面白い問題おしえて～な二十三問目

面白い問題おしえて～な二十三問目 at MATH

1:１３２人目の素数さん
17/06/14 14:01:39.08 1dlUYn1w.net
過去ログ
URLﾘﾝｸ(www3.tokai.or.jp)
まとめwiki
URLﾘﾝｸ(www6.atwiki.jp)
1 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
2 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
3 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
4 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
5 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
6 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
7 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
8 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
9 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
10 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
11 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
12 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
13 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
14 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
15 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
16 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
17 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
18 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
19 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
20 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
21 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
22 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

2:１３２人目の素数さん
17/06/14 14:06:58.06 1dlUYn1w.net
積み残し
(6)　m,nに対してN=(m^2+n^2)/(mn+1)が自然数のとき、Nは平方数であることを示せ。
(7)　(2^n+1)/n^2が自然数となるnを求めよ。

3:前スレ924
17/06/14 14:15:38.40 1dlUYn1w.net
(6)
i) m=nのとき
N=2n^2/(n^2+1)=2-2/(n^2+1)
これが自然数になるのはn=1
このときN=1は平方数
ii) m≠nのとき
与式の対称性よりm>nとしてよい。
Kを平方数でない自然数とする。
N=Kの解となる(m,n)のうち、mが最小であるものを(a,b)する。
ここで、a^2+b^2=K(ab+1)⇔-Kba+b^2-K=0より
aは
x^2-Kbx+b^2-K=0　…☆
の解であるが、
解と係数の関係（Vietaの公式）より整数c=Kb-aも☆

4:の解であり　…★ すなわち(c^2+b^2)/(cb+1)=Kで、 (c,b)及び(b,c)もN=Kの解である。新たな解(b,c)について、 ☆の解と係数の関係よりac=b^2-K よって、ac<b^2 a>bと合わせてc<b また、 c=0ならば、K=b^2でKが非平方数であることに矛盾。 c<0ならば、c^2-Kbc+b^2-K≧c^2+K+b^2-K=b^2+c^2≠0で☆に矛盾。よって、c>0（つまりcは自然数）解(b,c)の存在は解(a,b)のaの最小性と矛盾する。よって、N=Kのとき解(m,n)は存在しない。つまり、Nが自然数ならばNは平方数である。

5:前スレ924
17/06/14 14:16:26.48 1dlUYn1w.net
★が所謂Vieta jumpingというテクニック。取りあえず別の解を見つけて、無限降下法などで矛盾を導けないか調べる技である。IMO2007-5などでも利用できるらしい。
出典：IMO1988-6

6:１３２人目の素数さん
17/06/14 14:35:03.57 zVoNGxiT.net
>>1 もうお前に用はない
　 ○
　く|)へ
　　〉　ヾ○ｼ
￣￣７　ヘ/
　　/　ノ
　｜
　／
`｜
／

7:１３２人目の素数さん
17/06/14 14:36:17.64 zVoNGxiT.net
>>4
> ★が所謂Vieta jumpingというテクニック。
勉強になった。いろいろあるんだな

8:１３２人目の素数さん
17/06/14 15:05:00.44 mPmoc9X0.net
pを奇素数とする。以下の条件(i)、(ii)をともに満たす整数a、b、cの組(a,b,c)の個数をN(p)と表す。
(i)a、b、cの最大公約数は1
(ii)a^2+b^2+c^2=p^2
p≡1(mod4)のときN(p)=6(p-1)、p≡3(mod4)のときN(p)=6(p+1)であることを示せ。

9:１３２人目の素数さん
17/06/14 18:09:14.37 1dlUYn1w.net
(i)で公約数が定義できるからa,b,cは自然数？
あと「どの2つも最大公約数が1」じゃなくて「3つの最大公約数が1」？

10:１３２人目の素数さん
17/06/14 19:17:04.91 zVoNGxiT.net
そこ重要だな。

11:１３２人目の素数さん
17/06/14 19:41:07.96 +969D32m.net
３のときどうなるか位調べてから言え

12:１３２人目の素数さん
17/06/14 20:16:20.51 1dlUYn1w.net
>>7
条件(i) abc≠0、|a|,|b|,|c|の3自然数の最大公約数が1
と解釈すると
N(5)=0となって主張が破綻する
p=3のとき(a,b,c)=(±1,±2,±2),(±2,±1,±2),(±2,±2,±1)（複号任意）の24通り（=6(3+1)通り）　(a,b,c)=(0,0,3)等はカウントせず
p=5のとき(a,b,c)は0通り（≠6(5-1)通り）　(a,b,c)=(0,3,4),(0,0,5)等はカウントせず
p=7のとき(a,b,c)=(±2,±3,±6),(±2,±6,±3),(±3,±2,±6),(±3,±6,±2),(±6,±2,±3),(±6,±3,±2)（複号任意）の48通り（=6(7+1)通り）　(a,b,c)=(0,0,7)等はカウントせず
…

条件(i) |a|,|b|,|c|の3数の最大公約数が1
と解釈すると
今度はN(3)=48, N(5)=72, N(7)=72となって主張が破綻するし、
そもそも0を含む場合の公約数の定義ができない

13:１３２人目の素数さん
17/06/14 20:25:13.63 1dlUYn1w.net
ところで、前者の解釈(abc≠0)だと
(a,b,c)を自然数の範囲で考えてよいが、
そのとき条件(ii)は直方体の3辺と対角線の長さの関係に言い換えられる
これに関する話は
URLﾘﾝｸ(www004.upp.so-net.ne.jp)
の下部にある

14:１３２人目の素数さん
17/06/14 23:54:05.71 swIUYEW/.net
調べたら分かることだが、最大公約数の定義は「少なくとも1つが0でない複数の整数すべてを割り切る最大の正の整数」
だから－２、０、ー４の最大公約数は２

15:１３２人目の素数さん
17/06/14 23:59:56.09 mureZAg4.net
ｇｃｄ（±３，０，０）＝３。
ｇｃｄ（±２，±２，±１）＝１。
Ｎ（３）＝２４。
ｇｃｄ（±５，０，０）＝５。
ｇｃｄ（±４，±３，０）＝１。
Ｎ（５）＝２４。

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17/06/15 06:42:00.28 BqTpLEtE.net
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17/06/15 06:42:20.31 BqTpLEtE.net
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17/06/15 06:42:37.70 BqTpLEtE.net
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26:１３２人目の素数さん
17/06/15 12:57:53.09 e1MYy9JH.net
>>7
条件(i)を「原始性」とよぶことにする。
以下、4を法とする。
(偶数の平方)≡0
(奇数の平方)≡1
まずa,b,cが非負整数のときを考える。
I) a=b=cのとき
a=b=c=0は最大公約数が定義できない。
a=b=c=1に対応するpはない。
a=b=c≧2は原始性に反する。
II) a,b,cのうち2つが等しいとき
対称性よりa=b≠cとしてよい。
a=b=0のとき、c=1に対応するpはなく、c≧2では原始性に反する。
また、c=0のとき、a=b=1に対応するpはなく、a=b≧2では原始性に反する。
よって、abc≠0であり、a,b,cは自然数の範囲で考えればよい。
2a^2+b=p^2　…①
この場合、(a,b,c)は8*3=24通りある。
III) a,b,cが等しくないとき
対称性よりa>b>cとしてよい。
i) c=0のとき
a^2+b^2=p^2　…②
この場合、(a,b,c)は8*6=48通りある。　
ii) c≠0のとき
a^2+b^2+c^2=p^2　…③
N(p)
=8*3(①を満たす原始的な(a,b)の個数)
+8*6(②を満たす原始的な(a,b)の個数)
+8*6(③を満たす原始的な(a,b,c)の個数)
と、結局は自然数の範囲の話に帰着できる。

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17/06/15 12:58:28.68 BqTpLEtE.net
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>112 名前：￥ ◇2VB8wsVUoo 2017/06/15(木) 08:39:06.70 ID:7Rm0/VD6
> ★★★数学徒は情熱的な霊感により主観的に暮らし、唯ひたすら自己の世界に沈潜すべき。★★★
>
> 佐藤幹夫を見よ、ラマヌジャンを見よ
>
> 本物の￥
>

28:１３２人目の素数さん
17/06/15 13:00:48.21 e1MYy9JH.net
上の修正
>>7
条件(i)を「原始性」とよぶことにする。
以下、4を法とする。
(偶数の平方)≡0
(奇数の平方)≡1
a,b,cが非負整数のときを考える。
I) a=b=cのとき
a=b=c=0は最大公約数が定義できない。
a=b=c=1に対応するpはない。
a=b=c≧2は原始性に反する。
II) a,b,cのうち2つが等しいとき
対称性よりa=b≠cとしてよい。
a=b=0のとき、c=1に対応するpはなく、c≧2では原始性に反する。
また、c=0のとき、a=b=1に対応するpはなく、a=b≧2は原始性に反する。
よって、abc≠0であり、a,b,cは自然数の範囲で考えればよい。
2a^2+b=p^2　…①
III) a,b,cが等しくないとき
対称性よりa>b>cとしてよい。
i) c=0のとき
a^2+b^2=p^2　…②　
ii) c≠0のとき
a^2+b^2+c^2=p^2　…③
N(p)
=8*3(①を満たす原始的な(a,b)の個数)
+4*6(②を満たす原始的な(a,b)の個数)
+8*6(③を満たす原始的な(a,b,c)の個数)
と、結局は自然数の範囲の話に帰着できる。

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17/06/15 13:02:07.05 BqTpLEtE.net
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>112 名前：￥ ◇2VB8wsVUoo 2017/06/15(木) 08:39:06.70 ID:7Rm0/VD6
> ★★★数学徒は情熱的な霊感により主観的に暮らし、唯ひたすら自己の世界に沈潜すべき。★★★
>
> 佐藤幹夫を見よ、ラマヌジャンを見よ
>
> 本物の￥
>

30:１３２人目の素数さん
17/06/15 13:03:51.19 e1MYy9JH.net
調べたらエルミートが任意のxについてN(x)を求めているようだ。
ソースが見つからないが
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)

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>112 名前：￥ ◇2VB8wsVUoo 2017/06/15(木) 08:39:06.70 ID:7Rm0/VD6
> ★★★数学徒は情熱的な霊感により主観的に暮らし、唯ひたすら自己の世界に沈潜すべき。★★★
>
> 佐藤幹夫を見よ、ラマヌジャンを見よ
>
> 本物の￥
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17/06/15 14:04:45.51 BqTpLEtE.net
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17/06/15 14:05:08.50 BqTpLEtE.net
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42:１３２人目の素数さん
17/06/17 07:28:37.42 BlQ5lYj0.net
>>29
最近の記事って、なんで何ページにも分割しているの？
たとえば
８２０．学会にて（形の科学会，その３） (17/06/15)
８２１．学会にて（形の科学会，その４） (17/06/16)
なんか、２つに分ける必要ないじゃん？
無理やり記事数を増やすことに拘ってるの？ああ？

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17/06/17 08:04:47.84 x2f6D4gs.net
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
　　～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君�

44:ﾕ。隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載されさえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。 ☆☆☆数学徒が馬鹿板をしたらダメ。さもないと国家議事堂みたいになります。☆☆☆ ￥

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17/06/17 10:02:13.70 x2f6D4gs.net
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17/06/17 10:02:55.41 x2f6D4gs.net
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55:１３２人目の素数さん
17/06/18 12:15:33.89 ecHJDxOe.net
3つの整数列 {a[n]}, {b[n]}, {c[n]} を
(2^(1/3) - 1)^n = a[n] + b[n]*2^(1/3) + c[n]*4^(1/3)
を満たすように定める
n≧2 ならば c[n]≠0 であることを示せ

56:１３２人目の素数さん
17/06/18 12:45:13.72 awVOhQuL.net
>>53
α=2^(1/3)とおく
a[n], b[n], c[n]は一意に定まっていて、
二項定理よりa[n]+b[n]+c[n]=0 ……(★)
任意のn≧1に対して、(α-1)^nは整数でない ……(★★)
(もし整数になるnがあると(★)よりb[n]=c[n]=0 ∴ a[n]=0 となるから)
今、あるm≧2でc[m]=0となると仮定するとa[m]+b[m]=0
このとき、(α-1)^m=a[m]-a[m]*α
∴ (α-1)^(m-1)=-a[m]
これは(★★)に反する

57:１３２人目の素数さん
17/06/18 13:12:05.52 IBN8Xhg9.net
>>54
(★)は、例えばn=3の時
(α-1)^3=1+3α-3α^2
だから成り立たないんじゃないか？

58:１３２人目の素数さん
17/06/18 13:47:44.58 IBN8Xhg9.net
>>53
a[n]^3 + 2b[n]^3 + 4c[n]^3 - 6a[n]b[n]c[n] = 1
が常に成り立つことは帰納的に確かめられる。
もし仮にc[n]=0が成り立て

59:ば a[n]^3 + 2b[n]^3 = 1 となるが、これは x^3 + 2y^3 = 1 の整数解を与えることになる。これって確か(1,0)と(-1,1)しか無いんじゃなかったっけ、楕円曲線とか使って

60:１３２人目の素数さん
17/06/18 14:11:00.04 awVOhQuL.net
>>56
確かめたら確かに1行目の等式は成り立ったけど
どうやって気が付きましたか？
形はx^3+y^3+z^3-3xyzだけどそれは関係ある…？

61:１３２人目の素数さん
17/06/18 15:08:22.09 usMvrWQZ.net
>>57
β=αω、γ=αω^2 としても実質全く同じ漸化式になるから、
{(α-1)(β-1)(γ-1)}^n = (a[n]+b[n]α+c[n]α^2)(a[n]+b[n]β+c[n]β^2)(a[n]+b[n]γ+c[n]γ^2)
ってなったからあとは計算、て感じかな
実は
a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a+bω+cω^2)(a+bω^2+cω)
っていう因数分解がヒントになった

62:１３２人目の素数さん
17/06/18 15:34:12.36 awVOhQuL.net
>>58
なるほど
ありがとうございます

63:１３２人目の素数さん
17/06/18 16:21:32.06 deFke0pb.net
A=∅とする
maxAとsupAを求めよ

64:１３２人目の素数さん
17/06/18 20:34:35.89 tr25+B+0.net
プロ野球真っ盛り
セ・パ6球団ずつある12球団の最終順位を予想してパーフェクトに正解させる確率って？

65:￥
17/06/18 21:06:49.88 ze+BLRMV.net
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66:￥
17/06/18 21:07:08.87 ze+BLRMV.net
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17/06/18 21:07:26.79 ze+BLRMV.net
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17/06/18 21:07:46.06 ze+BLRMV.net
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69:￥
17/06/18 21:08:02.73 ze+BLRMV.net
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70:￥
17/06/18 21:08:22.49 ze+BLRMV.net
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17/06/18 21:08:42.89 ze+BLRMV.net
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72:￥
17/06/18 21:09:04.14 ze+BLRMV.net
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73:￥
17/06/18 21:09:24.98 ze+BLRMV.net
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74:￥
17/06/18 21:09:46.40 ze+BLRMV.net
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75:１３２人目の素数さん
17/06/21 00:46:33.68 +M4LKvhn.net
>>60
定義されない
>>61
どの球団も各リーグで優勝する確率は同様に確からしいとして、
1/((6!)(6!))=1/518400=0.0000019…
0.0002%くらい

76:￥
17/06/21 05:51:29.09 cGYdNhEa.net
★★★数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、日頃から真面目に学問に精進すべき。★★★
￥

77:￥
17/06/21 10:30:49.75 cGYdNhEa.net
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78:￥
17/06/21 10:31:08.23 cGYdNhEa.net
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79:￥
17/06/21 10:31:26.32 cGYdNhEa.net
￥

80:￥
17/06/21 10:31:43.91 cGYdNhEa.net
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81:￥
17/06/21 10:32:01.39 cGYdNhEa.net
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82:￥
17/06/21 10:32:19.62 cGYdNhEa.net
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17/06/21 10:32:38.81 cGYdNhEa.net
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84:￥
17/06/21 10:32:58.10 cGYdNhEa.net
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17/06/21 10:33:17.08 cGYdNhEa.net
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17/06/21 10:33:37.24 cGYdNhEa.net
￥

87:１３２人目の素数さん
17/06/21 12:48:19.77 KVrNqG07.net
１から４までの数字が1つずつ書かれた4枚のカードが2組ある。この8枚のカードを4人に２枚ずつ無作為に配る。
(1)どの人についても、カードの数字が異なる確率を求めよ。
(2)カードの数字が異なる人がいた場合に、カードの数字が同じ人がいる確率を求めよ。
どなたかお願いします

88:￥
17/06/21 14:03:58.45 cGYdNhEa.net
★★★数学徒は論理的な考察により客観的に暮らし、日頃から深い学術を志すべき。★★★
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89:１３２人目の素数さん
17/06/21 16:40:07.43 xKMOHtro.net
>>84
質問スレはこっちだドアホ

90:１３２人目の素数さん
17/06/21 16:40:13.98 xKMOHtro.net
分からない問題はここに書いてね427 [無断転載禁止]©2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

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17/06/21 17:41:52.17 cGYdNhEa.net
★★★数学徒は論理的な考察により客観的に暮らし、日頃から深い学術を志すべき。★★★
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17/06/21 21:43:42.59 cGYdNhEa.net
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17/06/21 21:44:02.11 cGYdNhEa.net
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17/06/21 21:44:20.77 cGYdNhEa.net
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17/06/21 21:44:39.58 cGYdNhEa.net
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17/06/21 21:44:59.91 cGYdNhEa.net
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17/06/21 21:45:18.87 cGYdNhEa.net
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17/06/21 21:45:34.92 cGYdNhEa.net
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17/06/21 21:45:52.14 cGYdNhEa.net
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17/06/21 21:46:08.75 cGYdNhEa.net
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17/06/21 21:46:26.39 cGYdNhEa.net
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102:１３２人目の素数さん
17/06/22 02:47:17.78 HlUO2Vko.net
この値は？
証明つきで

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17/06/22 04:44:37.85 TA0WspoK.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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104:１３２人目の素数さん
17/06/22 14:22:40.24 RPdZEzzH.net
inf∅=inf{∩{n=1,∞)(n,∞)}
=lim(n→∞)inf(n,∞)=lim(n→∞)n=∞

105:￥
17/06/22 14:50:24.73 TA0WspoK.net
★★★数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、日頃から真面目に学問に精進すべき。★★★
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106:１３２人目の素数さん
17/06/22 15:13:37.20 j/Jp7soy.net
瀬戸は関西じゃありません

107:￥
17/06/22 15:24:40.72 TA0WspoK.net
★★★数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、日頃から真面目に学問に精進すべき。★★★
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17/06/22 16:27:53.56 TA0WspoK.net
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17/06/22 16:28:10.00 TA0WspoK.net
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17/06/22 16:28:27.06 TA0WspoK.net
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17/06/22 16:28:45.56 TA0WspoK.net
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17/06/22 16:29:03.24 TA0WspoK.net
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17/06/22 16:29:20.10 TA0WspoK.net
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17/06/22 16:29:39.24 TA0WspoK.net
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17/06/22 16:29:57.14 TA0WspoK.net
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17/06/22 16:30:15.12 TA0WspoK.net
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17/06/22 16:30:33.88 TA0WspoK.net
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118:１３２人目の素数さん
17/06/22 16:51:06.32 +cJQu2W9.net
学コン出すやつおるか？
今回の4番難しいわ

119:￥
17/06/22 17:34:12.12 TA0WspoK.net
★★★馬鹿板の利用は脳を悪くし、国家が壊れます。そやし早く止めるべきです。★★★
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17/06/22 21:12:17.10 TA0WspoK.net
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17/06/22 21:12:37.24 TA0WspoK.net
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17/06/22 21:12:57.40 TA0WspoK.net
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17/06/22 21:13:16.93 TA0WspoK.net
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17/06/22 21:14:18.12 TA0WspoK.net
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17/06/22 21:14:38.79 TA0WspoK.net
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17/06/22 21:14:59.28 TA0WspoK.net
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17/06/22 21:15:21.02 TA0WspoK.net
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130:１３２人目の素数さん
17/06/22 21:34:40.88 JFTX7L7o.net
>>101
何言ってっかさっぱりわからんorz

131:￥
17/06/22 23:05:10.32 TA0WspoK.net
★★★馬鹿板の利用は脳を悪くし、国家が壊れます。そやし早く止めるべきです。★★★
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132:１３２人目の素数さん
17/06/22 23:53:52.90 DXaj+/s0.net
「学コン」はNGワードへ。

133:１３２人目の素数さん
17/06/22 23:55:25.40 DXaj+/s0.net
>>84は学コンの問題。無視しろ。

134:￥
17/06/22 23:57:00.85 TA0WspoK.net
★★★馬鹿板の利用は脳を悪くし、国家が壊れます。そやし早く止めるべきです。★★★
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135:１３２人目の素数さん
17/06/23 02:07:36.05 P0aRc9y/.net
n次対称行列 A, B に対して、tr(exp(A+B)) ≦ tr(exp(A)・exp(B)) を示せ。

136:￥
17/06/23 02:10:04.98 4O8RcLYZ.net
★★★馬鹿板の利用は脳を悪くし、国家が壊れます。そやし早く止めるべきです。★★★
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137:１３２人目の素数さん
17/06/23 03:08:10.39 P0aRc9y/.net
1≦x≦y≦z、x^y + y^z = z^x をみたす整数の組(x,y,z)を全て求めよ。答えだけではダメとする。

138:￥
17/06/23 05:03:08.67 4O8RcLYZ.net
★★★馬鹿板の利用は脳を悪くし、国家が壊れます。そやし早く止めるべきです。★★★
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17/06/23 06:12:52.78 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 06:13:11.90 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 06:13:29.57 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 06:13:48.51 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 06:14:07.35 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 06:14:25.11 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 06:14:46.04 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 06:15:50.08 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 06:16:13.66 4O8RcLYZ.net
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149:１３２人目の素数さん
17/06/23 22:21:24.91 4y+CZzsV.net
芸能人vs YouTuber 【ヒカル年収5億】
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最高月収5000万円だとさ。年収じゃなくて「月収」な
おまえらもyoutubeに動画投稿したほうがいい
最低2年はやらないとここまではいかないが才能とアイデアと企画力と継続力が
あればが大儲けできる
他の職種に比べれば競争率が低いからオススメ
顔出したくないならラファエルみたいに仮面つければいい

150:￥
17/06/23 22:23:26.78 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 22:23:50.03 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 22:24:07.25 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 22:24:26.87 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 22:24:43.07 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 22:25:00.25 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 22:25:33.97 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 22:25:51.03 4O8RcLYZ.net
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17/06/23 22:26:10.56 4O8RcLYZ.net
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160:１３２人目の素数さん
17/06/24 04:56:37.77 qbOSgKwa.net
幾何から一題
∠Cを直角とする直角三角形ABCを考える
斜辺AB上にBC=BDなる点Dをとり、
△ABCの辺上に点Pを、直線DPが△ABCの面積を二等分するようにとる
このとき、2PD=ABを示せ

161:１３２人目の素数さん
17/06/24 12:09:05.29 VppWf/M7.net
>>157
何か間違えてない？
成り立たない

162:１３２人目の素数さん
17/06/24 12:21:13.76 ACAX9txc.net
>>157
2PB=ABじゃないの？

163:１３２人目の素数さん
17/06/24 12:29:43.86 ACAX9txc.net
AC＜BCのときしか成り立たない？

164:１３２人目の素数さん
17/06/24 12:32:25.21 qbOSgKwa.net
>>160
そのようです。後だしですみませんm(_ _)m
AC＜BCの仮定を追加でお願いします

165:１３２人目の素数さん
17/06/24 14:51:49.63 IHmtzOK/.net
簡単に　2BP=BA　が確認できる
後は余弦定理で

166:￥
17/06/24 15:00:34.65 3E0KjJWa.net
★★★数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、日頃から真面目に学問に精進すべき。★★★
￥

167:１３２人目の素数さん
17/06/24 15:21:09.97 ACAX9txc.net
余弦定理なんていらんでしょ
AB上に点Qを△BDP≡△BCQとなるように取れる
△BCQの面積が全体の半分ということになるのでQはABの中点
全体は直角三角形なのでQは外接円の中心でもあるからCQは半径
以下略

168:１３２人目の素数さん
17/06/24 15:37:45.98 qbOSgKwa.net
>>164
正解です
用意してた解答はPからABに垂線をおろして
相似を利用する方法ですが
Qをとって考えるとスムーズですね

169:￥
17/06/24 15:48:22.29 3E0KjJWa.net
★★★数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、日頃から真面目に学問に精進すべき。★★★
￥

170:１３２人目の素数さん
17/06/24 18:47:43.06 yVHvdWSI.net
ABの中点をMとしたら
四角形MPCDは等脚台形なのでDP=CM
CM=AB/2 だから解決

171:￥
17/06/24 19:30:03.52 3E0KjJWa.net
★★★数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、日頃から真面目に学問に精進すべき。★★★
￥

172:１３２人目の素数さん
17/06/24 21:05:12.15 LZ4UyzO9.net
数学スレで大学への数学がNGワードにぶち込まれる謎

173:１３２人目の素数さん
17/06/24 21:50:20.57 YMiFnJJl.net
受験数学は牢屋にぶち込まれろ

174:￥
17/06/25 01:15:00.38 i2ZaylUY.net
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17/06/25 01:15:19.44 i2ZaylUY.net
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17/06/25 01:15:39.22 i2ZaylUY.net
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17/06/25 01:15:57.12 i2ZaylUY.net
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17/06/25 01:16:15.78 i2ZaylUY.net
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179:１３２人目の素数さん
17/06/25 01:16:27.24 8SgueX3P.net
>>99の答え
3に収束する（Ramanujan's infinite radicals）
証明はURLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)を見て

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17/06/25 01:16:34.48 i2ZaylUY.net
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17/06/25 01:16:52.27 i2ZaylUY.net
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17/06/25 01:17:13.46 i2ZaylUY.net
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17/06/25 01:17:33.91 i2ZaylUY.net
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17/06/25 01:17:52.60 i2ZaylUY.net
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17/06/25 01:18:12.04 i2ZaylUY.net
￥

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17/06/25 01:18:30.63 i2ZaylUY.net
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17/06/25 01:18:51.30 i2ZaylUY.net
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17/06/25 01:19:10.85 i2ZaylUY.net
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17/06/25 01:19:32.25 i2ZaylUY.net
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190:１３２人目の素数さん
17/06/25 01:21:36.25 8SgueX3P.net
Microsoftが就職面接で出したとかいう問題
長方形ABCDに対して点PがAP=11,BP=13,CP=7を満たすとき、DPは？

191:１３２人目の素数さん
17/06/25 03:03:56.31 dLSgUfzK.net
>>134
どうやって絞るん？

192:１３２人目の素数さん
17/06/25 04:20:06.38 6bqooBPe.net
>>187
x^2+13^2=11^2+7^2
x=1

193:１３２人目の素数さん
17/06/25 05:05:09.57 6bqooBPe.net
>>188 >>134
y^z ≧ x^zより
z^x = x^y+y^z > x^z
xlogz > zlogz
∴ (logz)/z > (logx)/x
ここで、f(t) = (logt)/tとおくと、
f'(t) = (1-logt)/t^2より、
t≧1でf(t)の増減を調べると、
1≦t≦eで増加、t≧eで減少
f(1)=0，lim_{t→∞}f(t)=0となる。
もし、x≧eなら、z≧xよりf(z)≦f(x)となり矛盾。
よって、x<eでなくてはならず、x=1または2
x=1のときz=y^z+1
　y=1ならz=2
　y≧2ならz≧2でz<y^z+1となることが示せる
x=2のときf(2)=f(4)より2≦z≦4
　このとき、2^y+y^z=z^2となるような(y,z)の組は存在しない
以上より(x,y,z) = (1,1,2)のみが答え

194:￥
17/06/25 06:17:46.69 i2ZaylUY.net
★★★馬鹿板を長くヤルと脳が悪くなって軽蔑される。そやし早く止めるべき。★★★
￥

195:１３２人目の素数さん
17/06/25 08:21:59.05 dLSgUfzK.net
>>190
さんくす。
>>187
これをみたす長方形ABCDの４辺の長さの組は３通りだろうけど、定まるのかな？

196:￥
17/06/25 09:27:51.77 i2ZaylUY.net
★★★数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、日頃から真面目に学問に精進すべき。★★★
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17/06/25 10:39:27.59 i2ZaylUY.net
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17/06/25 10:39:45.75 i2ZaylUY.net
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17/06/25 10:40:08.84 i2ZaylUY.net
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17/06/25 10:40:28.24 i2ZaylUY.net
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17/06/25 10:40:49.00 i2ZaylUY.net
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17/06/25 10:41:08.96 i2ZaylUY.net
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17/06/25 10:41:29.42 i2ZaylUY.net
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17/06/25 10:41:50.13 i2ZaylUY.net
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17/06/25 10:42:11.81 i2ZaylUY.net
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17/06/25 10:42:32.17 i2ZaylUY.net
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207:１３２人目の素数さん
17/06/25 16:55:05.60 vohnNVSv.net
Bを原点として、
[A] √{(x-a)^2+y^2}=11,
[B] √{x^2+y^2}=13,
[C] √{x^2+(y-b)^2}=7
より [A]^2+[C]^2-[B]^2 で
√{(x-a)^2+(y-b)^2}=√(11^2+7^2-13^2)=あとは電卓に。
[A]^2-[B]^2 で x が a の式で
[C]^2-[B]^2 で y が b の式で表される。
それを [B] へ代入したものが a,b の必要十分条件で
(a,b) はひとつには決まらない。

208:￥
17/06/25 17:18:22.81 i2ZaylUY.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が崩壊します。なので早く止めましょう。★★★
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17/06/25 20:19:13.46 i2ZaylUY.net
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17/06/25 20:19:34.55 i2ZaylUY.net
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17/06/25 20:19:54.34 i2ZaylUY.net
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17/06/25 20:20:13.55 i2ZaylUY.net
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17/06/25 20:20:32.12 i2ZaylUY.net
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17/06/25 20:20:52.04 i2ZaylUY.net
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17/06/25 20:21:13.62 i2ZaylUY.net
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17/06/25 20:21:33.43 i2ZaylUY.net
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17/06/25 20:21:51.10 i2ZaylUY.net
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17/06/25 20:22:12.06 i2ZaylUY.net
￥

219:１３２人目の素数さん
17/06/25 22:50:39.89 LvX/aL4D.net
>>189,204
正解
AP^2+CP^2=BP^2+DP^2はBritish flag theoremというらしい
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
マイクロソフトはこの問題を口頭で解かせた…？

220:１３２人目の素数さん
17/06/25 23:10:33.70 1oxh/mev.net
>>216
知ってたら即答だな
知らなくても補助線引いて三平方使うのに気付いたら解ける

221:１３２人目の素数さん
17/06/26 01:03:59.11 WMgNNINg.net
F_1=F_2=1, F_(n+2)=F_(n+1)+F_(n)
で定義されるフィボナッチ数列F_nを用いてよい。
(1) 1/(1-x-x^2)を計算して、xの多項式として表せ。
(2) 上の結果と1/(1-x-x^2)=(x^-2)/((x^-2)-(x^-1)-1)を利用して、
(x^-1)/((x^-2)-(x^-1)-1)をxの多項式として表せ。
(3) 0. 0001 0001 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 0089 0144 …
となる既約分数を求めよ。

222:１３２人目の素数さん
17/06/26 03:33:14.56 ChRIm5Q7.net
全国521駅｢10年累計鉄道自殺数｣ランキング
2016年06月22日
西八王子駅（東京）……39件
桶川駅（埼玉）…………34件
川崎駅（神奈川）………31件
新小岩駅（東京）………30件
新宿駅（東京）…………30件
八王子駅（東京）………30件
URLﾘﾝｸ(toyokeizai.net)

ＪＲ川崎駅前にマタハリー(ピア、サントロぺ)のパチンコ台が約１８００台、パチスロ台が約１０００台ほどある。
その台はすべて、遠隔操作されています。
大勝ちしてる人のほとんどが内子です(ピアは内子の人数が日本一多い、詐欺犯罪組織です)。
今は大手のパチンコ店の大当たりはすべて遠隔大当たりなんです。
大当たりはアホ幹部がパソコンを１、３回クリックして大当たりさせています。
借金が原因で自殺してる人が多いけど、その原因は遠隔大当たりしかないパチンコ、パチスロなんです。
新小岩と新宿にはマルハンとエスパスがあります(エスバスは新宿歌舞伎町で一番大きなパチンコ店)。
西八王子駅の隣駅の八王子駅にはピアがあります(八王子駅にはパチンコ店がたくさんあります)。

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224::46:27.61 ID:dYpMJpMg.net

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235:１３２人目の素数さん
17/06/26 05:16:30.94 wnO7S5ec.net
【ひろき】上田泰己8【カッシーナ】 [無断転載禁止]©2ch.net･
ｽﾚﾘﾝｸ(life板)
817 名前:名無しゲノムのクローンさん :2017/05/22(月) 23:45:30.78 ID:8/RLXOTfd
中国人の東大女子大生が自殺した時に、元彼上田と新彼Bの三角関係が原因と聞いた。
家族が自殺偽造疑って後日週刊誌に記事が出ていたことがあった。
かなり前の週刊誌だったから覚えてる人いないよな。
週刊文春2007年6/9号　162ページから165ページ全文
「美人東大院生怪死」才色兼備の東大院生が何故自殺したのか
両親が涙の訴え「娘は殺された！」
警察は「自殺」と断定。疑問を抱いた両親が調べた「遺体の謎」「パソコンの秘密」
URLﾘﾝｸ(rio2016.2ch.net)

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17/06/26 06:10:15.60 dYpMJpMg.net
■■■馬鹿板をスルのは頭の悪い行為であり、そやし数学徒が行ってはならない。■■■
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247:１３２人目の素数さん
17/06/26 12:34:38.28 vrMzbwMW.net
>>218
(1)(2)　xの多項式として表わすことはできない。べき級数（無限級数）なら簡単だけど。
(3)　x^(-1) = 10^4 を入れる。 10000/99989999

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17/06/26 13:08:18.34 dYpMJpMg.net
■■■馬鹿板をスルのは頭の悪い行為であり、そやし数学徒が行ってはならない。■■■
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259:１３２人目の素数さん
17/06/26 15:54:52.62 z7PiOUx2.net
xでのべき級数展開のことだった。
218の答え
(1) 1/(1-x-x^2) = 1+x+2x^2+3x^3+5x^4+… = Σ[k=1,∞] (F_k)x^(k-1)
(2) (x^-1)/((x^-2)-(x^-1)-1) = xΣ[k=1,∞] (F_k)x^(k-1) = Σ[k=1,∞] (F_k)x^k
(3) x=10^-4を代入すると、(与小数) = Σ[k=1,∞] (F_k)10^(-4k) = (10^4)/(10^8-10^4-1) = 10000/99989999
これは既約

このようにx=10^-mとすれば、「小数点以下をm桁ごとに区切ると、途中までフィボナッチ数列になるような小数」になる分数が得られる（10^m以上のフィボナッチ数以降は繰上がりが発生してパターンが崩れる）。
m=1 10/89
m=2 100/9899
m=3 1000/998999
m=4 10000/99989999
m=5 100000/9999899999
…
(3)が直接与えられたときは、
10001. 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 0089 0144
=10000
+1. 0001 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 0089 0144
+0. 0001 0001 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 0089 0144
より、
与小数をXとおいて(10^8)X=(10^4)+(10^4)X+X⇔X=(10^4)/(10^8-10^4-1)⇔X=10000/99989999
とでも解けばよい。

260:￥
17/06/26 15:58:27.92 dYpMJpMg.net
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
　　～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板を続けたらオツムがスポンジ脳になるのでサッサと足を洗うべき。■■■
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261:１３２人目の素数さん
17/06/26 16:06:26.49 3Dvnn8tK.net
この頭のおかしい奴を駆除できないのかな？

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17/06/26 16:34:14.67 dYpMJpMg.net
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17/06/26 16:37:01.67 dYpMJpMg.net
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17/06/26 16:37:23.40 dYpMJpMg.net
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272:１３２人目の素数さん
17/06/27 00:56:38.89 qHqtT4Ld.net
一辺1の正方形の内部にひける線分の長さの平�

273:ﾏは？直感でどうぞ

274:１３２人目の素数さん
17/06/27 01:01:18.69 bmbBRADS.net
>>268
1

275:１３２人目の素数さん
17/06/27 01:58:44.13 UoQ1/bub.net
>>268
(4/π)∫[0,π/4］１/(cosθ）dθ
= (4/π)log(1+√2)
= 1.12219970

276:１３２人目の素数さん
17/06/27 02:25:10.91 zDJ3EJI5.net
ベルトランのパラドックス

277:１３２人目の素数さん
17/06/27 03:19:09.05 UoQ1/bub.net
「線分の分布は与えられてないから、自分で忖度するわけか。」
「忖度って何？」
（１）蘭語/独語で「日曜日」を表す語 zondag / Sonntag
（２）米国の作家 Susan Sontag
（３）博多どんたく

278:１３２人目の素数さん
17/06/27 03:35:08.27 j4ToIGeR.net
「線分をABとし、点Aと点Bの取り方はそれぞれ独立に円の面積についての一様分布」
ぐらいの設定ですかね。問題として成立させるには。

279:１３２人目の素数さん
17/06/27 04:04:01.97 bmbBRADS.net
nを正の整数nとする。
相異なる正の整数a[1], a[2], …, a[n]が存在して
π/4=arctan(1/a[1])+arctan(1/a[2])+…+arctan(1/a[n])
と表せることを示せ。

280:１３２人目の素数さん
17/06/27 04:21:15.81 T4E9Idwp.net
円ではなく正方形

281:１３２人目の素数さん
17/06/27 11:55:33.45 j4ToIGeR.net
>>275 >>273 >>268
＞円ではなく正方形
あ、ほんまや。
「ベルトラン」の文字列が先に目に入ったので先入観が。恥ずかしい…

282:１３２人目の素数さん
17/06/27 14:18:57.34 K9TadYNF.net
ベルト・ランて、こんなやつ。
URLﾘﾝｸ(kakaku.com)

283:１３２人目の素数さん
17/06/27 16:09:51.52 N0HZH6zh.net
268の解答
・正方形の周または内部に適当な2点(a,b),(c,d)を取ったときの距離の平均
（√((a-c)^2+(b-d)^2)を[0,1]で4重積分）
は0.5になる
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
ただし他の算出方法、例えば思いついたのが
・正方形の周状に2点をとって結んだ長さの半分　の全ての点の組についての平均
を使うと、ベルトランのパラドックスみたいに別の結果が出るのかもしれない

284:１３２人目の素数さん
17/06/27 22:38:41.72 T4E9Idwp.net
距離1の線分に任意の2点をとる場合の平均距離は
∫∫(a-b)dadbから1/3だから、平面の場合はその距離を2辺とする
直角三角形になるから√2/3になるのではないかと思う

285:１３２人目の素数さん
17/06/28 02:21:34.25 wm3Df9X3.net
>>278
そんなわけないと思ってビデオみたら
0.5ちゃうやん。
(2+√2+5log(√2+1))/15=約0.521
と言ってるぞ。

286:１３２人目の素数さん
17/06/28 02:39:38.19 5QTSYrSD.net
>>274
n=1 のときは a[1] =1 で成立。
あるnについて成り立ったとする。
arctan(1/a) = arctan(1/(a+1)) + arctan(1/(aa+a+1)),
によって 1/a[n] を「二分割する」と、n+1についても成立。

287:2
17/06/28 02:55:56.35 kZFA1c1J.net
成文化に手間取って遅くなったが、(7)の解答
(7)　(2^n+1)/n^2が自然数となるnを求めよ。

nが偶数のとき、与式は(奇数)/(偶数)となり整数になることはない。
つまり与式が自然数になるとき、nは奇数。
非負整数kと、3と互いに素な奇数dを用いて、n=(3^k)dとおく。
与式が自然数になるとき、k=0,1、d=1であることの証明を行う。

288:2
17/06/28 02:58:53.47 kZFA1c1J.net
【k=0,1の証明】
与式が自然数になるとき、分母の((3^k)d)^2は分子の2^((3^k)d)+1を割りきる。
2^((3^k)d)+1を2^d+1で割�

289:驍ﾆ Π[m=0, k-1] (2^(2*((3^m)d))-2^((3^m)d)+1)　…★ 任意の自然数tについて 2^(2*t)-2^t+1≡3 mod 9 つまり2^(2*t)-2^t+1は3で1回だけ割れる。 ★はこのk個分の積だから、 3^kは★を割りきり、3^(k+1)は★を割りきらない。 (3^k)(3^k)(d^2) | (2^d+1)*★であったから、 3^kは2^d+1を割りきる。 dと3は互いに素であったから 2^d+1≡2,3,6,8 mod 9 であり、9は2^d+1を割りきらない。 k≧2のとき、9は3^kを割りきるが2^d+1を割りきらないから、 3^kが2^d+1を割りきることはない。よって、k=0,1

290:2
17/06/28 03:03:47.54 kZFA1c1J.net
【d=1の証明】
d≠1と仮定する。
dの最小の素因数をpとする。
dは奇数だったからpも奇数。dは3と互いに素な奇数だったからd≧5でp≧5
与式が自然数になるとき、pは分子の2^n+1を割りきる　…☆
以下、pを法として
2^n≡-1, 2^(2n)=(2^n)^2≡1
また、フェルマーの小定理より
2^(p-1)≡1
jを2nとp-1の最大公約数とすると
2^j≡1　…(補)
pが存在しないことを示す。
i) k=1のとき
定義よりjは2nを割りきる。
2n=2*3*d=6d
pはdの最小素因数だったからp-1とdは互いに素で、
p-1の約数であるjもdを割りきらない。
よってjは6を割りきり、jの候補は1,2,3,6
また、(補)よりpは2^j-1を割りきるから、pの候補は1,3,7,63の約数である。
pは5以上の素数だったからp=7
しかし、任意の自然数uについて
2^u+1≡2,3,5 mod 7
であり、7は2^u+1を割りきらず、☆に反する。
ii) k=0のとき
2n=2*1*d=2d
同様にjの候補は1,2、pの候補は1,3だが、
pは5以上の素数だったからpはない。
以上よりpは存在せず、
最初の仮定d≠1が間違っていたことになる。
よって、d=1

291:2
17/06/28 03:06:06.84 kZFA1c1J.net
したがって、nの候補は
(k,d)=(0,1)のときのn=1
(k,d)=(1,1)のときのn=3
これらは確かに与式を自然数にする。

(補)
2^(2n)≡1, 2^(p-1)≡1
2nとp-1の最大公約数をjとして、
2n=ja, p-1=jb　（aとbは互いに素）とおくと
(2^j)^a=2^(ja)≡1, (2^j)^b=2^(jb)≡1
任意の整数x,yについて
(2^j)^(ax+by)=(((2^j)^a)^x)(((2^j)^b)^y)≡(1^x)(1^y)≡1
であるが、
aとbは互いに素だったから、適当な整数X,Yを用いればaX+bY=1とできる
2^j=(2^j)^(aX+bY)≡1

292:2
17/06/28 03:07:58.93 kZFA1c1J.net
ネットでの日本語解答はこれが初めてかもしれない。
数オリ財団発行の本に載っているものを参考にして作成した。
やはりムズい。
この問題を「マスターデーモン」として紹介している『数学オリンピック事典』では「n=3または(3^2)|nであるが、(n^2)|(2^n+1)ならば3^2はnを割りきらない」という流れを採用している。
このサイト
URLﾘﾝｸ(www.cs.cornell.edu)
では、与式の分子を(3-1)^n+1として二項定理を用いているようだ。
出典：IMO1990-3

293:１３２人目の素数さん
17/06/28 03:10:05.30 dHEIGm6p.net
>>281
正解です。ちなみに一意性はなく、n≧2のとき
　(1) a[k]=2k^2 (1≦k≦n-1), a[n]=2n-1
や
　(2) a[k]=F[2k+1] (1≦k≦n-1), a[n]=F[2n]
　　　ただし、F[n]はフィボナッチ数列 (F[1]=F[2]=1)
などでも表せます。

294:１３２人目の素数さん
17/06/28 03:15:46.47 kZFA1c1J.net
おまけ（ぶっちゃけ簡単）
素数p,qを用いてp^q+q^pの形で表される素数を求めよ。

295:１３２人目の素数さん
17/06/28 03:32:01.14 wm3Df9X3.net
17
p,qがともに奇素数かともに2なら、p^q+q^pは2より大きい偶数となり、不適
よって、p,qの片方が2
pが奇数で3で割り切れない場合は、p^2+2^pは3より大きい3の倍数となり、不適
よって、p=3

296:288
17/06/28 07:47:36.89 UWqYj2FJ.net
>>289
正解

p^q+q^p≧2^2+2^2=8
p,qの偶奇が一致する場合はp^q+q^pは偶数になり、素数になることはない。
よって、p,qは偶素数2と奇素数。
対称性よりp=2、qを奇素数としてよい。
q=3でp^q+q^p=2^3+3^2=17は素数
以下、3を法として
q≧5で、qは素数だからq≡1,2だが
q≡1で2^q+q^2≡(-1)^q+1^2≡-1+1≡0
q≡2で2^q+q^2≡(-1)^q+2^2≡-1+4≡0
（-1の奇数乗は-1であることを用いた）
となり、p^q+q^pは素数になることはない。
以上より(p,q)=(2,3),(3,2)のときの17

出典：京大前期数学（理系）2016-2

297:１３２人目の素数さん
17/06/28 07:59:33.12 w1G4n4lh.net
>>268
2重積分にすると
z: 0→1
f=x-y： √2→0
f=(1-z)√2
S=∫[0,1](1-z)√2dz=1/√2
L=∫[0,1]zf(z)/Sdz
=√2∫[0,1]z(1-z)√2dz
L'=∫[0,1]xyf(x)f(y)/S^2dxdy
=4∫∫√(x^2+y^2)(1-x)(1-y)dxdy
=(2+√2+5log(1+√2))/15

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17/06/28 18:24:30.43 A63zUC8I.net
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17/06/28 18:27:27.38 A63zUC8I.net
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308:１３２人目の素数さん
17/06/28 21:55:05.71 xEqrn1lZ.net
x,yに関する不定方程式
x^2-dy^2=1　（dは平方数でない自然数）
は「ぺル方程式」とよばれ、無限個の自然数解を持つことが知られている。
問1
j+1と2jが共に平方数になるような自然数jが無限に存在することを示せ。

また、最小の自然数解を(X,Y)とすると、全ての自然数解(x_n,y_n)は
x_1=X, y_1=Y
x_(n+1) = (x_n)(x_1) + d(y_n)(y_1)
y_(n+1) = (x_n)(y_1)+(y_n)(x_1)
で表せることが知られている。
問2
「平方数であるような自然数列の部分和」、すなわち「三角数かつ四角数」が無限に存在すことを示せ。

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