面白い問題教えて～な 24問目

面白い問題教えて～な 24問目 at MATH

1004::14.62 ID:CVP8DIfe.net

1005:１３２人目の素数さん
17/09/17 13:33:36.65 k/sLYgaV.net
>>984
>⇔(1,0),(cost,sint)を頂点にもち単位円に内接する正k角形(k≧1)でkが最小のもの(あれば)の頂点が全て作図可能
ここは同値？

1006:１３２人目の素数さん
17/09/17 17:58:13.10 zcDc08fE.net
自力ではまだ解決できてないけど一応投稿しておくことにする
次の条件を全て満たす実数αは存在するか：
･αは無理数
･αを3進展開しても4進展開しても、各桁には0または1しか現れない

1007:１３２人目の素数さん
17/09/17 19:00:02.49 yQpGxA+8.net
数論の問題は簡単に作れる割に面白いものは滅多に見つからない

1008:１３２人目の素数さん
17/09/17 23:09:11.03 CVP8DIfe.net
>>985
(cost,sint)が作図可能なら
整数mに対する(cosmt,sinmt)は作図できる
t(弧度法):2π が有理数比
(⇔ t(度数法):360 が有理数比)なら
{(cosmt,sinmt)|m∈Z}は有限個の点しかもたず、かつ円周上に等間隔に並ぶ。これが正多角形の頂点。
具体的にはt/2πを既約分数で表したらその分母が点の数。
無理数比なら
{(cosmt,sinmt)|m∈Z}は無限個の点をもち、正多角形を考えられない

1009:216
17/09/21 10:06:50.45 KRTMaobw.net
>>216の(4)
aa/(2abb-bbb+1)が自然数となるような自然数の組

【解答】
aa/(2abb-bbb+1)が自然数nになるとする。

(I)　b=1のとき
(与式の分母)=2aで偶数だから、(与式の分子)=aaも偶数。よってaは偶数。
自然数kを用いてa=2kとおける。

(II)　b≧2のとき
aa-(2bbn)a+((bbb-1)n)=0
aについて解くと
a=bbn±√(bbbbnn-bbbn+n)
明らかにbbbbnn-bbbn+n>0で√の中身は正だから、2解は共に実数である。
また、(2解の和)=2bbn>0、(2解の積)=(bbb-1)n>0だから、2解は共に正である。
2解は共に正であり、2解の和は自然数だから、
2解の一方が自然数のとき、もう一方も自然数である。　…★
さて、(与式)>0、(与式の分子)>0より、(与式の分母)=bb(2a-b)+1>0
∴2a-b≧0
(i)　2a-b=0のとき
a=b/2, n=aa
aは自然数だからbは偶数。自然数lを用いてb=2lとおけばa=l
★より、n=aa=llについてaはlの他に自然数解があるはずである。
a=bbn±√(bbbbnn-bbbn+n)=4llllll±√(16llllllll-8lllll+ll)=4llllll±(4llll-l)=l,8llll-l
(ii)　2a-b≧1のとき
(与式の分子)≧(与式の分母)よりaa≧bb(2a-b)+1
∴aa≧bb+1>bb
a,bは正だからa>b
しかし、(2解の積)=(bbb-1)n、bbn+√(bbbbnn-bbbn+n)>bbnより
bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)<((bbb-1)n)/bbn<bであり、
bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)<b<aはa=bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)と矛盾。

以上より、(a,b)=(2k,1),(l,2l),(8llll-l,2l)
これらは全て与条件を満たす。　■

1010:216
17/09/21 10:07:35.69 KRTMaobw.net
【解説】
無数に解があるじゃないか（憤怒）
出典：IMO2003-2

1011:216
17/09/21 10:59:27.12 9N6Yacjj.net
>>216の(5)
ab-c, bc-a, ca-bが全て2の冪となるような自然数の組

【解答】

[補]
非負整数n

1012:について n=0のとき、2^0=1≡1 mod 4 n=1のとき、2^1=2≡2 mod 4 n≧2のとき、2^n=(2^2)*(2^(n-2))≡0 mod 4 ①　a,b,cのうち少なくとも2つが等しいとき a=bとして一般性を失わない。aa-cとac-aが2の冪になるときを考える。 ac-a=a(c-1)よりa,c-1は共に2の冪である。非負整数α,γを用いてa=2^α, c=2^γ+1とおく。 aa-c=2^(2α)-2^γ-1が2の冪になるとき、[補]より4^α-2^γ-1≡-2^γ-1≡0,1,2 mod 4 ∴γ=0,1 γ=0のときaa-c=4^α-2≡2 mod 4 これが2の冪になるのは[補]より4^α-2=2⇔α=1、このときa=b=2^1=2, c=2^0+1=2 γ=1のときaa-c=4^α-3≡1 mod 4 これが2の冪になるのは[補]より4^α-3=1⇔α=1、このときa=b=2^1=2, c=2^1+1=3

1013:216
17/09/21 11:01:02.06 9N6Yacjj.net
②　a,b,cが相異なるとき
a=1のとき、b-cとc-bは和が0だから両方が自然数になることはない。よってa≧2
同様にb≧2,c≧2
2≦a<b<cとして一般性を失わない。
相異なる非負整数δ,ε,ζを用いて
bc-a=2^δ, ca-b=2^ε, ab-c=2^ζ
とおく。
bc-a>ca-b>ab-cよりδ>ε>ζ

(I)　a=2のとき
(i)　ζ=0のとき
ab-c=2^ζよりc=2b-1
ca-b=2^εより3b-2=2^ε、b≧3よりε≧3
ε=3のときb=10/3で不適。
ε=4のときb=6, c=2*6-1=11
ε≧5のとき、bc-a=2^δより
9*2^δ=9*(bc-a)=9*(2bb-b-2)=18bb-9b-18=(3b-2)(6b+1)-16=(2^ε)(2*2^ε+5)-16
で右辺は2^5=32で割りきれないから左辺はδ≦4。これはδ>ε>ζより不適。
(ii)　ζ≧1のとき
ab-c=2^ζよりcは偶数、ca-b=2^εよりbは偶数。よって、bc-a=2^δの左辺は4を法として2と合同だから、[補]より右辺は2^1、δ=1。これはδ>ε>ζより不適。

1014:216
17/09/21 11:02:26.34 9N6Yacjj.net
(II)　a≧3のとき
2^ε=ac-b>ac-c=c(a-1)≧2cより2^(ε-1)≧c
∴2^(ε-1)>b>a
(i)　c≡0,2,3 mod 4のとき
c-1は4で割りきれない。
2^δ+2^ε=(bc-a)+(ca-b)=(b+a)(c-1)
ε<δより左辺は2^εで割りきれる。右辺の(c-1)は2で高々1回しか割りきれない。よって、右辺の(b+a)は2^(ε-1)で割りきれる。
b+a<2b<2*2^(ε-1)よりa+b=2^(ε-1)
ac-b=2^ε=2(a+b)よりa+3b=ac-a
4b>a+3b=a(c-1)≧abより4b≧ab
これとa≧3よりa=3
3+3b=3c-3⇔c=b+2
bc-a=2^δよりbb+2b-3=2^δ⇔(b+3)(b-1)=2^δ
(b+3)と(b-1)は共に2の冪である。非負整数Β,β（Β>β）を用いてb+3=2^Β, b-1=2^βとおくと、辺々引いて4=(2^β)(2^(Β-β)-1)
これを満たすのはβ=2,Β=3,b=5
よってc=5+2=7、これはc≡3 mod 4を満たす。
(ii)　c≡1 mod 4のとき
c+1は4で割りきれない。
2^δ-2^ε=(bc-a)-(ca-b)=(b-a)(c+1)
ε<δより左辺は2^εで割りきれる。右辺の(c+1)は2で高々1回しか割りきれない。よって、右辺の(b-a)は2^(ε-1)で割りきれる。
しかしb-a<b<2^(ε-1)より、これを満たす(b-a)はない。

1015:216
17/09/21 11:03:53.49 9N6Yacjj.net
以上より、(a,b,c)は
(2,2,2)、(2,2,3)の並べかえ3組、(2,6,11)の並べかえ6組、(3,5,7)の並べかえ6組の計16組。
これらは全て与条件を満たす。　■

【解説】
不等式による絞りこみ、因数分解と約数、合同式、場合分け、など整数問題の基本テクニックを総動員すれば解ける。
最後の解答を元の式に当てはめて上手くいくことを確認するのが気持ちいい。
出典：IMO2015-2

1016:１３２人目の素数さん
17/09/22 12:18:25.78 dxvc1idi.net
>>931 >>970
k機目が向こうに渡るとき
出発側に（n-k）機の補助機？があり、到着側に（k-1）機の補助機？がある。
そのお蔭で航続距離が
　出発側で（n-k)/(n-k+2）単位、
　到着側で（k-1)/(k+1）単位
だけ伸びる。　　　　　　　　　　　　　　　　>>972
よって、最大（n-k)/(n-k+2）+ 1 +（k-1)/(k+1）まで飛行可能
これは k⇔n+1-k について対称的で、kに対して上に凸。
　D_n = min｛　〃　｜1≦k≦n ｝= 2n/(n+1),

1017:１３２人目の素数さん
17/09/23 05:34:49.52 NoROM9hj.net
>>995
（n-k)/(n+2-k）+ 1 +（k-1)/(k+2）- 2n/(n+1）
=（n-k)(k-1)(n+3)/{(n+1)(n+2-k)(k+1)｝
> 0
∴　D_n = 2n/(n+1).

1018:１３２人目の素数さん
17/09/29 00:11:24.28 Zt0C2yXV.net
m,nを自然数とする。
ユークリッド空間上の関数f:R^n→R^mは、任意の凸集合を凸集合に移す。
この時、fは連続か。

1019:１３２人目の素数さん
17/09/29 13:43:15.26 JazCjdF4.net
>>997 連続とは限らない。
n=1の時、商群R/QからR^mへの全単射φを１つとれば、
f(x)=φ(π(x)) (ただしπ:R→R/Qは自然な射影)
が反例になる。
nが1より大きい時は、例えばn=3なら
f(x,y,z)=φ(π(x))
等と定めればよい

1020:１３２人目の素数さん
17/09/29 22:40:30.39 oIFvV/UE.net
>>998
fが条件を満たす？

1021:１３２人目の素数さん
17/09/30 12:34:04.20 56ihevWH.net
>>999
n=1の時、Rの凸集合といったら(広義の)区間しかない。つまり
C=(a,b),(a,b],[a,b),[a,b]　(a≦b.ただし端点を含まない場合は∞や-∞になってもよい)
のどれかになる。
もしCが一点か空集合ならf(C)も一点か空になる。
もしCが一点でも空でもなければ、ある開集合を含むため、CはR/Qのどの同値類とも交わりを持つ。したがってf(C)=R^m.
よって、fは凸集合を凸集合に移す。
fが連続でないことの説明は省略。
nが1より大きい時、R^nの凸集合をx軸に射影したものはx軸上の凸集合になるから、
x軸への射影とn=1の場合のfを合成すれば求める関数が得られる。

1022:１３２人目の素数さん
17/09/30 13:02:16.50 x4DjcavF.net
次スレ
面白い問題おしえて～な二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

1023:1001
Over 1000 Thread.net
このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
life time: 54日 17時間 18分 33秒

1024:過去ログ ★
[過去ログ]
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています