不等式への招待第９章

不等式への招待第９章 at MATH

1035:１３２人目の素数さん
18/12/17 20:12:55.21 zsFrN7jo.net
懐かしい。当時は tanスレや nCrスレや、おいらには解けないスレとかあったよなぁ…。
パソコンを何度も買い替えて、今となっては過去ログが見れないが。

1036:１３２人目の素数さん
18/12/18 03:40:20.65 e1oKVpnI.net
>>979
(1) a+b, b+c, c+a のうち負は高々１個。
a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8.
１つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。
このとき、条件より 3<c≦5 で、AM-GMより、
0 ≦ -2(a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {-2(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = (c-1)^3 ≦ 64.
(証明終)

1037:１３２人目の素数さん
18/12/18 07:27:44.02 TqVGX/9j.net
〔

1038:補題〕正の実数a,b,cに対して [1]　(b/a) + (c/b) + (a/c) - {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc} ≧ 3/2, [2]　a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /2(ab+bc+ca) ≧ 3/2, (略証) [1] (左辺) - (右辺) 　= ab/(c(b+c)) + bc/(a(c+a)) + ca/(b(a+b)) 　= (ab+bc+ca)^2 /{abc[(b+c) + (c+a) + (a+b)]} 　≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc},　　　(←コーシー) 　JMO-2004、[初代スレ.058] [2]　もコーシーで出る。なお、1/a = A, 1/b = B, 1/c = C とおくと　(ab+bc+ca)^2 /{(a+b+c)abc} = (A+B+C)^2 /(AB+BC+CA), 　(a+b+c)^2 /(ab+bc+ca) = (AB+BC+CA)^2 /{(A+B+C)ABC}, (類) Nesbitt-Igarashi　　>>627　>>835

1039:１３２人目の素数さん
18/12/18 18:31:13.09 e1oKVpnI.net
>>980
偶奇で異なることを見抜いたのは、何かコツがあるの？

1040:１３２人目の素数さん
18/12/18 19:23:44.68 TqVGX/9j.net
>>985
　辺々たして…
[3]　(b/a) + (c/b) + (a/c) ≧ tt/2su + ss/2t ≧ √(st/u) ≧ 3,
　ここに　s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc.
　st-9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ＋ c(a-b)^2 ≧ 0,

1041:１３２人目の素数さん
18/12/18 19:41:13.00 TqVGX/9j.net
>>986
{-1,……,-1,2n-1} のとき　(-1)^n･(2^n)(n-1)^2
{-1,…,-1,n-1,n-1} のとき　- (-1)^n･2^{n-2} (n-2)^2 (n-1)
かとオモタ。

1042:１３２人目の素数さん
18/12/18 21:15:32.22 e1oKVpnI.net
>>979
よく見たら、条件式のa,b,c>-1のところが、書き間違ってるな。
正しくは a,b,c≧-1など。

1043:１３２人目の素数さん
18/12/18 21:42:52.76 e1oKVpnI.net
>>979
(1)
a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は
『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』.
A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40.
う～む、非同次は難しい。
s=6だから、無理やり同時にすると、0≦2st-3u≦120.
これではダメか…。

1044:１３２人目の素数さん
18/12/18 23:13:50.02 TqVGX/9j.net
>>990 (1)
s, t, u で表わせば
(与式) = (a+b)(b+c)(c+a)
　= (A+B - s/3)(B+C - s/3)(C+A - s/3)
　= (2s/3 - C)(2s/3 - A)(2s/3 - B)
　= -4(s/3)^3 + (2/3)st -u,
(与式) = - 4(s/3)^3 + (1/9){5st+(st-9u)} ≧ -4(s/3)^3,
(与式) = (s/3)^3 - (2/27)s(ss-3t) - (1/9)(s^3 -4st+9u) ≦ (s/3)^3,

1045:１３２人目の素数さん
18/12/19 04:07:16.90 K5b8go44.net
>>990の続きだけど、これで合ってるかな？
> (1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
>
> a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は
> 『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』.
>
> A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40.

s=6を使って、同次化して、0 ≦ 9(2st-3u) ≦ 5s^3.
これを証明する。
右側： 5s^3 - 9(2st-3u) = 5(s^3-4st+9u) + 2(st-9u) ≧0.
左側： 9(2st-3u) = 15st + 3(st-9u) ≧0.

1046:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:03:45.97 5zoTD2o3.net
>>992
　正解です！
なお、
st - 9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ＋ c(a-b)^2 ≧ 0,
s^3 - 4st + 9u = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
≧ 0,
URLﾘﾝｸ(dic.nicovideo.jp)シューアの不等式

1047:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:36:06.17 K5b8go44.net
>>979
(2)を >>984のように場合分けして解こうとしているんだけど、うまくいかん。

1048:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:44:01.18 5zoTD2o3.net
>>984 >>986 >>989 >>990 >>992 >>994
　続きは次スレで…
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　|::::: (●　(● |　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
[初代スレ.998]

1049:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:44:55.05 5zoTD2o3.net
　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ　　　∩
　　　　　　　　　　　　　　 ( ⌒)＿　　 ∩_ _　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿　／/,. ノ≧　＼ .i　.,,E）__
　　　　　／ nCr　＼| /　/＼ .／　|/　/ cos ＼
　　_n 　.|::::＼ .／　　|/　/(●　(● |　ノ＼ .／　|
　（　l　　|::●)　●)　.|　/:::... .ワ ....ノ／(●　(● |　　　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
　＼＼ヽ:::::.∀ 　 .ノ　　　　　　／ヽ:::::... .▽....ノ　　n
　　　ヽ__￣　　　ノヽ　　　　　 |　￣　　　＼　　（ E）
　　　　　/ 　　/　　＼　　　　ヽﾌ　　　 / ヽヽ_／／
[第5章.991]

1050:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:45:32.33 5zoTD2o3.net
　　　＿＿＿
　　.／　 ≧ ＼　　　神降臨キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
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　　ヽ::::... .∀....ノ／　　ﾁﾝ　☆
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　|＼￣￣￣￣旦￣＼
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　＼|　　愛媛みかん　|
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[第5章.996]

1051:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:46:20.72 5zoTD2o3.net
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　　　　　　　 ,|iiii;iiii;;;;:;_ _: :|　＿＿＿　　秋の夜長に不等式　　　　`　　　　　　　　`　　　　　　　　`,
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[前スレ.998]

1052:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:47:12.97 5zoTD2o3.net
＿|　::|＿
￣|　::|／|　　　　　　　　　　 ┌─┐
　 |　::|　 |　　　　　.┌─┐| ∧＿∧　　いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
／|＿|　 |┌─┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
　 |文|　 | |　∧＿∧（　　　　）⊂　　　）
　 |￣|　 | | （　　　　）⊂　　　）（＿Ο Ο　:::
　 |　::|　 | | ⊂　　　）（＿Ο Ο　わかってる、生き延びた奴が
　 |　::|／ .|_　（＿Ο Ο　::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
　 |　::|　:::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!
[前スレ.999]

1053:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:48:05.42 5zoTD2o3.net
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　　┃ Q.E.D. ┃
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( ﾟ∀ﾟ) ノ
[前スレ.1000]

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