面白い問題おしえて～な 26問目

面白い問題おしえて～ ..

261:１３２人目の素数さん
18/04/17 12:50:17.86 KM09+lmI.net
>>248
正の整数mが n≧m+1 を満たす時、
(1/n)Σ[k=1,n]{n/k}
=(1/n)Σ[t=1,m]Σ[k: t≦n/k<t+1](n/k-t) + (1/n)Σ[k: 1≦k≦n/(m+1)]{k/n}
=(1/n)Σ[t=1,m](∫[n/(t+1),n/t](n/x-t + (n/[x]-n/x)dx +O(1)) + O(1/m) (O(1)は積分区間の端点のズレ補正。すなわち絶対値は一様に2以下)
=log(m+1) - Σ[t=1,m]1/(t+1) +O(m)+O(n/m).
mは任意であったから、m=[√n] (n≧2) 等と定めればこの式のn→∞での極限は 1-γ. (ただしγはオイラーの定数)

262:１３２人目の素数さん
18/04/17 12:52:44.16 +pEnOXwO.net
p=4n+1 (n∈N)をみたす素数pに対して、以下を証明せよ.
(1)　1, 2, …, 2n の中に, 法 p の平方剰余と平方非剰余が n 個ずつ存在する。
(2)　1, 2, …, 4n における法 p の平方剰余の中には, 偶数と奇数が n 個ずつ存在する。

263:１３２人目の素数さん
18/04/17 14:17:53.48 5Ioo4LVI.net
>>255できた。
以下(x/p)を平方剰余記号, A={k | (k/p) = 1}, B={k | (k/p) = -1}として(-1/p)= 1だから
#A∩[1..2n] = #A∩[-2n,-1], #B∩[1..2n] = #B∩[-2n,-1] かつ #A∩[-2n,2n] = #B∩[-2n,2n] = 2nにより(1)を得る。
(2/p) = 1のときはA∩[1,2n]とA∩{2,4,…,2n]とA∩{-2n,…,-4,-2]とはxと2xと-2xを対応させてすべてn元とわかる。同様に#B∩{2,4,…,2n]=#B∩{-2n,…,-4,-2]=nである.
(2/p) = 1のときはA∩[1,2n]とB∩{2,4,…,2n]とB∩{-2n,…,-4,-2]とはxと2xと-2xを対応させてすべてn元とわかる。同様に#A∩{2,4,…,2n]=#A∩{-2n,…,-4,-2]=nである。

264:１３２人目の素数さん
18/04/17 23:34:48.83 sz8bxIx6.net
>>233
位相幾何学ではストローもドーナツもCDもネックレスも穴は1つ

265:１３２人目の素数さん
18/04/18 00:02:57.92 zfuntLnI.net
穴は1つしかないから（格言）

266:１３２人目の素数さん
18/04/18 00:12:39.98 cm2lWraW.net
3秒ほど考えた
便所荒らし糞ホモの考えですね

267:１３２人目の素数さん
18/04/18 00:26:23.03 3HkyYObn.net
（ホモロジーだけに）

268:１３２人目の素数さん
18/04/18 13:51:13.89 aemp1B+Z.net
p を素数とする。
整数 a は p の倍数でなく、ある x, y∈Z を用いて p = x^2 - ay^2 と表される。
このとき、a は p の平方剰余であることを示せ。

269:１３２人目の素数さん
18/04/18 14:57:48.83 OD1LF7hc.net
>>261
p|yならp|xとなりv_p(右辺) ≧ 2> 1 = v_p(左辺)より矛盾。よってyはpの倍数でないからx/yはp進整数。このときa = (x/y)^2 (mod p)。

270:１３２人目の素数さん
18/04/18 23:13:26.55 oFXOQpXp.net
>>260
　いや、ホモ次郎だが…

271:１３２人目の素数さん
18/04/19 03:31:19.65 gkRveId7.net
>>192 (2) を弄ってみた
(2)’　素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=2p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。

272:１３２人目の素数さん
18/04/19 12:19:25.95 ZpgZ64DJ.net
>>264
できた。
Fqの乗法群Gは位数2pの巡回群だから2が原始根でなければ2^2≡1(mod q)であるか2^p≡1(mod q)のいずれかである。
前者ならq=3であるが仮定に反する。
後者なら準同型写像f,g:G→Gをそれぞれ2乗,p乗の写像としてker g = im fと2+qZ∈ker gにより2が平方剰余となりq≡1,7 (mod 8)となる。
一方p≡1,5(mod 8)よりq≡3,5 (mod 8)となり矛盾をえる。

273:１３２人目の素数さん
18/04/19 21:07:55.93 gkRveId7.net
gcd(15,n)=1 をみたす奇数 n に対して、Jacobi記号 (-15/n) = 1 となる n の条件を求めよ。

274:１３２人目の素数さん
18/04/20 01:06:45.26 msDRzdq1.net
(-15/n) = (-1/n)(15/n)=(-1)^((n-1)/2)(3/n)(5/n)(-1)^((n-1)/2(15-1)/2)=(3/n)(5/n)以下ry
URLﾘﾝｸ(integers.hatenablog.com)

275:１３２人目の素数さん
18/04/20 01:32:21.65 FD/kSwMJ.net
>>248 の類題
aをbで割った余りをa%bと書くとき lim[n→∞](1/n^2)Σ[k=1,n]n%k を求めよ

276:１３２人目の素数さん
18/04/20 02:27:29.12 kp1G+YoD.net
2 以上の自然数 n に対して、n と互いに素で、n より小さな全ての自然数の算術平均を求めよ。

277:１３２人目の素数さん
18/04/20 04:36:18.70 8JvmETkN.net
n/2

278:１３２人目の素数さん
18/04/21 00:10:01.29 ZdHWeLtB.net
１－π＾２／１２。

279:１３２人目の素数さん
18/04/21 17:07:11.66 oKMSyftX.net
>>268
(約数の総和の1からnまでの和)/n^2の極限を1から引いたものになるね
これはどうやるのやらわからんが

280:１３２人目の素数さん
18/04/22 11:30:13.38 7rjXNdwL.net
>>268 >>271
1 - ζ(2)/2 - 1/n = 1 - ππ/12 - 1/n = 0.17753296657588678 - 1/n

281:１３２人目の素数さん
18/04/22 19:06:49.87 XmgrwCPE.net
>>268
(1/n^2)Σ[k=1,n]n%k
=(1/n^2)Σ[t=1,m]Σ[k: t≦(n/k)<t+1](n-tk) + O(1/m)
=(1/n^2)Σ[t=1,m] ( n･(n/t-n/(t+1)) - t･((n/t)^2-(n/(t+1))^2)/2 + O(n) ) +O(1/m)
=-Σ[t=1,m](2t+1)/(2t(t+1)^2) +1+O(m/n)+O(1/m)
=-(1/2)Σ[t=1,m]1/(t+1)^2+1/(t(t+1)) +1+O(1/√n) (m=[√n]と定めた時)
→1-(π^2)/12 (n→∞の時)

282:１３２人目の素数さん
18/04/22 23:03:16.50 P1+U9/oN.net
a[0]=1, a[n+1]=a[n]+√(1+a[n]^2) とするとき lim[n→∞]a[n]/2^n を求めよ

283:１３２人目の素数さん
18/04/23 09:05:17.63 WRc1u9WC.net
>>268
この問題の系として
自然数mの正約数の総和をS_mとするとき
lim[n→∞](S_1+S_2+...+S_n)/n^2＝(π^2)/12
になると言えますが、初等的に(高校数学で)証明するやり方はありますか？

284:１３２人目の素数さん
18/04/23 10:14:07.56 csHJcyqY.net
>>275
　cot(θ/2) = (cosθ +1)/(sinθ +0) = cotθ + 1/sinθ = cotθ + √{1+(cotθ)^2},
と漸化式を見比べて
　a[n] = cot(c/2^n)
　　　 = cot{π/2^(n+2)},　　　｛←a[0] = cot(π/4)｝
∴求める極限は 4/π

285:￥
18/04/23 14:00:11.33 HBynUzNE.net
￥

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18/04/23 14:00:31.07 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:00:52.33 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:01:12.19 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:01:32.24 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:01:53.13 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:02:13.77 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:02:34.01 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:02:55.93 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:03:14.91 HBynUzNE.net
￥

295:１３２人目の素数さん
18/04/24 13:22:19.46 imaaXaqT.net
単位正方形の面積を3等分する曲線(分岐あり)の長さの最小値を求めよ

296:
18/04/25 00:12:48.01 Y0UXfQnX.net
>>288√3じゃないかな？

297:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:17:03.92 s9HOMEtU.net
>>289
不正解です
もっと短く出来ます

298:
18/04/25 00:20:21.67 Y0UXfQnX.net
前>>289
正方形をＹの字で区切る。三つの区切り線それぞれの長さをxとすると、
x＝(√3)/3
∴3x＝√3

299:
18/04/25 00:25:41.12 Y0UXfQnX.net
>>290
面積(1/3)の三つのエリアがパッツンパッツンのパンティー履いた太ももになります。前>>291

それとも脚をななめらせろと？

300:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:31:52.28 s9HOMEtU.net
ちなみに答えは直線じゃないです
>>291
直線の場合でも
正三角形よりもう少し折れたほうが短くなります

301:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:34:09.51 s9HOMEtU.net
正三角形というか120°に折れたY字というか

302:
18/04/25 00:36:28.57 Y0UXfQnX.net
素直にＴの字にします。
(与式)＝1＋2/3＝5/3
前>>292

1.66……＜√3 たしかに。

303:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:42:46.17 s9HOMEtU.net
>>295
線分だけパターンでももっとそれより短く出来ます

304:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:43:05.10 CPKgHcHK.net
以下を証明せよ。
(1)　奇素数pが a^2 + b^2 (a、b∈Z) の約数で、aとbをともに割り切らないならば、p≡1 (mod 4).
(2)　奇素数pが a^2 + 2b^2 (a、b∈Z) の約数で、aとbをともに割り切らないならば、p≡1 (mod 8) または p≡3 (mod 8).

305:
18/04/25 00:52:37.09 Y0UXfQnX.net
ふつうのＹ字のパンティーよりＴバックのほうがよりパッツンパッツンとは、おもしろい問題ですね。
前>>295
>>296え、もっとパッツンパッツンにできる!?
ふんどし型か？
ちょっとおもしろいから、答え言わないで。また考えましょう。

306:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:03:20.48 KoaEOy7E.net
>>297
(a/p)を平方剰余記号として
(1) (-1/p) = 1よりp≡1 (mod 4)
(2) (-2/p) = 1よりp≡1,3 (mod 8)
実質補充法則(2)の第二補充法則の証明は初等的とはいえ、そんなにスカッとは解けない希ガス

307:イナ
18/04/25 01:18:15.36 Y0UXfQnX.net
やっぱりＹ字のきわどい

308:パンティーのほうがＴバックよりパッツンパッツンと仮定します。太ももの境界をx、パンティーの境界をyとして(さっきはすべてxにしてた)、やり直し。前>>298 (与式)＝x＋2y ＝1/3－(√3)/12＋2(√3/3) ＝1/3＋(7√3)/12 ≪(＜(5/3)＜√3) かなり小さい。

309:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:27:52.71 s9HOMEtU.net
>>300
さすがにそこまで短くはなりません
計算間違えてないですか？

310:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:43:11.01 i3CGBkWM.net
>>296 >>300
y = √{(1/2)^2 + (4/3 - 2x)^2}　　　（←等積条件）
x + 2y ≧ (8+3√15)/12 = 1.6349
x = 2/3 - 1/(4√15) = 2/3 - (tanδ)/4 = 0.60212
sinδ = 1/4,

311:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:46:01.43 s9HOMEtU.net
>>302
そうですね
線分パターンだとこれが最適になります
ただ曲線にするともっと短くなります

312:イナ
18/04/25 01:55:47.69 Y0UXfQnX.net
>>301パンティー部分の半分(台形)の面積を1/3にしてました。1/6でした。
前>>300
x＝2/3－(√3)/12
y＝(√3)/3
(与式)＝x＋2y
＝2/3＋(7√3)/12
＝(8＋7√3)12

313:１３２人目の素数さん
18/04/25 02:23:12.49 Q7D+oEWF.net
>>288
最小である根拠はないけど
一辺から中心方向に2/3+√3/4-π/6の長さの垂直二等分線を引き、そこから両隣の辺に向けて単位円の12分の1円弧を引いた場合(分岐点における接線の角をそれぞれ120°とし、各辺との交点における接線を辺と直交するように引く)
分割線の長さの総和＝2/3+√3/4+π/6≒1.623

314:イナ
18/04/25 03:00:37.62 Y0UXfQnX.net
やっぱり脚をななめらせたほうがいいということですか。
前>>304
半径ｒの四分円に対角線を差した音叉のような形に三分割します。
(1/4)πｒ~2＝1/3
ｒ~2＝4/(3π)
ｒ＝2/√(3π)
四分円の弧の部分
＝(1/4)2πｒ
＝(1/2)π×2/√(3π)
＝√(3π)/3
対角線部分＝(√2)－ｒ
＝√2－2/√(3π)
(与式)＝(1/2)π×2/√(3π)＋√2－2/√(3π)
＝π√(3π)/3π＋√2－2√(3π)/3π
＝{(π－2)√(3π)}/3π＋√2

315:イナ
18/04/25 04:45:57.16 Y0UXfQnX.net
前>>306だめだ、脚が長すぎる。
単位正方形を左右対称な音叉のような形で三分割するとして、脚は一辺(底辺)に垂直に立てじゅうぶん短くします。音叉の弧と単位正方形でできる上下逆の蒲鉾形の面積は1/3であり、上に尖った扇形に等積変形できる。
(つづく)

316:１３２人目の素数さん
18/04/25 06:45:37.98 C3c2S/2O.net
>>305 が正解っぽい
左右の対称性を仮定して
J(f,λ)=2∫[0,1/2]√(f'(x)^2+1)dx+f(1/2)-λ(∫[0,1/2]f(x)dx-1/3)
の変分δJ(f,λ)=0を解くと
f(x)=√(1-x^2)+2/3-√3/4-π/6, λ=2
のとき極小値
J(f,λ)=2/3+√3/4+π/6
をとる

317:１３２人目の素数さん
18/04/25 07:34:20.20 spy7pyf4.net
それができたら次は立方体でやってね

318:１３２人目の素数さん
18/04/25 07:37:39.84 KwSfzGxO.net
>>305
>>308
おーすごいまさか一晩で解かれるとは
正解です
厳密には相分離モデルを応用して平均曲率が局所一定になることを示してそこから円、線分の組み合わせということが分かってあとは頑張る感じです

319:１３２人目の素数さん
18/04/25 07:45:41.00 KwSfzGxO.net
>>309
3次元の場合は3等分くらいなら出来るかもしれませんが未解決なケースもかなり多いので解こうとするのは危険かもしれないです

320:１３２人目の素数さん
18/04/25 08:56:04.91 CPKgHcHK.net
>>264
> >>192 (2) を弄ってみた
> (2)’　素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=2p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
少し弄ってみた。
(2)’’　素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=4p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。

321:１３２人目の素数さん
18/04/25 08:57:43.06 CPKgHcHK.net
>>312
訂正。
(2)’’　素数 p, q が q=4p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。

322:１３２人目の素数さん
18/04/25 10:33:13.41 qlUN5/CP.net
>>313
q≡5 (mod 8)より2は法qの平方剰余ではない。よって2^2q≡1 (mod q)ではない。
q≠3,5より2^4≡1 (mod q)ではない。

323:１３２人目の素数さん
18/04/25 11:10:45.49 qlUN5/CP.net
>>314
訂正
×：よって2^2q≡1 (mod q)ではない。
○：よって2^2p≡1 (mod q)ではない。

324:１３２人目の素数さん
18/04/25 15:03:46.70 CPKgHcHK.net
つまり、こうでござるな。
(2)’’’　p≡±1 (mod 8) をみたす素数pに対して、2 は q の原始根でない

325:１３２人目の素数さん
18/04/25 16:35:50.56 CPKgHcHK.net
p、qは奇素数で、pが 2^q -1 の約数ならば、2はpの平方剰余であることを示せ。

326:１３２人目の素数さん
18/04/25 17:02:41.21 +BsFnCRa.net
>>317
qはp-1の約数であるがqは奇数だから(p-1)/2の約数でもある。よって2^((p-1)/2)≡1(mod p)。

327:イナ
18/04/25 17:21:59.72 Y0UXfQnX.net
単位正方形の中心の真上ｒの位置を要とした半径ｒの扇形を描く。弧の中間点から底辺に垂線を下ろし、孤と垂線で三分割する。
前>>307
扇形の面積は1/3
扇の端は単位正方形と単位正方形の上から(ｒ^2)/4－1/16(0より大きく1/3より小さい)の点で接する。
∴1/2＜ｒ＜5/6
弧の長さ＝2/(3ｒ)
弧の中間点から単位正方形の底辺までの距離＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ
境界線の合計f(ｒ)＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ＋2/(3ｒ)
＝(ｒ^2)/4－ｒ＋15/16＋2/(3ｒ)
＝(－24ｒ^2＋45ｒ＋48)/48ｒ
微分f'(ｒ)＝0とすると、
3ｒ^3－6ｒ^2＝4
f(ｒ)＝－ｒ/2＋15/16＋1/ｒ
扇形の面積について、
2/(3ｒ)×ｒ×(1/2)＝(πｒ^2)/3
∴πｒ^2＝3
ｒ＝√3/√π
(つづく)

328:イナ
18/04/25 17:43:03.01 Y0UXfQnX.net
前>>319修正
単位正方形の中心の真上ｒの位置を要とした半径ｒの扇形を描く。弧の中間点から底辺に垂線を下ろし、孤と垂線で三分割する。
前>>307
扇形の面積は1/3
扇の端は単位正方形と単位正方形の上から(ｒ^2)/4－1/16(0より大きく1/3より小さい)の点で接する。
∴1/2＜ｒ＜5/6
弧の長さ＝2/(3ｒ)
弧の中間点から単位正方形の底辺までの距離＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ
境界線の合計f(ｒ)＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ＋2/(3ｒ)
＝(ｒ^2)/4－ｒ＋15/16＋2/(3ｒ)
＝(－24ｒ^2＋45ｒ＋48)/48ｒ
微分f'(ｒ)＝0とすると、
3ｒ^3－6ｒ^2＝4
f(ｒ)＝－ｒ/2＋15/16＋1/ｒ
扇形の面積について、
2/(3ｒ)×ｒ×(1/2)＝(πｒ^2)/3
∴πｒ^2＝1
ｒ＝1/√π
f(ｒ)＝15/16＋√π－1/(2√π)
ちがうか。
(答え)不思議なルートパイ

329:イナ
18/04/25 19:00:00.75 Y0UXfQnX.net
やっぱりπｒ^2＝1ではない。前>>320
シャボン玉を正方形のタイルの上で三個均等にくっつけるみたいなことか。タイルの形の影響で、分岐点からタイルの一辺までが垂直なら境界線は直線で、そうでないなら曲線になるんじゃないか。
シャボン玉の境界は辺に対してより垂直になろうとするんじゃないか。
＿
γ]
￣

330:イナ
18/04/25 21:09:49.78 Y0UXfQnX.net
正方形の土地をなるべく短い境界線で金をかけずに塀を作り三人の息子たちに分け与えたい父の気持ちを想像する。
「だれが曲線の塀などこしらえるものか。こっちは有り金をなるべくむだにしたくないんじゃ!!」父は言った。「直線や、直線や!!」
前>>321「まず長男に北側の一辺をやろう。次男は東側の一辺のうち北からaだけいったところに杭を立てよ。三男は西側の一辺のうち北からbだけいったところに杭を立てよ。次男と三男の境界は東からcのところに、
0＜a＜b＜c＜1/2
となるように杭を立てよ。正方形の土地のまん真ん中に杭を立て、あとは縄を張って地境を決めろ」
息子のだれかが計算した。
「ただの三連立の一次方程式やないか」独りごちながら。
a＝1/12
b＝1/4
c＝5/12
∴示された。

331:１３２人目の素数さん
18/04/25 21:48:01.05 BcUTTOXX.net
ナニコレ？

332:イナ
18/04/25 21:58:48.29 Y0UXfQnX.net
a＝1/12,b＝1/4,c＝5/12
前>>322補足。
長男と次男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/2－a)^2}
＝√{1/4＋(5/12)^2}
＝(√61)/12
長男と三男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/4)^2}
＝√(1/4＋1/16)
＝(√5)/4
次男と三男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/12)^2}
＝(√37)/12
境界線の合計＝(√61)/12＋(√5)/4＋(√37)/12
≒0.65＋0.559＋0.507
≒1.716
厳しいなぁ!!　縄ピンと張っても1.6台にならない。

333:イナ
18/04/25 22:11:32.58 Y0UXfQnX.net
>>323問題は>>288です。
最短の境界線1.6台が出てます。

前>>324
T字帯の1.66……よりも長いとは。

334:イナ
18/04/25 23:56:24.99 Y0UXfQnX.net
前>>325単位正方形の左下に半径ｒ、面積1/3の四分円を描く。
πｒ^2＝4/3
ｒ＝2/√(3π)≒0.65147
四分円の孤ABと右辺に直交するように孤MCを描くと中心角は最大π/4だと思う。
(弧の長さ×半径÷2＝扇形の面積)より、逆に面積×2を半径で割って境界線の長さを出す。
境界線AB＝(1/3)×2÷2/(√3π)
＝√π/√3
境界線ABとMCの最大値は作図によりこれの1.5倍と考えられる。
(√π/√3)×1.5
＝1.0233256……×1.5
＝1.5349884……

335:
18/04/26 00:07:50.72 TQ9j6XC/.net
前>>326訂正。
最大値→最小値

336:
18/04/26 00:23:24.70 TQ9j6XC/.net
1.5倍は感覚的ですが、
前>>327
式で書くと、
境界線の最小値
＝√(3π)/2

337:１３２人目の素数さん
18/04/26 00:50:30.83 ip5ulRQt.net
もうすでに>>305で解かれてるのに何やってんのこいつ？

338:１３２人目の素数さん
18/04/26 08:00:01.14 3zpz03fU.net
解かれていない。

339:イナ
18/04/27 02:33:17.21 KVwn7NU0.net
Ｔ字
1＋(2/3)
＝1.66666666……
Ｙ字(X＋2Y)
＝(8＋7√3)÷12
＝1.67702964……
これらを踏まえ、三本の境界線を分岐点からX＝0.55ずつとり、一本は底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.55の位置でＹ字に分岐させ、あとの二本は左辺または右辺と分岐点の高さよりaだけ上の位置で交差させる。
分割した一つの体積(台形)＝(0.55＋0.55＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.1
＝0.2333……
Ｙ字(3X)
＝1.65
前>>328

340:イナ
18/04/27 03:14:53.35 KVwn7NU0.net
底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.54(＞0.5 ∵左右の辺に届かないといけないから)の位置に分岐点をとると、
分割した一つの体積(台形)＝(0.54＋0.54＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.08
＝0.25333……
Ｙ字(3X)
＝1.62
前>>331これ1.6

341:イナ
18/04/27 03:19:06.23 KVwn7NU0.net
底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.53の位置に分岐点をとると、
分割した一つの体積(台形)＝(0.53＋0.53＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.06
＝0.27333……
Ｙ字(3X)
＝1.59
前>>332これ1.6切った!!

342:１３２人目の素数さん
18/04/27 09:30:37.15 NFZEifrM.net
>>333
>>303でも言いましたが線分だけの場合は>>302が最短になります
0.6を切ることはあり得ません

343:１３２人目の素数さん
18/04/27 09:31:18.84 NFZEifrM.net
0.6→1.6でした

344:１３２人目の素数さん
18/04/27 09:48:01.79 X11p0gVK.net
数学じゃないやん

345:イナ
18/04/27 15:35:18.85 KVwn7NU0.net
三本の境界線を分岐点からXずつとり、一本は底辺の垂直二等分線上、底辺から上にXの位置でＹ字に分岐させ、あとの二本は左辺または右辺と分岐点の高さよりaだけ上の位置で交差させる。
分割した一つの面積(台形)＝{X＋(X＋a)}×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－2X―①
斜めの分割線について三平方の定理より、
(1/2)^2＋a^2＝X^2―②
①を②に代入して整理すると、
108X^2－192X＋73＝0
1/2＜X＜1に注意して、
X＝(16－√37)/18
3X＝(16－√37)/6
＝1.65287291……
前>>333

346:１３２人目の素数さん
18/04/27 16:17:47.03 v+crcbPI.net
等積条件下で長さ最小⇒定曲率
はどうやって示すんですか？

347:イナ
18/04/27 17:53:53.21 KVwn7NU0.net
底辺の垂直二等分線上の分岐を120°、1/12円弧が左右の辺に直交するとして、
境界線の最小値
＝X＋2Y＋πｒ/3
前>>337
円弧の半径ｒ＝1－Y√3
(1/2)^2＋X^2＝Y^2＋ｒ^2
整理すると、
3X＋6Yｒ＋πｒ^2＝4
3X＋6Y(1－Y√3)＋π(1－Y√3)^2＝4
3X＋6Y－6√3･Y^2＋π－2π√3･Y＋3Y^2＝4
X＝4/3－(2－2π√3/3)Y＋Y^2
境界線の合計F(Y)＝X＋2Y＋π(1－Y√3)/3
＝4/3－(2－2π√3/3)Y＋Y^2＋2Y＋πｒ/3
＝4/3＋(2π√3/3)Y＋Y^2＋π(1－Y√3)/3
＝Y^2＋(π√3/3)Y＋π＋(4/3)
(つづく)

348:１３２人目の素数さん
18/04/27 20:42:46.25 nJOWrXzq.net
1 以上 1000000 以下の自然数のうち、各桁の数が 0, 1, 2 のいずれかであるような 7 の倍数は何個あるか。

349:１３２人目の素数さん
18/04/27 21:00:23.04 H9W3Gi8S.net
>>340
[3^6/7]=104

350:イナ
18/04/27 21:24:55.98 KVwn7NU0.net
底辺から底辺の垂直二等分線上の分岐点までをXとして120°の角度で分岐し、半径1の1/12円弧が左右の辺に直交するとして、
境界線の合計＝X＋π/3
前>>339
分割した面積＝X(1/√3)X(1/2)＋π/12－(1/2－X/√3)(1/2－X/√3)√3(1/2)＝1/3
＝(1/2√3)X^2＋π/12－(√3)/2･(1/2)^2－(√3)/2･(X/√3)^2＋(2X/√3)(√3/2)＝1/3
(1/2√3)X^2＋π/12－(√3)/8－(√3)/6X^2＋X＝1/3
π/12－(√3)/8＋X/2＝1/3
X/2＝1/3＋(√3)/8－π/12X＝2/3＋(√3)/4－π/6
境界線の最小値＝X＋π/3
＝2/3＋(√3)/4＋π/6
＝0.6666666……＋0.4330127……＋0.5235987……
≒1.623278

351:１３２人目の素数さん
18/04/27 21:25:36.12 nJOWrXzq.net
>>341
正解です
解説はどなたかの希望があれば

352:１３２人目の素数さん
18/04/27 22:05:10.47 ldwAt9sW.net
>>343
定曲率になる解説をおながいしまつ

353:１３２人目の素数さん
18/04/28 11:41:45.00 9CKS2DSq.net
〔ウィア=フェラン予想〕
3次元空間を体積Vの泡に分割するとき、境界面積が最小になるのはウィア=フェラン構造（Weaire-Phelan structure)か？
D.Weaire & R.Phelan： Phil. Mag. Lett., ６９, p.107-110 (1994) "A counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces"

354:１３２人目の素数さん
18/04/28 12:22:19.38 9CKS2DSq.net
>>345
切頂８面体（ケルビン14面体）の境界面積は
　S = (3/4){4^(1/3)}(1+√12) V^(2/3) = 5.3147397 V^(2/3)
Weaire-Phelan 構造の境界面積はこれより約 0.3% 小さい。
　S = 5.30 V^(2/3)

355:１３２人目の素数さん
18/04/28 22:31:07.34 Q7JYuciE.net
岩波数学公式IIIのp.2より引用の公式:
Γ(1/4)=2^(3/4)√π[(3/5)・(7/9)・(11/13)・(15/17)…]^(1/2)
は正しいか？もし誤りであれば誤りの原因を考察し訂正せよ。

356:１３２人目の素数さん
18/04/29 00:45:55.20 FNqzl5v2.net
>>347
無限積のところ０にいくなぁ

357:１３２人目の素数さん
18/04/29 01:50:32.50 FNqzl5v2.net
無限乗積表示
Γ(1/4) = 1/4e^(γ/4)Π((4m+1)/4m)e^(-1/4m)
Γ(3/4) = 3/4e^(3γ/4)Π((4m+3)/4m)e^(-3/4m)
と倍角公式
Γ(1/2) = Γ(1/4)Γ(1/4 + 1/2)/√(2π)
をうまくつかってΓ(3/4)を消去しようとして失敗したくさいねぇ。無限乗積はΠ((4m+1)/4m)とかΠ((4m+3)/4m)は各々単独では収束しないからあとのe^~と切り離せないのに。信じられんミスですな。

358:１３２人目の素数さん
18/04/29 02:00:09.16 LZWvDOTX.net
>>347
岩波「数学公式I」p.229 を見ると
Γ(1/4) = 2 π^(1/4) √Ｋ(1/√2),
Ｋ(1/√2) = 1.85407467730137191843385034719526　　(*)
Γ(1/4) = 3.625609908221908311930685155867672
(*) Ｋ(k) は第１種の完全楕円積分。
　Ｋ(k) = ∫[0，π/2] 1/√{1 - (k･sinθ)^2} dθ
　　　　= (π/2){1 + Σ[r=1，∞] {(2r-1)!!/(2r)!!}^2･k^(2r) }

359:１３２人目の素数さん
18/04/29 02:57:34.53 FNqzl5v2.net
正しくΓ(3/4)を消去すれば
Γ(1/4)^4 = 48√2π Π(1+3/4m)/(1+1/2m)^3
ですな。

360:１３２人目の素数さん
18/04/29 03:01:03.51 FNqzl5v2.net
訂正
Γ(1/4)^4 = 48√2π Π(1+3/(4m))/(1+1/(4m))^3

361:１３２人目の素数さん
18/04/29 03:14:07.86 FNqzl5v2.net
>>349の左辺も正しくは逆数ですね。
まぁまぁあうなぁ
gamma(1/4)^4,numer;
48*sqrt(2)*%pi*(product ((1+3/4/i)/(1+1/4/i)^3, i, 1, 10000)),numer;
(%o45) 172.7922660636603
(%o46) 172.7955056790521

362:１３２人目の素数さん
18/04/29 03:35:41.70 us7WqjTP.net
岩波の関係者見てるか～？
はよ改訂しろや

363:１３２人目の素数さん
18/04/29 10:14:34.00 n1kfIHw7.net
>>352
正解ですがsinの無限乗積を用いれば、もう少しきれいな形にできて
√2=2sin(π/4)=(π/2)Π(1-1/(4m)^2)
から√2を消去して
Γ(1/4)^4 = 24π^2 Π(1-1/(4m))(1+3/(4m))/(1+1/(4m))^2
= 8π^2 (3/1)・(3/5)・(7/5)・(7/9)・(11/9)・(11/13)・(15/13)…
が得られ、これを1/4乗したのが訂正式だと思われます。
ここまでの式は正しいのですが、不用意に分母を1つずらして
二乗でくくってしまうと例の誤りの公式になります。

364:１３２人目の素数さん
18/04/29 23:20:19.24 LZWvDOTX.net
>>341
フェルマーの小定理から
　10「abcdef」-「bcdefa」= (10^6 - 1)a ≡ 0　(mod 7)
∴　ローテートしても剰余は変わらない。
（1000000は7の倍数でないから省いてよい）

365:１３２人目の素数さん
18/04/29 23:27:58.63 LZWvDOTX.net
>>356
まちがえた。
・剰余が0の場合はつねに0
・剰余が0でない場合は1～6を巡回する。

366:１３２人目の素数さん
18/04/30 01:03:27.45 bKuKTDT2.net
>>357
それが示せたとしてちょうど７個に一個は７の倍数ってしめせる？
そもそも>>340は６桁以下である意味ほとんどないけど。１０桁以下でも[3^10/7]だよ。

367:１３２人目の素数さん
18/04/30 01:47:49.00 2V4BpPyt.net
>>340の話題まだ続いてたの？
「1 以上 1000000 以下の自然数のうち、各桁の数が 0, 1, 2 のいずれかであるような数」の集合は
S_10={s|s=Σa_i・10^iかつa_i∈{0,1,2}かつ1≦s≦10^6}となるが、この集合は
S_3={s|s=Σa_i・3^iかつa_i∈{0,1,2}かつ1≦s≦3^6}と、同一の有限数列{a_i}を持つ要素同士での一対一対応がある。
(S_10とS_3のいずれの定義でも、異なる{a_i}に対してsの値が異なるから)
また、10≡3 (mod 7) だから Σa_i・10^i≡Σa_i・3^i (mod 7) であり、これらのことから、S_10 と S_3 に含まれる7の倍数の個数は等しい。
S_3 は1以上3^6以下の自然数の集合となる。したがって、S_3 に含まれる 7 の倍数の個数は[3^6/7]個。
S_10 に含まれる 7 の倍数の個数もこれと等しく[3^6/7]=104個。

368:１３２人目の素数さん
18/04/30 07:45:47.91 unf6uQw9.net
>>347 の類題まだあるようです
岩波数学公式IIIのp.13、Eulerの定数γの積分表示
γ = ∫[0,1] log|log t|dt
は正しいか？

369:IQの低い人
18/04/30 13:55:59.72 tdDKI26q.net
数学公式なんて必要なの
インターネットでじゅうぶんじゃないの？

370:１３２人目の素数さん
18/04/30 15:31:22.71 unf6uQw9.net
一般化して考えると、人間の発見した数学の知識は本にする必要があるか？
電子化してしまえば便利で使い勝手が良いではないか？
という質問になると思うけど、難しい質問ですね。

371:１３２人目の素数さん
18/04/30 16:06:10.16 i8B+Bi+E.net
人類の紙離れハードコピー離れの問題とか言った方がいいのでは

372:１３２人目の素数さん
18/04/30 16:16:13.98 9GopzljD.net
そりゃ書籍なんてどんどん厚くなってくわけだし
OEISみたいにとっとと電子化した方がよい

373:１３２人目の素数さん
18/04/30 16:28:40.42 YkZppX/u.net
電子化に「頼り切った」場合、データが吹っ飛んだ場合の復旧は大丈夫なのか。
紙なら数百年は持つが。

374:１３２人目の素数さん
18/04/30 16:31:07.19 1Sw4S+sv.net
今日の朝日新聞にそんな記事が出ていたような

375:１３２人目の素数さん
18/04/30 20:39:39.75 lihGKJI8.net
>>365
データ構造とか
資料と知識ある人が亡くなれば
ブラックボックス化してしまうよな

376:１３２人目の素数さん
18/04/30 20:43:00.98 mYEYW+f+.net
そういえばCOBOLみたいな化石言語を使える後継者がいなくて、システムの維持が困難だとかあるらしいね

377:１３２人目の素数さん
18/04/30 21:22:05.39 EyjNbgxA.net
卒業アルバムをCD-ROMで配布したら数十年後にはみんな読めなくなってるみたいな

378:１３２人目の素数さん
18/04/30 21:51:16.80 f2DvPYO1.net
>>360
は数値計算させてみると
romberg(exp(-x)*log(x),x,0.01,1)+romberg(exp(-x)*x,1,500)+501*exp(-500),numer;
%gamma,numer;
(%o51) －.005043828410193907
(%o52) .5772156649015329
でo51＞∫[0,1] log|log t|dt
だから全然ダメっぽいけど何をどう間違ったのかはさっぱりわからんorz

379:１３２人目の素数さん
18/04/30 22:04:36.48 f2DvPYO1.net
あれ？wikipediaにはいけるって書いてある？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)

380:１３２人目の素数さん
18/04/30 22:07:54.94 f2DvPYO1.net
ああ、>>360は-抜けてるだけか。

381:１３２人目の素数さん
18/05/01 14:57:49.96 hppQFjS3.net
1≦k≦nをみたすkのうち2^(k-1)の最高位が4であるものの数をx_nとして(x_n)/nの極限を求めよ
東大模試の問題ですが良く分かりません

382:１３２人目の素数さん
18/05/01 15:28:47.57 nlXx+nQ6.net
>>373
有名な問題で2ch5chでもよく見かける
問題文でググれば解説が出てくるがとりあえず一つだけ挙げとこう
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp:443)

383:１３２人目の素数さん
18/05/01 15:36:24.87 QQuzwbBg.net
1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,
1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072,262144,524288
1048576,2097152,…
（2^10≒10^3は有名）
帰納的に
10^(3n)≦2^(10n)<10^(3n)+10^(3n-1)
を示すとか

384:１３２人目の素数さん
18/05/01 15:38:52.55 QQuzwbBg.net
>>374
ほぇ＾～

385:１３２人目の素数さん
18/05/01 17:37:49.16 0rV/A0yL.net
>>373
なんとなくだけど
常用対数でlog(5/4)じゃない？
log2が無理数だから、n･log2の小数部は0以上1未満の間の値を均等にとる。それがlog5とlog4の間にある確率を出せばよい

386:１３２人目の素数さん
18/05/01 18:37:42.45 Be837sS1.net
>>373
なに使っても良いならそれですな。いわゆるワイルの一様分布定理。blog n/log10 の小数部は[0,1)で一様に分布する。でも最高位が4の場合はそんな難しいもん使わなくても解けるというのがミソですな。受験数学なら意味あるけどねぇというやつですな。

387:１３２人目の素数さん
18/05/01 18:43:23.06 Be837sS1.net
>>360に丸一日悩んでしまった。Γ(s)=∫[0,∞]x^(s-1)exp(-x)dxの両辺微分してs=1放りこんでるだけかorz。まぁおかげでいい勉強になった。

388:１３２人目の素数さん
18/05/01 18:53:28.81 ZkkSxFx4.net
>>379
正解です。単純な問題で申し訳ない。
おそらく著者はlogに絶対値をつけるときに符号を勘違いしたのではないかと推察。

389:１３２人目の素数さん
18/05/01 19:01:06.79 ZkkSxFx4.net
以下の収束性を

390:議論し、収束するなら収束値を求めよ。 (1) lim[x→1-0]Σ[n=0,∞] (-1)^n x^(n^2) (2) lim[x→1-0]Σ[n=0,∞] (-1)^n x^(2^n)

391:￥
18/05/01 21:22:44.32 o9N8stUi.net
￥

392:￥
18/05/01 21:23:04.37 o9N8stUi.net
￥

393:￥
18/05/01 21:23:24.69 o9N8stUi.net
￥

394:￥
18/05/01 21:23:44.15 o9N8stUi.net
￥

395:￥
18/05/01 21:24:03.34 o9N8stUi.net
￥

396:￥
18/05/01 21:24:22.61 o9N8stUi.net
￥

397:￥
18/05/01 21:24:43.50 o9N8stUi.net
￥

398:￥
18/05/01 21:25:04.24 o9N8stUi.net
￥

399:￥
18/05/01 21:25:23.88 o9N8stUi.net
￥

400:￥
18/05/01 21:25:46.53 o9N8stUi.net
￥

401:１３２人目の素数さん
18/05/02 13:52:22.80 A6AlBBbL.net
既出かもしれないけど
袋のなかに赤玉６球、白玉７球、黒玉８球入っている。一球ずつ順に取り出す。
黒玉が他の色より一番先にすべて取り出される確率を求めよ。

402:１３２人目の素数さん
18/05/02 18:24:28.84 cDk91oHu.net
>>392
29/105

403:１３２人目の素数さん
18/05/02 21:52:14.72 fjHvbvCm.net
>>393
御名算

404:１３２人目の素数さん
18/05/03 00:12:28.96 TIOaAmH9.net
{a[i]}は自然数の無限列である(i=0,1,2,...)
或るs∈ℝが存在し、任意の自然数iに於いて
0<a[i]-a[i-1]≦sが従う
此のとき、任意のn∈ℕに於いて
a[i]の相異なるn個の要素で等差数列が作れることを示せ

405:１３２人目の素数さん
18/05/03 01:13:02.60 CZ0Fa01r.net
>>381
(1)
　Σ[n=0，∞] (-1)^n x^(nn) = {θ_4(0，x) - 1}/2　→ -1/2　(x→1-0)
ここに
　θ_4(a，x) = Π[k=1，∞] {1 - x^(2k)} {1 - ｅ^(2ai)･x^(2k-1)} {1 - e^(-2ai)・x^(2k-1)}
はヤコビの楕円テータ函数

406:１３２人目の素数さん
18/05/03 04:56:51.43 yXlJeHv9.net
>>394
以下自然数の全体Nのm個の同値類に分けたとき各自然数の属する類を色とよぶ。
van der Waerdenの定理 (1927) 任意の正の整数k,mに対して、或る正の整数N(k,m)が存在して次が成り立つ: N≥N(k,m)なる任意の整数Nに対して、1からNまでの整数をどのようにm色に塗り分けたとしても、必ず同じ色で塗られた長さkの等差数列が存在する。
URLﾘﾝｸ(integers.hatenablog.com)
条件を満たす自然数列a[n]をとりf(n) = min{c|c+n = a[i]∃i}、C_c = {n | f(n) = c}とおけば N = C_0 ∪…∪ C_[s]である。任意のkに対してvan der Waerdenの定理よりいずれかのC_cは長さkの等差数列をもつがその各々の項にcを加えた列はa[i]の項からなる。

407:１３２人目の素数さん
18/05/03 09:51:47.13 xQqmo4zy.net
>>395
これはどうでしょう？
ai-a(I-1)は当然整数なので条件より取り得る値は1,2…［s-1］,［s］のいずれか
iは無数の値をとるので鳩の巣原理より
ai-a(I-1)がある同じ値をとるiは無数のに存在する
よって題意は示された

408:１３２人目の素数さん
18/05/03 10:35:01.85 PQNVo0sN.net
>>398
だめ。
a[2j-1] = 2^j
a[2j] = 2^j + 1
と定めればa[i] - a[i-1] = 1となるiは無限にあるけど、a[i]が含む等差数列の長さは４以下。

409:１３２人目の素数さん
18/05/03 22:17:06.31 CZ0Fa01r.net
>>395
URLﾘﾝｸ(jmoss.jp)
JMO夏季セミナー　→　問題コーナー　→　第45回（2011/4/10～2011/5/10）解説

410:１３２人目の素数さん
18/05/03 22:46:01.38 TIOaAmH9.net
うーん
ちょっと本質からずれた質問しますが
これもしvan der Weardenの定理を全く知らなかったら
どんな答案になりますか？
定理自体、色っていう概念使ってて知らないとできないから
そういう前提下だとどういったものになるのかなぁと

411:１３２人目の素数さん
18/05/03 22:50:08.28 umDHhDvC.net
(1)内角が全て等しく、辺の長さが全て整数の素数角形は必ず正多角形となることを示せ.
(2)任意の4以上の合成数nに対して、内角は全て等しくて辺の長さは全て整数であるが、正多角形ではないn角形が存在することを示せ.

412:１３２人目の素数さん
18/05/03 22:58:02.34 PQNVo0sN.net
>>401
どうなんだろうねぇ？色云々は単なる説明に “雰囲気” を出す為に持ち出されただけであんまり本質的な意味はないと思う。平たく掛けば
――
N = A_1 ∪ A_2 ∪ … ∪ A_n
なる分割(disjoint でなくとも良い)をあたえればいずれかのA_iはいくらでも長い等差数列を含む。
――
と色なんて言葉を持ち出す必要はない。ただ>>397のサイトの証明では証明の概念を直感的に理解しやすいように “色” だの “車輪” だのの言葉をつかってるだけ。
まぁこの定理使わないで力技でもできるとは思うけど、割と使いまわせそうな定理だから素直に “へぇ、こんな定理あるんだ” でいいと思う。力技にも興味はあるけど。

413:１３２人目の素数さん
18/05/03 23:13:12.65 PQNVo0sN.net
>>402
(1)pを素数とし各頂点の外角が2π/pで各辺の長さa_i(0≦i≦p-1)が整数であるものをとる。(ただしa_iは正の向きに順に図ったものとする)
ζ=exp(2π/n)、f(x) = Σa_i x^i とおけばf(ζ)= 0である。よってf(x)はx^(p-1)+…+1で割り切れるからa_iはすべて等しい。
(2)nを合成数としpをその素因子とする。
a_i = 1 (p|i),
　　=2 (otherwise)
として辺の長さが正の向きに順にa_iで外角の大きさがすべて2π/nの多角形をとればよい。

414:１３２人目の素数さん
18/05/03 23:36:50.04 CZ0Fa01r.net
>>402
(2)
　n = k ･ L　　(k≧2，L≧2)
とする。
内角は全て π - 2π/n とし、
辺の長さは任意の自然数 m_1, m_2, m_3, …, m_k　をL回繰り返す、とする。
L回対称

415:１３２人目の素数さん
18/05/04 17:40:57.93 35MdHy9b.net
>>399
・公差が１のとき
　{a[i]} はある a[2j-1] と a[2j] を含む。（または、a[2] と a[3] を含む。)
　{a[i]} は i=1～4 または長さ2以下。
・公差が2以上のとき
　a[k "] < a[k] < a[k '] が長さ3の等差数列だったとする。
　a[k] - a[k"] ≦ a[k] - a[1] = a[k] - 2,
　また、a[k'] - a[k] > 1 から
　a[k'] - a[k] ≧ a[k+1] - a[k] = a[k] - 1,
　したがって
　a[k'] - a[k] ≧ a[k] - 1 > a[k] - 2 ≧ a[k] - a[k"],
　となり矛盾する。

416:１３２人目の素数さん
18/05/05 05:01:24.50 cos8i+vX.net
>>406 (修正)
・公差が2以上のとき
　　……
k " < 2j < k ' のとき
　a[k '] - a[2j] ≧ a[2j+1] - a[2j] = a[2j] - 2 = a[2j] - a[1] ≧ a[2j] - a[k"]
∴　長さ3の等差数列は　a[1] < a[2j] < a[2j+1]　に限る。
このとき
　a[2j+3] - a[2j+1] = a[2j+1] > a[2j] - 2
となるから、長さ4以上の等差数列はない。

417:￥
18/05/07 05:41:57.62 EWP32cBY.net
￥

418:￥
18/05/07 05:42:18.23 EWP32cBY.net
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18/05/07 05:42:39.36 EWP32cBY.net
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18/05/07 05:42:54.59 EWP32cBY.net
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18/05/07 05:43:09.06 EWP32cBY.net
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18/05/07 05:44:47.52 EWP32cBY.net
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427:１３２人目の素数さん
18/05/17 11:40:23.79 36lfcc24.net
2011広島大学後期改
qを６と互いに素な素数ベキ、Fをq元体とし
　X={(x,y,z)∈F×F×F | x^2+y^2+z^2=0}
　Y={(x,y,z)∈X | xyz≠0}
　Z={(x,y,z)∈Y | x≠y, y≠z, z≠x}
とする。X,Y,Zの元数を求めよ。

428:１３２人目の素数さん
18/05/18 06:17:07.83 539vwTx6.net
>>373
>>374 のリンクより。
aの最高位の数字が4　⇔　a/4 と 2a が同じ桁数。
{1，2，…，2^(n-1)} のx_n カ所では同じ桁に4数、それ以外では同じ桁に3数がある。
(n -x_n -1)/3 ≦ n･log_10(2) < (n - x_n +1)/3,
∴　x_n / n → 1 - 3log_10(2) = 0.09691　(n→∞)

429:１３２人目の素数さん
18/05/21 04:38:31.67 kuqRYFm5.net
表面積1の八面体の体積の最大値を求めよ

430:イナ
18/05/21 13:14:33.19 6i5QRyXS.net
>>420一辺xの正八面体の一つの面は正三角形で、面積は、
(1/2)x×(√3/2)x=1/8
x^2=1/(2√3)
八面体の体積=(1/6)(x/√2)^3
=(1/12√2)x^3 (/12√2)×√3)√(2√3)
=1/48√(3√3)
違うかも。

431:１３２人目の素数さん
18/05/21 14:35:46.68 3I0IwGqI.net
>>421
不正解
正八面体より大きく出来る

432:１３２人目の素数さん
18/05/21 14:58:44.22 oCVK8vvs.net
>>421
これ八面体ってのは例えば底面が六角形の走らないとか七角形の錐とかもありなん？

433:１３２人目の素数さん
18/05/21 15:00:08.42 oCVK8vvs.net
走らないでなく柱ね。底面が六角形の注柱。これもありやとアホほど計算しなあかん希ガス

434:イナ
18/05/21 15:25:53.51 6i5QRyXS.net
>>420鉛筆を水平に斬る。前>>421
一辺xの正六角形を上底下底とする高さyの正六角柱の体積P(x,y)=(√3)/4x^2･y
P'(x,y)=0でyを消すと、
P'(x)=0を満たすxに対して、P(x)の最大値が出そうな気がします。

435:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:24:23.18 3I0IwGqI.net
>>423
>>424
ありです
とにかく面が八つある多面体は八面体です
ただとある法則を使えばそういうものは除外出来ます

436:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:28:56.50 3I0IwGqI.net
ごめんなさい「ある法則」で除外できる多面体は七角錐だけでした
六角柱は個別で議論する必要あるかも

437:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:32:02.75 +913qm6o.net
正六面体の角を２つ削ったようなやつもはいるよね。
三角柱から角５つ削るとか。アホほどあるなぁ。

438:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:32:31.05 +913qm6o.net
３角柱から角３っつね。

439:１３２人目の素数さん
18/05/21 17:57:16.22 9YF4F+CN.net
>>425
正6角柱だと、正8面体と変わらない...orz
1/{6√(3√3)} = 0.073115223
もっと丸い形にすればいい？

440:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:11:57.11 0vZfF+dt.net
四面体の４つの頂点から小さく四面体を取り除いてできるものとかだいぶ球に近くなるんじゃないかなあ

441:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:20:53.02 2xKr+/2q.net
それより、立方体の頂点2つを切り落としたほうがいいんでね？

442:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:47:13.96 9YF4F+CN.net
>>430
より多角形にして、辺と頂点を増やす…

443:１３２人目の素数さん
18/05/21 23:22:14.24 YccZYzuR.net
とある法則で除外できるのが７角錐だけだとかなり残る希ガス。
だいたい８面体と同じ配置とか立方体から２角おとしたのと同じ配置とかに制限したとして、それぞれの場合に最大値求めんのもどえらい面倒くさい気が…。
ほんとに面白いスパっと解ける解法あるんかな？

444:１３２人目の素数さん
18/05/22 04:39:03.52 RuE2vaj6.net
>>431
辺長のk倍だけ切り落とす。（0<k<1)
4つの頂点から、k倍サイズの4面体を切り落とす。
体積： V = (1-4k^3) V_0
表面積：　S = (1-2kk) S_0
V / S^(3/2) = (1-4k^3)/{6√(3√3)・√2・(1-2kk)^(3/2)}
　≦ V_0 / {S_0^(3/2)}
　= 1 / {6√(3√3)},　　（正8面体）
等号成立は k=1/2 (中点) のとき。

445:１３２人目の素数さん
18/05/22 07:10:03.28 mp+7pS00.net
>>434
>>427は語弊がありました
六角柱と七角錐だと七角錐は除外出来るってことです
ある法則を使えば他のパターンも除外出来ます
例えば正八面体のタイプもダメだということが分かります

446:イナ
18/05/22 22:06:05.02 6b1wDh1x.net
正六角柱の上底下底の一辺をx高さをyとする。
正六角柱の表面積Sについて、
S=(3√3)x^2+6xy=1
y=(1/6x)-(√3/2)x―①
正六角柱の体積V=(√3/4)x^2･y―②
①を②に代入。
V(x)=(√3/4)x^2{(1/6x)-(√3/2)x}
=(√3/24)x(1-3√3･x^2)
V'(x)=(√3/24)-(9/8)x^2=0
x^2=(√3)/27
x≒0.0487287のときV(x)は最大。
V(0.0487287)=(√3/24)0.0487287(2/3)
=0.0487287(√3)/36
=0.0013831

447:イナ
18/05/22 22:47:55.38 6b1wDh1x.net
前>>437修正。
正六角柱の上底下底の一辺をx高さをyとする。
正六角柱の表面積Sについて、
S=(3√3)x^2+6xy=1
y=(1/6x)-(√3/2)x―①
正六角柱の体積V=(√3/4)x^2･6･y―②
①を②に代入。
V(x)=(√3/4)x^2･6{(1/6x)-(√3/2)x}
=(3√3)/2･x^2･y
=(3√3)/2･x^2･{(1/6x)-(√3/2)x}
=(√3/4)x-(9/4)x^3
V'(x)=(√3/2)-(27/4)x^2=0
x^2=(√3)/27のとき、
V(x)=(√3/4)x-(9/4)x^3
=(√3/4)x{1-3√3x^2}
=(√3/4)x(2/3)
=(√3)x/6
=√(√3)/18
≒0.0731152

448:１３２人目の素数さん
18/05/22 23:58:04.62 QxWTmuux.net
八面体の種類がいくつあるか自力で調べようとして挫折したので検索してみたところ、何をどう数えたのかは不明ながら257種類という数値が出てきた。これではまるでお手上げである。
なんの計算もしていないが、個人的には「デューラーの立体」ど呼ばれる三角形２枚、五角形６枚でできた立体が気になる。

449:１３２人目の素数さん
18/05/23 02:32:32.49 LxIDPfuv.net
>>439
Link プリーズ

450:イナ
18/05/23 03:02:44.37 Rj3qNk6E.net
>>439
一辺xの正三角形1枚と正五角形3枚をサッカーボールみたいにたがいに百八十度回転させて噛み合わせるように貼りつける。
表面積S=1
八面体の各頂点から中心までの距離aは一意に決まる。正三角錐の底面同士は百八十度回転して平行。おそらく正五角錐の底面同士も百八十度回転して平行な位置にあるんじゃないかと。
八面体の体積V=正三角錐の体積×6+正五角錐の体積×2
正三角形同士の距離と対面する正五角形の距離は同じにできるのかな？
前>>438

451:イナ
18/05/23 03:07:00.40 Rj3qNk6E.net
前>>441逆々。訂正。
八面体の体積=正三角錐の体積×2+正五角錐の体積×6

452:１３２人目の素数さん
18/05/23 05:25:56.47 bPXXYTiJ.net
>>439 >>441 >>442
　歪重角錐ですか？
　正８面体や正６角柱よりは改良すると思います。
　　　　　　　　　　　　　V / S^(3/2)
・メディアル８面体　　0.074488　　　　　　 (4角形×4，5角形×4)
・歪重角錐　　　　　　0.074217
・正８面体　　　　　　0.07311522294　　　（アルキメデスの正プリズム）
・正６角柱　　　　　　0.07311522294
・反プリズム　　　　　0.07311522294 = 1/{6√(3√3)}　　（アルキメデス）
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
M. Goldberg: Tohoku Math. J.，４０，p.226-236 (1935)
"The isoperimetric problem for polyhedra"
---------------------------------------
f = 4　　正４面体　　　　　　0.05170027 = 1/{6√(6√3)}
f = 6　　立方体　　　　　　　0.06804138 = 1/(6√6)
f = 8　　メディアル８面体　0.07311522 = 1/{6√(3√3)}
f =

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