)aa,
a = {(3-√3)/2}x = 0.6339746x のとき最大で
　V/S^(3/2) = (1/6)√{(1+√3)/15} = 0.0711291315
>>467 で a = c，β = 90ﾟ，L = x の場合でござるな。

501:１３２人目の素数さん
18/05/27 02:03:28.95 aeCCXXNU.net
>>471
自分でもプログラムで探してみたけど、
>>464の設定ではそのあたりが限界なのね…
自分の結果は
(a, b, r) = (0.103402, 0.379226, 3.177760) で 0.074344868
S^3/V^2でいうと180.92476とかで、
ゴールドバーグの結果と言われてる180.23とはまだ随分ギャップがあるなあ。
それに近づくには、>>464の対称性を崩さないといけないということ？
（まあ、その値が正しいかどうかもよくわからないが）

502:１３２人目の素数さん
18/05/27 02:13:30.05 i5aSKt1a.net
>>483 >>485 >>487
　S = 1 に限定すれば
　x = √{(√3 +1)/15} = 0.426774789
　a = √{(√3 -1)/10} = 0.2705643745
でござる。

503:イナ
18/05/27 02:40:09.42 UhzuItQI.net
(927+576√3)x^4-(168+96√3)x^2+(54+30√3){x^4-(1/3)x^2+1/36}+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
(773+546√3)x^4-(186+106√3)x^2+(9+5√3)/6+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
前>>487
もっかい紙の上でやったほうがいいみたい。x出したいわけじゃないし。そうか、aがxの半分超えるぐらいおっきなることもあるんか。

504:１３２人目の素数さん
18/05/27 03:46:25.26 i5aSKt1a.net
>>480
>>443 の文献はここら辺↓に…
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
Fig.1 の VIII の欄では　>>453 >>457 >>460 と同じ配置
Table 2 で K は等周定数 (S^3 /V^2)
n=8，VIII の欄はたしかに　K = 180.23
また傾き角（軸となす角）は　53ﾟ07'，15ﾟ23'
>>489
　>>464 のような高い対称性をもつか不明でござる。（英語不得手により）

505:１３２人目の素数さん
18/05/27 04:35:27.73 i5aSKt1a.net
>>483
S = 6xx - (3-√3)aa = 1
から
aa = (3+√3)(xx -1/6)　　… (1)
V(x) = x^3 -(1/3)a^3　　… (2)
　= x^3 - (1/3)(3+√3)^(3/2)･(xx -1/6)^(3/2),
V '(x) = 3xx - x(3+√3)^(3/2) x√(xx -1/6) = 0,
xで割って
　3x = (3+√3)^(3/2) √(xx-1/6),
　9xx = (3+√3)^3 (xx-1/6),
　xx = (√3 +1)/15,
これを (1) に入れて
　aa = (√3 -1)/10,
>>490 が出る。

506:１３２人目の素数さん
18/05/27 04:52:26.77 aeCCXXNU.net
>>492
実は自分も今その論文を眺めてたところ。
>>489で求めた値は、最大になるようなa,b,rの値の組を最初粗い格子点の中から探し
その周辺でさらに細かい格子点の中から探し、というような作業を
スクリプトを使って繰り返して（範囲の設定は手作業）
その精度での局所最適解を求めたのだけど、
その作業をすり抜けるような特異点が存在するとも思えないし、
実際そのa,b,rから各面の傾きを計算すると
その論文の値とほぼ一致するし。
本来は自分の計算の方を疑うべきなのだろうが、
>>471氏の計算とも合致してるので、
今は180.23という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。
論文に載ってる２つの角度だけではその８面体の形状は特定できないので
もっと詳しく書いておいてくれればよかったのに＞ゴールドバーグ氏
ネットで検索しても、その立体の展開図みたいなものは見つかるのだが、
細かいサイズや実際のS^3/V^2の値とかの定量的な話が全然書いてないんだよな

507:１３２人目の素数さん
18/05/27 11:27:35.29 CGYiTgTM.net
この手のはいくらでも先に進めるけれど進んだところで意味が無い計算の1つ
数学の袋小路
これが役に立つ例を他の学問分野から必要とされない限り
よくできましたで賞にしかならない

508:１３２人目の素数さん
18/05/27 11:58:20.93 6sMTwTbT.net
4色問題もそうだし、おおよその整数野未解決問題もそうなんだよなあ

509:イナ
18/05/27 19:52:43.78 UhzuItQI.net
前>>491
F(x)=x^3-(1+1/√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
もしやただ単にx^2=1/6のときF(x)は最大とかいう話？
F(1/√6)=1/(6√6)
≒0.0680413817
こんな簡単でいいの？

510:イナ
18/05/27 20:03:51.93 UhzuItQI.net
前>>497ちがうか。やっぱり>>438でF'(x)=0で最大値が出たことを思うと、
F(x)=x^3-(1+1/√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)} これもF'(x)=0でできんかなと思うんだよ。
F(x)=？
≒0.074

511:イナ
18/05/28 07:14:10.67 DLDfn9F5.net
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
|＿＿＿＿｣
（(-ﾟ-)
＿ '``ちょっと寝る。
だから―。前>>498お願いだ。もっかい微分で解かせてほしい。

512:イナ
18/05/28 20:06:22.78 DLDfn9F5.net
>>490式と計算過程も書いてほしいよ。
前>>499
S=6{x^2-(a^2/2)}+2(√3/4)(a√2)^2
=6x^2-3a^2+√3･a^2=1
(3-√3)a^2=6x^2-1
a^2=(6x^2-1)/(3-√3)
=(x^2-1/6)(3+√3)
V=x^3-2(1/3)(a^2/2)a
=x^3-a^3/3
=x^3-(a/3)(x^2-1/6)(3+√3)
=x^3-(x^2-1/6){1+(√3)/3}a
=x^3-(x^2-1/6){1+(√3)/3}√{(x^2-1/6)(3+√3)}
V'(x)=3x^2-(1/3)(2x)(3+√3)√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0
3x^2-(2x){1+(√3/3)}√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0
3x^2-(2x){1+(√3/3)}√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0

{x-(1/√6)}^2=x^2-2x/√6+1/6=x^2-1/6-2x/√6+1/3
x^2-1/6={x-(1/√6)}^2+
2x/√6-1/3

(休憩)

513:イナ
18/05/29 02:49:24.32 2oLTtdTc.net
>>488
V=0.0711……だったら0074どころか、正六角柱の0073より小さいじゃないか!!
前>>500
感覚的に正六角柱には及ばないと思ったんだよ。計算しようとして、できたわけじゃないけど、無駄な計算だった。
じゃああれだ、大御所、五角形4つと四角形4つで微分、お願いします。
数式で出した最大値はいまだ正六角柱の0.073……ですもんで。

514:イナ
18/05/29 09:22:46.22 2oLTtdTc.net
前>>501
長方形4つの長辺およびホームベース形五角形4つの上辺をxとし、今仮に五角形4つの上辺と向かいあう内角を60°として垂直に柱を建て屋根と同じ形状のものを地下に天地逆で90°水平回転で作る。
S=x(x/√3)4+{x(x/√3)+(x/2√3)(x/2)}･4
(4/√3)x^2+(4/√3)x^2+(x^2)/√3=1
9x^2/√3=1
x^2=(√3)/9
V=x^2{(x/√3)+(x/2√3)}
=(√3)/9{(x/√3)+(x/2√3)}
{(√3)/9}･3x/(2√3)
=x/6
=√(√3)/6･3
=√(√3)/18
=0.0731152……
このゴキブリホイホイを切って天地逆にくっつけたような無用の立体は、先の正六角柱と同値。
さらに体積を増すには、五角形の角度を60°より大きくする手が考えられる。たとえば72°は無理かもしれないが、五角形を正五角形に近づけるべく柱を傾けてはどうか。つまり柱も梁も棟もすべて同じ長さにしたとき体積は最大になるんじゃないか。仮説です。

515:１３２人目の素数さん
18/05/29 15:00:58.00 n11ck1yy.net
>>502
五角形の内角が 120ﾟ×3、90ﾟ×2 で4辺の長さが (x/√3)
長方形の辺長が x と (x/√3)
>>460 を 1/√3 倍に縮小したものと同じですね。
頂点を垂直方向にずらすだけでは、それ以上改良しないと思われ…

516:１３２人目の素数さん
18/05/29 16:16:31.38 RTi38Ocg.net
私はやってないのでいう権利ないかもしれないけど、ともかくこれだけ頑張って計算してる人いるんだから、間違ってないならそろそろ＂とある法則”上げてもいいんじゃね？なんか計算の足しになるかもしれないし。

517:イナ
18/05/29 16:19:46.35 2oLTtdTc.net
前>>502
五角形の内角を72°として斜めに柱を突きだし屋根と同じ形状のものを地下に天地逆で90°水平回転で作る。一辺xの正五角形と三辺xの四角形を貼りあわせた八面体の鳥瞰図を描く。
四角形の残りの一辺y(棟と地下のねじれの位置にある一辺も同じく)はやや小さく(y<x)、四角形は面積(x+y)x/2の台形。
S=4(x+y)x/2+4{(1+√5)/2}x^2=1
2x^2+2xy+2(1+√5)x^2=1
2xy+2(2+√5)x^2=1
2xy=1-2(2+√5)x^2
y={1/(2x)}-(2+√5)x
上の棟から真っ二つに切った七面体V/2(上辺t=y→x)
五角形の辺はt一つ、{(1+√5)/2}x二つ、x二つ。
V/2
=∫(t=y→x)

=
>0.0731152……

ちょっと超えるはず。五角形の内角を72°にできれば、八面体V=0.074……

518:１３２人目の素数さん
18/05/29 18:12:11.36 n11ck1yy.net
>>471 と >>489 の結果から、(AE + BD)/2 = x　として
五角形ABCDEは
　∠A = ∠E = 104.73844ﾟ，∠B = ∠D = 113.06566ﾟ，∠C = 104.3918ﾟ　（正五角形： 108ﾟ)
　AB = DE = 0.406444x，BC = CD = 0.69826x，AE = 0.89660x，BD = 1.10340x
　S_5 = 0.62920xx
台形CDHIは
　CI = FL = 0.67141x，CI～DH　0.68912x
　∠C = ∠I = 99.2793ﾟ，∠D = ∠H = 80.7207ﾟ
S_4 = 0.54027xx
合計で
　S = 4.6779xx
　V = 0.75219x^3
>>464 と >>471 の設定は x=2 です。
計算はチラシの裏でもできますが…

519:イナ
18/05/29 19:01:38.40 2oLTtdTc.net
―／￣￣￣/＼
_/＿＿＿_/　|
∥￣￣￣∥　|
∥　　　∥／~~~~
~＼　　／~~~~~
―-＼／~~~
前>>505訂正。72°⇒108°

520:イナ
18/05/29 22:07:16.16 2oLTtdTc.net
前>>507訂正。>>502角度を60°⇒内角を120°おもしろい問題でしたね。0.074は自力では綺麗に決まりそうにないですが、0.073が二通りも示せたことをうれしく思います。
□ ∥◇/n_n＿_n n_＿＿
。 ∥>//￣￣￣￣￣￣//
_∩∩//＿＿＿＿＿＿//|
(　(`)(-^-)（ -~-)zz..
(っц)_U_Uzz.````_/|_/
_|υυ￣￣￣￣￣￣|＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿

521:イナ
18/05/30 02:31:18.23 HVx7wYPO.net
一辺xの正方形4つと正五角形4つをおじゃみか玉入れの玉のように互い違いに編んだ八面体の表面積は、
前>>508
4x^2+4{(1+√5)/2}x^2=1
(6+2√5)x^2=1
(1+√5)^2･x^2=1
x={(√5)-1}/4≒0.309……
V(x)=
八面体を正四角錘4つと正五角錐4つに分解したい。
V'(x)=0

522:１３２人目の素数さん
18/05/30 05:32:35.18 ddqYu1Wl.net
>>505
一辺xの正五角形では、
BD = φx,
CI = FL = x/φ,
5角面の傾き：　arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099°
となる。ここに、
　φ = (1+√5)/2 = 1.61803399　　(黄金比)
　sin(18ﾟ) = (φ-1)/2,　　　cos(18ﾟ) = (1/2)√(2+φ),
　sin(36ﾟ) = (1/2)√(3-φ),　cos(36ﾟ) = φ/2,
S = 4(S_5 + S_4)
　= {5φ/√(φ+2) + √(3φ-1)} φxx
　= 4(1.7204774 + 0.7941257) xx
　= 10.0584124 xx,
V = {(7φ+4)/12}√(2φ) x^3
　= 2.297540285 x^3,
V / S^(3/2) = 0.072022630
う～む
>>506 を見ると、内角は108ﾟに近いが、辺長は不均衡（AB と DE が短く、AE が長い）
　辺長を変えれば改善するか？

523:１３２人目の素数さん
18/05/30 06:12:08.84 ddqYu1Wl.net
>>510
BC = CD = x
BD = φx,
CI と DH，BJ の距離　(1/2)√(3φ-1) x,
CI と BDHJ の高低差　x/√(2φ),
5角面の傾き：　arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099°
は>>510 のままで
AB = DE = x-φz,
AE = x+z,
CI = FL = x/φ + z,　( =y )
BDHJ と AEGK の高低差　(x-φz)√(φ/2),
とすると…
>>505
　台形の面積は (1/4)(x+y)^(3/2)･√(3x-y) ...

524:１３２人目の素数さん
18/05/30 07:12:00.25 6H7MnT2U.net
コンピュータを使うなら以下のような方式はどうか
(1)８枚の面の緒元(法線ベクトルと原点からの距離)をランダムに決める
(2)各面の微小変異(傾きと距離)に対する評価関数(V^2/S^3など)の変量を計算し、最も変量の大きい面について評価関数が最良になるよう調整する
(3)手順(2)を繰り返す
面積は交線で囲まれる図形から、体積は面積×原点距離÷３の総和、ってことで機械的に求められるのではないか

525:１３２人目の素数さん
18/05/30 07:46:45.48 FdL02lRD.net
実は関数方程式も大好物でござる
A. 725.
Let R+ denote the set of positive real numbers.
Find all functions f:R+→R+ satisfying the following equation for all x,y∈R+:
f(xy+f(y)2)=f(x)f(y)+yf(y).
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)

526:１３２人目の素数さん
18/05/30 09:56:31.72 ddqYu1Wl.net
>>511
S(x,z) = 4(S_5 + S_4)
　= √(2+φ)･{(φ+2)xx -2φxz +φzz} + √(3φ-1)･(φx+2z)x,
V(x,z) = (1/6)√(φ/2)･{(5φ+2)xx + (2φ^3)xz +zz}(x-φz) + √(φ/2)･{(φφ/3)x + z}xx,
最大となるのは z = 0.2509325x のときで
　BC = CD = x,
　AB = DE = 0.5939827x,
　AE = 1.2509325x,
　CI = 0.8689665x,
　S = 4 (S_5+S_4) = 4 (1.2858838 + 1.0404394)xx = 9.30529256xx,
　V = 2.104005x^3,
　V / S^(3/2) = 0.07412278177
>>471 >>489 には及ばないが、正8面体、正6角柱、などは超えた…

527:１３２人目の素数さん
18/05/30 10:09:10.39 ddqYu1Wl.net
>>514 訂正ｽﾏｿ
S(x,z) = 4(S_5 + S_4)
　= √(2+φ)･{(φ+2)xx -2φxz －φzz} + √(3φ-1)･(φx+2z)x,

なお、以前の解( >>471 >>489 >>506 ) で BC=CD=1 とすると
AB = DE = 0.58208，　AE = 1.28405　となる。。。

528:イナ
18/05/30 17:10:49.78 HVx7wYPO.net
一辺xの正五角形の面積
(x^3)(√(25+10√5)}/4
前>>509
三辺x、一辺(√5-1)/4の台形の面積
{x+(√5-1)x/4}･xsin18°･(1/2)
={(3+√5)/4}x^2･(√5-1)/4･(1/2)
(√5+1)/16･(x^2)
S=(x^3){√(25+10√5)}+(√5+1)(x^2)/4=1
V(x)=
V'(x)=0
台形が2つずつとなりあってるのに対し、正五角形は4つ連なってる。不思議な美しさ。

529:イナ
18/05/30 17:39:59.82 HVx7wYPO.net
前>>516
体積V(x)の八面体の天地を90°ねじれの位置にある短い棟として、台形の長さxの三辺のうちの真ん中の一辺で水平に切る。上中下3つの物体は上と下がまったく同じかたちで、V㊤=V㊦
2つの断面はx×(√5+1)/2の長方形である。
すべての辺がxの関数で表され、正五角形が3次、台形が2次、V(x)は高々4次、微分してV'(x)=0で3次方程式が出て、V(x)=
雨だ―……

530:イナ
18/05/30 21:55:18.04 HVx7wYPO.net
前>>517訂正。
x(√5+1)/2
⇒(x^2)(√5+1)/2)

531:１３２人目の素数さん
18/05/31 03:44:32.13 eo/xqWlC.net
そろそろ次の問題出していい？

532:１３２人目の素数さん
18/05/31 11:12:45.39 1i3xzGBS.net
三辺x、一辺(3-√5)x/2の台形の面積
{x + (3-√5)x/2}･x cos(18ﾟ)･(1/2)
= {(5-√5)/2}xx･√(10+2√5)/4･(1/2)
= √(50-10√5)/8･xx
= 0.6571639 xx,

533:イナ
18/05/31 12:03:08.39 oQbVMAkg.net
>>520台形の一辺が違ってましたか？
一辺xの正五角形の面積
(x^3)(√(25+10√5)}/4
三辺x、一辺(√5-1)x/4の台形の面積
台形の一辺は(3-√5)x/2ですか―。
前>>51

534:8

535:１３２人目の素数さん
18/05/31 12:22:47.56 LSNoQXxv.net
拘束条件がなさすぎて数学の問題としてやるには難しすぎるし、そういうアプローチをしてる人もいないし無意味

536:イナ
18/05/31 14:11:34.74 oQbVMAkg.net
一辺xの正五角形4つと、
三辺x、一辺xよりやや小さい台形4つで、表面積が1で、
前>>521
八面体の体積出して微分して=0にして、体積0.074が出ればそれでじゅうぶんです。
もっと大きな八面体があるいは存在するかもしれませんが、一辺xの正五角形4つと、三辺x、一辺xよりやや小さい台形4つで、表面積が1のやつは一意に決まると思うもんで、それがまずは知りたい。
この問題、競りのようでおもしろい。自分が最高値を出すのを楽しみにしてる。

537:１３２人目の素数さん
18/05/31 14:36:51.92 89o9fjti.net
>>519
どうぞどうぞ。
KYで声のでかい奴の専用スレじゃないので。

538:１３２人目の素数さん
18/05/31 15:04:47.94 fih1epUm.net
>>519
少し遡れば解かれずに放っとかれてる問題ある程度あるし気にせず出しちゃえ

539:１３２人目の素数さん
18/06/01 22:29:12.26 ISxYUmxo.net
左右の次数が一致しない漸化式（例えばa_(n+1)=(a_n)^2+1）は一般には解けないが、初項を置き換えるとうまくいくことがある。
(1)
-1≦a_1=A≦1
a_(n+1)=2(a_n)^2-1
の一般項を求めよ。
(2)
b_1=B∈R
b_(n+1)=(b_n)^2-2
の一般項を求めよ。

540:１３２人目の素数さん
18/06/01 23:21:09.08 977NFEF3.net
倍角？

541:１３２人目の素数さん
18/06/02 01:38:49.70 L/4yyydP.net
>>526
(1) a_n=cosθ[n] と置くと cosθ[n+1]=cos(2θ[n])
この解は θ[n]=θ[1]*2^(n-1),
a_n=cos(2^(n-1) arccos A)
Wlfram Alphaの解答 URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)

(2) (1)と同様に b_n=e^(z[n])+e^(-z[n]) と置くと
b_n=α^(2^(n-1))+β^(-2^(n-1)), (α,β=(B±√(B^2-4))/2)
Wlfram Alphaの解答 URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)

類題：√Xの開平計算で使うNewton法 x_0=1, x_(n+1)=((x_n)^2 +X)/(2x_n)
の一般項はx_n=coth(y_n)と置くと
x_n=(√X){(1+√X)^(2^n) + (1-√X)^(2^n)}/{(1+√X)^(2^n) - (1-√X)^(2^n)}
Wlfram Alphaの解答 URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)(x%5Bn%5D%5E2-X)%2F(2x%5Bn%5D),x%5Bn%5D,n%5D

542:１３２人目の素数さん
18/06/02 02:27:05.94 G2b8XSzz.net
(2) は両辺2で割って a_n = (1/2)b_n とおいて(1)使えばよいのでわ？

543:イナ
18/06/02 05:51:13.38 zaslUUou.net
正五角形4つの各辺と台形4つの三辺をxとし、台形どうしの接する屋根の棟および逆屋根の下端に位置する辺をy(x>y)とすると、
前>>523(図は省略)
y^2-2xy+(38/√5-19)x^2=0
y={1-√(20-38/√5)}x
棟の長さがxで表せた。
あとは体積。
V(x)=
V'(x)=0
上棟するには微分するしかない。

544:イナ
18/06/02 08:38:40.89 zaslUUou.net
y^2-2xy+(38/√5-19)x^2=0
前>>530おかしい。
y=x-√{x^2-(38/√5-19)x^2}
=x-x√(20-38/√5)
={√(20-38/√5)-1}x
=0.7337482……･x
台形の接合線yは、xの7割ぐらいだとは思うんだが｡
V(x)をどうやって出すか。V(x)=y/10ぐらいだと理想的。

545:１３２人目の素数さん
18/06/02 08:46:00.26 qc99k5Fr.net
>>528
√a の開平計算で使うNewton法は
x_{n+1} = x_n - 2x_n {(x_n)^2 -a}/{3(x_n)^2 +a}
　　= x_n {(x_n)^2 +3a}/{3(x_n)^2 +a}
でござる。これの一般項も出せぬか??

546:１３２人目の素数さん
18/06/02 11:37:24.31 L/4yyydP.net
>>352

547: cothの3倍角の公式：coth3x=(coth x)(coth^2x + 3)/(3coth^2x+1)から x_n=(√a)coth z_n と置くと coth z_{n+1} = coth 3z_n ∴ z_n=3^n z_0, x_n=(√a)coth(3^n arccoth(x_0/√a))

548:１３２人目の素数さん
18/06/02 11:51:16.40 L/4yyydP.net
>>532 の間違い。
一般にp次収束するNewton法は、(収束先)*[1+(p^nの指数関数)]という形になり、
一般項が簡単な式であらわされる場合があります。

549:１３２人目の素数さん
18/06/02 16:54:14.55 ItLI/UY3.net
某botで唯一☆12(Legend)を付けられている問題
a,b,c,dが正のとき
(a-b)(a-c)/(a+b+c)
+(b-c)(b-d)/(b+c+d)
+(c-d)(c-a)/(c+d+a)
+(d-a)(d-b)/(d+a+b)
≧0
を示せ。
模範解答は3つあるが、いずれもエレガントな解き方ではない

550:１３２人目の素数さん
18/06/02 16:56:52.26 ItLI/UY3.net
ちなみに縮小（拡張の反対）したバージョン2通り
(1)
(a-b)(a-c)/(a+b+c)
+(b-c)(b-a)/(a+b+c)
+(c-a)(c-b)/(a+b+c)
=(a^2-ac+b^2-ba+c^2-cb)/(a+b+c)
=(1/2)(2a^2-2ac+2b^2-2ba+2c^2-2cb)/(a+b+c)
=(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/(a+b+c)
≧0
等号成立はa=b=c
(2)
(a-b)/(a+b)
+(b-c)/(b+c)
+(c-d)/(c+d)
+(d-a)/(d+a)
≧0？
(a-b)/(a+b)
+(b-c)/(b+c)
+(c-d)/(c+d)
+(d-a)/(d+a)
=((a-b)(b+c)(c+d)(d+a)+(a+b)(b-c)(c+d)(d+a)+(a+b)(b+c)(c-d)(d+a)+(a+b)(b+c)(c+d)(d-a))/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
=2(abca+abdd+accd-acda+bbcd-bbda-bcca-bcdd)/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
=2(a-c)(b-d)(ac-bd)/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
a≦c≦b≦dのとき負であるから偽

551:１３２人目の素数さん
18/06/02 16:58:09.50 ItLI/UY3.net
>>536
訂正
最後の行は「a<c<b<dのとき負であるから偽」

552:526
18/06/03 22:40:41.09 8Esgc1bN.net
>>528　(1),(2)正解
(2)は(c+1/c)^2=(c^2)+1/(c^2)+2が思い出せるかが鍵であった。
(1)も初項を(1/2)(c+1/c)（これはc=e^xとすればcosh(x)の定義）とおけば解ける。
>>529
b_1∈[-2,2]の場合は確かに2cosθとおくと解ける

初項を三角関数でおくと解けるような漸化式のパターンは整理してまとめる必要があるかもしれない

553:１３２人目の素数さん
18/06/04 09:18:52.07 tzM+Pvvj.net
>>533 >>534
　かたじけのうござる。
>>535 [100]
　 IMO-2008 Short List A.7
　a-c=x，b-d=y の2次式と考えて、半正定値となることを示す。
　確かに面倒くせぇ…

554:イナ
18/06/04 14:37:57.78 8ezyuuAm.net
>>420
ほととぎすの鳴き声を聴きながら、黄金二等辺四面体の中にある、正五角形4つと三等辺台形4つからなる八面体を切りだすことを考えています。前>>531

555:イナ
18/06/04 14:54:40.80 8ezyuuAm.net
前>>540
y={(√5-1)/2}x≒0.618x<x
これはあってるはず。
八面体を囲む黄金二等辺四面体の高さh'も、二等辺三角形{二辺(1+√5)x、底辺2x}の高さhと同様、xで表せるはず。
あとはそこから切り落とす部分。

556:イナ
18/06/04 14:55:01.70 8ezyuuAm.net
前>>540
y={(√5-1)/2}x≒0.618x<x
これはあってるはず。
八面体を囲む黄金二等辺四面体の高さh'も、二等辺三角形{二辺(1+√5)x、底辺2x}の高さhと同様、xで表せるはず。
あとはそこから切り落とす部分。

557:１３２人目の素数さん
18/06/04 15:38:18.38 tzM+Pvvj.net
>>536
(1) は (a+b+c) を掛けた方が分かりやすい…
(2) の類題
[166]　a～d>0 のとき
　　(a-b)/(b+c) + (b-c)/(c+d) + (c-d)/(d+a) + (d-a)/(a+b) ≧ 0,
　　クロアチア MEMOTST-2009 day1-Q.1

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