不等式への招待第８章

不等式への招待第８章 at MATH

[前50を表示]
500:１３２人目の素数さん
17/08/10 03:13:12.22 ZcMNVdrv.net
>>414
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
>
> 追加問題：同じ条件の下で、aのとりうる値の範囲を求めよ。
さらに追加：同じ条件の下で、ab+bc+cd+da のとりうる値の範囲を求めよ。

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　ヽ::::... .ワ.....ノ　　　今夜は冴えてるぜ！
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511:１３２人目の素数さん
17/08/10 12:38:29.31 60raC5j+.net
>>452
(7) n>=3
a^2+b^2+c^2 と b/a+c/b+a/c の大小は定まらない
(8) Schur + AMGM

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513:１３２人目の素数さん
17/08/10 13:59:34.75 DPXWgKrx.net
>>484
a=-(b+c+d）を代入して
aa = (-b-c-d)^2 ≦ 3(bb+cc+dd）= 3(100-aa）,
aa ≦ 75,
|a| ≦ 5√3,
>>487
(a+c)(b+d）= -(a+c)^2 = -(b+d)^2 ≧ -(aa+cc) -(bb+dd) = -100,
-100 ≦ (a+c)(b+d）≦ 0,
等号成立は（a,b,c,d）=（5,-5,5,-5）（5,5,-5,-5）など。

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524:１３２人目の素数さん
17/08/10 20:36:16.33 ZcMNVdrv.net
>>467-468
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
>
> [2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？

Weitzenbock's inequality と言うらしい。ヴァイツェンベックと発音するのかな？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)

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526:１３２人目の素数さん
17/08/10 21:41:35.40 ZcMNVdrv.net
Crux
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
いつの間にかパスワード制になって読めなくなったでござる。
パスワード無しで読める最後の記事は v37n8 (2011年)。
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
Problems
3690、3691、3694、3699

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17/08/10 21:57:11.66 JHmEReZW.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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528:１３２人目の素数さん
17/08/10 21:57:26.65 ZcMNVdrv.net
>>389
これでござるな。
URLﾘﾝｸ(www.math.kindai.ac.jp)

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539:１３２人目の素数さん
17/08/11 00:32:25.04 UlqqGaeP.net
ネタギレだな
興奮

540:する問題が無い

541:１３２人目の素数さん
17/08/11 00:46:30.31 VAqorbPb.net
(俺の経験人数)＞Σ(このスレの住人の経験人数)
を示せ

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17/08/11 00:58:40.57 ToUPXODc.net
♪♪♪もう良い子は寝る時間です。そやし馬鹿板は止めて、また明日にしましょう。♪♪♪
ケケケ￥

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553:１３２人目の素数さん
17/08/11 12:57:10.89 OXujv9yn.net
>>467 (1）を改造...
三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、(1/3)(a+b+c)^2 ≧ (4√3)S.
(証明３)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
(1/3)(a+b+c)^2
=（1/3)(A+B+C)^2
≧ √{3(A+B+C)ABC}　（← AM-GM)
=（4√3)S,

三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、ab+bc+ca ≧ (4√3)S.
(証明６)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
ab+bc+ca = aa+bb+cc -{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2
≧ aa+bb+cc -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2
= AB+BC+CA
≧ √{3(A+B+C)ABC}
=（4√3)S,

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17/08/11 12:59:40.46 ToUPXODc.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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555:１３２人目の素数さん
17/08/11 16:26:36.35 XzY0B0Bq.net
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(1) [AYIN 2012.09]
(a+b)/(ab+a+b) + (b+c)/(bc+b+c) + (c+a)/(ca+c+a) ≧ 2
(2) [1997 Romania]
(a^3+b^3)/(ab+a^2+b^2) + (b^3+c^3)/(bc+b^2+c^2) + (c^3+a^3)/(ca+c^2+a^2) ≧ 2
(3) [1996 IMO shortlist.A1]
ab/(ab+a^5+b^5) + bc/(bc+b^5+c^5) + ca/(ca+c^5+a^5) ≦ 1
----------------------------------------------------
[1] (3)だけ向きが逆。もしかして (1)(2)(3) すべて最大値と最小値があるかな？
[2] 分母が ab+a^n+b^n のタイプで、他に類題ないかな？

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　　　и .i　　　　　　Ｎ　/　ヽ）　きりがないでござる…
　　　 λﾍ、|　i　.ＮV　 | 　　| |
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556:１３２人目の素数さん
17/08/11 16:46:26.28 XzY0B0Bq.net
>>467、>>539
さらに改造。というか、コレクションに纏め済みでござった。
三角形の辺長 a, b, c、面積 S、外接円の半径 R、内接円の半径 r に対して、
9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ (4√3)S ≧ 36r.

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557:１３２人目の素数さん
17/08/11 17:08:13.18 XzY0B0Bq.net
>>467 >>539 >>542
さらに行けそうだぜ！ヒャッハー！
URLﾘﾝｸ(forumgeom.fau.edu)
9abc/(a+b+c) ≧ (4√3)S が成り立つらしい（証明は未だ読んでいない）
AM-GMから直ちに >>542 とドッキングさせられるぜ！ヒャッハー！
9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ 9abc/(a+b+c)≧ (4√3)S ≧ 36r.

　　　　　＿　（）)二) )) 、,r:ﾆヽ　　いいぞ　ベイべー！
　@ニ＝＝＝)二二ニニ)('A` ))　不等式を収集し証明する奴は不等式ヲタだ！！
　　　　　^￣" ﾌ＼''|ﾉ=ﾉ-(　　)　　不等式を改造し拡張する奴はよく訓練された不等式ヲタだ！！
　　　　　　　_/　　＼_ 　　L L　　ホント不等式はﾊｧﾊｧするぜ！ﾌｩﾊﾊﾊｰﾊｧｰ

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568:１３２人目の素数さん
17/08/11 18:20:48.72 OXujv9yn.net
>>467 (1）>>539 を再改造…
>>541
(2)
(aa-ab+bb)/(aa+ab+bb）≧ 1/3，など。
(左辺）≧ 2(a+b+c)/3 ≧ 2(abc)^(2/3）= 2,

(3)
ab +a^5 +b^5 = aabbc +a^5 +b^5 ≧ aabb(a+b+c）= ab(a+b+c)/c,
IMO-1996 予選
文献[9］佐藤、演習問題1.15

>>543
abc =（A+B)(B+C)(C+A)/8 ≧（A+B+C)(AB+BC+CA)/9,
∴ ab+bc+ca ≧ 9abc/(a+b+c）≧ AB+BC+CA
>>539 により成立。
きりがないでござるよ…

569:１３２人目の素数さん
17/08/11 18:50:48.93 XzY0B0Bq.net
>>554
むむむ、再改造とは恐るべし不等式ヲタ…
List of triangle inequalities
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)

彳㍍” ,イ云”　　　,.ｯ　　　　　|　ｨ1　|ｌ　|　　　　　　、　　　,.　'´
ﾚ/ 　ﾁ㌢　　　ｒｆ少　　　　　　［> ||||　||　 |　　　　　　迅　　/
ｒｆ　　ｆﾘｲ　　　｛孖　　　　　　　_レ-ー､|＿_ト-、　　　　什　（　　　　む
ｌト　｛iヌ　　　　｛iヌ　　　　　_/´,.´ ,.　 ..,　、　ﾌ _ヽ、　　ﾉ糸　_,）　　　　む
斗　　弋ｚ　　　　弋z,. 　　〃_｀／',ニ=ｭ> ｌｘﾆ∠ヽ|_　ｧｚｿ　（　　　　む
も、　　｀ﾏﾁｔｚ,　　　　　　　｛ G ﾚ‐、ゝー"´=ゝ一'‐,　L　　　　 `┐
ミﾏ辷　　　` ＝ｚ.,,__　　　　 !　,ｒ〉 ,二＿,.｛,＿,｝二,,,..､ .｝　　　　　ゝ
　` ｔ述ｼｔｒ、　　　　　　　　｛`-”し',. '"´`ゝｖ,　ｨ/´゛ヽﾚ'　　　　　　｀つ
　　　　｀ー≧=　‐ .,,,　　　　ﾄ,　 ||　ゝひﾌ　 / てｿｊ |:|　　　　　　〈　⊂´￣￣
` 爻ミｚｚ,,　　　　　　　　　　| | . ||　, '´￣　　 |`￣''` i,|　　　　　　　,）ｒ'"
　　　｀弋≧=ー'　　　　　　　|　　|| J 　　　,._| 　　.//　　　　　／"
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581:１３２人目の素数さん
17/08/12 00:51:27.72 WPvdvXKS.net
なんかこのスレきもいな
ただのキモオタじゃん

582:１３２人目の素数さん
17/08/12 00:51:30.41 rvCA1oPA.net
>>389 >>515
△ABC における重心座標を考える。
　↑D = L･↑A + m･↑B + n･↑C，　L+m+n=1,
（v，w）=（(Lp+mr+nt)/(L+m+n)，(Lq+ms+nu)/(L+m+n))
（Dが△ABCの内部または周上）　⇔　0 ≦ L,m,n
∴ AM-GM により
　x^v･y^w ≦｛L(x^p)(y^q) + m(x^r)(y^s) + n(x^t)(y^u)}/(L+m+n)
　　　　　≦ (x^p)(y^q) + (x^r)(y^s) + (x^t)(y^u),
（Dが△ABCの外部）　⇔　min{L,m,n｝<0
　さて、どうする？

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593:１３２人目の素数さん
17/08/12 03:30:21.66 hiSFFC3j.net
不等式ではなくって、等式なんだけど、
>>467の本：佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』
を立ち読みしてきたときに見つけた問題を。
Σ[n=1 to ∞] (15n^2 - 30πn^4 + 8π^2 n^6)*e^(-πn^2) = ？

あと、名前の付いた等式を一つ。（只の式変形で出るので面白くはないが…）
ヒルツェブルフの等式： x/ tanh x = 2x/(e^(2x)-1) + x

594:１３２人目の素数さん
17/08/12 11:28:19.55 rvCA1oPA.net
>>388 (4)
(i)　>>432
(ii) OA=OB=OC とし、Oから平面ABCに垂線OHを下し、z軸とする。
　　A,B,C の天頂角をθとおくと、OH =｜OA|･cosθ，etc.
　２平面 OAH と OBH のなす角（二面角）を ∠AHB = φとおく。
　cos(∠AOB）=（OA・OB)/|OA||OB｜=（cosθ)^2 +（sinθ)^2 cosφ ≧ cosφ,
∴　∠AOB ≦ φ = ∠AHB,
循環的にたす。

595:１３２人目の素数さん
17/08/12 12:31:19.72 rvCA1oPA.net
>>579
0
L(x) = 1/tanh(x) - 1/x をランジュヴァン関数というらしい。
|x| << 1 で L(x)≒x/3

596:１３２人目の素数さん
17/08/13 16:43:33.64 /or+kDcE.net
>>541 (1)
(a+b)/(ab+a+b) = (a+b)c/{1+(a+b)c｝= z/(1+z),
通分して
（1+x)(1+y)z +（1+x)y(1+z）+ x(1+y)(1+z）- 2(1+x)(1+y)(1+z)
　= -2 -（x+y+z） +xyz,
　= -2 -2(ab+bc+ca）+ abc(a+b)(b+c)(c+a)
=｛1 - (abc)^2｝+（ab+bc+ca-3）+（ab+bc+ca)｛abc(a+b+c) -3｝
　≧ 0,

597:１３２人目の素数さん
17/08/14 03:30:28.48 DhVyRLdl.net
>>449 >>455
(2)
（1+ab)/(1+a）= (1+c)/{c(1+a)}，etc.
　AM-GM する。
>>455 とほとんど同じだ....
(3)
　1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
　≧ 1/(1+a+ab）+ 1/(1+b+bc）+ 1/(1+c+ca）
　= x/(x+y+z）+ y/(y+z+x）+ z/(z+x+y)
　= 1,
　bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2,
通分して
　bc(1+b)(1+c）+ ca(1+c)(1+a）+ ab(1+a)(1+b）-（3/2)(1+a)(1+b)(1+c)
　= t +（st-3u）+（tt-2su）-（3/2)(1+s+t+u)
　=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2 + 2(st-9u)/3 +（tt-3su)
　=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2
　≧0,　　　　（← s≧3、t≧3、u=1）

598:１３２人目の素数さん
17/08/14 14:19:59.12 2wTFMFcz.net
>>543-544
> 9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ 9abc/(a+b+c)≧ (4√3)S ≧ 36r.
書き直すと
(√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)} ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r.
>>544より、√|3abc/(a+b+c)} ≧ √|(AB+BC+CA)/3}.
ところで、(ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) ≧ 0 より、√|3abc/(a+b+c)} ≧ HM.
そこで気になるのは、2√(S/√3)、HM、√|(AB+BC+CA)/3} の大小だけど、定まるかな？
　
　　　　／⌒ヽ
　　／⌒ 　・　＞
　 E￣Ｕ) ε　|　きりがないでござる
　 E￣∩)　・　＞
゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛

599:１３２人目の素数さん
17/08/14 16:40:29.61 2wTFMFcz.net
数学文化という雑誌に不等式の特集があるというタレ込みがあったので買ってきた。未だ目を通していない。

600:１３２人目の素数さん
17/08/14 21:52:11.78 DhVyRLdl.net
>>449
(3)下
チェビシェフで
(左辺）= 1/{a(1+a)｝+ 1/{b(1+b)｝+ 1/{c(1+c)｝
　　　≧ 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝
よって、次の問題に帰着する。
〔問題3.93〕
　1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc)

601:, 　バルカンMO-2006 　文献［9］佐藤(訳)、問題3.93 左辺に 1+abc を掛ける。　(1+abc)/{a(1+b)｝= (1+a)/{a(1+b)｝-1 + b(1+c)/(1+b)，etc. 巡回的に AM-GM すると（1+abc)(左辺）≧ 3(1/G -1 +G) 　= 3(1-G+GG)/G 　= 3(1+GGG)/{G(1+G)}． ∴　(左辺）≧ 3/{G(1+G)}, ここに G=(abc)^(1/3)

602:１３２人目の素数さん
17/08/15 00:00:45.18 CDzXTDus.net
>>584
（AB+BC+CA)/3 ≧ √{(A+B+C)ABC/3} =（4/√3)S,　>>554
（HM)^2 ≧（4/√3)S
にて御座候。
HM と √{(AB+BC+CA)/3｝の大小は不定と思われ...
き、きりがねぇ。。。

603:１３２人目の素数さん
17/08/15 11:55:24.24 MRdTx6vq.net
>>587
> （HM)^2 ≧（4/√3)S
これがうまく証明できませぬ…

604:１３２人目の素数さん
17/08/15 11:56:07.50 MRdTx6vq.net
>>584-585より、
(√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
ところで、三角形の辺長a,b,cに対して、2(ab+bc+ca) > (1/2)(a+b+c)^2 > a^2+b^2+c^2 だから、
{√2(ab+bc+ca)}/3 > (a+b+c)/(3√2) > (a^2+b^2+c^2)/3
合体させて、
{√2(ab+bc+ca)}/3 > (a+b+c)/(3√2) > (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
さて、(√3)R はどこに入るのだろう？

　　　　('A`)　出口が見えないでござる
　　　　ﾉ　ﾉ)_

605:１３２人目の素数さん
17/08/15 12:37:59.27 MRdTx6vq.net
>>589
> >>584-585より、
> (√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
>
> ところで、三角形の辺長a,b,cに対して、2(ab+bc+ca) > (1/2)(a+b+c)^2 > a^2+b^2+c^2 だから、
GMの左側から合体させたら、
√{(ab+bc+ca)/3} ＞ (a+b+c)/(2√3) ＞ √|(a^2+b^2+c^2)/6} ≧ GM/(√2)
√{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
この2つは合体は無理そうかな。上側はGMより小さくなってるようだし…

606:１３２人目の素数さん
17/08/15 13:03:49.64 CDzXTDus.net
>>589
{√2(ab+bc+ca)/3｝>（a+b+c)/√6 > √{(aa+bb+cc)/3｝≧ AM
>>590
正△でも等号不成立なので、無理そうでござる。

607:１３２人目の素数さん
17/08/16 07:17:47.30 QnvYtidY.net
>>588
（HM)^2 ≧（4/√3)S
⇔ (3√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (3√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2
この証明は難しいのでは？
a, b, c で表しても、sin で表してもややこしい。
レムスで削り落としても、まだ複雑な形でござる…
Lehmu's inequality ： abc ≧ (s-a)(s-b)(s-c)
　　　　　　　　　　　,　/　　　　,
　　　　　　　　, 　 / / 　 , 　 / 　,
　　　　　 / '＾ﾒ-' ─/- ､　 /　,
　　　　 ∠ｒ　　_,゛_　/ 　,　ヽ/__/ ﾓｳﾀﾞﾒﾎﾟ…
　　　　　 ''ヽ'_･.ノ｀ '　ｒ/、　ﾍ /‐’
　　　　　 ./ " j　厂ﾞj　| ﾚ_｀> j__ /
　　　　 ' 　.:‘::'ニ‘.:‐'´─ﾞ.:´一’　

608:１３２人目の素数さん
17/08/16 08:03:22.63 QnvYtidY.net
>>592
左辺の係数間違ごうとる
（HM)^2 ≧（4/√3)S
⇔ (9√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (9√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2

609:１３２人目の素数さん
17/08/16 13:54:15.29 QnvYtidY.net
>>592
（HM)^2 ≧（4/√3)S ⇔ (x+y+z)/3 ≧ (xyz)^(1/3)
ラビで一発だった。

610:１３２人目の素数さん
17/08/16 14:18:02.07 QnvYtidY.net
>>594
いや別の不等式の話でした。
ごめん、あれこれ弄っていて混乱していました。

611:１３２人目の素数さん
17/08/18 01:02:25.04 90S02hzN.net
>>588-595
HM^2 と (4/√3)S の大小
1辺だけが短い楔状△の場合は不成立のようでござる。
手間取らせて、すまぬ。

612:１３２人目の素数さん
17/08/18 11:06:43.92 WHydeLcz.net
>>596
さんくす。(a,b,c)=(1/3,1,1)で、HMの方が小さくなりますね。
[疑問] HM ≧ （2/√3)r は成り立つか？
b=c=1、0<a<2でWolfram先生にグラフを書かせたら、０以上っぽいので、基本対称式で表すと、
(HM^2 - 12r)/3 の分子
= 3su^2+s^3t^2-4st

613:^3+8t^2u = (s^2-3t)st^2 - (t^2-3su)u = 正 - 正で、この方法では失敗でござった。

614:１３２人目の素数さん
17/08/18 12:33:10.09 WHydeLcz.net
>>597
ちがった。最後は
(s^3t^2-4st^3+9t^2u) - (t^2-3su)u

615:１３２人目の素数さん
17/08/18 17:50:32.42 WHydeLcz.net
>>449、>>583、>>586
> a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2
>>586
> 　1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
>
> 　バルカンMO-2006、文献［9］佐藤(訳)、問題3.93

似たような不等式を見つけた。
[IMO 1995 第2問] URLﾘﾝｸ(www.cs.cornell.edu)
1/(a^3*(b+c)) + 1/(b^3*(c+a)) + 1/(c^3*(a+b)) ≧ 3/2.

616:１３２人目の素数さん
17/08/18 18:07:26.70 WHydeLcz.net
>>449、>>455、>>583
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、3 > 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) > 1
上限を厳しく評価するには、どういう考え方でやればいいんでせうか？

617:１３２人目の素数さん
17/08/18 22:17:20.07 /k+bKW+I.net
>>600
f(x)=1/(1+e^x)
x+y+z=0 なる実数 x, y, z に対して f(x)+f(y)+f(z) の上限を調べればよい
f は x<=0 で狭義凸だから LCF から y=x, z=-2x のときの上限を調べれよばよい
sup 2f(x)+f(-2x) = 2
よって上限は 2

618:１３２人目の素数さん
17/08/19 03:06:30.81 HQ7H9Ohy.net
>>599
x=1/a、ｙ=1/b、z=1/c とおくと、xyz=1
S = xx/(y+z）+ yy/(z+x）+ zz/(x+y)
≧ (x+y+z)^2 /{(y+z)+(z+x)+(x+y)｝　　(←コーシー)
=（x+y+z)/2
≧3/2,
　文献[9] 佐藤(訳）例1.4.9
>>600
　a,b,… のうち最小のものをmとおきます。（m≦1)
　1より大きい2要素 p,q があったときは
　(p, q）→（m, pq/m）と置き換えてみます。
　このとき相乗平均は変わらず、
　（m + pq/m）-（p+q）= (p-m)(q-m)/m ≧ 0 ゆえ左辺は
　1/(1+m）+ 1/(1+pq/m）- 1/(1+p）- 1/(1+q）
　= (2+m+pq/m)/{(1+m)(1+pq/m)｝-（2+p+q)/{(1+p)(1+q)｝
　=（2+m+pq/m)/{1+(m+pq/m)+pq｝-（2+p+q)/{1+(p+q)+pq｝
　= -(pq-1)/{1+(m+pq/m)+pq｝+（pq-1)/{1+(p+q)+pq｝
　≧0
増大します。

619:１３２人目の素数さん
17/08/19 03:14:58.76 Q+nr/ATk.net
LCF、RCF、LCRCF、SIP、EV、AC(UMV)、GI、GC、SMV…。さっぱり

620:１３２人目の素数さん
17/08/19 04:32:39.26 Q+nr/ATk.net
>>4 に追加。
Vasile Cirtoaje
URLﾘﾝｸ(ac.upg-ploiesti.ro)
柳田五夫、初等的な不等式Ⅲほか
URLﾘﾝｸ(izumi-math.jp)

621:１３２人目の素数さん
17/08/19 04:33:53.44 Q+nr/ATk.net
>>601-602
ありがとうございまする。

622:１３２人目の素数さん
17/08/19 05:22:53.63 Q+nr/ATk.net
Arithmetic Compensation Theorem (AC-Theorem)
Equal Variable Theorem (EV-Theorem)
Half Convex Function Theorem (HCF-Theorem)
Left Concave Function Theorem (LCF-Theorem)
Right Convex Function theorem (RCF-Theorem)
Left Convex-Right Concave Function Theorem (LCRCF-Theorem)
Single Inflection Point Theorem (SIP-Theorem)
Strong Mixing Variables Theorem (SMV-Theorem)
GC-Theorem （文献[8] 安藤 P.197）は何の略？

623:１３２人目の素数さん
17/08/19 10:17:54.83 F2dH2OvX.net
>>606
AC が arithmetic なんだから GC はgeometric でしょ...

624:１３２人目の素数さん
17/08/19 13:16:25.17 HQ7H9Ohy.net
>>597 >>598
s^3 -4st +9u = a(a-b)(a-c）+ b(b-c)(b-a）+ c(c-a)(c-b),
tt-3su = bc(a-b)(a-c）+ ca(b-c)(b-a）+ ab(c-a)(c-b),
より
(s^3 -4st +9u)tt - (tt-3su)u = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b),
ここに
P=a(tt-bbcc)，Q=b(tt-c

625:caa)，R=c(tt-aabb), P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）は同順序なので Schurの拡張で成立..

626:１３２人目の素数さん
17/08/19 14:37:54.57 Q+nr/ATk.net
>>608
Schurの拡張について詳しく教えてください。
f : R→(0,∞) が単調増加 or 単調減少のとき、a, b, c∈R に対して、
f(a)(a-b)(a-c) + f(b)(b-c)(b-a) + f(c)(c-a)(c-b) ≧0
というのは知っているけど、この場合は f(x) が f(a,b,c)の3変数関数で、
同順序ならokってのが、ピンと来ない…

627:１３２人目の素数さん
17/08/19 15:39:17.29 Q+nr/ATk.net
>>600-602
> a,b,c>0, abc=1のとき、1 < 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) < 2
>>583の真似をして上限を出してみたなり。 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
= 1 + (1-ab)/(1+a+b+ab) + 1/(1+c)
< 1 + 1/(1+ab) + 1/(1+c)
= 1 + c/(1+c) + 1/(1+c)
= 2

628:１３２人目の素数さん
17/08/19 16:13:06.10 Qk9aUlzH.net
>>610
>>583
その解き方で本当に上限下限って言えるの？

629:１３２人目の素数さん
17/08/19 16:34:50.44 Q+nr/ATk.net
つまり、不等式を証明するだけなら、そのやり方でよいが、上限、下限であることを言うには、
a, b → +0 や a.,b → ∞ を調べて、限界値であることを確認しろってことかな？

630:１３２人目の素数さん
17/08/19 17:26:48.38 Qk9aUlzH.net
うん
でもその解き方でもa,b->0考えれば最適であることは言えるかもね

631:１３２人目の素数さん
17/08/19 17:44:45.38 Q+nr/ATk.net
>>449
(3)下を、Jensen + AMGM で。
f(x) = 1/(a+a^2) は下に凸だから、
左辺
＝ f(a) + f(b) + f(c)
≧ 3*f( (a+b+c)/3 )
≧ 3*f( (abc)^(1/3) )
＝ 3*f(1)
＝ 3/2

632:１３２人目の素数さん
17/08/19 18:43:45.36 Qk9aUlzH.net
>>614
f は単調増加じゃないから f( (a+b+c)/3 ) >= 3*f( (abc)^(1/3) ) は成り立たない
むしろ逆の不等号が成り立つ

633:１３２人目の素数さん
17/08/19 20:10:08.88 Q+nr/ATk.net
たしかに…。うっかりしていました。

634:１３２人目の素数さん
17/08/19 20:33:36.53 C7tE2SmP.net
不等式を極めるとなんかいいことがある？

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17/08/19 20:35:11.56 LB3Hl+jp.net
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17/08/19 20:35:29.68 LB3Hl+jp.net
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17/08/19 20:35:47.84 LB3Hl+jp.net
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17/08/19 20:36:05.26 LB3Hl+jp.net
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17/08/19 20:36:22.91 LB3Hl+jp.net
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17/08/19 20:38:02.15 LB3Hl+jp.net
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645:１３２人目の素数さん
17/08/19 22:28:51.70 HQ7H9Ohy.net
>>597 >>598
a,b,c が△の辺長の場合は Ravi変換で簡単でござるよ。 >>594
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C, a+b+c=A+B+C.
HM = 3abc/(ab+bc+ca)
=（3/2)(A+B)(B+C)(C+A)/{(A+B+C)^2 +（AB+BC+CA)｝
≧（4/3)(A+B+C)(AB+BC+CA)/{(4/3)(A+B+C)^2}
=（AB+BC+CA)/(A+B+C)
≧（4√3)S/(a+b+c)
=（2√3)r,
したがって a,b,c>0 で成立するかがミソのようでござる… >>608

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656:１３２人目の素数さん
17/08/20 11:39:21.71 XEX21MRP.net
>>628
かたじけない。その証明が難しいので、もう少し時間を。

657:１３２人目の素数さん
17/08/20 11:40:27.25 XEX21MRP.net
疑問でござる。
(1)
a, b, c >0 の相乗平均を G とおくとき、a/(b+G) + b/(c+G) + c/(a+G) ≧ 3/2 は成り立つか？
(2)
上式で、右辺の定数をGを含む式に変えられないか？たとえば、3/(1+G) みたいな感じで。
(3)
a, b, c >0、s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc に対して、s^3u - t^3 ≧0 は成り立つか？

658:１３２人目の素数さん
17/08/20 12:03:13.01 XEX21MRP.net
>>640
(3)は(a,b,c) = (1,1,2), (2,2,1) で正負になった。すまぬすまぬ…。

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669:１３２人目の素数さん
17/08/20 18:47:22.79 XEX21MRP.net
>>628
ようやく理解。ところでRavi変換は (b+c-a)/2 = x、… なのでは？
基本対称式を使って、力任せに証明してみた。
a, b, c の基本対称式を s, t, u とおくと、
HM^2 - (2√3*r)^2 = 3{3s(st-u)^2 - 4u(s^2+t)^2}/{s(s^2+t)^2}
分子 = u(s^2t+3su-4t^2) + s^2(st^2-4s^2u+3tu) + 2s^2t(st-9u) ≧0
週末が始まったと思ったら、もう終わっていたでござる… ('A`)

670:１３２人目の素数さん
17/08/20 18:48:49.02 XEX21MRP.net
>>652
正確には、分子じゃなくて、分子の中括弧の中身。

671:１３２人目の素数さん
17/08/20 18:56:12.70 XEX21MRP.net
>>652
何度もすまぬ。
Ravi変換 (b+c-a)/2 = x、…をしてから、x, y, z の基本対称式 s, t, u を使ったのでござった。

672:￥
17/08/20 22:07:16.76 vRIJh8/a.net
￥

673:￥
17/08/20 22:07:34.08 vRIJh8/a.net
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674:￥
17/08/20 22:07:52.31 vRIJh8/a.net
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17/08/20 22:08:09.73 vRIJh8/a.net
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17/08/20 22:08:27.26 vRIJh8/a.net
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17/08/20 22:08:43.22 vRIJh8/a.net
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17/08/20 22:09:00.84 vRIJh8/a.net
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17/08/20 22:09:20.13 vRIJh8/a.net
￥

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17/08/20 22:09:38.63 vRIJh8/a.net
￥

681:￥
17/08/20 22:09:56.51 vRIJh8/a.net
￥

682:１３２人目の素数さん
17/08/20 22:50:23.44 mA3fdDEU.net
>>609
〔Schur 不等式の拡張〕
P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）が同順または逆順ならば
　P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b）≧ 0.
(略証)
bはa，cの中間にあるとしてよい。
　(a-b)(b-c）≧ 0
題意より、P,Q,R≧0 かつ QはP，Rの中間にあるから、
　P-Q+R ≧0
これらより、
　P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b）
= P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2
≧ 0,　（終）
いろいろな拡張があり、まとめて Vornicu－Schur 不等式と云うらしい。
詳しくは、ニコニコ大百科の「シューアの不等式」の項を参照

>>640
(1) >>449(1）と同じでつ。
(2）同次式ゆえ、定数でつ。

>>654
それなら、>>652 は >>628 と同じでつね。

683:￥
17/08/20 23:01:59.99 vRIJh8/a.net
￥

684:１３２人目の素数さん
17/08/20 23:03:56.11 mA3fdDEU.net
>>617
専門バカになるでござる。
（ただし、専門を持たぬ只のバカよりは、すこーしマシである。）

685:１３２人目の素数さん
17/08/21 09:09:30.43 QiJqP8rB.net
>>628
a,b,c が△の辺長でない場合も簡単でござるよ。
A+B=2c≧0，B+C=2a≧0，C+A=2b≧0,
∴ A,B,Cのうち負となるのは１つだけ。
∴ HM^2 ≧ 0 ≧ 3ABC/(A+B+C),

686:１３２人目の素数さん
17/08/21 17:53:20.03 8ztbkIZ8.net
a, b, c >0 かつ abc≧1 のとき、
(1) [2004 ウクライナ、文献 [9] 佐藤(訳)P.139]
　a^3 + b^3 + c^3 ≧ ab+bc+ca
(2) [2006.3 エレ解、一松信]
　a^2b + b^2c + c^2a ≧ ab+bc+ca
(3) [疑問]
上の左辺 a^3 + b^3 + c^3 と a^2b + b^2c + c^2a の大小は定まるのか？
巡回不等式に有効な手段って何？真ん中の数を固定して場合分けくらいかな？

687:１３２人目の素数さん
17/08/21 22:19:47.87 QiJqP8rB.net
>>669
(abc)^(1/3) = G とおき、AM-GM する。
(1)
　a^3+a^3+b^3 -3aab = (2a+b)(a-b)^2 ≧ 0
　ゆえ、(2)に帰着する。

(2)　aab+aab+bbc ≧ 3aG,
　巡回的にたす。

(3) Muirheadの不等式

688:１３２人目の素数さん
17/08/21 22:26:23.89 QiJqP8rB.net
>>669
　>>670 の訂正
(2) aab + aab + bbc ≧ 3abG
でござった。
(3)　非対称のときは微妙な場合もあるが、この場合は成立つでござる。

689:１３２人目の素数さん
17/08/21 22:55:53.49 qV/a4a+5.net
>>670
(3)muilheadで出来ると？

690:１３２人目の素数さん
17/08/22 00:50:18.83 fGE

691:hoquB.net

692:１３２人目の素数さん
17/08/22 00:57:31.85 fGEhoquB.net
古いmemoを見つけたので、紛失する前に書き込んでおく。
証明は簡単だけど、見た目がよかったので。
〔出典不明〕
A(a,b) = (a+b)/2、G(a,b) = √(ab)、A(a,b,c) = (a+b+c)/3 などと書くことにする。
正の数 a, b, c, d に対して、
A(a,b,c,d) ≧ G(A(a,b,c),A(b,c,d),A(c,d,a),A(d,a,b)) ≧ G(A(a,b).A(a,c).A(a,d).A(b,c).A(b,d).A(c,d).) ≧ G(a,b,c,d)

693:１３２人目の素数さん
17/08/22 13:46:51.51 yCSUoaY7.net
>>674
[第6章.151-159］の辺りにござる。
G(A(a,b,c), A(b,c,d), A(c,d,a), A(d,a,b))^4
= (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)/81
= (sst -su +v)/81,
G(A(a,b),　A(a,c), A(a,d), A(b,c), A(b,d), A(c,d))^6
= (a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)/64
= (stu -ssv -uu)/64,
A(ab, ac, ad, bc, bd, cd)
= (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6
= t/6,
A(abc, bcd, cda, dab)
= (abc+bcd+cda+dab)/4
= u/4,

694:１３２人目の素数さん
17/08/22 15:23:36.14 fGEhoquB.net
>>669(3)
(a^2, b^2, c^2) と (a,b,c) は大小の順が同じだから、
『同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順除籍の和』で、
a^3 + b^3 + c^3 ≧ a^2b + b^2c + c^2a
で問題ない蟹？

695:１３２人目の素数さん
17/08/22 18:38:27.52 fGEhoquB.net
(1) [1999 Russia]
a, b, c >0 に対して、1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 6/(a+b+c)
(2) [1999 Russia]
a, b, c >0、abc=1 に対して、1 + 3/(a+b+c) ≧ 6/(ab+bc+ca)
(3) [不明]
a, b, c >0、abc=1 に対して、2/(a+b+c) + 1/3 ≧ 3/(ab+bc+ca)

696:１３２人目の素数さん
17/08/22 18:49:45.42 fGEhoquB.net
(1) [出典不明]
a, b, c, d >0、abcd=1 とする。
1/(1+ab+bc+ca) + 1/(1+bc+cd+db) + 1/(1+cd+da+ac) + 1/(1+da+ab+bd) ≦ 1
[疑問]
1/(1+ab+bc+cd) + 1/(1+bc+cd+da) + 1/(1+cd+da+ab) + 1/(1+da+ab+bc) だと、どうなるのだろう？

697:１３２人目の素数さん
17/08/22 18:56:05.03 fGEhoquB.net
以下、a, b, c >0、abc=1 とする。いずれも出典不明
(1)
(a+b)(b+c)(c+a) + 7 ≧ 5(a+b+c)
(2)
(a+b+c)/3 ≧ {(a^2+b^2+c^2)/3}^(1/5)
(3)
(a-1)/b + (b-1)/c + (c-1)/a ≧ 0
(4)
(a-1)/(b+c) + (b-1)/(c+a) + (c-1)/(a+b) ≧ 0
(5)
(a/c)^2 + (b/a)^2 + (c/b)^2 ≧ 2(a-b)(b-c)(c-a) + 3
-----------------------------------
未整理のmemoの中で abc=1、abcd=1 のタイプは片付いたかも…。
　　　　　　　　　　r～～～～～～～～～
　　　＿_　　　　_ﾉきりがないでござる・・・
　／__　｀ヽ_ ⌒ヽ～～～～～～～～～
　 |〈___ﾉf レ1(
　,L|　しL.し'ﾞ"
　"｀　　"′

698:１３２人目の素数さん
17/08/22 19:09:30.23 fGEhoquB.net
[おまけ]
友愛数みたいな関係でござるな。
(1)
a, b, c >0、a+b+c=3 のとき、a^2 + b^2 + c^2 + abc ≧ 4.
(2)
a, b, c >0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のとき、a+b+c ≦3.

699:１３２人目の素数さん
17/08/22 21:17:04.84 fGEhoquB.net
>>679
(5) やはり巡回式は全く手が出ない…

700:１３２人目の素数さん
17/08/23 17:00:04.08 edu8Brze.net
>>667
(1)
1 -6/s +3/t =（1 -3/s)^2 + 9/(3t）- 9/ss ≧ 0,　　（ss≧3t)
(2)
1 -6/t +3/(su）=（1 -3/t)^2 + 9/(3su）- 9/tt ≧ 0,　　(tt≧3su)
(3)
a=b<c

701: のとき不成立（a=b≧c では成立）でござる。

702:１３２人目の素数さん
17/08/23 17:04:32.35 edu8Brze.net
>>680
(1）題意より
(左辺）= s(ss-2t)/3 + u
　=｛4s^3 + 3(s^3 -4st+9u) + 2(ss-3t)}/27
　≧（4/27)s^3
　= 4,
セビリアMO-2008改
佐藤(訳)、[9] 問題3.118

(2)
題意より、0<a～c<2、
（3-a-b-c)(3+a-b-c+bc）=（4-aa-bb-cc-abc）+ 1 -（2-b)(2-c)(b+c-1)
≧ 1 -（2-b)(2-c)(b+c-1）≧0
∵ b+c-1>0 のとき、AM-GMで（2-b)(2-c)(b+c-1)≦1
イランMO-2002、A.16
>>682 (3)
不等号が逆でござった。

703:１３２人目の素数さん
17/08/23 22:42:04.81 6dHoZEIo.net
>>679
>>681
(3)
a=y/x, ... とおくだけ
(5)
x=b/a, ..., f(x, y, z)=LHS-RHSとおくと
f(x, y, z) - f(t, t, t) = 3/4 * (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) >= 0 where t = (x+y+z)/3
よって x = y = z = 1 のとき示せばよいがこれは明らか

704:１３２人目の素数さん
17/08/23 23:35:42.86 6dHoZEIo.net
>>678
両方とも逆数考えればいい

705:１３２人目の素数さん
17/08/24 00:19:32.68 9N+3FV4m.net
>>677
(1)
1 -6/s +3/t =（1 -3/s)^2 + 9/(3t）- 9/ss ≧ 0,　　（ss≧3t)
(2)
1 -6/t +3/(su）=（1 -3/t)^2 + 9/(3su）- 9/tt ≧ 0,　　(tt≧3su)
(3)
成り立ったでござる。死んでお詫びを…（AA略

706:１３２人目の素数さん
17/08/24 01:23:07.53 9N+3FV4m.net
>>679
(2)
ss =（aa+bb+cc）+ t + t,
s^6 ≧｛(aa+bb+cc) +t +t}^3
　≧ 27(aa+bb+cc)tt
　≧ 81(aa+bb+cc)su,
∴（s/3)^5 ≧｛(aa+bb+cc)/3}u,
〔補題196〕
　(8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),
を使う。（じゅー）

(4)
チェビシェフで，
箔ｯ順序積 ≧ 迫随㍼�ﾏ，
（左辺）≧（1/3)(a+b+c-3){1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)}≧0,

707:１３２人目の素数さん
17/08/24 03:22:45.56 rYRHhAcs.net
>>687
> 〔補題196〕
> 　(8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),
左側はアッサリ、右側はサッパリ…。
8(a+b+c)^3 - 27(a+b)(b+c)(c+a) = 3(s^3-4st+9u) + 5s(s^2-3t) ≧ 0
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 - 24abc(aa+bb+cc) = s^3t - 25s^2u +48tu
--------------------------------------------------
ついでに、過去ログ漁っていて出てきたやつですが、すっきりした証明ができませぬ。
[第６章.908]
a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3＋b^3＋c^3),
{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2 - 27abc(a^3＋b^3＋c^3)
= s^2t^2 - 27s^3u + 81stu - 81u^2
次数が上がると、s, t, u の不等式のどれを組み合わせるか難しくなる。

708:１３２人目の素数さん
17/08/24 10:30:59.65 9N+3FV4m.net
>>688
〔補題196〕の略証
チョト難しいのでSchurの拡張で。
bはa、cの間にあるとする。
(左辺)-(右辺）= P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
　= P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2,
P =（b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0,
P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝= 2b{(a+c-3m)^2＋3(bb-mm)｝≧ 0,
R =（a+b)(a+b-c)^2 + 2(a+b+c)(a-b)^2 ≧0,
ここに、m = min{a,c｝、ac=m(a+c-m)
-----------------------------ｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰ--------------------
[第６章.908］の略証
S = aaa+bbb+ccc, T =（ab)^3+(bc)^3+(ca)^3,
p = aab+bbc+cca, q = abb+bcc+caa, u=abc とおく。
pq = T+uS+3uu ≧ 3u(3ST)^(1/3）≧ 3u√(3Su）より、
（左辺）=｛(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 =（S+p+q)^2 ≧ 9(Spq)^(2/3）≧ 27Su，
Casphy!-不等式2-177　じゅー

709:１３２人目の素数さん
17/08/25 00:31:48.00 oetrvUQn.net
>>677 (3)
　st +6Gt -9GGs ≧ 0,
>>679 (1)
st +6u -5GGs ≧ 0,
の特効薬は無いでござるか？（G=(abc)^(1/3))
3次方程式
　X^3 -sX^2 +tX -u=0
の判別式は
　27⊿^2 = 27{(a-b)(b-c)(c-a)}^2
= 4(ss-3t)^3 - (2s^3 -9st +27u)^2
　=（st-9u)^2 -4(t^3 +s^3･u +27uu -9stu)
　=（st+9u)^2 -4(t^3 +s^3･u +27uu)
　=（st+6GGs +6Gt +9u)^2 -4(t +Gs +3GG)^3,
3つの実根 a,b,c をもつときは
　st+6GGs+6Gt+9u ≧ 2(t+sG+3GG)^(3/2),
と思われるが、さて…

710:１３２人目の素数さん
17/08/25 01:15:11.00 3FtU8w0T.net
>>679
>>690
f(a, b, c)=LHS-RHS, a>=c>=b とすると
f(a, b, c)- f(a, t, t) = 1/4 *(2a-b-c) >= 0 where t = (b+c)/2
f(a, b, c) - f(ab, c, 1) = (a-1)(1-b)(c^2+abc+ab+bc+ca+c-5) >=0
よって a = b = c = 1 のとき調べればよいが明らか

711:１３２人目の素数さん
17/08/25 01:21:08.15 3FtU8w0T.net
>>691
二個目の不等式成り立たないや

712:１３２人目の素数さん
17/08/25 04:26:49.66 Yhp4f37o.net
>>690
f(X) = X^3 -sX^2 +tX -u
f'(X) = 3X^2 - 2sX + t
AN-GMより f'(X)の判別式 D/4 = s^2-3t ≧0
f'(X)=0の解α,βは、α+β, αβ>0 より、α,β>0
また f(0)=-u<0
グラフを考えると、f(X)=0が正の解a, b, cをもつ条件は f(α)f(β)≦0
f(α)f(β) = -(s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2) ≦0
∴ s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2 ≧0
残念無念…
s, t, u に関する既知の不等式が出てきただけでござった。
s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2 = {(a-b)(b-c)(c-a)}^2
　 ('A`) ,..;:～''"
　ﾉ( ﾍﾍ　,,.､;;:～'''

713:１３２人目の素数さん
17/08/25 17:27:20.09 oetrvUQn.net
>>677 (3) が成立つとする。
　2/s + 1/3 ≧ 3/t,
または
　t ≧ 9s/(s+6),
一方、9ss -（s+6)(5s-6）= 4(s-3)^2 ≧ 0 より
　9s/(s+6）≧（5s-6)/s,
したがって
　t ≧（5s-6)/s,
または
　st + 6 ≧ 5s　　>>679（1)
それぢゃ、>>677（3）はどうするか？

714:１３２人目の素数さん
17/08/25 19:30:02.99 Yhp4f37o.net
Schur's inequality を対称性を崩さずに証明するときの以下の変形は、どうやって思いつくんでしょうか？
F_1 = xy(x+y)(x-y)^2/{(y+z)(z+x)} + yz(y+z)(y-z)^2/{(z+x)(x+y)} + zx(z+x)(z-x)^2/{(x+y)(y+z)}
F_2 = {(x+y-z)2(x-y)^2 + (y+z-x)2(y-z)^2 + (z+x-y)2(z-x)^2 }/2

715:１３２人目の素数さん
17/08/25 22:34:00.62 oetrvUQn.net
>>695
>>665 にある文献か
Casphy! - highmath - 不等式2 - 175（じゅー）
をサンショウウオ

716:１３２人目の素数さん
17/08/26 01:33:14.23 MEky4IFO.net
[疑問１]
Schur's inequality を対称性を崩さずに証明できるのは、n=0,1,2,3 以外には知られていないのかな？
検索の仕方が下手なのか見当たらんでござる。
[疑問２]
>>677のように、同次でない不等式の証明で、お決まりのテクニックって何じゃらほい？
条件式を使って無理やり同時にして、基本対称式の不等式を利用するくらいしか思いつかないけど、
この問題では、条件式を使っても３乗根が現れて大変だし…

717:１３２人目の素数さん
17/08/26 02:00:02.17 a5WQhO5r.net
>>695 >>697 [1]
拙者にも分かりませぬ。
Ｆ_(n+3）=（x+y+z）Ｆ_(n+2）-（xy+yz+zx）Ｆ_(n+1）+ xyz Ｆ_n
では対称性は崩れませぬが、うまく証明できるのか疑問だし。

718:１３２人目の素数さん
17/08/26 02:32:02.40 MEky4IFO.net
>>698
> Ｆ_(n+3）=（x+y+z）Ｆ_(n+2）-（xy+yz+zx）Ｆ_(n+1）+ xyz Ｆ_n
ちょうど今、その等式を導いたとこでござる。
それから F_1 を対称性を保つように変形中に次式が出てきて、Wolfram先生に確認してもらった。
F_1
= (1/2){(x^2+y^2-z^2)(x-y)^2 + (y^2+z^2-x^2)(y-z)^2 + (z^2+x^2-y^2)(z-x)^2}
= (1/2){(x+y-z)^2(x-y)^2 + (y+z-x)^2(y-z)^2 + (z+x-y)^2(z-x)^2}
しかし、ここから（結果を知らずに）次式に変形する方法が思いつかない。
F_1 = xy(x+y)(x-y)^2/{(y+z)(z+x)} + yz(y+z)(y-z)^2/{(z+x)(x+y)} + zx(z+x)(z-x)^2/{(x+y)(y+z)}

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