不等式への招待第８章

不等式への招待第８章 at MATH

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306:１３２人目の素数さん
17/07/28 23:18:23.72 KBT/ECMI.net
>>261
まずココが分かりません。
> 　x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min｛|x-y|，|y-z|｝
次にココ。辺々掛けたら |x-y|^3 + |y-z|^3 + C にならないかな？
> 辺々掛けて x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧（|x-y| + |y-z|)^3
最後にココ。AM-GMでもないし何だろう？
> 　|x-z|^3 ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|

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17/07/28 23:22:27.57 tqhSG1tp.net
＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
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318:１３２人目の素数さん
17/07/29 10:40:59.10 0o5qwo4/.net
>>299
それでは｜x-y｜= a，｜y-z｜= b とおきましょう。
まず
0≦x≦y≦z のとき
　x+y+z = 3x + 2(y-x）+（z-y）≧ 2(y-x）+（z-y) = 2

319:a + b, x≧y≧z≧0 のとき　x+y+z =（x-y）+ 2(y-z）+ 3z ≧（x-y）+ 2(y-z）= a + 2b, 次に、辺々掛けると　(2a+b)(aa+ab+bb）= a^3 +（a+b)^3 ≧（a+b)^3, 　(a+2b)(aa+ab+bb）=（a+b)^3 + b^3 ≧（a+b)^3, 最後は、　(a+b)^2 = 4ab +（a-b)^2 ≧ 4ab,

320:１３２人目の素数さん
17/07/29 11:10:20.36 f+sckW2v.net
sage厨が湧いてくるぞ

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＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
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332:１３２人目の素数さん
17/07/29 13:11:06.47 7AgJghW0.net
>>312
荒らしが逆切れすんなよ

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＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
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334:１３２人目の素数さん
17/07/29 16:33:20.23 N79FPBpM.net
ageる奴ってほんま糞だな
ケツに「＞」をぶち込んで拡張してやりたい

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＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
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346:１３２人目の素数さん
17/07/31 03:54:33.34 XzE3duxv.net
[数蝉2014.07, p.51]
△ABCに対して、
|sin (A-B)/2|*(cos A/2)*(cos B/2) + |sin (B-C)/2|*(cos B/2)*(cos C/2) ≧ |sin (C-A)/2|*(cos C/2)*(cos A/2)
　 ○ < ｼｮｳﾒｲｽﾙﾏﾃﾞｱｶﾞｯﾃｸﾙﾅ！
　く|)へ
　　〉　ヾ○ｼ
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357:１３２人目の素数さん
17/07/31 23:55:08.45 XzE3duxv.net
任意の実数 x, y に対して、(1 + x^2 + y^2)/{1 + x^2 + (x-y)^2} の最大値を求めよ。
　　Σ○
　　　く|）へ。
　　　　〉　　〉
￣￣　　○ﾉ　道連れｯﾎｫｫ！
.　　/　　<ヽ
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358:１３２人目の素数さん
17/08/01 11:40:49.38 MADJ3GR6.net
>>349
φ =（1+√5)/2 = 1.618034 とおくと、
φ(1+xx+yy）-（φ-1){1+xx+(x-y)^2｝= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,
上限は
　（1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2｝＜ φ/(φ-1）= φ+1 = （3+√5)/2,

なお、蛇足だが
φ{1+xx+(x-y)^2｝-（φ-1)(1+xx+yy）= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,
下限は
　（1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2｝＞（φ-1)/φ = 2-φ = (3-√5)/2,

359:１３２人目の素数さん
17/08/01 11:53:02.53 MADJ3GR6.net
>>350 訂正
次の同値な2式を入れ替えてください。
φ{1+xx+(x-y)^2｝-（φ-1)(1+xx+yy）= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,
φ(1+xx+yy）-（φ-1){1+xx+(x-y)^2｝= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,
ｽﾏｿ.

360:１３２人目の素数さん
17/08/01 14:40:16.98 XEmVHg+K.net
最大最小といえば、高校のときに解けなかった以下を思い出す。係数はうろ覚え。
任意の実数 x, y に対して、(x+2y+3)/(x^2 + 2y^2 + 3) のとりうる値の範囲を求めよ。
　　　　
￣￣＼○ﾉ　ﾃｦﾊﾅｾ！
.　　/　　<ヽ
　　|　　/ |
　／　　(○ﾉ　ｺﾄﾜﾙｯ！
　|　　　 ( )
／　　　/ |

361:１３２人目の素数さん
17/08/01 15:08:14.92 MADJ3GR6.net
>>352
　(xx+2yy+3) - 2(√2 -1)(x+2y+3) = (x+1-√2)^2 + 2(y+1-√2)^2 ≧ 0,
　(xx+2yy+3) + 2(√2 +1)(x+2y+3) = (x+1+√2)^2 + 2(y+1+√2)^2 ≧ 0,
両辺を xx+2yy+3 >0 で割って
　-(√2 -1)/2 ≦ (x+2y+3)/(xx+2yy+3) ≦ (√2 +1)/2,
でござるか。

362:１３２人目の素数さん
17/08/01 15:25:30.61 XEmVHg+K.net
>>353
問題自体うろ覚えなので…。

363:１３２人目の素数さん
17/08/02 01:25:07.20 RQb3zemz.net
[元ネタ不明]
任意の実数 x, y, z に対して、次式の最小値を求めよ。
sqrt{x^2 + (y-1)^2} + sqrt{y^2 + (z-1)^2} + sqrt{z^2 + (x-1)^2}

ｳﾘｬｯ！
　Oノ
. ノ＼＿・'ヽO．
　　└　＿ノヽ
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　　　　　ヾ○ｼ
￣￣７　ヘ/
　　/　ノ
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364:１３２人目の素数さん
17/08/02 01:35:57.66 iuzeTNl6.net
>>353
3(xx+2yy) = (x+2y)^2 + 2(x-y)^2 ≧（x+2y)^2,
　等号成立は x=y のとき。
x+2y+3 = s とおくと、
（分母）≧（ss-6s+18)/3,
-(√2 -1)/2 ≦ 3s/(ss-6s+18）≦（√2 +1)/2,
でも出ますが...

365:１３２人目の素数さん
17/08/02 01:47:54.48 iuzeTNl6.net
>>355
√{xx + (1-y)^2｝≧（|x｜+｜1-y|)/√2、etc.
等号成立は｜x|=|1-y|、|y|=|1-z|、|z|=|1-x|
△不等式　｜x｜+｜1-x｜≧ 1、etc.
等号成立は 0≦x,y,z≦1
より、3/√2。（x=y=z=1/2のとき）

366:１３２人目の素数さん
17/08/02 04:05:52.99 RQb3zemz.net
0 ≦ x, y, z ≦1 のとき、(x+y+z)/3 + sqrt{x(1-x) + y(1-y) + z(1-z)} の最大値を求めよ。
　　Σ○
　　　ノ(）へ。
　　　　〉　　〉
￣￣＼○ﾉ　道連れｯﾎｫｫ！
　　/　　( )
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　／　　(○ﾉ　ﾋｬｯﾎｫｫｫｩ！
　|　　　 ( )
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367:１３２人目の素数さん
17/08/02 04:16:32.01 RQb3zemz.net
巡回不等式のコレクションが少ないことに気づいた2017の夏。
正の数 a, b, c に対して、a^3/b^2 + b^3/c^2 + c^3/a^2 ≧ a+b+c を示せ。
　　　　
￣￣＼○ﾉ　ﾃｦﾊﾅｾ！
.　　/　　<ヽ
　　|　　/ |
　／　　(○ﾉ　ｺﾄﾜﾙｯ！
　|　　　 ( )
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　　　　(○ﾉ　ｻﾞｹﾝﾅﾖ！
　　　　 ( )
　　　　/ |

368:１３２人目の素数さん
17/08/02 13:10:06.22 iuzeTNl6.net
>>358
相加平均（x+y+z)/3 = A とおくと、0≦A≦1.
x(1-x）+ y(1-y）+ z(1-z）
　=（x+y+z）- (xx+yy+zz）
　≦ 3(1-A）・A　　　(←1変数）
　≦｛[3(1-A）+ A]/2}^2
　≦｛(3-2A)/2}^2
(左辺）≦ A +（3-2A)/2 = 3/2,
等号成立は 3(1-A)=A、A=3/4、x=y=z= 3/4 のとき
>>359
｛a^n，b^n，…，b^n｝の相加-相乗平均で
　a^n +（n-1)b^n ≧ na･b^(n-1),
　（a^n)/b^(n-1）≧ na - (n-1)b,
巡回的にたす。

369:１３２人目の素数さん
17/08/02 17:07:11.46 RQb3zemz.net
>>360
さりげなく一般化とは、やはり神！
正の数 a, b, c に対して、a^n/b^(n-1) + b^n/c^(n-1) + c^n/a^(n-1) ≧ a+b+c.
気になるのは、
(1) Σ[cyc] a^(n+1)/b^n と Σ[cyc] a^n/b^(n-1) の大小
(2) Σ[cyc] a^(n-1)/b^n と 1/a + 1/b + 1/c の大小
(1)も(2)も≧が成り立ちそうな気がするけど、証明できていませぬ。

370:１３２人目の素数さん
17/08/02 17:46:27.58 RQb3zemz.net
最大最小値問題を１変数にしたら、何通りくらいの解法があるのでせう？
任意の実数 x に対して、(5-2x)/(x^2 - 4x + 6) のとりうる値の範囲を求めよ。

　ﾊﾟｷｯ
　　　　
￣`;:'.￣＼○ﾉ　
.　　/　　<ヽ
　　|　　/ |
　／　　(○ﾉ　
　|　　　 ( )
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　　　　(○ﾉ　
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371:１３２人目の素数さん
17/08/02 21:09:22.85 iuzeTNl6.net
>>338
sin(a-b)cos(a)cos(b）+ sin(b-c)cos(b)cos(c）+ sin(c-a)cos(c)cos(a) + sin(a-b)sin(b-c)sin(c-a)
　| sin(a-b)，-cos(c)，cos(c)｜
= | cos(a)，sin(b-c)，-cos(a)｜
　| -cos(b)，cos(b)，sin(c-a)｜
= 0,
を利用するか…？

372:１３２人目の素数さん
17/08/02 21:26:42.42 iuzeTNl6.net
>>362
（5-2x)/(xx-4x+6）= 1 -（x-1)^2/(xx-4x+6) ≦ 1,
（5-2x)/(xx-4x+6）= -1/2 +（x-4)^2/{2(xx-4x+6)} ≧ -1/2,
等号成立はそれぞれ、x=1、x=4.

373:１３２人目の素数さん
17/08/02 22:07:04.56 iuzeTNl6.net
>>361
(1）（a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だから明らか。
ついでに、｛a^n，…，a^n，b^n｝で相加-相乗平均すると、
　　n a^(n+1) + b^(n+1) ≧ (n+1)(a^n)b,
　　n a^(n+1)/(b^n) ≧（n+1)(a^n)/b^(n-1) - b,
　循環的にたすと
　　n S_(n+1) ≧（n+1)S_n - S_1,
　　{S_(n+1）- S_1}/(n+1）≧（S_n - S_1)/n,
　（S_n - S_1)/n も単調増加。

*　(a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが。
(2)　a = 1/A、b = 1/B、c = 1/C とおくと…

374:１３２人目の素数さん
17/08/03 02:08:30.11 HTpcwzgX.net
>>363
[数蝉2014.07, p.51,NOTE] の前のページで証明されていた不等式が以下。
実数 x, y, z >0 に対して、|(x-y)/(x+y)| + |(y-z)/(y+z)| ≧ |(x-z)/(x+z)| …(★)
これをRavi変換（a=y+z、b=z+x、c=x+y）すると、次の不等式になる。
三角形の辺長a,b,cに対して、ab|a-b| + bc|b-c| ≧ ca|c-a|…(★★)
これを a, c に関する対称性から a≦c として、bの位置を３通りに分けて証明。
正弦定理と２倍角の定理で書き直すと、次のようになって不等式が得られるみたい。
ab|a-b| = 32R^3 (sin A/2)*(sin A/2)*(sin A/2)*(cos A/2)*(cos B/2)*|sin (A-B)/2|
この不等式をNOTEに投稿した人のコメントに、(★)の元ネタが考古学の本とある。
「新井宏、理系から見た考古学の論争点、大和書房、2007」
不等式のネタが他にもあるかもしれないと思い、図書館や書店を探したが無かった。←今ココ。
ところで、(★★)を弄って、何か不等式が作れないかなと弄ったことがある。たとえば次式とか。
ab|a-b| + bc|b-c| + ca|c-a| ≧ k(a+b+c)
2014の夏ってことは、もう3年前の話になるのか。今考えたら、両辺の次数が合わないから無理やん…。
3乗にするか？

375:１３２人目の素数さん
17/08/03 02:24:17.48 HTpcwzgX.net
>>365
> （a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均
ﾑﾑﾑ、ｽｺﾞｽｷﾞﾙ…。
> 循環的にたすと n S_(n+1) ≧（n+1)S_n - S_1,
これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。
これを差の形にして、nを 1,2,…,n-1として和を取り、右辺を部分分数分解して計算したら、
　(S_n)/n ≧ s_1/n
となって、何も得られなかったでござる…。

376:１３２人目の素数さん
17/08/03 04:10:34.96 HTpcwzgX.net
>>367
すまん、「これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。」は勘違いですた。

377:１３２人目の素数さん
17/08/03 10:53:04.22 Dkz1wYp5.net
>>366
（x-y)/(x+y）+（y-z)/(y+z）+（z-x)/(z+x）+（x-y)(y-z)(z-x)/{(x+y)(y+z)(z+x)}
　｜(x-y)(x+y)，　-1，　1｜
= ｜　1，(y-z)/(y+z)， -1｜
　｜ -1，　1，(z-x)/(z+x)｜
= 0,

ab(a-b）+ bc(b-c）+ ca(c-a）+（a-b)(b-c)(c-a）=
　｜a-b，c，-c ｜
= ｜-a，b-c，a ｜
　｜ b，-b，c-a｜
= 0,
でござるか…？

378:１３２人目の素数さん
17/08/03 12:33:10.33 Tp76V4JM.net
(1) 任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)| <= k (a+b+c)^3
(2) 実関数 f(a,b,c)=ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| は (a+b+c)^3 で上から、下からいぜれも抑えられないことを示せ。

379:１３２人目の素数さん
17/08/03 15:54:13.04 HTpcwzgX.net
コレクションの中に、以下を発見。年度不明の学習院大ってmemoがあるが…。
三角形の３辺の長さ a, b, c に対して、a^2b(a-b) +b^2c(b-c) + c^2a(c-a) ≧0.

380:１３２人目の素数さん
17/08/03 19:23:58.55 Dkz1wYp5.net
>>371
　a=y+z，b=z+x，c=x+y とおく。（Ravi変換）
　(左辺) = 2{xy^3 +yz^3 +zx^3 -xyz(x+y+z)}
　　　　= 2xy(y-z)^2 + 2yz(z-x)^2 + 2zx(x-y)^2
　　　　≧ 0.
　IMO-1983
　佐藤［9］演習問題2.24
　[第6章.793(71)，828，833]

381:１３２人目の素数さん
17/08/03 19:38:29.84 Dkz1wYp5.net
>>365　の続き
*　(a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
　それで（1）が明らかなワケではない。
相加-相乗平均
　n(3n+1）a^(n+1)/(b^n）+（n+1）b^(n+1)/(c^n）+ n c^(n+1)/(a^n）≧（3nn+3n+1）a^n/b^(n^1),
を巡回的にたす。

382:１３２人目の素数さん
17/08/03 20:03:27.80 HTpcwzgX.net
>>373
> *　(a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
> 　それで（1）が明らかなワケではない。
巡回的に加えて、(n-1)*S_(n+1) + S_1 ≧ n*S_n
この左辺に、証明済みの S_(n+1) ≧ S_1 を使って終わりじゃないの？

383:１３２人目の素数さん
17/08/04 10:49:48.11 1Od1zBAC.net
>>370
勘違いとかあったから訂正
(1) a+b+c > 0 を満たす任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)| <= k (a+b+c)^3
(2) a+b+c > 0 を満たす任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| <= k (a+b+c)^3
(3) a+b+c >0 上の実関数 f(a,b,c)=ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| は (a+b+c)^3 で下から抑えられないことを示せ。

384:１３２人目の素数さん
17/08/04 14:00:43.32 EUBWZejf.net
>>2
> [3]　不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
数年ぶりに読み返してみた。傑作だな。神書だわ！

385:１３２人目の素数さん
17/08/04 19:07:55.26 ajzxje+k.net
>>359
そのまま相加-相乗平均で
　(n+1)^2 a^(n+1)/(b^n）+（n+1)n b^(n+1)/(c^n）+ nn c^(n+1)/(a^n）≧（3nn+3n+1)a,
巡回的にたして
　S_(n+1）≧ S_1,
>>374 >>376
　そうですね。

386:１３２人目の素数さん
17/08/04 22:15:15.32 ajzxje+k.net
>>338
｜sin((A-B)/2)｜cos(A/2)cos(B/2）=｜sin(A-B）+ sin(A）- sin(B)｜/4
=｜sin(A-B)｜/4 +｜sin(A)-sin(B)｜/4
= sin｜A-B｜/4 +｜sin(A)-sin(B)｜/4，etc.
｜sin(x)｜+｜sin(y)｜≧｜sin(x)cos(y）+ cos(x)sin(y)｜=｜sin(x+y)|,
あとは△不等式で。

387:１３２人目の素数さん
17/08/05 09:03:16.60 Ulw6Zmyj.net
>>375
(1) k=8/27 なら余裕だけど、よく分からん。

388:１３２人目の素数さん
17/08/05 09:07:12.25 Ulw6Zmyj.net
>>378
三角不等式だけであっさり片付くとは、恐るべし…。
>>311
この第８章で >>261 の証明方法は衝撃的だった。

389:１３２人目の素数さん
17/08/05 09:23:14.77 Ulw6Zmyj.net
>>375
(1) a≧b≧cとする。
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)|
＝ |(a-b)(b-c)(c-a)|
≦ {(|a-b|+|b-c|+|c-a)|)/3}^3
＝ (8/27)*(a-c)^3
(a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0

390:１３２人目の素数さん
17/08/05 10:01:17.84 v2fSy4wb.net
>>381
最後三角不等式使ってるようだけど、正しくは |a-b|+|b-c| >= |a-c| です
不等号が逆
k=8/27のとき例えば (a,b,c) = (1,-3,1) で成り立たない

391:１３２人目の素数さん
17/08/05 10:03:10.14 v2fSy4wb.net
ていいつつ自分でも間違えてた
(a,b,c)=(3,-3,1)

392:１３２人目の素数さん
17/08/05 10:06:55.20 Ulw6Zmyj.net
>>382
最後は三角不等式じゃなくて、等式でござるなり。 a≧b≧cの仮定を用いて、
|a-b|+|b-c|+|c-a| = (a-b) + (b-c) + (a-c) = 2(a-c)

393:１３２人目の素数さん
17/08/05 10:15:05.87 Ulw6Zmyj.net
>>381
a,b,cは実数ということを忘れていたので、以下は0より大きくならんでござるな。
> (a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0

394:１３２人目の素数さん
17/08/05 11:17:13.28 v2fSy4wb.net
>>384
そうか
かくいう自分も回答にミス発見してそもそも(a+b+c)^3で上からも下からも抑えられないことがわかってでござる

395:１３２人目の素数さん
17/08/05 14:47:07.90 ACnIlB8L.net
>>381
｜(a-b)(b-c)(c-a)｜≦（1/4)|a-c|^3　　>>261
ですが、a+b+c=0 の場合もアリなので…

396:１３２人目の素数さん
17/08/05 19:20:38.72 Ulw6Zmyj.net
>>2 [10] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年より
(1) [10] P.28
a>b>c>0 に対して、(a-b)sqrt(x+c) + (b-c)sqrt(x+a) + (c-a)sqrt(x+b) < 0
a,b,cの大小関係いらないんじゃ？

(2) [2006 山形大(医)] [10] P.77
三角形の辺長 a,b,c に対して、(2+a^2)(2+b^2) > 2c^2
⇒ (2+a^2)(2+b^2) ≧ 2(a+b)^2

397:> 2c^2 a.b.c>0 に対して、(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2) ≧ 9(ab+bc+ca) だから、これらを組合せたりして、なにか改造できないかな？ (3) [10] P.82 a,b,c>0に対して、(abc)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 2 ≧ 2(ab+bc+ca) aの関数として微分して証明しているけど、他の証明ないかな。平方和とか… (4) [10] P.115, 116 四面体ABCDに対して、 (i) ∠AOB + ∠BOC > ∠COA (ii) ∠AOB + ∠BOC + ∠COA < 2π [1992 東大(後)] >>2 [10] P.116 空間内の相異なる４点A,B,C,Dに対して、 (iii) ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB ≦ 2π (iii)の条件を四面体ABCDに限定したら、等号がなくなるだけかな？ (5) [10] P.120 四面体ABCDに対して、vec(OA), vec(OB), vec(OC), vec(OD) を a,b,c,dと略すとき、 |a| + |b| + |c| + |a+b+c| > |a+b| + |b+c| + |c+a| これは Hlawka's ineequality かな？ (6) [2012 大阪教育大]、[10] P.125 x,y>0 かつ (x^6)(y^2) - (x^5)(y^3) + (x^5)(y^5) - (x^4)(y^6) ≧ 4 のとき、x^3+y^2≧3 どうやって、こういう変な条件を出したのか分からないから、類題を作りにくい。 (7) [2013 北海道大]、[10] P.126 a,b,c,x,y>0 に対して、ax^(a+b+c) + by^(a+b+c) + c ≧ (a+b+c)(x^a)(y^b) ⇒ a,b,c,x,y,z>0 に対して、ax^(a+b+c) + by^(a+b+c) + cz^(a+b+c) ≧ (a+b+c)(x^a)(y^b)(z^c) weighted-AM-GMだけど、入試問題で出されると答案書くのはシンドイな。

398:１３２人目の素数さん
17/08/05 22:22:51.97 BdLSvd9B.net
別にこのスレの参加者ではないが
面白い問題を見つけたので

平面上にA(p,q),B(r,s),C(t,u)とD(v,w)があるとき
(Dが△ABCの内部および周上)
⇔ ∃k, ∀(x,y)>0, (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u)
出典：近大数コン2009-A4

399:１３２人目の素数さん
17/08/05 22:24:18.12 BdLSvd9B.net
うっかり上げてしまった
ガハハ

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410:１３２人目の素数さん
17/08/06 09:42:51.79 toVHuNxr.net
>>388-389
指数祭りかな？
自作問題でおじゃるが、簡単すぎた。
定数 a>0 に対して b = a^a とおくとき、a^a、a^b、b^a、b^b の大小を比較せよ。

　　　(^⌒⌒^)
　　　 | i i i i i|　　　不等式、作るよ！
　　　 | i i i i i|　　　
　　　(；`・ω・)っ-O･ﾟ･⌒)　
　　　/　つ━ゝ,.ﾟ__.,ノ))
　　　　　　　　_l从从从从l_
　　|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|

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17/08/06 10:15:43.68 +CYdGQny.net
☆☆☆馬鹿板は数学徒の脳を腐らせる悪い板であり、そやし廃止してナシにすべき。☆☆☆
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412:１３２人目の素数さん
17/08/06 12:55:32.43 pqWLs7wT.net
(1)
√(x+a) = A、√(x+b）= B、√(x+c）= C とおくと
(左辺）=（AA-BB)C +（BB-CC)A +（CC-AA)B =（A-B)(B-C)(C-A),
ﾔﾊﾟｰﾘ要る…

(2)
(2+aa)(2+bb)(2+cc）≧（2√2)(a+b)(c+c)(c+a）≧｛(16√2)/9}(a+b+c)(ab+bc+ca),
等号は a=b=c=√2.

(3)
　a = A^(3/2)、b = B^(3/2)、c = C^(3/2）とおく。
（左辺）=（ABC)^3 + A^3 + B^3 + C^3 +1 +1
　　≧ A^3 + B^3 + C^3 + 3ABC
　　＝ AB(A+B）+ BC(B+C）+ CA(C+A）+ F_1(A,B,C)　　← Sch

413:ur(n=1) 　　≧ 2{(AB)^(3/2）+（BC)^(3/2）+（CA)^(3/2)} 　　＝ 2(ab+bc+ca),

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17/08/06 14:59:24.36 +CYdGQny.net
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17/08/06 14:59:42.73 +CYdGQny.net
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424:１３２人目の素数さん
17/08/07 14:18:42.38 8+FZkWXB.net
[不等式スレ第７章 984] 出典「平成24年第1回東大入試プレ(文科)」
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
> （-1000/√3, 1000/√3）に一票
エレガントな解法か、エロイ解法あるかな？

425:１３２人目の素数さん
17/08/07 22:48:29.46 EtB15xZg.net
>>414
普通にやっただけだからつまらないと思うけど
EV-theorem から a=b=c のときに最大・最小となるのは明らか。これを念頭に変形する
d=-(a+b+c) を第 2 式に代入して (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=100
よって |(a+b)(b+c)(c+a)|<=(100/3)^(3/2)
|a^3+b^3+c^3+d^3|
=|3(a+b)(b+c)(c+a)|
<=1000/sqrt(3)
一方 d=a とすると c=-(2a+b), (a+b)^2+2a^2=50 (よって-5<=a<=5) から
与式 = -6*a*(b+a)^2 = -6a(50-2a^2)
これは [-1000/sqrt(3), 1000/sqrt(3)] の任意の値を取りうる

426:１３２人目の素数さん
17/08/08 06:26:42.69 0ekMhM3z.net
>>414-415
「東大入試プレ」で検索したが出てこない
　↓
そもそも東大入試プレは何か検索すると、代ゼミの模試らしい
　↓
「東大入試プレ代ゼミ」で検索すると、かなり近づいてきた気がする
URLﾘﾝｸ(www.yozemi.ac.jp)
　↓
左上のweb構成を見て、さらに検索し、目的の物を発見
URLﾘﾝｸ(www.yozemi.ac.jp)

その模範解答では、p+q=x、pq=y とおいて、x, y の関数として考えているらしい。
出典情報は大事だね。まさか見つかるとは思っても見なかった。

427:１３２人目の素数さん
17/08/09 08:03:24.35 A2I5YGTu.net
いつもと違う出題形式。いろんな解法を考えていて、おかしくなったでござる。
『実数 a, b>0 が ab ≧ a+b+1 をみたすとき、ab の最小値を求めよ。』
について、以下の解法(a)、(b)、(c)を考える。
(a)、(b)のどこがおかしいのか？
(a)
ab ≧ a+b+1 ≧ 3*(a*b*1)^(1/3)、等号はa=b=1 かつab=a+b+1
∴ (ab)^3 ≧ 27ab
ab>0で割って、(ab)^2 ≧ 27
ab>0だから、ab ≧ 3√3
等号成立条件をみたすa, bがないから、ab > 3√3
(b)
ab ≧ a+b+1 ≧ 2√(ab) + 1、等号はa=b かつab=a+b+1
∴ab-1 ≧ 2√(ab)
∴(ab-1)^2 ≧ 4ab
∴(ab)^2 - 6ab - 1 ≧ 0
ab>0だから、0 < ab ≦3-2√2 または 3+2√2 ≦ab
(c)
a+b ≧ 2√(ab) ≧ 2√(a+b+1)、等号はa=b かつ ab=a+b+1
∴ (a+b)^2 ≧4(a+b+1)
∴ (a+b)^2 - 4(a+b) - 4 ≧0
∴ a+b>0 だから、a+b ≧ 2+2√2
∴ ab ≧ a+b+1 ≧ 3+2√2
abの最小値は、3+2√2 (a=b=1+√2)

428:１３２人目の素数さん
17/08/09 09:43:16.84 DWUU74oj.net
>>417
(a)
間違ってない
ただ等号が成立しない雑な不等式を用いてるから最後の結論もいい加減になっただけ
ab>3sqrt3 を満たすとは言ってるけどそのすべての範囲を取りうるとは言っていない
(b)
条件 ab>=1 を加えればいい

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17/08/09 10:29:08.78 WvFggA1P.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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430:１３２人目の素数さん
17/08/09 13:30:53.39 A2I5YGTu.net
>>418 ありがとう。脊髄反射でAM-GMを使って (a) のやり方でやって、アレレとなった。結局、真面目に領域図示で片付けたんだが…。

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17/08/09 13:48:05.47 WvFggA1P.net
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442:１３２人目の素数さん
17/08/09 14:15:40.77 A2I5YGTu.net
荒れまくリング… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！

443:１３２人目の素数さん
17/08/09 14:30:22.92 vWdGLnQX.net
>>388
（3）平方和で表わした。
(左辺）-（右辺) =｛(abc)^2 -3GG +2｝+｛3(a+b+c -3G)GG + F_1(a,b,c)}/(a+b+c),
ここで、G =（abc)^(1/3)
(abc)^2 -3GG +2 = G^6 -3GG +2 = (GG+2)(GG-1)^2,
(a+b+c）-3G =（a'+b'+c'){(a'-b')^2+(b'-c')^2+(c'-a')^2}/2, a'=a^(1/3), b'=b^(1/3), c'=c^(1/3),
F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
　= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
(4) (i)
OB方向をz軸とし、
OAの天頂角を ∠AOB=α
OCの天頂角を ∠BOC=γ
とする。
cosβ = cos(∠COA) =（OC・OA）= cosα cosγ + sinα sinγ cosφ　（φは方位角の差、0<φ<π）
∴ cos(α+γ）< cosβ < cos(α-γ),
∴ α+γ > β > |α-γ|

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17/08/09 14:39:57.19 WvFggA1P.net
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17/08/09 14:40:12.01 WvFggA1P.net
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17/08/09 14:42:05.45 WvFggA1P.net
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454:１３２人目の素数さん
17/08/09 14:51:36.23 vWdGLnQX.net
>>417
(d)
a,b>0 ゆえ
(√ab -1)^2 - 2 = ab -2√(ab） -1
　= ab -（a+b+1） +（√a-√b)^2
　≧ 0,
∴　√ab ≧ 1+√2,

455:￥
17/08/09 15:28:26.39 WvFggA1P.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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456:１３２人目の素数さん
17/08/09 15:58:47.69 QFWbMnD6.net
(3)
a,b,cは任意の実数でよい
L-R=(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)+(ab-1)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2
よって絶対値が 1 以下のものが奇数個あるときのみ示せば十分
それを c とすると
(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)+(ab-1)^2 >= -(a^2-1)(b^2-1)+(ab-1)^2 = (a-b)^2 >= 0

457:￥
17/08/09 15:59:21.88 WvFggA1P.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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458:１３２人目の素数さん
17/08/09 16:02:22.92 nXKHrols.net
>>388
>>432
の(3)ね

459:￥
17/08/09 16:53:02.33 WvFggA1P.net
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460:１３２人目の素数さん
17/08/09 17:01:42.00 A2I5YGTu.net
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(1) [memoには 2004 JMO とあるが、全然違っていた…]
　c/(1+a) + b/(1+b) + a/(1+c) ≧ 3/2
(2) [memoには 1998 Ukraina とあるが、もう自信がない]
　(1+ab)/(1+a) + (1+bc)/(1+b) + (1+ca)/(1+c) ≧ 3
(3) [疑問]
　1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c) ≧？
　bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧？
(4) [1998 IMO shortlist.A3]
　a^3/{(1+b)(1+c)} + b^3/{(1+c)(1+a)} + c^3/{(1+a)(1+b)} ≧ 3/4
-----------------------------------------------------
TeXで編集する際に、問題順を入れ替えたりしているうちに、
問題番号と出典番号がずれて、もはや修正のしようがない。
確認したくても、リンク先が消えているし。
URLﾘﾝｸ(mks.mff.cuni.cz)

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461: |　 |　　　　　　　　　 / ノ　　　　　　__________ |　 |　　　　　　　　 /ノ　＿─ (´⌒(´ |　 |　　　　　　　ﾐ/＝　(´⌒(´⌒;; |　''''""'''"'''"""''"""'''''"'"''''""''"''''"""''"'''""''"''"'''"''（） |　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

462:１３２人目の素数さん
17/08/09 17:34:49.15 vWdGLnQX.net
>>388
(5) Hlawka の不等式にござりまする。
（左辺）*（左辺 - 右辺）= Sq + Trig,
Sq = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |a+b+c|^2 - |a+b|^2 - |b+c|^2 - |c+a|^2,
Trig = (|b|+|c|-|b+c|) (|a|-|b+c|+|a+b+c|)
　+ (|c|+|a|-|c+a|) (|b|-|c+a|+|a+b+c|)
+ (|a|+|b|-|a+b|) (|c|-|a+b|+|a+b+c|).
式の変形とはいえ、うまいものと感心するばかり。
Trig ≧0 は△不等式から出るが、Sq = 0 を出すには内積計算などが要る。（← Euclid性)
文献[3]　大関「不等式への招待」 p.33-34 例題8. >>2

463:１３２人目の素数さん
17/08/09 17:42:17.12 A2I5YGTu.net
>>450
ありがとう！

464:１３２人目の素数さん
17/08/09 17:49:46.39 A2I5YGTu.net
>>449 に付け足し。
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(4) [出典不明、元問題は"３乗和≧２乗和"を一般化した]
　自然数nに対して、a^n + b^n + c^n ≧ a^(n-1) + b^(n-1) + c^(n-1)
(5) [出典不明]
　b/a + c/b + a/b ≧ a+b+c ≧ √a + √b + √c
　b/a + c/b + a/b ≧ 1/a + 1/b + 1/c ≧ √a + √b + √c
(6) [2016 東北大]
　a^2 + b^2 + c^2 ≧ 1/a + 1/b + 1/c
(7) [疑問]
　a^n + b^n + c^n ≧ b/a + c/b + a/b をみたす最小の n∈N はあるかな？
(8) [参考までに、これも出典のmemoがなくて困るが…]
　a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 ≧ b/a + c/b + a/b
--------------------------------------------------------------
同じ条件の不等式を整理していると、この問題とあの問題は繋がるのでは？
などと気になりはじめると、整理どころではなくなる。そうして未整理の不等式が貯まっていく。
(5)の2つの不等式の中辺の大小は定まらない。（過去スレでやったような希ガス…）
abc=1 に注意して、(a+b+c)-(ab+bc+ca) = (a-1)(b-1)(c-1)
a, b, cと1の大小で、正にも、０にも、負にもなる。

465:１３２人目の素数さん
17/08/09 17:50:44.87 A2I5YGTu.net
>>452
(8)の訂正。右辺は２倍ですた。
　a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 ≧ 2(b/a + c/b + a/b)

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17/08/09 18:14:30.50 WvFggA1P.net
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467:１３２人目の素数さん
17/08/09 18:51:30.33 sOQtPSi2.net
>>449
(1), (2) a=y/x … とおくだけ
(3)
Σ1/(1+a) = 1 + (a+b+c+1)/(ab+bc+ca+a+b+c+1) -> 1 (c=1/(ab), a->inf, b->inf)
Σbc/(1+a) = Σ1/(a+a^2) >= Σ(-3/4log(a)+1/2) = 3/4
(4) 相加相乗で終わり

468:１３２人目の素数さん
17/08/09 19:19:25.80 vWdGLnQX.net
>>388 (2)
　(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2
Asia-Pacific MO-2004改
文献 [9] 佐藤(訳)、問題3.85改
（左辺）=（abc)^2 + 2(ab)^2 +2(bc)^2 +2(ca)^2 +4(aa+bb+cc) +8
　=（abc)^2 +2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) +2
　=｛(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca)｝+2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2
　≧ 3(a+b+c)^2,
※　(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0
　は >>388 (3）または練習問題1.90(i）を使う。

>>449 (4)
文献 [9] 佐藤(訳)、演習問題 1.120

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17/08/09 20:54:19.05 WvFggA1P.net
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479:１３２人目の素数さん
17/08/09 22:45:59.22 A2I5YGTu.net
不等式が少しだけ載っているというタレコミがあったので、事情徴収（立ち読み）してきた。
容疑者：佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』、PP.18-30
(1) PP.18-24
三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
(2) PP.25-30
R ≧ 2r （球殻不等式）
(1)に対して、８通りの証明を与えていた。
(2)は d^2 = R^2 - 2Rr （茶ップル-オイラーの定理）を証明して片付けていた。
ここで d は外心と内心の距離。

　　　∧,,∧　　　　
　　(`･ω･´)　８通りの証明だと？詳しく聞こうか？
　　（　　　）
￣￣Φ口U￣￣＼
　　　_　_. 　　　　＼
＿（　　　） ← 佐久間＼
￣┏┳┓）

480:１３２人目の素数さん
17/08/09 22:47:06.98 A2I5YGTu.net
>>467
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
（証明１）
ヘロンの公式を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2
（証明２）
面積公式と余弦定理を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2
（証明３）
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおいて、AM-GM とヘロンの公式。
（証明４）
a^2 + b^2 + c^2 ≧ ab+bc+ca の右辺に正弦定理を用いてから、凸不等式。
（証明５）
a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} を証明。
（証明６）
a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 を証明。
（証明７）
証明６の不等式を三角関数で証明。
（証明８）
座標平面上に、頂点を A(a/2,0)、B(-a/2,0)、C(s,t)、t>0 とおいて計算。
---------------------------------------------------------------------
[1] そもそもヘロンの公式は、面積公式と余弦定理から三角関数を消去して得られるものだから、
　証明１と証明２は全く同じものである。証明６と証明７も一緒。つまり６通りの証明ですな。
[2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？
[3] 他に証明は無いのかな。証明３と実質同じだが、Ravi変換くらいしか思いつかない。
ヘロンの公式を行列式で表すと、S = (√D)/4。ここでDは以下の行列式。
|0 1 　 1 　 1 |
|1 0　a^2 b^2|
|1 a^2 0　c^2|
|1 b^2 c^2 0 |

481:１３２人目の素数さん
17/08/09 22:48:59.09 DWUU74oj.net
>>388
>>456
相当な量の改良問題があった
for reals
[1] (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
[2] ((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3))^2 >= 512(a+b)(b+c)(c+a)
for nonnegarives
[3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2
[4] (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) >= 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)+(xyz-1)^2
[5] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+(abc(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2)^(1/3)
AOPS
[1], [2] : c6h588096p3481394
[3] : c6h4830p15309
[4], [5] : c6h581954p3438879
他にもいろいろ

482:１３２人目の素数さん
17/08/09 22:51:59.96 A2I5YGTu.net
>>469
ｷﾀ─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ～(ﾟ∀ﾟ)─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ～─ !! 素晴らしい！

483:１３２人目の素数さん
17/08/10 00:03:36.94 ZcMNVdrv.net
[出典不明]
実数 a,b,c,x,y,z が ax-2by+cz=0 かつ ac > b^2 > 0 をみたすとき、y^2 ≧ xz を示せ。
こういう掴みどころのない問題は、改造や類題を作りにくいので困る。 ('A`)ｳﾞｫｴｧ！

484:１３２人目の素数さん
17/08/10 01:44:43.71 DPXWgKrx.net
>>471
xz≦0 のときは明らか。
xz>0 のとき
4{bbyy -（ax)(cz)｝≧（2by)^2 -（ax+cz)^2 = -(ac-2by+cz)(ac+2by+cz）= 0,
∴　yy ≧（ac/bb）xz ≧ xz,

485:１３２人目の素数さん
17/08/10 02:37:02.72 DPXWgKrx.net
>>467
(2)
　△の3辺を切る円はその内接円より大きい、を認めよう。
　△の各辺の中点を通る円を考える。
　この円は半径R/2であるが、△の3辺を切る。
　R/2 ≧ r
　（清水多門氏による）
文献[3]、p.7-8 例題4 >>2

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496:１３２人目の素数さん
17/08/10 02:47:00.98 ZcMNVdrv.net

497:>>414 > 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、 > a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。追加問題：同じ条件の下で、aのとりうる値の範囲を求めよ。　　　　 | 　＼　　__　　／　＿　（ｍ）　＿ﾋﾟｺｰﾝ　　　　|ミ| 　／＿＿＿＼　　.／　　≧　＼　　|:::: 　＼ .／　|　　|::::: (●　(● |　＜改造せずにはいられない！　ヽ::::... .ワ.....ノ　　　（閃いたが、簡単過ぎる…）　　人つゝ人,,　　　　　　　　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　　　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿　　　　　　　　 ⌒～⌒

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499:１３２人目の素数さん
17/08/10 02:58:19.02 DPXWgKrx.net
>>449 (4)
チェビシェフにより
（左辺）≧ a/{(1+b)(1+c)｝+ b/{(1+c)(1+a)｝+ c/{(1+a)(1+b)｝
　=｛a(1+a）+ b(1+b）+ c(1+c)}/{(1+a)(1+b)(1+c)}
　≧(s+t)/(1+s+t+u),
　≧ 3/4,
∵題意より　u=abc=1 ゆえ s+t≧3{u^(1/3)+u^(2/3)｝= 6,

500:１３２人目の素数さん
17/08/10 03:13:12.22 ZcMNVdrv.net
>>414
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
>
> 追加問題：同じ条件の下で、aのとりうる値の範囲を求めよ。
さらに追加：同じ条件の下で、ab+bc+cd+da のとりうる値の範囲を求めよ。

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　　　　　　　　　　/'⌒'ヽ　＼っ／＼　 |
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　　　　　　　　　　 >冊/　 .／　　　　 |: /
　　　　　　　　　/⌒　　ミﾐ　＼　　　〆
　　　　　　　　 /　　　／　|::|λ|　　　
　　　　　　　　 |√7ミ　　 |::|　ﾄ、　　
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　　　　　　　　　и .i　　　　　　Ｎ　
　　　　　　　　　 λﾍ、|　i　.ＮV　
　　　　　　　　　　　　Ｖ＼Ｗ　　
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　＿　（ｍ）　＿ﾋﾟｺｰﾝ
　　　　|ミ|
　／＿＿＿＼　
　.／　　≧　＼　
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　|::::: (●　(● |　＜なんか降りてきた！
　ヽ::::... .ワ.....ノ　　　今夜は冴えてるぜ！
　　人つゝ人,,　　　　　　　　　
　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　　
　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡
`⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　 ⌒～⌒

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511:１３２人目の素数さん
17/08/10 12:38:29.31 60raC5j+.net
>>452
(7) n>=3
a^2+b^2+c^2 と b/a+c/b+a/c の大小は定まらない
(8) Schur + AMGM

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513:１３２人目の素数さん
17/08/10 13:59:34.75 DPXWgKrx.net
>>484
a=-(b+c+d）を代入して
aa = (-b-c-d)^2 ≦ 3(bb+cc+dd）= 3(100-aa）,
aa ≦ 75,
|a| ≦ 5√3,
>>487
(a+c)(b+d）= -(a+c)^2 = -(b+d)^2 ≧ -(aa+cc) -(bb+dd) = -100,
-100 ≦ (a+c)(b+d）≦ 0,
等号成立は（a,b,c,d）=（5,-5,5,-5）（5,5,-5,-5）など。

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524:１３２人目の素数さん
17/08/10 20:36:16.33 ZcMNVdrv.net
>>467-468
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
>
> [2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？

Weitzenbock's inequality と言うらしい。ヴァイツェンベックと発音するのかな？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)

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526:１３２人目の素数さん
17/08/10 21:41:35.40 ZcMNVdrv.net
Crux
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
いつの間にかパスワード制になって読めなくなったでござる。
パスワード無しで読める最後の記事は v37n8 (2011年)。
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
Problems
3690、3691、3694、3699

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17/08/10 21:57:11.66 JHmEReZW.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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528:１３２人目の素数さん
17/08/10 21:57:26.65 ZcMNVdrv.net
>>389
これでござるな。
URLﾘﾝｸ(www.math.kindai.ac.jp)

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539:１３２人目の素数さん
17/08/11 00:32:25.04 UlqqGaeP.net
ネタギレだな
興奮

540:する問題が無い

541:１３２人目の素数さん
17/08/11 00:46:30.31 VAqorbPb.net
(俺の経験人数)＞Σ(このスレの住人の経験人数)
を示せ

542:￥
17/08/11 00:58:40.57 ToUPXODc.net
♪♪♪もう良い子は寝る時間です。そやし馬鹿板は止めて、また明日にしましょう。♪♪♪
ケケケ￥

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17/08/11 06:12:48.74 ToUPXODc.net
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553:１３２人目の素数さん
17/08/11 12:57:10.89 OXujv9yn.net
>>467 (1）を改造...
三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、(1/3)(a+b+c)^2 ≧ (4√3)S.
(証明３)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
(1/3)(a+b+c)^2
=（1/3)(A+B+C)^2
≧ √{3(A+B+C)ABC}　（← AM-GM)
=（4√3)S,

三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、ab+bc+ca ≧ (4√3)S.
(証明６)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
ab+bc+ca = aa+bb+cc -{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2
≧ aa+bb+cc -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2
= AB+BC+CA
≧ √{3(A+B+C)ABC}
=（4√3)S,

554:￥
17/08/11 12:59:40.46 ToUPXODc.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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555:１３２人目の素数さん
17/08/11 16:26:36.35 XzY0B0Bq.net
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(1) [AYIN 2012.09]
(a+b)/(ab+a+b) + (b+c)/(bc+b+c) + (c+a)/(ca+c+a) ≧ 2
(2) [1997 Romania]
(a^3+b^3)/(ab+a^2+b^2) + (b^3+c^3)/(bc+b^2+c^2) + (c^3+a^3)/(ca+c^2+a^2) ≧ 2
(3) [1996 IMO shortlist.A1]
ab/(ab+a^5+b^5) + bc/(bc+b^5+c^5) + ca/(ca+c^5+a^5) ≦ 1
----------------------------------------------------
[1] (3)だけ向きが逆。もしかして (1)(2)(3) すべて最大値と最小値があるかな？
[2] 分母が ab+a^n+b^n のタイプで、他に類題ないかな？

　　　　／⌒＼　っ　　／＼
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　　　/⌒　　ミﾐ　＼　　　〆
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　　　и .i　　　　　　Ｎ　/　ヽ）　きりがないでござる…
　　　 λﾍ、|　i　.ＮV　 | 　　| |
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