面白い問題おしえて～な二十三問目

面白い問題おしえて～な二十三問目 at MATH

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207:１３２人目の素数さん
17/06/25 16:55:05.60 vohnNVSv.net
Bを原点として、
[A] √{(x-a)^2+y^2}=11,
[B] √{x^2+y^2}=13,
[C] √{x^2+(y-b)^2}=7
より [A]^2+[C]^2-[B]^2 で
√{(x-a)^2+(y-b)^2}=√(11^2+7^2-13^2)=あとは電卓に。
[A]^2-[B]^2 で x が a の式で
[C]^2-[B]^2 で y が b の式で表される。
それを [B] へ代入したものが a,b の必要十分条件で
(a,b) はひとつには決まらない。

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17/06/25 17:18:22.81 i2ZaylUY.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が崩壊します。なので早く止めましょう。★★★
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219:１３２人目の素数さん
17/06/25 22:50:39.89 LvX/aL4D.net
>>189,204
正解
AP^2+CP^2=BP^2+DP^2はBritish flag theoremというらしい
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
マイクロソフトはこの問題を口頭で解かせた…？

220:１３２人目の素数さん
17/06/25 23:10:33.70 1oxh/mev.net
>>216
知ってたら即答だな
知らなくても補助線引いて三平方使うのに気付いたら解ける

221:１３２人目の素数さん
17/06/26 01:03:59.11 WMgNNINg.net
F_1=F_2=1, F_(n+2)=F_(n+1)+F_(n)
で定義されるフィボナッチ数列F_nを用いてよい。
(1) 1/(1-x-x^2)を計算して、xの多項式として表せ。
(2) 上の結果と1/(1-x-x^2)=(x^-2)/((x^-2)-(x^-1)-1)を利用して、
(x^-1)/((x^-2)-(x^-1)-1)をxの多項式として表せ。
(3) 0. 0001 0001 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 0089 0144 …
となる既約分数を求めよ。

222:１３２人目の素数さん
17/06/26 03:33:14.56 ChRIm5Q7.net
全国521駅｢10年累計鉄道自殺数｣ランキング
2016年06月22日
西八王子駅（東京）……39件
桶川駅（埼玉）…………34件
川崎駅（神奈川）………31件
新小岩駅（東京）………30件
新宿駅（東京）…………30件
八王子駅（東京）………30件
URLﾘﾝｸ(toyokeizai.net)

ＪＲ川崎駅前にマタハリー(ピア、サントロぺ)のパチンコ台が約１８００台、パチスロ台が約１０００台ほどある。
その台はすべて、遠隔操作されています。
大勝ちしてる人のほとんどが内子です(ピアは内子の人数が日本一多い、詐欺犯罪組織です)。
今は大手のパチンコ店の大当たりはすべて遠隔大当たりなんです。
大当たりはアホ幹部がパソコンを１、３回クリックして大当たりさせています。
借金が原因で自殺してる人が多いけど、その原因は遠隔大当たりしかないパチンコ、パチスロなんです。
新小岩と新宿にはマルハンとエスパスがあります(エスバスは新宿歌舞伎町で一番大きなパチンコ店)。
西八王子駅の隣駅の八王子駅にはピアがあります(八王子駅にはパチンコ店がたくさんあります)。

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17/06/26 04

224::46:27.61 ID:dYpMJpMg.net

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17/06/26 04:46:47.26 dYpMJpMg.net
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235:１３２人目の素数さん
17/06/26 05:16:30.94 wnO7S5ec.net
【ひろき】上田泰己8【カッシーナ】 [無断転載禁止]©2ch.net･
ｽﾚﾘﾝｸ(life板)
817 名前:名無しゲノムのクローンさん :2017/05/22(月) 23:45:30.78 ID:8/RLXOTfd
中国人の東大女子大生が自殺した時に、元彼上田と新彼Bの三角関係が原因と聞いた。
家族が自殺偽造疑って後日週刊誌に記事が出ていたことがあった。
かなり前の週刊誌だったから覚えてる人いないよな。
週刊文春2007年6/9号　162ページから165ページ全文
「美人東大院生怪死」才色兼備の東大院生が何故自殺したのか
両親が涙の訴え「娘は殺された！」
警察は「自殺」と断定。疑問を抱いた両親が調べた「遺体の謎」「パソコンの秘密」
URLﾘﾝｸ(rio2016.2ch.net)

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17/06/26 06:10:15.60 dYpMJpMg.net
■■■馬鹿板をスルのは頭の悪い行為であり、そやし数学徒が行ってはならない。■■■
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17/06/26 10:25:36.23 dYpMJpMg.net
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17/06/26 10:26:14.72 dYpMJpMg.net
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17/06/26 10:28:18.54 dYpMJpMg.net
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247:１３２人目の素数さん
17/06/26 12:34:38.28 vrMzbwMW.net
>>218
(1)(2)　xの多項式として表わすことはできない。べき級数（無限級数）なら簡単だけど。
(3)　x^(-1) = 10^4 を入れる。 10000/99989999

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17/06/26 13:08:18.34 dYpMJpMg.net
■■■馬鹿板をスルのは頭の悪い行為であり、そやし数学徒が行ってはならない。■■■
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17/06/26 14:54:37.72 dYpMJpMg.net
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17/06/26 14:56:14.94 dYpMJpMg.net
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259:１３２人目の素数さん
17/06/26 15:54:52.62 z7PiOUx2.net
xでのべき級数展開のことだった。
218の答え
(1) 1/(1-x-x^2) = 1+x+2x^2+3x^3+5x^4+… = Σ[k=1,∞] (F_k)x^(k-1)
(2) (x^-1)/((x^-2)-(x^-1)-1) = xΣ[k=1,∞] (F_k)x^(k-1) = Σ[k=1,∞] (F_k)x^k
(3) x=10^-4を代入すると、(与小数) = Σ[k=1,∞] (F_k)10^(-4k) = (10^4)/(10^8-10^4-1) = 10000/99989999
これは既約

このようにx=10^-mとすれば、「小数点以下をm桁ごとに区切ると、途中までフィボナッチ数列になるような小数」になる分数が得られる（10^m以上のフィボナッチ数以降は繰上がりが発生してパターンが崩れる）。
m=1 10/89
m=2 100/9899
m=3 1000/998999
m=4 10000/99989999
m=5 100000/9999899999
…
(3)が直接与えられたときは、
10001. 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 0089 0144
=10000
+1. 0001 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 0089 0144
+0. 0001 0001 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 0089 0144
より、
与小数をXとおいて(10^8)X=(10^4)+(10^4)X+X⇔X=(10^4)/(10^8-10^4-1)⇔X=10000/99989999
とでも解けばよい。

260:￥
17/06/26 15:58:27.92 dYpMJpMg.net
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
　　～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板を続けたらオツムがスポンジ脳になるのでサッサと足を洗うべき。■■■
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261:１３２人目の素数さん
17/06/26 16:06:26.49 3Dvnn8tK.net
この頭のおかしい奴を駆除できないのかな？

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17/06/26 16:34:14.67 dYpMJpMg.net
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17/06/26 16:34:34.99 dYpMJpMg.net
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17/06/26 16:35:15.46 dYpMJpMg.net
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17/06/26 16:35:36.49 dYpMJpMg.net
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17/06/26 16:35:57.23 dYpMJpMg.net
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17/06/26 16:36:18.91 dYpMJpMg.net
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17/06/26 16:36:41.06 dYpMJpMg.net
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17/06/26 16:37:01.67 dYpMJpMg.net
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17/06/26 16:37:23.40 dYpMJpMg.net
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272:１３２人目の素数さん
17/06/27 00:56:38.89 qHqtT4Ld.net
一辺1の正方形の内部にひける線分の長さの平�

273:ﾏは？直感でどうぞ

274:１３２人目の素数さん
17/06/27 01:01:18.69 bmbBRADS.net
>>268
1

275:１３２人目の素数さん
17/06/27 01:58:44.13 UoQ1/bub.net
>>268
(4/π)∫[0,π/4］１/(cosθ）dθ
= (4/π)log(1+√2)
= 1.12219970

276:１３２人目の素数さん
17/06/27 02:25:10.91 zDJ3EJI5.net
ベルトランのパラドックス

277:１３２人目の素数さん
17/06/27 03:19:09.05 UoQ1/bub.net
「線分の分布は与えられてないから、自分で忖度するわけか。」
「忖度って何？」
（１）蘭語/独語で「日曜日」を表す語 zondag / Sonntag
（２）米国の作家 Susan Sontag
（３）博多どんたく

278:１３２人目の素数さん
17/06/27 03:35:08.27 j4ToIGeR.net
「線分をABとし、点Aと点Bの取り方はそれぞれ独立に円の面積についての一様分布」
ぐらいの設定ですかね。問題として成立させるには。

279:１３２人目の素数さん
17/06/27 04:04:01.97 bmbBRADS.net
nを正の整数nとする。
相異なる正の整数a[1], a[2], …, a[n]が存在して
π/4=arctan(1/a[1])+arctan(1/a[2])+…+arctan(1/a[n])
と表せることを示せ。

280:１３２人目の素数さん
17/06/27 04:21:15.81 T4E9Idwp.net
円ではなく正方形

281:１３２人目の素数さん
17/06/27 11:55:33.45 j4ToIGeR.net
>>275 >>273 >>268
＞円ではなく正方形
あ、ほんまや。
「ベルトラン」の文字列が先に目に入ったので先入観が。恥ずかしい…

282:１３２人目の素数さん
17/06/27 14:18:57.34 K9TadYNF.net
ベルト・ランて、こんなやつ。
URLﾘﾝｸ(kakaku.com)

283:１３２人目の素数さん
17/06/27 16:09:51.52 N0HZH6zh.net
268の解答
・正方形の周または内部に適当な2点(a,b),(c,d)を取ったときの距離の平均
（√((a-c)^2+(b-d)^2)を[0,1]で4重積分）
は0.5になる
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
ただし他の算出方法、例えば思いついたのが
・正方形の周状に2点をとって結んだ長さの半分　の全ての点の組についての平均
を使うと、ベルトランのパラドックスみたいに別の結果が出るのかもしれない

284:１３２人目の素数さん
17/06/27 22:38:41.72 T4E9Idwp.net
距離1の線分に任意の2点をとる場合の平均距離は
∫∫(a-b)dadbから1/3だから、平面の場合はその距離を2辺とする
直角三角形になるから√2/3になるのではないかと思う

285:１３２人目の素数さん
17/06/28 02:21:34.25 wm3Df9X3.net
>>278
そんなわけないと思ってビデオみたら
0.5ちゃうやん。
(2+√2+5log(√2+1))/15=約0.521
と言ってるぞ。

286:１３２人目の素数さん
17/06/28 02:39:38.19 5QTSYrSD.net
>>274
n=1 のときは a[1] =1 で成立。
あるnについて成り立ったとする。
arctan(1/a) = arctan(1/(a+1)) + arctan(1/(aa+a+1)),
によって 1/a[n] を「二分割する」と、n+1についても成立。

287:2
17/06/28 02:55:56.35 kZFA1c1J.net
成文化に手間取って遅くなったが、(7)の解答
(7)　(2^n+1)/n^2が自然数となるnを求めよ。

nが偶数のとき、与式は(奇数)/(偶数)となり整数になることはない。
つまり与式が自然数になるとき、nは奇数。
非負整数kと、3と互いに素な奇数dを用いて、n=(3^k)dとおく。
与式が自然数になるとき、k=0,1、d=1であることの証明を行う。

288:2
17/06/28 02:58:53.47 kZFA1c1J.net
【k=0,1の証明】
与式が自然数になるとき、分母の((3^k)d)^2は分子の2^((3^k)d)+1を割りきる。
2^((3^k)d)+1を2^d+1で割�

289:驍ﾆ Π[m=0, k-1] (2^(2*((3^m)d))-2^((3^m)d)+1)　…★ 任意の自然数tについて 2^(2*t)-2^t+1≡3 mod 9 つまり2^(2*t)-2^t+1は3で1回だけ割れる。 ★はこのk個分の積だから、 3^kは★を割りきり、3^(k+1)は★を割りきらない。 (3^k)(3^k)(d^2) | (2^d+1)*★であったから、 3^kは2^d+1を割りきる。 dと3は互いに素であったから 2^d+1≡2,3,6,8 mod 9 であり、9は2^d+1を割りきらない。 k≧2のとき、9は3^kを割りきるが2^d+1を割りきらないから、 3^kが2^d+1を割りきることはない。よって、k=0,1

290:2
17/06/28 03:03:47.54 kZFA1c1J.net
【d=1の証明】
d≠1と仮定する。
dの最小の素因数をpとする。
dは奇数だったからpも奇数。dは3と互いに素な奇数だったからd≧5でp≧5
与式が自然数になるとき、pは分子の2^n+1を割りきる　…☆
以下、pを法として
2^n≡-1, 2^(2n)=(2^n)^2≡1
また、フェルマーの小定理より
2^(p-1)≡1
jを2nとp-1の最大公約数とすると
2^j≡1　…(補)
pが存在しないことを示す。
i) k=1のとき
定義よりjは2nを割りきる。
2n=2*3*d=6d
pはdの最小素因数だったからp-1とdは互いに素で、
p-1の約数であるjもdを割りきらない。
よってjは6を割りきり、jの候補は1,2,3,6
また、(補)よりpは2^j-1を割りきるから、pの候補は1,3,7,63の約数である。
pは5以上の素数だったからp=7
しかし、任意の自然数uについて
2^u+1≡2,3,5 mod 7
であり、7は2^u+1を割りきらず、☆に反する。
ii) k=0のとき
2n=2*1*d=2d
同様にjの候補は1,2、pの候補は1,3だが、
pは5以上の素数だったからpはない。
以上よりpは存在せず、
最初の仮定d≠1が間違っていたことになる。
よって、d=1

291:2
17/06/28 03:06:06.84 kZFA1c1J.net
したがって、nの候補は
(k,d)=(0,1)のときのn=1
(k,d)=(1,1)のときのn=3
これらは確かに与式を自然数にする。

(補)
2^(2n)≡1, 2^(p-1)≡1
2nとp-1の最大公約数をjとして、
2n=ja, p-1=jb　（aとbは互いに素）とおくと
(2^j)^a=2^(ja)≡1, (2^j)^b=2^(jb)≡1
任意の整数x,yについて
(2^j)^(ax+by)=(((2^j)^a)^x)(((2^j)^b)^y)≡(1^x)(1^y)≡1
であるが、
aとbは互いに素だったから、適当な整数X,Yを用いればaX+bY=1とできる
2^j=(2^j)^(aX+bY)≡1

292:2
17/06/28 03:07:58.93 kZFA1c1J.net
ネットでの日本語解答はこれが初めてかもしれない。
数オリ財団発行の本に載っているものを参考にして作成した。
やはりムズい。
この問題を「マスターデーモン」として紹介している『数学オリンピック事典』では「n=3または(3^2)|nであるが、(n^2)|(2^n+1)ならば3^2はnを割りきらない」という流れを採用している。
このサイト
URLﾘﾝｸ(www.cs.cornell.edu)
では、与式の分子を(3-1)^n+1として二項定理を用いているようだ。
出典：IMO1990-3

293:１３２人目の素数さん
17/06/28 03:10:05.30 dHEIGm6p.net
>>281
正解です。ちなみに一意性はなく、n≧2のとき
　(1) a[k]=2k^2 (1≦k≦n-1), a[n]=2n-1
や
　(2) a[k]=F[2k+1] (1≦k≦n-1), a[n]=F[2n]
　　　ただし、F[n]はフィボナッチ数列 (F[1]=F[2]=1)
などでも表せます。

294:１３２人目の素数さん
17/06/28 03:15:46.47 kZFA1c1J.net
おまけ（ぶっちゃけ簡単）
素数p,qを用いてp^q+q^pの形で表される素数を求めよ。

295:１３２人目の素数さん
17/06/28 03:32:01.14 wm3Df9X3.net
17
p,qがともに奇素数かともに2なら、p^q+q^pは2より大きい偶数となり、不適
よって、p,qの片方が2
pが奇数で3で割り切れない場合は、p^2+2^pは3より大きい3の倍数となり、不適
よって、p=3

296:288
17/06/28 07:47:36.89 UWqYj2FJ.net
>>289
正解

p^q+q^p≧2^2+2^2=8
p,qの偶奇が一致する場合はp^q+q^pは偶数になり、素数になることはない。
よって、p,qは偶素数2と奇素数。
対称性よりp=2、qを奇素数としてよい。
q=3でp^q+q^p=2^3+3^2=17は素数
以下、3を法として
q≧5で、qは素数だからq≡1,2だが
q≡1で2^q+q^2≡(-1)^q+1^2≡-1+1≡0
q≡2で2^q+q^2≡(-1)^q+2^2≡-1+4≡0
（-1の奇数乗は-1であることを用いた）
となり、p^q+q^pは素数になることはない。
以上より(p,q)=(2,3),(3,2)のときの17

出典：京大前期数学（理系）2016-2

297:１３２人目の素数さん
17/06/28 07:59:33.12 w1G4n4lh.net
>>268
2重積分にすると
z: 0→1
f=x-y： √2→0
f=(1-z)√2
S=∫[0,1](1-z)√2dz=1/√2
L=∫[0,1]zf(z)/Sdz
=√2∫[0,1]z(1-z)√2dz
L'=∫[0,1]xyf(x)f(y)/S^2dxdy
=4∫∫√(x^2+y^2)(1-x)(1-y)dxdy
=(2+√2+5log(1+√2))/15

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308:１３２人目の素数さん
17/06/28 21:55:05.71 xEqrn1lZ.net
x,yに関する不定方程式
x^2-dy^2=1　（dは平方数でない自然数）
は「ぺル方程式」とよばれ、無限個の自然数解を持つことが知られている。
問1
j+1と2jが共に平方数になるような自然数jが無限に存在することを示せ。

また、最小の自然数解を(X,Y)とすると、全ての自然数解(x_n,y_n)は
x_1=X, y_1=Y
x_(n+1) = (x_n)(x_1) + d(y_n)(y_1)
y_(n+1) = (x_n)(y_1)+(y_n)(x_1)
で表せることが知られている。
問2
「平方数であるような自然数列の部分和」、すなわち「三角数かつ四角数」が無限に存在すことを示せ。

309:１３２人目の素数さん
17/06/29 00:15:00.74 RAHEABOx.net
>>291 訂正
L=∫[0,1]zf(z)/Sdz
=√2∫[0,1]z(1-z)√2dz=1/3
L'=∫[0,1]√(x^2+y^2)f(x)f(y)/S^2dxdy
=4∫∫√(x^2+y^2)(1-x)(1-y)dxdy
=(2+√2+5log(1+√2))/15

310:１３２人目の素数さん
17/06/29 10:43:37.22 n9pcFtpp.net
j+1=x^2,2j=y^2からjを消去してy^2=2(x^2-1)。
x,yが整数ならyが遇数となるから、y=2zと置いて
4z^2=2(x^2-1)すなわちx^2-2z^2=1。ペル方程式の解は(ry
n(n+1)/2=m^2の解を探す。両辺を8倍して1足すと
(2n+1)^2=8m^2+1。ペル方程式の解は(ry

311:１３２人目の素数さん
17/06/29 10:58:36.55 mYQxtRdG.net
>>304
問2の答えが不十分
2n+1が無限に存在してもnは…

312:１３２人目の素数さん
17/06/29 11:51:52.30 n9pcFtpp.net
えーっと、p^2-2q^2=1の最小解は(p,q)=(3,2)でよかったかな。
x+y√2=(3+2√2)^nは全てのnについてx奇y偶。

313:１３２人目の素数さん
17/06/29 12:10:25.77 W3RXb80R.net
>>305
xx-2yy=1 ならば xは奇数、yは偶数。
(略証)
xx=2yy+1=奇数。
2yy=xx-1=(x+1)(x-1)は8の倍数
∴　yは偶数。

314:１３２人目の素数さん
17/06/29 12:39:00.70 W3RXb80R.net
>>287
　arctan(1/a) = arctan((b-a)/(ab+1)) + arctan(1/b),
(1)　a = 2n-1、b = 2n+1,
(2)　a = F_(2n)、b = F_(2n+2)、F_(m-1) F_(m+1) - (F_m)^2 = (-1)^m

315:１３２人目の素数さん
17/06/29 13:13:24.78 W3RXb80R.net
〔問題〕
実数a～dについて次を示せ。
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ab+bc+cd)^2,
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ad-bc)^2,
不等式スレ８-042

316:302
17/06/29 14:51:00.54 pDFeYatX.net
解答
問1
jが奇数ならば2jは素因数に2を一つしか持たず、平方数になることはない。
よって、2jが平方数になるときjは偶数で、j=2k^2とおける。
j+1=2k^2+1が平方数になるとき2k^2+1=l^2とおける。
l^2-2k^2=1
自然数解(l,k)は無限個存在し、
（明らかに自然数解kは無限個存在するから、）
題意を満たす自然数j=2k^2も無限個存在する。

317:問2 三角数はa(a+1)/2と表せる。これが四角数になるときa(a+1)/2=b^2とおける。 a^2+a-2b^2=0⇔4a^2+4a-8b^2=0⇔(2a+1)^2-2(2b)^2=1 A=2a+1, B=2bとおけばA^2-2B^2=1 自然数解(A,B)は無限個存在する。最小の自然数解(A_1,B_1)は(3,2)であり、 A_mが奇数、B_mが偶数と仮定すると A_(m+1)=3(A_m)+4(B_m)は奇数 B_(m+1)=2(A_m)+3(B_m)は偶数よって、全ての自然数解(A_n,B_n)についてA_nは奇数、B_nは偶数である。 A^2=2B^2+1でA^2は奇数、Aも奇数 2B^2=(A+1)(A-1)=(偶数)^2でB^2は偶数、Bも偶数と直接示してしてもよい。したがって、a=(A-1)/2, b=B/2はいずれも自然数であり、自然数解(a,b)も無限に存在する。

318:302
17/06/29 15:11:55.91 pDFeYatX.net
ちなみに漸化式を解いて一般項を求めると
l_n=A_n=(1/2)((3+2√2)^n+(3-2√2)^n)
k_n=B_n=((√2)/4)((3+2√2)^n-(3-2√2)^n)
j_n=(1/8)((3+2√2)^(2n)+(3-2√2)^(2n)-2)
a_n=(1/4)((3+2√2)^n+(3-2√2)^n-2)
b_n=((√2)/8)((3+2√2)^n-(3-2√2)^n)

319:１３２人目の素数さん
17/06/29 15:29:19.21 CIUnyKfJ.net
冗長

320:302
17/06/29 15:50:56.20 pDFeYatX.net
2を掛け忘れていた
j_n
=(1/4)((3+2√2)^(2n)+(3-2√2)^(2n)-2)
=(1/4)((17+12√2)^n+(17-12√2)^n-2)
j_1=8　j+1=9=3^2, 2j=16=4^2
j_2=288　j+1=289=17^2, 2j=576=24^2
j_3=9800　j+1=9801=99^2, 2j=19600=140^2

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331:１３２人目の素数さん
17/06/30 18:07:51.25 g/dkToLH.net
>>309
左辺は ab+bc+cd と ad-bc の斉2次式。

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▲▲▲数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、豊かな数学的知性を育むべきである。▲▲▲
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333:１３２人目の素数さん
17/06/30 18:47:45.83 g/dkToLH.net
>>309
　z1 = a - cω,
　z2 = d - bω,
　1+ω+ω^2=0,
とおくと、
　z1･z2 = (ad-bc) - (ab+bc+cd)ω,

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▲▲▲数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、豊かな数学的知性を育むべきである。▲▲▲
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345:１３２人目の素数さん
17/07/02 11:13:16.25 fT9fw2iw.net
>>216
> AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2 は British flag theoremというらしい
改造せずにはいられない！ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
空間内に相異なる４点A,B,C,Dがあり、任意の点Pに対して
　PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2
が成り立つとき、４点A,B,C,Dはどんな位置関係にあるか？

346:１３２人目の素数さん
17/07/02 13:39:54.08 avQLPZ26.net
>>338
Pとして△BCDの外心を選ぶとAP=BP=CP=DPとなるので
4点A, B, C, Dはある球S上にある
また△BCDの外接円O[1]はSの大円になっており、
同様に、△ABCの外接円O[2]もSの大円になる
O[2]はBCを通る平面πを球Sが切り取る円だが、
仮に点Aが円O[1]上にないとすると、Sの中心Pはπ上にない
つまり、円O[2]はSの大円にならない
したがって、4点A, B, C, Dはある同一円周S'上になければならない
4点A, B, C, Dはある四角形Tをなすが、今度はPとしてTの対角線の交点をとる
円周上でCがAの隣かで場合分けすると可能性は次の二つ
(1) 四角形ABCD
　PA=aなどとおくとa/d=b/c=kで、条件を用いるとk=1
　またa/b=d/c=lとしてもl=1が出る
　したがって四角形ABCDは長方形である
(2) 四角形ACBD
　このとき条件を使うとa=d, b=cで、AC=DBの等脚台形となる
　そこでPとしてさらにAをとると、
　　AC^2=AB^2+AD^2=CD^2+AD^2
　となり、ACはS'の直径になる。これは不合理
ゆえに、4点A, B, C, Dはこの順、または逆順で長方形をなす
逆にこのとき、条件式が任意のPでなりたつ(座標計算)

347:１３２人目の素数さん
17/07/02 15:03:43.14 3TuYFHfq.net
えーっと、
0=-(p-a)^2+(p^b)^2-(p-c)^2+(p-d)^2
=2(a-b+c-d)p-(a^2-b^2+c^2-d^2).
これが任意のpで成り立つのは、
a-b+c-d=0, a^2-b^2+c^2-d^2=0 のとき。
a+c=b+d=v, a^2+c^2=b^2+d^2=s と置くと、
ac=bd=(v^2-s)/2.
中点と内積が与えられた2ベクトルの軌跡は

348:１３２人目の素数さん
17/07/02 16:01:15.58 GLWoWlOy.net
>>338
ACの中点をM、BDの中点をNとする。
中線定理より
　MP^2 +(1/2)AC^2 = NP^2 +(1/2)BD^2,
となる。
題意により　M=N
∴　A～Dは同一平面上にある（共面）。
この平面内で考えれば十分。

〔類題〕
空間内に相異なる４点A～Dがあり、任意の点Pに対して
　PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2 + k^2
が成り立つとき、４角形ABCDはどんな形か？

349:１３２人目の素数さん
17/07/02 16:07:11.80 GLWoWlOy.net
>>341 の訂正
　２MP^2 +(1/2)AC^2 = ２NP^2 +(1/2)BD^2,
PをMN方向に動かしても成り立つことから、M=N

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360:１３２人目の素数さん
17/07/04 01:29:28.08 Wi3Yphfr.net
>>341 によれば
対角線ACとBDは、互いに他を２等分する。
→　ABCDは平行４辺形
ただし、kの値によって形はいろいろ…

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▲▲▲数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、豊かな数学的知性を育むべきである。▲▲▲
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372:１３２人目の素数さん
17/07/09 00:58:07.20 hraGPmBR.net
>>272
司法の場における忖度
刑事訴訟法　第316条の37（被害者参加人等による被告人質問）　改正案
2　検察官は、当該事項について自ら供述を求める場合を除き、意見を付して、これを裁判所に通知しなければならない。
　検察官が何ら意見を述べない場合は、裁判長は自ら忖度（目配せ、阿吽の呼吸、テレパシー等）によって検察官の意見を感得することができる。
（O地裁 K支部）

373:１３２人目の素数さん
17/07/09 01:23:47.48 terAY3QC.net
とりあえずNGしておくか。

374:１３２人目の素数さん
17/07/09 21:37:36.78 nSuoaCw0.net
医師国試には５択があるが、司法試験に３択はない。

375:１３２人目の素数さん
17/07/10 23:17:38.74 62ha2t6n.net
24cm×36cmの紙が1枚ある。
この紙に、定規を使わずに25cmの線を引きたい。
どうやればよいか？

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17/07/10 23:24:39.04 oiAeKqds.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が崩壊します。なので早く止めましょう。★★★
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387:１３２人目の素数さん
17/07/11 09:13:22.20 ecYhUykI.net
最後は定規使わないと無理じゃね？

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389:１３２人目の素数さん
17/07/11 11:13:04.28 i35dlL7F.net
両端点が指定された線分の折り跡が作れればいいんじゃない

390:１３２人目の素数さん
17/07/11 12:03:12.01 maVwdR/f.net
折り紙でできることを定義しないとな。
折り目や縁の直線を揃えながら、他の１点を通る折り目で折るなんてことが
許されるならば、平行線の作図が簡単にできるので、線分のn等分も簡単にできて
有理数の範囲ならなんでもアリになってしまう。

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17/07/11 12:06:43.39 9S2RRwNx.net
★★★数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、日頃から真面目に学問に精進すべき。★★★
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392:368
17/07/11 12:09:41.06 1uYg7rKX.net
難しく考えなくても
極めてシンプルなやり方があるぞ

393:１３２人目の素数さん
17/07/11 12:15:32.34 DXbLnbIN.net
長方形ABCDを縦24cm×横36cmとする
ABがBCに重なるように折って12(=36-24)cmを測り、横に3つ折り
対角線BDで折って、①の折り跡との交点を使って縦に3つ折り
左から1つ目の折り跡と上から2つ目の折り跡の交点をEとするとAE=20cm
ABがAEに重なるように折り、AB上に、AF=20cmとなる点Fをとる
次に、CDが右から2つ目の折り跡に重なるように折り、そのときの折り跡をαとする
ABとαが重なるように折ったときの折り跡をβとするとABとβ間の長さは15cm
ADとβの交点をGとすると、FG=25cm

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17/07/11 12:16:47.36 9S2RRwNx.net
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395:１３２人目の素数さん
17/07/11 12:17:51.28 DXbLnbIN.net
>>385
なるほど分かった
対角線BDで折り返して、ADとBCの交点をPとする
AP=7cmだからちょうどBP=25cmになるってわけか

396:368
17/07/11 12:18:18.73 1uYg7rKX.net
>>388
正解

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398:１３２人目の素数さん
17/07/11 12:31:29.13 5wJ9EuWq.net
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どうぞ

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410:１３２人目の素数さん
17/07/11 23:21:46.77 5wJ9EuWq.net
54枚のJoker2枚含むトランプから、無作為に14枚カードを選ぶ。14枚のカードをA,Bの2人に7枚ずつに分ける。
Aの方にJokerが1枚来た時、Bが革命をできる確率を答えよ。
ここで革命とは4枚以上の同じ数字、または4枚以上の同じスート(♤、♧、♡、♢)の連なっている数字の組み合わせを意味する。
ex)
Bの手札が(♢4,♤4,♡4,♡5,♤6,♤7,Joker)の場合革命することができる。
補足,Jokerは区別のつかないもの、つまり同じものを2枚として考える。

411:１３２人目の素数さん
17/07/11 23:23:30.53 5wJ9EuWq.net
>>2
(7)
n∈ℕ=ℤ>0とする
(2ⁿ+1)/n²∈ℕは則ちn²|(2ⁿ+1)であり、従ってn|2ⁿ+1である
2ⁿ+1は奇数より、n²も奇数であり、則ちnは奇数である
n=1とすれば、1²|2¹+1は明らか
nが素数であればFermatの小定理より、n|2ⁿ⁻¹-1
∴n|2ⁿ-2=2ⁿ+1-3
前提より、或るα∈ℕが存在し、2ⁿ+1=αn
∴n|αn-3、則ちn|3
nは素数より、n＝3が必要である
逆に2³+1=9=3²=3²×1より、1∈ℤも加味し、nが合成数の時、n|2ⁿ+1と仮定する
或る素数pとβ∈ℕが存在し、n=pβと表せる
∴p|2ⁿ+1
Fermatの小定理より、p|2ᵖ⁻¹-1
∴p|2ᵖ-2
∴p|2ᵖᵝ-2ᵝ=2ⁿ+1-2ᵝ-1
前提より、或るγ∈ℕが存在し、2ⁿ+1=γn
∴p|γn-2ᵝ-1、則ちp|2ᵝ+1
∴p|2ⁿ+2ᵖ
∴p|2ᵖ-2も加味し、p|2ⁿ+2
∴p|2ⁿ+1も加味し、p|1となりp>1に反し矛盾
∴以上より、n=1,3 □

412:１３２人目の素数さん
17/07/12 00:16:45.26 lfKCKHLa.net
√2○√2○√2○√2
丸の所に「＋」「－」「×」「÷」を入れて、
1,2,3,4,6,8をそれぞれ求めよ。（）を使用してもよい。

413:１３２人目の素数さん
17/07/12 00:17:42.98 lfKCKHLa.net
√2○√2○√2○√2
丸の所に「＋」「－」「×」「÷」を入れて、
1,2,3,4,6,8をそれぞれ求めよ。（）を使用してもよい。

414:１３２人目の素数さん
17/07/12 00:50:24.09 +TgohSi/.net
1=√2÷√2×√2÷√2
2=√2×√2×(√2÷√2)
3

415:=(√2+√2+√2)÷√2 4=√2×√2×√2×√2 6=(√2+√2+√2)×√2 8=(√2+√2)×(√2+√2)

416:１３２人目の素数さん
17/07/12 01:26:59.74 e4noN4Vz.net
>>404
＞前提より、或るγ∈ℕが存在し、2ⁿ+1=γn
＞∴p|γn-2ᵝ-1、則ちp|2ᵝ+1
＞∴p|2ⁿ+2ᵖ
なんで p|2ⁿ+2ᵖ が出るんだ？

417:１３２人目の素数さん
17/07/12 04:05:17.66 O4ruKxHH.net
>>408
ん？おかしいか？

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17/07/12 04:21:55.68 /SI9Htnb.net
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428:１３２人目の素数さん
17/07/12 04:38:12.94 e4noN4Vz.net
>>409
だから何で p|2ⁿ+2ᵖ が出るんだよ。おかしいだろ。
一応言っておくけど、もし
2^p(2^β＋1)＝2^{pβ}＋2^p＝2^n＋2^p
という計算をしているのなら間違いだぞ。
2^p(2^β＋1)＝2^{p＋β}＋2^p
なのであって、2^n＋2^p は出てこないからな。

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440:１３２人目の素数さん
17/07/12 09:52:53.89 O4ruKxHH.net
>>420
まぁ頭の中ではp|(2ᵝ+1)ᵖ⇔p|2ᵖᵝ+2ᵖとやっていたがp|2ᵖᵝ+1だな

441:１３２人目の素数さん
17/07/12 10:16:55.68 b2ujlBST.net
>>404
後半部の訂正
nが合成数の時、n|2ⁿ+1と仮定する
或る素数pとβ∈ℕが存在し、n=pβと表せる
∴p|2ⁿ+1
Fermatの小定理より、p|2ᵖ⁻¹-1
∴p|2ᵖ-2
∴p|2ᵖᵝ-2ᵝ=2ⁿ+1-2ᵝ-1
前提より、或るγ∈ℕが存在し、2ⁿ+1=γn
∴p|γn-2ᵝ-1、則ちp|2ᵝ+1
∴p|2ᵖ-2も加味し、p|2ᵖ+2ᵝ-1
∴p|2²ᵖ+2ᵖᵝ-1=4ᵖ+2ⁿ+1-2=4ᵖ-2+γn
此処で、Fermatの小定理より、p|4ᵖ⁻¹-1 従ってp|4ᵖ-4

442:１３２人目の素数さん
17/07/12 10:27:12.51 b2ujlBST.net
>>433
∴p|4-2=2なるが、pが奇素数である事に矛盾
∴以上より、n=1,3 □

443:１３２人目の素数さん
17/07/12 10:27:49.68 b2ujlBST.net
>>434
同じだけど後半2行目奇素数pって書いた方がいいかな

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445:１３２人目の素数さん
17/07/12 12:22:43.74 oJcf1TwP.net
>>385
なるほど分かった。
対角線BDで折り返して、ADとBCの交点をPとする。
AP=CP=10cmだからちょうどBP=DP=26cmになるってわけか

446:￥
17/07/12 13:07:05.58 /SI9Htnb.net
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456:１３２人目の素数さん
17/07/12 14:00:26.04 e4noN4Vz.net
>>433
＞∴p|2ᵖ-2も加味し、p|2ᵖ+2ᵝ-1
＞∴p|2²ᵖ+2ᵖᵝ-1=4ᵖ+2ⁿ+1-2=4ᵖ-2+γn
今度は p|2²ᵖ+2ᵖᵝ-1 が意味不明。
どこからこんな式が出てくるんだよ。
もし (x＋y)^p ≡ x^p＋y^p (mod p) を
使っているのならば、
p|2^p＋2^β－1
p|(2^p＋2^β－1)^p
p|2^{2p}＋2^{pβ}－1
という計算をしているものと思われるが、これは間違っている。
なぜなら、2^{2p} のところは 2^{p^2} が正しい計算だからだ。
すなわち、正しくは
p|2^{p^2}＋2^{pβ}－1
しか出てこない。

＞∴p|4-2=2なるが、pが奇素数である事に矛盾
ここもよく分からん。p|4ᵖ-4 からどうして p|4－2 が出てくるんだ。
もっとも、上で指摘したとおり、それ以前のところで間違ってるから、
この指摘は必要ないっちゃ必要ないがね。

457:１３２人目の素数さん
17/07/12 15:36:32.56 O4ruKxHH.net
>>448
前半の主張はその通りですね...相変わらず暗算をするとおかしな計算をしてしまう...そもそもβ≧3を使っていない時点でおかしいのですよね...
後半の主張に関してはその1行上の式を変形するための補題としてその式を出したのでp|4ᵖ-2+γnとp|4-4ᵖと推移律から導かれます

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17/07/12 16:56:16.69 /SI9Htnb.net
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459:１３２人目の素数さん
17/07/12 17:16:22.04 O4ruKxHH.net
ある商品が不良品か調べる装置がある。これを不良品に使うと99%の確率で不良品であるという正しい診断結果がでる。また，不良品ではない商品に使うと1%の確率で不良品であるという誤った診断結果がでる。
　いま，商品１万個のうち１００個が不良品であることがわかっている。この１万個の商品の中から無作為に１個商品を選び，同装置を使ったところ，不良品と出た。このとき，この商品が実際に不良品である確率はいくらでしょう？

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17/07/12 17:33:35.68 /SI9Htnb.net
★★★馬鹿板を長くヤルと脳が悪くなって軽蔑される。そやし早く止めるべき。★★★
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461:１３２人目の素数さん
17/07/12 18:03:30.60 K/D3ma7c.net
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463:１３２人目の素数さん
17/07/12 18:54:01.05 O4ruKxHH.net
>>453
ご名答

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474:１３２人目の素数さん
17/07/12 20:36:36.05 4DpnFpJn.net
なんでやねん！

475:１３２人目の素数さん
17/07/12 21:17:43.41 +TgohSi/.net
>>466
無作為に選んだ商品が不良品である事象をA，装置の診断が正しいという事象をBとする
Aの余事象をnotAなどと書くと
P(A)=1/100，P(notA)99/100
P(B)=99/100，P(notB)=1/100
求める確率は
P(A∩B)/(P(A∩B)+P(notA∩notB))=99/(99+99)=1/2

476:１３２人目の素数さん
17/07/12 21:19:43.68 O4ruKxHH.net
100^(m+n)が一の位に自然数を持つとき、mとnを全て求めよ。ただし-5<n<mとする。

477:￥
17/07/12 21:21:57.23 /SI9Htnb.net
★★★馬鹿板を長くヤルと脳が悪くなって軽蔑される。そやし早く止めるべき。★★★
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478:１３２人目の素数さん
17/07/12 23:33:32.84 4DpnFpJn.net
>>468
問題の意味が分からん。変な言い方だな。

479:１３２人目の素数さん
17/07/13 00:24:03.18 oVTfqBd/.net
>>437
なるほど分かった。
　AB = 24 cm,
　辺AD上に、AP=PQ となる点Qをとると、AQ = 10 cm *2 = 20 cm，
　辺BC上に、BS=SP となる点Sをとると、BS = 26 cm /2 = 13 cm,,
だからちょうど
　QS = √{AB^2 + (AQ-BS)^2} = 25 cm.
になるってわけか。

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17/07/13 02:50:09.35 WLr1owHn.net
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17/07/13 02:50:27.75 WLr1owHn.net
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490:１３２人目の素数さん
17/07/13 05:38:40.06 lroElEF/.net
>>468
m, nは整数限定なのか？

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17/07/13 05:47:20.29 WLr1owHn.net
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17/07/13 10:16:05.43 WLr1owHn.net
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493:１３２人目の素数さん
17/07/14 00:32:21.62 AlsCF/dY.net
100^(m+n)が一の位に自然数を持つのは、
0<=m+n<1のとき。
-5<n<mとの共通範囲は、下図(略)のとおり。
そのような実数(m,n)は無数にあるが、
整数に限定するなら(m,n)=(1,-1),(2,-2),(3,-3),(4,-4)。

494:￥
17/07/14 00:53:42.48 ZICaIrqM.net
■■■馬鹿板をスルと菅官房長官みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■
￥

495:１３２人目の素数さん
17/07/14 01:05:00.63 c/cZmSJH.net
｛a+1,a+2,.....,a+111｝
がすべて合成数である最小値をもとめよ
ただしaは素数としてよい。

496:￥
17/07/14 01:18:44.37 ZICaIrqM.net
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼
￥

497:１３２人目の素数さん
17/07/14 01:21:24.60 XjJWE0ai.net
>>487
「素数としてよい」の意図が分からないけど
2から112の素因数分解に現れる素数を小さい方から番号をつけてp[n] (n=1, 2, …, m)と表したとき
a=p[1]p[2]…p[m]+1
素数かどうかは分からない

498:１３２人目の素数さん
17/07/14 01:44:11.46 AlsCF/dY.net
そのaが素数でなければ、もっと小さいaがあるな。

499:１３２人目の素数さん
17/07/14 01:50:01.51 1LZKbyHk.net
３７０２６１。

500:１３２人目の素数さん
17/07/14 01:52:36.62 XjJWE0ai.net
>>491
調べてみたら確かに次の素数は370372らしい
でもどうやって見つけたの？

501:１３２人目の素数さん
17/07/14 02:11:13.49 c/cZmSJH.net
>>491
正解ですね。
発見のうまいやり方があれば教示してください。

502:１３２人目の素数さん
17/07/14 02:16:19.38 SOsffsxZ.net
xy平面上に直線L:y=kx (k>0)と原点O以外の格子点Pm,n=(m,n)がある。((m,n)≠(0,0))
Pm,nからLへ下した垂線の長さをhm,nとする。
このとき、hm,n ≧r ≧0となるrの最大値を求めよ。

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17/07/14 02:38:17.23 ZICaIrqM.net
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼
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504:１３２人目の素数さん
17/07/14 09:07:19.97 a3UotZLM.net
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17/07/14 09:31:46.27 ZICaIrqM.net
▽▽▽数学徒たる者は馬鹿板はせず、主観を捨てて客観に徹し、学術に専念すべき。▽▽▽
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506:１３２人目の素数さん
17/07/14 10:55:34.57 D06THB79.net
素数gapについては
URLﾘﾝｸ(www.asahi-net.or.jp)
とかが詳しいけど、やはり一般にはしらみ潰ししかないみたいだな

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17/07/14 11:12:19.55 ZICaIrqM.net
▽▽▽数学徒たる者は馬鹿板はせず、主観を捨てて客観に徹し、学術に専念すべき。▽▽▽
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17/07/14 12:07:22.69 ZICaIrqM.net
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17/07/14 16:13:31.81 hUEN882q.net
>>494
k=1で(rの最大値)=(hの最小値)=1/√2

519:368
17/07/14 16:15:07.02 hUEN882q.net
{rの最大値}の最大値じゃなくて、rの最大値をkで一般化するのね

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17/07/14 16:15:28.83 ZICaIrqM.net
▽▽▽数学徒たる者は馬鹿板はせず、主観を捨てて客観に徹し、学術に専念すべき。▽▽▽
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