サイコロはどの目も出る確率が6分の1←根拠は？

サイコロはどの目も出る確率が6分の1←根拠は？ at MATH

246:１３２人目の素数さん
21/03/12 20:15:45.27 ff6IKPDt.net
サイコロを振ってみて、実測やった方いますか？

247:１３２人目の素数さん
21/03/14 02:36:36.12 Ulnd7Q09.net
そもそもサンプルの数が10000なら
すべての目が同じ回数になるはずない

248:１３２人目の素数さん
21/03/19 20:59:38.32 WbD2dYrI.net
じゃあ、60000回試行すればよい。

249:１３２人目の素数さん
21/07/14 03:14:22.19 Z4bBokyX.net
古典力学(ニュートン力学)では、
初期配置および初速度の値(*)が決まれば
どの目が出るか決定する筈だが、、、
{運動量、力学エネルギー、角運動量、Runge-Lenz-Laplace ヴェクトル}
で指定しても同じ。
それらを望むだけ精密に制御できるなら、等確率とは言えなくなる。。。

250:１３２人目の素数さん
21/09/11 14:49:37.18 gfbny1rI.net
〔問題7〕
サイコロをn回振る試行を考える。この試行において、
n回の出目の和を７で割った余りがk (k=0, 1, ..., 6)となる確率 P(n,k) を求めよ。

251:１３２人目の素数さん
21/09/11 15:01:21.61 gfbny1rI.net
　P(0,k) = δ_{k,0}　　　　　　(クロネッカーのδ記号)
　P(n+1,k} = (1 - P(n,k))/6,
より
　P(n,0) = (1/7){1 + 6(-1/6)^n},
　P(n,k) = (1/7){1 - (-1/6)^n},　　　(0<k<7)

252:１３２人目の素数さん
21/09/11 15:05:41.17 gfbny1rI.net
〔問題6〕
サイコロをn回振る試行を考える。この試行において、
n回の出目の和を６で割った余りがk (k=0, 1, ..., 5) となる確率 P(n,k) を求めよ。

253:１３２人目の素数さん
21/09/11 15:07:41.80 gfbny1rI.net
P(0,k) = δ_{k,0}
P(n,k) = 1/6　　　　(n>0)

254:１３２人目の素数さん
21/09/11 15:10:00.67 gfbny1rI.net
〔問題5〕
サイコロをn回振る試行を考える。この試行において、
n回の出目の和を５で割った余りがk (k=0, 1, ..., 4) となる確率 P(n,k) を求めよ。

255:１３２人目の素数さん
21/09/11 15:43:57.50 gfbny1rI.net
　P(0,k) = δ_{k,0}　　　　　　(クロネッカーのδ記号)
　P(n+1,k} = {1 + P(n,k-1)}/6,
より
　P(n,k) = (1/5){1 + 4(1/6)^n},　　(n-k が5の倍数)
　P(n,k) = (1/5){1 - (1/6)^n},　　　(n-k が5で割り切れない)
---------------------------------------------
　Q(n,k) = P(n, k+n')　　n' = mod(n,5)
とおくと
　Q(n+1, k) = {1 + Q(n, k)}/6,

256:１３２人目の素数さん
21/09/11 15:45:24.21 gfbny1rI.net
〔問題4〕
サイコロをn回振る試行を考える。この試行において、
n回の出目の和を４で割った余りがk (k=0, 1, 2, 3) となる確率 P(n,k) を求めよ。

257:１３２人目の素数さん
21/09/11 16:53:28.42 gfbny1rI.net
n回の出目の和がsとなる確率は、生成関数
　g(x) = {(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6) / 6}^n
における x^s の係数である。
sが4の倍数の項だけ拾えば
　P(n,0) = (1/4){g(1) + g(i) + g(-1) + g(-i)},
同様にして
　P(n,1) = (1/4){g(1) -ig(i) - g(-1) +ig(-i)},
　P(n,2) = (1/4){g(1) - g(i) + g(-1) - g(-i)},
　P(n,3) = (1/4){g(1) +ig(i) - g(-1) -ig(-i)},
これに
　g(1) = 1,
　g(i) = {(i-1)/6}^n,
　g(-1) = 0,
　g(-i) = {(-i-1)/6}^n,
を入れて
　P(n,0) = (1/4){1 + 2/(3√2)^n・cos(3nπ/4)},
　P(n,1) = (1/4){1 + 2/(3√2)^n・sin(3nπ/4)},
　P(n,2) = (1/4){1 - 2/(3√2)^n・cos(3nπ/4)},
　P(n,3) = (1/4){1 - 2/(3√2)^n・sin(3nπ/4)},

258:１３２人目の素数さん
21/09/11 16:55:57.05 gfbny1rI.net
〔問題3〕
サイコロをn回振る試行を考える。この試行において、
n回の出目の和を３で割った余りがk (k=0, 1, 2) となる確率 P(n,k) を求めよ。

259:１３２人目の素数さん
21/09/11 17:02:57.40 gfbny1rI.net
P(0,k) = δ_{k,0}
P(n,k) = 1/3　　　　(n>0)

260:１３２人目の素数さん
21/09/11 17:04:17.87 gfbny1rI.net
〔問題2〕
サイコロをn回振る試行を考える。この試行において、
n回の出目の和を２で割った余りがk (k=0, 1) となる確率 P(n,k) を求めよ。

261:１３２人目の素数さん
21/09/11 17:06:30.51 gfbny1rI.net
P(0,k) = δ_{k,0}
P(n,k) = 1/2　　　　(n>0)

262:１３２人目の素数さん
21/09/12 21:27:30.99 RJWZ2g5x.net
〔問題8〕
サイコロをn回振る試行を考える。この試行において、
n回の出目の和を８で割った余りが k (k=0,1,…,7) となる確率 P(n,k) を求めよ。

263:１３２人目の素数さん
21/09/12 21:29:47.41 RJWZ2g5x.net
n回の出目の和がsとなる確率は、生成関数
　g(x) = {(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6) / 6}^n
における x^s の係数である。
sが8の倍数の項だけ拾えば
　P(n,0) = (1/8){g(1)+g(ω)+g(i)+g(-ω')+g(-1)+g(-ω)+g(-i)+g(ω')},
同様にして
　P(n,4) = (1/8){g(1)-g(ω)+g(i)-g(-ω')+g(-1)-g(-ω)+g(-i)-g(ω')},
　ω = (1+i)/√2,　ω' = (1-i)/√2,　　(1の8乗根)
これに
　g(1) = 1,
　g(ω) = {(-1-ω')/6}^n,
　g(i) = {(i-1)/6}^n = {-ω'/(3√2)}^n,
　g(-ω') = {(-1+ω)/6}^n,
　g(-1) = δ_{n,0},
　g(-ω) = {(-1+ω')/6}^n,
　g(-i) = {(-i-1)/6}^n = {-ω/(3√2)}^n,
　g(ω') = {(-1-ω)/6}^n,
を入れて
　P(n,0) = (1/8){1 + δ_{n,0} + 2/(3√2)^n・cos(3nπ/4)}
　　　　 + (1/8)(-1/(3√2))^n･{2(1+1/√2)^(n/2)･cos(nπ/8) + 2(1-1/√2)^(n/2)･cos(3nπ/8)},
　P(n,4) = (1/8){1 + δ_{n,0} + 2/(3√2)^n・cos(3nπ/4)}
　　　　 - (1/8)(-1/(3√2))^n･{2(1+1/√2)^(n/2)･cos(nπ/8) + 2(1-1/√2)^(n/2)･cos(3nπ/8)},
後略

264:１３２人目の素数さん
22/11/02 09:27:32.89 nyCJInth.net
問題
n個のサイコロを振るとき、出た目の積が平方数となる確率を求めよ。

265:１３２人目の素数さん
22/11/03 03:37:26.58 NCqzIU49.net
(3+2^n+3^n)/(8*3^n)

266:１３２人目の素数さん
22/12/21 22:57:34.92 F669Iarw.net
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