面白い問題おしえて～な二十一問目

面白い問題おしえて～ ..

741:１３２人目の素数さん
15/12/17 12:45:31.26 bnNJ+6iW.net
別スレから
309 １３２人目の素数さん sage 2015/12/17(木) 12:03:29.97 ID:3RmDFSBV
問題変えたほうが良いな
a^2≡a(mod.p)を満たすaの個数がn個であるときR(p)=nとおく。
例えば、R(1)=1,R(2)=2,R(3)=2,R(4)=2
(1)R(10),R(20)を求めよ。
(2)R(p)を求めよ。

742:１３２人目の素数さん
15/12/18 00:11:55.50 NonrS9aL.net
因数分解せずに数える方法があるなら知りたい

743:１３２人目の素数さん
15/12/18 04:00:36.74 TFNLlafx.net
rad(p)をpの異なる素因数の積としてR(p)=2^rad(p)かな
素因数分解は必須のような気がする

744:１３２人目の素数さん
15/12/18 04:02:14.76 TFNLlafx.net
>>725
間違えた、rad(p)関係ない
f(p)をpの異なる素因数の個数としてR(p)=2^f(p)

745:１３２人目の素数さん
15/12/18 05:57:20.01 C7lNQQ2f.net
これ意味ある問題？
aの個数？
もとの問題は？

746:１３２人目の素数さん
15/12/18 06:03:42.22 8+Iq0zwg.net
意味ある問題なんてないぞ

747:１３２人目の素数さん
15/12/18 06:13:22.44 C7lNQQ2f.net
問題として成り立つの？ってことだよ。

748:１３２人目の素数さん
15/12/18 12:27:18.65 TFNLlafx.net
元の問題は知らないけど>>726はaの値の範囲を0≦a≦p-1として考えた

749:１３２人目の素数さん
15/12/18 21:30:27.61 C7lNQQ2f.net
問題作るにはちょっと早いな。

750:１３２人目の素数さん
15/12/18 22:06:34.90 TFNLlafx.net
どういう意味かな

751:１３２人目の素数さん
15/12/27 17:41:26.69 uzhfdEJQ.net
出来る人は３０秒で出来る問題を一つ
（>>597 とは別問題だよ）
【問】実数全体で微分可能で、以下の性質を満たす関数 f(x) が存在すれば例をあげ、存在しなければそれを示せ。
x が有理数のとき f(x) は有理数の値をとる
x が無理数のとき f(x) は無理数の値をとる
f’(x) は任意の区間で定数ではない

752:１３２人目の素数さん
15/12/27 18:23:01.25 yrBNFagd.net
1/(x-1) + 1 (x < 0)
1/(x+1) - 1 (x >= 0)

753:１３２人目の素数さん
15/12/30 23:35:52.20 dwu7uNBX.net
正の整数nは異なる正の整数a,bを用いてn=a^2+b^2と表せるとする.
aとbを3で割った余りが等しいならば,nは3つの0でない平方数の和としても表せることを示せ.

754:１３２人目の素数さん
15/12/31 00:42:30.09 5yG2/U0D.net
(3a+k)^2+(3b+k)^2=...=(2a-2b)^2+(a+2b+k)^2+(2a+b+k)^2

755:１３２人目の素数さん
15/12/31 10:58:17.26 4isRYK2s.net
>>735の「3で割った余り」のところを「mで割った余り」で置き換えても成立するようなmの条件は、
mがp≡1またはp≡3(mod 8)なる素因数pをもつことであると予想してみたがどうか

756:１３２人目の素数さん
15/12/31 20:05:35.26 yOpIKA8C.net
>>737
((2n^2+1)a+k)^2 + ((2n^2+1)b+k)^2 = ... = (2n)^2 (a-b)^2 + (2n^2 a+b+k)^2 + (a+2n^2 b+k)^2
m = 2n^2+1 の時、>>735と同様の表し方が可能

757:１３２人目の素数さん
16/01/01 15:25:04.88 l8HQHaTT.net
一般に2n^2+m^2の素因数はmod 8で1または3

758:１３２人目の素数さん
16/01/01 15:28:53.86 l8HQHaTT.net
>>739ミス
一般に2n^2+m^2はmod 8で1または3なる素因数をもつ

759:１３２人目の素数さん
16/01/02 13:26:26.97 ivVRndIw.net
>>740
「(m,n)=1の時、2n^2+m^2　の奇素因数は、8k+1型と8k+3型のみ」
＝「(m,n)=1の時、2n^2+m^2　は、8k+5型と8k+7型の素因数を持たない」
という事だよね

760:１３２人目の素数さん
16/01/02 19:22:52.35 DyVpxaXV.net
((2n^2+m^2)a+k)^2 + ((2n^2+m^2)b+k)^2
=(2n^2 a + m^2 b + k)^2 + (m^2 a+ 2n^2 b+k)^2 + (2mn)^2(a- b)^2

761:１３２人目の素数さん
16/01/02 22:57:05.36 nzebj+zc.net
>>741
そう言いたかった
さらに言えばmn≠0のとき2n^2+m^2は2の冪にはならないので必ず奇素因数をもつ
m,nの共通因数で括れば8k+1型または8k+3型の素因数をもつことがわかる

762:１３２人目の素数さん
16/01/03 11:45:59.37 pr/BgAgr.net
平面上にn個の点からなるAグループと、m個の点からなるBグループがある
Aグループのそれぞれの点について、Bグループにあるm個の点全てと線で結ぶ
線と線の交差点を無くすように線を結ぶことが可能な(n,m)の必要十分条件を求めよ

763:１３２人目の素数さん
16/01/03 12:03:48.45 Ndtu0gjX.net
完全二部グラフが平面グラフとなる条件…

764:予言
16/01/03 17:33:24.79 5w915yXZ.net
予言　「今年もマジメな労働者が「過労死」するだろう・・・」
働きすぎの労働者が、鼻から血をだして・・たおれて死ぬだろう・・今年も・・
ユダヤの人類削減計画（じんるいさくげんけいかく）！！
人類同士を争わせ、過労死させ・・・日本人の数が減らされるだろう・・
すべては・・ユダヤの陰謀！！
すべてフリーメーソン（悪魔崇拝者）の陰謀！！
「フリーメーソン」と「韓国系カルト団体」が手を組んで・・・
日本人全員に「獣の数字」をつけるだろう・・・
マイナンバー＝「獣の数字」
政治家も総理大臣も正体は・・・悪魔だ！！
「世界制覇をもくろむカルト集団」フリーメーソンが、
政治家たちをあやつっている！！
「安倍総理」も「小泉元総理」も「小泉進次郎」も正体は、「フリーメーソン」
カルト団体が、世界を支配し・・・人類は、悪魔に支配されるだろう・・
「やさしげな笑みをうかべ・・友好的に近づいてくる
悪魔（フレンド・エネミー）にきをつけろ！！」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ミカエル

765:１３２人目の素数さん
16/01/06 12:31:37.22 BlYtndoR.net
引用すれば頭良くなった錯覚ってあるね

766:１３２人目の素数さん
16/01/08 21:35:27.33 KfibX6Ld.net
どんな整数nについても、方程式 v^3+w^3+x^3+y^3+z^3=n は整数解を持つことを示せ

767:１３２人目の素数さん
16/01/08 22:15:01.82 +LoVeze2.net
(a+1)^3+(a-1)^3+2(-a)^3=6a.

768:１３２人目の素数さん
16/01/09 13:03:46.56 HojI1yPI.net
>>748
ほんまかいな

769:１３２人目の素数さん
16/01/09 15:37:20.57 KWqzf2XN.net
>>749がほぼ答えっぽい
mod 6で考えるとnは6a,6a±1,6a±8,6a±27のいずれかの式で表せる

770:１３２人目の素数さん
16/01/09 18:30:01.17 VeR4YgtA.net
n=n^3-(n-1)n(n+1).

771:１３２人目の素数さん
16/01/09 20:07:30.82 ahhfOA3Z.net
素晴らしいなあ

772:１３２人目の素数さん
16/01/09 23:41:29.32 KWqzf2XN.net
任意の整数nは18個の整数の5乗の和で表せることを示せ
ちなみに18個が上限かどうかは知らない

773:１３２人目の素数さん
16/01/10 13:23:12.67 /xlK0Zug.net
下限の間違いだろ

774:１３２人目の素数さん
16/01/10 14:38:47.27 tpDYgS5v.net
>>754
下限の間違いだろ

775:１３２人目の素数さん
16/01/10 14:50:19.76 w/r+YeUk.net
いや、下限の間違いじゃねこれ

776:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:18:15.30 o98nGKNX.net
整数nをいくつかの5乗数の和で表すとき必要な個数を表す関数f(n)の上限という意味で書いたんだけど
違う意味に取られたみたいね

777:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:23:50.65 tpDYgS5v.net
やっぱり下限の間違いじゃね？

778:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:24:29.65 o98nGKNX.net
問題として成立する範囲で「18」という数をさらに小さくできるかと考えると
下限と言ったほうが良かったかもしれない

779:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:34:31.30 Ez+gNfz3.net
任意の整数nは18個の整数の5乗の和で表せることを示せ。
ちなみに整数nをいくつかの5乗数の和で表すとき必要な個数を
表す関数f(n)の上限が18個かどうかは知らない。
問題は出したが答え(以前に正しいかどうか)は知らないということ?

780:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:49:32.38 tsDGMVN4.net
題意を満たす整数の個数の最小値よりも大きい数の整数では
題意は満たされるのだから下限と言った方が正しいと思われる

781:１３２人目の素数さん
16/01/10 16:07:52.02 o98nGKNX.net
>>761
任意の整数が18個の5乗数の和で表せることは証明できたので出題してみた
f(n)の値は任意の整数nについて18以下になるということ
>>762
そのほうが正しいというか自然だったと思う

782:１３２人目の素数さん
16/01/10 16:12:41.68 tpDYgS5v.net
やっぱり下限だよな。頭おかしいわ

783:１３２人目の素数さん
16/01/10 16:22:40.09 o98nGKNX.net
どっちでもいいけど納得出来ない人は>>758を読んでね

784:１３２人目の素数さん
16/01/11 11:56:45.89 PTpdZCyq.net
そこんとこの加減がわからない。

785:１３２人目の素数さん
16/01/17 04:37:21.88 F9usaSuM.net
地理の問題
赤道上において、その対蹠点と気温が等しい地点は存在するか？

786:１３２人目の素数さん
16/01/17 07:36:39.68 NP2A8SJ4.net
厳密には、わからない、と言う回答が無難だな。
同一時刻の計測なんてのがまず至難の技だ。
赤道上とか地点とかを決められるのか、って問題もある。
愚問だな。

787:１３２人目の素数さん
16/01/17 11:38:23.39 JJ87gKrs.net
地理の問題としては、
「厳密にはわからない」だろうね。
数学の問題としては、
周期Tを持つ連続関数fにf(x)=f(x+T/2)となるxは
あるか？と言い換えられる。
g(x)=f(x)-f(x+T/2)と置くと、g(T/2)=-g(0)だから
中間値定理より、g(x)=0となるxは存在する。

788: ◆BrMQ7vJgz6
16/01/26 03:08:21.90 SK

789:HH2AHq.net

790:１３２人目の素数さん
16/01/26 04:35:49.05 UTH+2ssK.net
>>770
小学生向けだな

791: ◆BrMQ7vJgz6
16/01/26 11:41:13.02 vB7AoAcz.net
【解法1】
3k, 5l+1, 7m+2の最小公倍数nを求める問題に帰着する
N=n+9とおくと、Nは
10以上
かつ
3と5の公倍数、すなわち15の倍数
かつ
7で割ると4余る数
これらを満たす最小のNはN=60 (n=51)
よって、51日後
【解法2】
求める日数をxとおくと
x≡0 (mod 3), x≡1 (mod 5), x≡2 (mod 7)
x=3aとおくと
3a≡1 (mod 5)　∴6a≡2 (mod 5)　∴a≡2 (mod 5)
a=5b+2とおくと、x=15b+6であり
15b+6≡2 (mod 7)　∴15b≡3 (mod 7)　∴b≡3 (mod 7)
b=7c+3とおくと、x=105c+51であり
最小のxは、c=0のときx=51
よって、51日後

792: ◆BrMQ7vJgz6
16/01/26 12:02:08.18 vB7AoAcz.net
【解法3】
3,5,7は互いに素であるから
(s,t)=(3,5*7),(5,7*3),(7,3*5)それぞれについて
sx+ty=1の整数解が存在する
3*12+35*(-1)=1, 5*(-4)+21*1=1, 7*(-2)+15*1=1
より
-35≡1 (mod 3), 21≡1 (mod 5), 15≡1 (mod 7)
x≡0 (mod 3), x≡1 (mod 5), x≡2 (mod 7)
より
x≡-35*0+21*1+15*2 (mod 3*5*7)、すなわちx≡51 (mod 105)
正で最小のxはx=51
よって、51日後
【解法4】（孫子算経の解法、百五減算）
0*70+1*21+2*15=51(<105)
よって、51日後
これは【解法3】において
-35≡1 (mod 3) の代わりに
70≡1 (mod 3) を用いたもの

793:１３２人目の素数さん
16/01/26 12:10:22.62 vB7AoAcz.net
そんなことより
A,B,Cはダメ大学生か何か？

794:１３２人目の素数さん
16/01/26 14:22:37.31 Pf4dZoYr.net
三日周期って三日に一度しかこないのか？（笑
登校ー休みー休みー登校ー休みー…
これじゃ単位はだせないだろう？（笑
愚問だな

795:１３２人目の素数さん
16/01/26 14:35:43.80 E78So9JJ.net
日曜は、どうすんだろう？

796:１３２人目の素数さん
16/01/26 14:37:12.76 /hDBO2fo.net
学校に行くだけの話だから、日曜だろうが祝日だろうが別に問題なくね

797:１３２人目の素数さん
16/01/28 05:16:02.06 r+S1ez0V.net
Σ[k=1, n]k=n(n+1)/2
Σ[k=1, n]k(k+1)=Σ[k=1, n](k^2+k)=(n(n+1)(2n+1)/6)+(n(n+1)/2)=n(n+1)(2n+4)/6=n(n+1)(n+2)/3
Σ[k=1, n]k(k+1)(k+2)=Σ[k=1, n](k^3+3k^2+2k)=(n(n+1)n(n+1)/4)+(n(n+1)(2n+1)/2)+(n(n+1))=n(n+1)(n^2+5n+6)/4=n(n+1)(n+2)(n+3)/4
より
2Σ[k=1, n]k=n(n+1)
3Σ[k=1, n]k(k+1)=n(n+1)(n+2)
4Σ[k=1, n]k(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)
以上より
(a+2)Σ[k=1, n](Π[j=k, k+a]j)=Π[l=n, n+(a+1)]l　…♯
という関係式が推測できる
これを用いれば任意の羃乗の和の公式を帰納的に求められ
また、高次の多項式に繰り返し使うことで総和の計算を楽にすることができる
問
＃を示せ

798:１３２人目の素数さん
16/01/28 11:16:17.82 0NAeCfq4.net
>>778
(a+2)Π[j=k,k+a]j = {(k+a+1)-(k-1)}Π[j=k,k+a]j
= Π[j=k,k+a+1]j - Π[j=k-1,k+a]j
∴ (a+2)Σ[k=1,n](Π[j=k,k+a]j) = Σ[k=1,n](Π[j=k,k+a+1]j - Π[j=k-1,k+a]j)
= Σ[k=1,n]Π[j=k,k+a+1]j - Σ[k=1,n]Π[j=k-1,k+a]j
= Σ[k=1,n]Π[j=k,k+a+1]j - Σ[k=0,n-1]Π[j=k,k+a+1]j
= Π[j=n,n+a+1]j - Π[j=0,a+1]j
= Π[j=n,n+a+1]j

799:１３２人目の素数さん
16/01/28 12:26:56.09 +Dvk1k+O.net
おお

800:１３２人目の素数さん
16/01/28 12:39:07.87 JoXwoiTx.net
>>16
(N-1)C2
1,1,1,...,1というN個の、1の列を2つのしきりで分ければX,Y,Zが定まるため

801:１３２人目の素数さん
16/01/28 13:46:22.97 zCW6syeb.net
>>778
1からn+a+1までの整数からa+2個選ぶ組合せは(n+a+1)!/{(a+2)!(n-1)!}通り
このうち選ばれる数の最大値がk+a+1となるのは(k+a)!/{(a+1)!(k-1)!}通り
よって(n+a+1)!/{(a+2)!(n-1)!}=Σ[k=1,n](k+a)!/{(a+1)!(k-1)!}
すなわち(n+a+1)!/(n-1)!=(a+2)Σ[k=1,n](k+a)!/(k-1)!

802:１３２人目の素数さん
16/01/28 13:57:23.94 4ttglcTk.net
両辺の階差をとって
帰納法

803:１３２人目の素数さん
16/01/28 19:05:40.72 Mmdmh8K/.net
帰納法なんて泥臭いね

804:１３２人目の素数さん
16/01/30 03:36:14.81 B02VPa1I.net
進研ゼミに載ってた問題。
x,y,z≧0とするとき、すべての自然数nに対して次の不等式が成り立つことを証明せよ。
①(x^n+y^n)/2≧{(x+y)/2}^n
某国立Ｓ大より

805:１３２人目の素数さん
16/01/30 04:07:45.98 KN+qiPYM.net
>>778
Σ[j=0,n](1+x)^j　を展開した時のm次の係数はΣ[k=m,n]C[km]　(Cは二項係数)
Σ[j=0,n](1+x)^j={(1+x)^(n+1)-1}/{(1+x)-1}={(1+x)^(n+1)-1}/x
を展開した時のm次の係数はC[n+1,m+1]
Σ[k=m,n]C[km]=C[n+1,m+1]

806:１３２人目の素数さん
16/02/01 02:37:13.32 AgFwJLhN.net
50629を素因数分解せよ（気付けば簡単）

807:１３２人目の素数さん
16/02/01 03:51:48.40 EydN4Yw2.net
50629 = 50000 + 625 + 4
= 2^4 * 5^5 + 5^4 + 2^2
= 5^4(2^4 * 5 +1) + 2^2
= 5^4 * 81 + 2^2
= (3^2 * 5^2)^2 + 2^2
= (3^2 * 5^2 + 2)^2 - 2^2 * 3^2 * 5^2
= 227^2 - 30^2
= 197 * 257
というのが出題意図？

808:１３２人目の素数さん
16/02/01 09:40:12.79 AgFwJLhN.net
>>788
正解！
50629に近い平方数を考えてみると50625=225^2=15^4より50629=15^4+4
x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)でx=15の場合になる

809:１３２人目の素数さん
16/02/03 17:42:21.09 35vAMKni.net
81^100000の下6桁を求めよ

810:１３２人目の素数さん
16/02/03 18:18:39.35 5qehKVMd.net
3と1000000は互いに素だから
オイラーの定理より
3^φ(1000000)≡3^400000≡81^100000≡1 (mod 1000000)
φはオイラーの関数
φ(1000000)=φ(2^6*5^6)=φ(2^6)φ(5^6)=(2^6-2^5)(5^6-5^5)=2^5*6^5*4=400000

811:１３２人目の素数さん
16/02/03 19:09:37.96 670x/vqr.net
>>791
せいかい
さすがに瞬殺か

812:１３２人目の素数さん
16/02/05 10:22:48.50 GvA6rjqo.net
nを自然数とする。
n次元ユークリッド空間上にm個の異なるベクトルを、
・どの異なる２つのベクトルを取っても標準内積が(①0以下/②0未満)である
という条件を満たすように定めることができる最大のmを求めよ

813:１３２人目の素数さん
16/02/05 13:06:07.27 FHuziIgA.net
>>793
①2n
②n+1
だと思うけど、証明はできてない。
①は各直交座標軸と平行な２つずつの単位ベクトル
②はたとえば原点を中心とする単位球に内接する正n+1胞体の各頂点の位置ベクトル
②の方はベクトルの選び方に自由度は高いけど、互いのなす角が鈍角に
なるように原点を始点とするn個の単位ベクトルを選ぶと、それらのいずれとも
鈍角となる領域でどう２つの単位ベクトルを選んでもそのなす角は鋭角になるような。

814:１３２人目の素数さん
16/02/05 14:30:06.08 SYQj5jIj.net
①2n+1（0ベクトル含む）
②n+1
①も②も考え方は同じ。
条件を満たすベクトルの集合Sがあるとして、その中から1つのベクトルaをとる。
他のベクトルそれぞれについてaとの直交成分をとったベクトルの集合Tを作る。
Tは、aと直交するn-1次元空間におけるベクトルの集合である。
Tはn-1次元の場合の条件を満たすことが計算によって示せる。
（Sのa以外のベクトルのaと平行な成分は全て同符号（または0）であることを用いる。）
Tを作るときにaとの直交成分が等しくなるようなベクトルの組がある可能性があるが、
それは0ベクトルおよびaと逆向きのベクトルがある場合に限られる。
この場合に限ってSの元の個数はTの元の個数より2個多く、そうでない場合は1個多い。
あとは1次元の場合を考え、数学的帰納法。

815:１３２人目の素数さん
16/02/06 22:35:38.93 vz5B8AoE.net
>>795
正解。ちょっとした違いでここまで違ってくるのが不思議だなあと思い出題しました

816:１３２人目の素数さん
16/02/10 21:54:50.93 bCSmWEgO.net
13333を素因数分解せよ（10秒以内）

817:１３２人目の素数さん
16/02/10 22:00:44.12 221i87Xc.net
・ぐぐる
・それっぽいページを13333で検索
10秒以内なら回線速度と手際の良さが決め手かな

818:１３２人目の素数さん
16/02/10 22:52:58.04 +x2EAWD5.net
>>797
x=13333
3x=39999
3x=40000-1=200^2-1^2
3x=199*201
x=199*67

819:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:15:21.24 SlMsaVX8.net
正解。10秒は正直きつかったと思う。反省してる。

820:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:17:58.50 M+2gbn5K.net
で、どこが面白いの？

821:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:40:24.55 SlMsaVX8.net
じゃあ面白い問題おしえて

822:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:45:47.74 nDc6EqG9.net
手頃な手持ちがないや
で、どこが面白いの？

823:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:53:50.56 SlMsaVX8.net
察してくれ

824:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:55:44.92 6lMHRCSp.net
(x^2-y^2)^2-8(x^2+y^2-2)を因数分解せよ

825:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:56:01.33 nDc6EqG9.net
なんとなくわかりました

826:１３２人目の素数さん
16/02/11 01:12:12.79 bH5NLdGW.net
>>805
前にも出てたな。

827:１３２人目の素数さん
16/02/11 04:43:32.05 lG4eYjeX.net
(1)広義積分∫_0^∞ 1/(1+e^x) dxを求めよ.
(2)広義積分∫_0^∞ 1/(1+x^e) dxを求めよ.

828:１３２人目の素数さん
16/02/11 08:10:14.92 idTVTEhT.net
＞＞805
Maximaによると
(y-x-2)*(y-x+2)*(y+x-2)*(y+x+2)

829:１３２人目の素数さん
16/02/11 11:22:14.04 jFqGopu8.net
三角形のある頂点からn回辺を渡って元の頂点に戻る方法は何通りあるか
ただし同じ辺を何度でも渡ってよいものとする

830:１３２人目の素数さん
16/02/11 11:32:44.64 jFqGopu8.net
三角形のある頂点からn回辺を渡って右隣の頂点に行く方法は何通りあるか
ただし同じ辺を何度でも渡ってよいものとする

831:１３２人目の素数さん
16/02/11 12:12:03.00 ytlW8RBD.net
場合分けして漸化式的な？

832:１３２人目の素数さん
16/02/11 12:36:26.49 4Xq5zTR2.net
>>798 >>809
こんぷぅーたーが必ず正しい答えを出す保証はないのでその解法は不可

833:１３２人目の素数さん
16/02/11 12:49:05.51 +pDw+fcr.net
>>811
行列
０１１
１０１
１１０
をｎ乗して、
非対角成分を見る。

834:１３２人目の素数さん
16/02/11 12:58:14.10 jS9+i2Cq.net
スタートを頂点Aとする。
n回目にAにいるパタンをa(n)通りとする。
a(0)=1である。
n回目にA以外にいるのは2^n - a(n)通りで、これがa(n + 1) と一致するから
a(n + 1) = 2^n - a(n)
この漸化式をとくと
a(n) = (2^n + 2(-1)^n)/3

835:１３２人目の素数さん
16/02/11 13:33:29.61 lKFnBQ6m.net
>>814,815
正解
想定してた解答は>>814だったけど
>>815のほうがスマートか

836:１３２人目の素数さん
16/02/11 14:30:45.66 vfZEdEaA.net
>>805
(x^2-y^2)^2-8(x^2+y^2-2)
=(x^2-y^2-4)^2-16y^2
=(x^2-y^2-4+4y)(x^2-y^2-4-4y)
=(x+y-2)(x-y+2)(x+y+2)(x-y-2)

837:１３２人目の素数さん
16/02/11 19:11:18.44 2qxM1Agz.net
>>814
サルにも分かるように解説キボンヌ！

838:１３２人目の素数さん
16/02/11 20:02:44.38 +pDw+fcr.net
サルには解らない。
出題者>>816には解ったようだから、
今回は、もうおしまい。

839:１３２人目の素数さん
16/02/11 20:13:17.57 lKFnBQ6m.net
>>818
隣接行列でググれ

840:１３２人目の素数さん
16/02/11 21:20:06.87 +pDw+fcr.net
点に番号をつける。
点ｉから点ｊ�

841:ﾖ１ステップで行けるとき１、行けないとき０を第ｊ行ｉ列に置いた行列をＡとすると、Ａのｎ乗の第ｊ行ｉ列成分は点ｉから点ｊへｎステップで行く経路数を表す。なんでそうなるかは、行列積の成分計算を帰納法で。

842:１３２人目の素数さん
16/02/26 15:59:46.93 jw4SQ24a.net
帯状の紙をn回ひねり、端と端をくっつけてn回ひねりのメビウスの帯を作る
このメビウスの帯の中央をはさみで切断して得られる結び目はなにか？

843:１３２人目の素数さん
16/02/26 16:18:18.25 mbObA5VW.net
メビウスじゃないし

844:１３２人目の素数さん
16/02/26 17:00:35.10 jw4SQ24a.net
>>823
じゃあなんか変な帯ってことで

845:１３２人目の素数さん
16/02/26 17:12:31.97 HIAxjyuu.net
切断したらどうなるかよりもむしろ、n回ひねるという動作を数学的にどう表現すればいいのか気になる

846:１３２人目の素数さん
16/02/26 17:29:48.42 ibixH6Fp.net
180°=1回

847:１３２人目の素数さん
16/02/26 17:34:01.76 HIAxjyuu.net
いや、そこを問題にしているのではないんだけど…

848:１３２人目の素数さん
16/02/26 17:48:58.34 HIAxjyuu.net
ググってみたところ、「ファイバー束」で表現できるみたいね

849:１３２人目の素数さん
16/02/26 17:52:46.53 eHEahPMp.net
組みひもσ^nのザイフェルト曲面として考えればいいんでないか？

850:１３２人目の素数さん
16/02/27 13:55:06.82 VC9SoSyh.net
そもそもメビウスは半ひねりだし

851:１３２人目の素数さん
16/02/27 14:18:04.46 5BhRbhc5.net
n個の白いボールとm個の黒いボールをランダムに並べる
並べた時黒いボールが続く最大の個数をLとする
例えば
○●●○●であればL=2
Lの期待値をE(n,m)とする
lim[m→∞]E(n,m)/mを求めよ

852:１３２人目の素数さん
16/02/27 14:22:47.26 iL/7MhpH.net
ランダムに並べて
●
　　　○
　　　　●　　　○
　　　　　　　　　　○
の場合のLっていくつ？

853:１３２人目の素数さん
16/02/27 15:28:12.44 HUQkI8eO.net
一直線というくくりの中でランダムに並べます

854:１３２人目の素数さん
16/02/28 02:13:40.90 BWhGgXn+.net
表面積が2016、全ての辺の長さの和が228の直方体がとりうる体積の範囲を求めよ
日を選んだので最大値、最小値は整数になる

855:１３２人目の素数さん
16/02/28 02:33:05.19 OARIlKQB.net
3次方程式の3実解存在条件。
良い数値を見つけたね。

856:１３２人目の素数さん
16/02/28 10:09:44.49 cNStj4eG.net
「正の」３実解。

857:834
16/02/29 00:42:20.88 H7VcljiB.net
解答例
与えられた直方体の3辺の長さをそれぞれa,b,cとおく
表面積から
2ab+2bc+2ca=2016⇔ab+bc+ca=1008
全ての辺の長さの和から
4a+4b+4c=228⇔a+b+c=57
また、体積をVとおくと
V=abc(>0)
さて
(x-a)(x-b)(x-c)=0
i.e. x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
i.e. x^3-57x^2+1008x-V=0
は、a,b,cを解にもつ
ここで
(a,b,cが全て正の実数)
⇔(x^3-57x^2+1008x-V=0が正の3実解（重解含む）をもつ)
⇔(y=x^3-57x^2+1008xとy=Vがx>0で2点以上で交わる)
よって、下図より、5184≦V≦5684
（図略）

元ネタはどっかの大学入試の過去問
解の個数の問題に帰着すると簡単に解けるところが好き

858:１３２人目の素数さん
16/02/29 00:52:05.44 ZKgLLjis.net
>>836
乙w
解いてみればわかる通り、3実解を持つとき、それは皆正の数になる。
だから、そのことを告げておけば十分。

859:１３２人目の素数さん
16/02/29 14:54:14.92 OIBhrA2Z.net
既出だったらすまんな
一辺1の正七角形において、対角線14本のそれぞれの長さの逆数和は？

860:１３２人目の素数さん
16/02/29 19:15:25.22 2/KiCOUd.net
次の方程式が表す図形を座標平面に図示せよ。（ただしひとつの平面に書き込むこと）
ｘ^2＋ｙ^2＝1
ｘ^2＋ｙ^2＝4
ｙ＝±ｘ　(－4≦ｘ≦－3,3≦ｘ≦4）
ｙ＝0　（－4≦ｘ≦－3,3≦ｘ≦4）
ｘ＝0

861:１３２人目の素数さん
16/02/29 19:42:15.14 qYUrVjOJ.net

sssp://o.8ch.net/8j1n.png

862:１３２人目の素数さん
16/03/02 22:26:19.91 9dioLi+3.net
>>839
2種類の対角線の長さをa,bとするとトレミーの定理より1/a+1/b=1であることを利用

863:１３２人目の素数さん
16/03/02 22:27:00.87 9dioLi+3.net
任意の2以上の整数nに対して
∑[k=1～n-1]1/(1+cos(kπ/n))=(n^2-1)/3
が成り立つことを示せ

864:１３２人目の素数さん
16/03/03 01:22:01.15 ZDD6mqO+.net
問
1～6までの目が描かれているサイコロを用意する。
1の裏には6、2の裏には5、3の裏には4の目が描いてある。
今、このサイコロが1の目を上にして平面に置いてある。
このサイコロを平面に接する4つ辺のうちの任意の1辺を軸に1回だけ転がすという操作を考える。
n-1回目までの操作で一度も1の目が上に来ずに、n回目の操作で1の目が再び上になる確率を求めよ。

865:１３２人目の素数さん
16/03/03 04:36:49.00 hv6zybMR.net
自然数n,mについて、
Σ(k=0,n-1) (cos(2πk/n))^2m =(n/4^m) Σ(j≡m mod n ,0 ≦j≦2m) 2m_C_j を証明せよ
ただしΣ(j≡m mod n ,0 ≦j≦2m) は 0から2mまでの整数jでj≡m mod nとなるjについてだけ足すという意味である

866:１３２人目の素数さん
16/03/03 07:21:35.73 FEpT+A7E.net
>>844
p[n]=q[n-1] p[0]=1
q[n]=(p[n-1]+2q[n-1]+r[n])/4 q[0]=0
r[n]=q[n-1] r[0]=0

867:１３２人目の素数さん
16/03/03 07:22:51.99 FEpT+A7E.net
訂正
q[n]=(p[n-1]+2q[n-1]+r[n-1])/4

868:１３２人目の素数さん
16/03/03 07:58:58.17 FEpT+A7E.net
q[n]=(1-(-1/2)^n)/6
p[n]=(1+2(-1/2)^n)/6、p[0]=1/2≠1となる？

869:１３２人目の素数さん
16/03/03 09:00:01.28 z5PJISrU.net
（１＋２（－１／２）＾ｎ＋３・０＾ｎ）／６。
（１－（－１／２）＾ｎ）／６。
（１＋２（－１／２）＾ｎ－３・０＾ｎ）／６。
（１＋２（－１／２）＾０＋３・０＾０）／６＝１。
（１－（－１／２）＾０）／６＝０。
（１＋２（－１／２）＾０－３・０＾０）／６＝０。

870:１３２人目の素数さん
16/03/03 12:00:46.24 FEpT+A7E.net
848の？＝何故、p(n)は、n=0とn>0で式が一意に定まらないのか？

871:１３２人目の素数さん
16/03/03 13:14:50.15 QOHuAnUI.net
x^{n-m}(x+1)^{2m}

872:１３２人目の素数さん
16/03/03 15:29:18.88 U+3HcEb3.net
>>850
簡単な例で言うと、
p(0)=1, p(n+1)=xp(n)+y(1-p(n))
というような漸化式を解くと
p(n)=(y+(1-x)(x-y)^n)/(1-x+y)
となるが、x=yとすると
p(n)=x+(1-x)0^n（ただし、0^0=1と定める）
となり、これは
p(0)=1、p(n)=x（n≧1）と同じ。
初期状態だけ特別なのは別に当たり前のことだが、0^nの項が隠れていると
みなすこともできる。

873:１３２人目の素数さん
16/03/04 10:02:53.07 zvXcKLwr.net
>>844
{(1+√5)^(n-1)-(1-√5)^(n-1)}/{2^(2n-1)*√5}

874:１３２人目の素数さん
16/03/04 16:06:52.79 ldcQblfg.net
>>849
p[n]=r[n]=q[n-1]=(1-(-1/2)^(n-1))/6=(1+2(-1/2)^n)≠(1+2(-1/2)^n+3・0^n)

875:１３２人目の素数さん
16/03/04 21:34:26.71 8P72IH2y.net
>>846
1=p[0]=q[-1]=r[0]=0

876:１３２人目の素数さん
16/03/04 21:50:49.06 ldcQblfg.net
>>855
p[n]=r[n]=(1+2(-1/2)^n)/6だから
p[0]=r[0]=1/2≠1

877:１３２人目の素数さん
16/03/05 00:00:48.08 X/XR2Uo6.net
続けたまえ

878:１３２人目の素数さん
16/03/06 13:44:12.23 TcNreTvY.net
>>845
誤字か勘違いかわからんが、それだとm=1,n=2のとき
左辺は2で右辺は1だな。多分cos(2πk/n)じゃなくてcos(πk/n)だろう。
考え方は変わらないのでそのままでやると
cos^(2m)(x)
=[{exp(ix)+exp(-ix)}/2]^(2m)
=(1/4^m)Σ[j=0,2m] 2m_C_j*exp{i(2m-2j)x}
x=2πk/nとして
Σ(k=0,n-1)exp{i(2m-2j)x}
=n (2m≡2j mod n　の時),0 (それ以外)
より
Σ(k=0,n-1) (cos(2πk/n))^2m =(n/4^m) Σ(2j≡2m mod n ,0 ≦j≦2m) 2m_C_j

879:１３２人目の素数さん
16/03/07 08:05:23.43 o0HG75jE.net
「n-1回目まで1が上に来ない」の部分は？

880:１３２人目の素数さん
16/03/07 10:31:44.21 zWU1/WlS.net
>>859
p[n]=q[n-1]
q[n]=(2q[n-1]+r[n-1])/4 q[1]=1/4
r[n]=q[n-1]
q[n]=(2q[n-1]+q[n-2])/4
q[n]=√5/10*(((1+√5)/4)^n-((1-√5)/4)^n)
p[n]=((5-√5)((1+√5)/4)^n+(5+√5)((1-√5)/4)^n)/10

881:１３２人目の素数さん
16/03/08 02:52:03.66 Es7BHtVA.net
4^n+5の約数の十の位の数字は偶数であることを証明せよ

882:１３２人目の素数さん
16/03/08 03:11:40.20 gzhONgd3.net
4^n+5=ab, a≡10+j (mod 20) (a, bは正の奇数，jは1桁の奇数)
なる分解があると仮定すると
4^n+5≡(10+j)b≡10+bj
∴4^n≡b(a+j) (mod 20)
a+j≡0 (mod 2)なので2^(2n-1)≡b (mod 10)
左辺は偶数，右辺は奇数だから矛盾

883:１３２人目の素数さん
16/03/08 03:25:25.26 HyCV8LJj.net
>>861
4^nの一の位の数は、1,4,6
a,b,cは整数、a>=0, b=2,4,6,8, c=1,6,9として
n=kのとき、4^k+5の十の位が偶数だと仮定すると
4^k+5=100a+10b+c
4^(k+1)+5=100(4a)+10(4b-2)+4c+5
となり、n=k+1のときにも十の位が偶数となる

884:１３２人目の素数さん
16/03/08 03:27:47.73 HyCV8LJj.net
>>863
×b=2,4,6,8
○b=0,2,4,6,8

885:１３２人目の素数さん
16/03/08 16:14:22.91 Es7BHtVA.net
4^n≡b(a+j) (mod 20)
2^(2n-1)≡b (mod 10)
この2つの式の導出がよく分からない
>>863
2^n+5だけじゃなくて2^n+5の任意の約数について証明する問題だよ

886:１３２人目の素数さん
16/03/09 13:38:46.18 aadErqVs.net
>>861
N^2+5が素因数pをもつ⇔N^2≡-5 (mod p)。
平方剰余の相互法則より、素数p(≠2,5)について、
ある整数aがあって a^2≡-5 (mod p)
⇔(p≡1 (mod 4) かつ p≡±1 (mod 5)) または (p≡-1 (mod 4) かつ p≡±2 (mod 5))
⇔p≡1,3,7,9 (mod 20)。
また、集合{n|n≡1,3,7,9 (mod 20)}は積について閉じている。
したがって、N^2+5の約数で10と互いに素であるものは、十の位の数字が偶数である。
4^n+5=(2^n)^2+5は10と互いに素であるから、約数もそうで、その十の位の数字は偶数である。

887:１３２人目の素数さん
16/03/09 20:39:58.47 bhQKruR9.net
自然数nをいくつかの自然数の和に分割する方法は何通りあるか？
ただし、足す順番は以下の例のように区別するものとする
例n=4のとき
(1)1+1+1+1
(2)1+1+2
(3)1+2+1
(4)2+1+1
(5)2+2
(6)1+3
(7)3+1
の7通り

888:１３２人目の素数さん
16/03/09 20:59:06.92 e/m5HQOY.net
2^(n-1)-1

889:１３２人目の素数さん
16/03/09 23:54:40.55 aadErqVs.net
10 = 1 + 9 = 1^2 + 3^2,
100 = 36 + 64 = 6^2 + 8^2,
1000 = 324 + 676 = 18^2 + 26^2, ...
1以上の整数nに対して、10^n = a^2 + b^2, a < b となる
10で割り切れない自然数a,bが存在してただ一組であることを示せ。
存在は易しいけど、唯一性はすこし難しい

890:１３２人目の素数さん
16/03/10 01:04:13.09 Sy7j4YuX.net
>>865
×4^n≡b(a+j) (mod 20)
○2^(2n+1)≡b(a+j) (mod 20)
4^n+5=ab
4^n+5≡10+bj (mod 20)
の両辺を足す
だけどそのあとが不備あったorz

891:１３２人目の素数さん
16/03/10 14:13:53.41 Q2oLkhxZ.net
>>867
【足す順番を区別する場合】
長さnの羊羮を用意する
端から1,2,3,…,n-1のところに切れ目を入れていく
このとき、それぞれの箇所で切る・切らないの2通りだから、
ノータッチの状態を引いて
2^(n-1)-1通り
【足す順番を区別しない場合】
分割数
ムズい

892:１３２人目の素数さん
16/03/23 01:39:20.07 9k15/f8F.net
有理数とcos1°との有限の四則演算でsin1°を作れることを証明せよ

893:１３２人目の素数さん
16/03/23 03:32:07.35 EtMo69Rl.net
>>872
任意の自然数nに対して
cos(nθ)=f(cosθ)，sin(nθ)=g(cosθ)sinθ
　（ただし、f(x)，g(x)は整数係数の多項式）と表せることが
加法定理を用いて数学的帰納法で示せるので、
sin1°=cos89°=f(cos1°)
　（ただし、f(x)整数係数の多項式）と表せる。
各nに対応するf(x)は、チェビシェフの多項式ってやつ。

894:１３２人目の素数さん
16/03/23 03:47:12.69 dvcAvohL.net
なるほろ

895:１３２人目の素数さん
16/03/26 18:21:28.24 40uJfR2p.net
nを正の整数とするとき3^n-1が2^kの倍数となる最大の整数kを求めよ

896:１３２人目の素数さん
16/03/26 20:41:25.49 E+ea4Ryb.net
>>875
n=a*2^b（aは奇数、bは0以上の整数）とおくと、
b=0（すなわちnが奇数）のとき　k=1
b≧1のとき　k=b+2
mを自然数とすると
3^(2m-1)-1≡2 (mod 8)
3^(2m-1)+1≡4 (mod 8)
3^(2m)+1≡2 (mod 8)
であることと、b≧1では
3^n-1=(3^a-1)(3^a+1)(3^(2a)+1)(3^(4a)+1)…(3^(2^(b-1))+1)
となることを利用。

897:１３２人目の素数さん
16/03/26 20:44:41.74 E+ea4Ryb.net
修正
誤：3^n-1=(3^a-1)(3^a+1)(3^(2a)+1)(3^(4a)+1)…(3^(2^(b-1))+1)
正：3^n-1=(3^a-1)(3^a+1)(3^(2a)+1)(3^(4a)+1)…(3^(2^(b-1)*a)+1)

898:１３２人目の素数さん
16/03/31 19:11:44.45 IpIPgDLZ.net
Σ[k=0 to n] C[n-k,k] x^k を計算せよ。ここで C[n-k,k] は二項係数とする。

899:１３２人目の素数さん
16/04/01 00:45:36.69 4H12Do0+.net
F[n](x)=Σ[k=0,n]C[n-k,k]x^k
F[0](x)=1, F[1](x)=1+x, F[n+1](x)=F[n](x)+xF[n-1](x)
までは分かった

900:１３２人目の素数さん
16/04/01 01:22:46.51 ces74IP7.net
>>879
F[1](x)=1じゃないの？

901:１３２人目の素数さん
16/04/01 01:31:04.64 4H12Do0+.net
>>880
あ、ずれてた
F[1](x)=1, F[2](x)=1+x
と書きたかった

902:１３２人目の素数さん
16/04/02 01:13:13.35 lgnK4vN7.net
>>878
a = √(1+4x) とおくと、 Σ[k=0 to n] C[n-k,k] x^k = { ( (1+a)/2 )^(n+1) - ( (1-a)/2 )^(n+1) }/a

903:１３２人目の素数さん
16/04/03 08:05:02.43 5DW/lB1t.net
どうやるんだよ

904:１３２人目の素数さん
16/04/03 09:25:09.74 nP/GCnBv.net
漸化式作ってフィボナッチ数を同じようにやればいい

905:１３２人目の素数さん
16/04/03 10:15:52.29 5DW/lB1t.net
ぐぬぬ…

906:１３２人目の素数さん
16/04/03 14:34:14.38 cR/zEdvd.net
まあ、 >>882の左辺と右辺どっちが簡単かは微妙だがな
>>878の問いも「計算せよ」ではなく「Σを用いずに表せ」ぐらいのほうがいいのかな

907:１３２人目の素数さん
16/04/03 22:23:49.30 5DW/lB1t.net
>>882の右辺が導けませぬ・・・

908:１３２人目の素数さん
16/04/03 23:15:34.55 jd7HDkKh.net
形式冪級数Σ[n=0,∞]F[n](x)t^nを考えるとうまくいく

909:１３２人目の素数さん
16/04/04 01:39:24.59 yYQc9xiS.net
>>887
単に>>879 >>881の３項間漸化式をxを定数だと思って解けばいいだけ。受験数学の範疇。
特性方程式を２次方程式の解の公式を使って解いた結果、√(1+4x)が出てくる。

910:１３２人目の素数さん
16/04/22 20:59:10.19 qfYR5MNf.net
Σ[k=0 to n] (-1)^k * Binomial[n,k] * (n-k)^n = ？
wolfram先生に計算させたら、おかしな答えが出てくるが気にしない。ｳﾋｮｯ！
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)

911:１３２人目の素数さん
16/04/22 23:22:03.83 qfYR5MNf.net
m!+1=n^2をみたす自然数の組(m,n)を全て求めよ。

912:１３２人目の素数さん
16/04/23 00:30:17.64 G3ej4Ep7.net
>>891
ウルフラムアルファ先生に聞いたら(m,n)=(4,5)だって。
証明は知らん。

913:１３２人目の素数さん
16/04/23 00:56:49.13 accZlt

914:44.net

915:１３２人目の素数さん
16/04/23 08:53:35.07 z7Yoslf4.net
＞＞891
「すべて」ということは、有限個しかないということですね。
有限個であるといる証明はできているのですか

916:１３２人目の素数さん
16/04/23 09:54:51.61 IuUNR02C.net
>>894
> ＞＞891
> 「すべて」ということは、有限個しかないということですね。
「全て」にそんな意味はない。

917:１３２人目の素数さん
16/04/23 13:32:37.66 z7Yoslf4.net
＞895
「全てに」そんな意味はない
としても、この問題は答えが有限であることは証明されているのですか。
無限個あるならば、「全てを求めよ」というのは、無限の時間を要することに
なりませんか。

918:１３２人目の素数さん
16/04/23 13:41:35.81 IuUNR02C.net
例えばね、
3m-2n=1　を満たす自然数　ｍ、ｎ　をすべて求めよ、という問に答えてごらん。　

919:１３２人目の素数さん
16/04/23 14:55:16.34 iIo4nVsk.net
>>896
仮に無限にあって、パラメータ表示で書けないものを出題すると思うか？

920:１３２人目の素数さん
16/04/23 14:56:24.71 l3lNAJMM.net
ポエムかもしれないじゃん

921:１３２人目の素数さん
16/04/23 17:54:50.27 THUZ6rRp.net
1から2^nまでの数字が書かれたカードが左から昇順で並べられ、すべて伏せた状態で置いてある。
それをまず小さい方（左）から順に、１つ置きに開けていく。例えば、n=3のとき、この作業で開けるカードは2→4→6→8となる。
その次に、大きい方（右）から順に1つ置きに開けていく。n=3の場合、最初の作業で1, 3, 5, 7が残っているので、次の作業では5→1と開けられる。
これを繰り返し、最後に1枚カードが残る。n=3の場合は、3のカードが残る。
では、1から2^nまでの数字が書かれたカードの場合、最後に残るカードの番号は何か。

922:１３２人目の素数さん
16/04/23 19:44:20.15 lKzrVXQh.net
>>891　>>892
他にも
4!+1=25=5^2
5!+1=121=11^2
7!+1=5041=71^2
がある

923:１３２人目の素数さん
16/04/23 19:59:56.42 qW4yMwk2.net
０００。
００１。
０１０。
０１１。
１００。
１０１。
１１０。
１１１。
０００。
０１０。
１００。
１１０。
０１０。
１１０。
０１０。

924:１３２人目の素数さん
16/04/24 08:27:14.57 pebV9WnK.net
だから、パラメータ表示が出来る証明をお願いします。
あるいは、具体的にパラメータ表示式を提示してください。

925:１３２人目の素数さん
16/04/24 11:51:44.00 fT+PW3Gm.net
>>891
答えはよ

926:１３２人目の素数さん
16/04/24 12:46:33.68 fT+PW3Gm.net
調べたら未解決問題だった

927:１３２人目の素数さん
16/04/24 16:11:29.18 pebV9WnK.net
＞＞891
７以降２０まではこの式をみたすｎは存在しないようです。

928:１３２人目の素数さん
16/04/24 16:13:31.84 sYEjk7+k.net
あーわかっちゃったわ
わかっちゃったけど書くのめんどいからやめとく

929:１３２人目の素数さん
16/04/24 16:14:23.51 4/qsU/Wq.net
>>907
続けたまえ

930:１３２人目の素数さん
16/04/24 17:30:43.88 2wciXs0k.net
ほら、スペースは100レス近く残ってるぞ

931:１３２人目の素数さん
16/04/24 20:02:57.36 sYEjk7+k.net
>>909
100スレじゃ余裕で足りないんだわ
すまんな

932:１３２人目の素数さん
16/04/24 20:57:38.30 4/qsU/Wq.net
>>910

　　いいぜヘ(^o^)ヘ
　　　　　　　　|∧
　　　　　　　 /
てめえが100レスで足りないってなら
　　　　　　　　　／
　　　　　 (^o^)／
　　　　　／(　)
　　　　／／＞
　　　(^o^) 三
　　　(＼＼　三
　　　＜　＼　三
`＼
(／o^)
( ／　　まずは、残り100レス書き込んで
／く　　次スレに続きを書くんだ。
　　　　そげぶ

933:１３２人目の素数さん
16/04/24 22:50:29.31 X30YToTh.net
ワロス

934:１３２人目の素数さん
16/04/24 23:48:57.99 aswNEo2H.net
すっかり寂れてしまったなあ

935:１３２人目の素数さん
16/04/27 10:25:12.97 5R16oTXo.net
>>891
n=8～33までには、
n!+1=n^2
を満たすnはありません。
ちなみに、
33!=8683317618811886495518194401280000000

936:１３２人目の素数さん
16/04/27 10:52:44.37 jHmMfJ2g.net
左辺、右辺、同じ　n？

937:１３２人目の素数さん
16/04/27 12:19:12.88 5R16oTXo.net
>>915
式から見て同じnですが、n!+1=m^2ならば、別の解があるかもしれませんね。

938:１３２人目の素数さん
16/04/27 13:47:55.71 KTkJvLoh.net
それはまあ、階乗と二乗ではオーダーが異なるから当たり前だね

939:１３２人目の素数さん
16/04/27 15:15:19.73 qT92/6xQ.net
>>901　を書くときに添えておけばよかったが、
n≦1000ではn=4,5,7しか見つかりませんでした。

940:１３２人目の素数さん
16/04/28 00:18:34.87 H4++mM6e.net
>>918
７０００まで計算したけど新たなのは見つからなかった。

941:１３２人目の素数さん
16/04/29 13:03:29.80 1EjUODmc.net
2以上の任意の自然数は、平方因子を持たない2つの自然数の和で表せるか

942:１３２人目の素数さん
16/04/29 19:55:52.93 TGg/wwp1.net
2=1+1
3=1+2
4=1+3=2+2
5=2+3
6=1+5=3+3
7=1+6=2+5
8=1+7=2+6=3+5
9=2+7=3+6
10=3+7=5+5
（つづく）

943:１３２人目の素数さん
16/04/29 20:53:07.33 4X4p7Mxa.net
平方因子を持つ自然数は3個連続で存在するか

944:１３２人目の素数さん
16/04/29 20:56:00.50 4X4p7Mxa.net
上の問題は簡単だった．．．

945:１３２人目の素数さん
16/04/29 21:36:09.75 PCVxv37p.net
48,49,50が最小か
これを「mべき因子を持つ自然数はn個連続で存在するか」に
一般化したらどんなことが言えるか？
当然解答など用意していないが

946:１３２人目の素数さん
16/04/29 21:38:24.92 PCVxv37p.net
mべき因子は変だな
→m乗数を因子に持つ数
もっとふさわしい呼び名があるのかな

947:１３２人目の素数さん
16/04/29 21:40:00.80 ADxtEF5J.net
>>924
中国剰余定理だけ考えても、存在するのは自明だろ

948:１３２人目の素数さん
16/04/29 22:01:48.53 4tFeQEwu.net
平方因子4連続ですら意外と手計算でもきついことだけは分かった…
3174,3175,3176,3177

949:１３２人目の素数さん
16/04/29 22:09:50.59 4tFeQEwu.net
>>926
確かに。

950:１３２人目の素数さん
16/05/01 20:23:54.26 fjAEoFtk.net
2以上の自然数nについて(2^n-1)/nは自然数にはならないことを証明せよ

951:１３２人目の素数さん
16/05/02 00:10:46.51 XNE5hDyv.net
(1+1)^nとして二項定理で片付く

952:１３２人目の素数さん
16/05/02 00:40:39.50 FPOFtP0g.net
片づく？
nが素数ならいいけど。

953:１３２人目の素数さん
16/05/02 00:42:06.04 FPOFtP0g.net
フェルマーの小定理で
n奇数のときが言えるな。

954:１３２人目の素数さん
16/05/02 12:49:39.19 WMC5u0rY.net
>>920
n以下の自然数のうち平方因子を持たない整数が過半数であることを示せればほぼ明らか
評価が多少面倒だけど
(n以下のsquare-freeの個数)
＞n(1-Σ1/p^2)
＞n(14-π^2)/8
＞n/2

955:１３２人目の素数さん
16/05/03 23:48:35.57 +kp+oyUm.net
>>929
nが偶数のときは成立つ。（←分子は奇数）
nが奇数のとき、
　2は原始根、2の位数はφ(n)。
　nがφ(n)の倍数なら、2^n－1はnの倍数。
　しかしnは奇素因数から成り、オイラー関数φ(n)は偶数
　なのでnはφ(n)の倍数でない。
　2^n－1はnの倍数でない。
〔補題〕
aが原始根のとき、aの位数はφ(n)
a^m≡1　(mod n)　⇔　φ(n)｜m
ここでφ(n)はオイラーのφ関数。
なんか変だな…

956:１３２人目の素数さん
16/05/04 00:46:44.00 D0BPyBpa.net
マスターデーモン兄貴オッスオッス！

957:１３２人目の素数さん
16/05/07 21:21:00.45 DYhIhXQ0.net
(a+b)^4 + (a-b)^4 + (a+c)^4 + (a-c)^4 + (a+d)^4 + (a-d)^4 + (b+c)^4 + (b-c)^4 + (b+d)^4 + (b-d)^4 + (c+d)^4 + (c-d)^4 を因数分解せよ。
他にこんな感じの見かけない因数分解ある？

958:１３２人目の素数さん
16/05/07 21:36:44.92 VjFiZTMU.net
x^4+x^2+1を因数分解せよ

959:１３２人目の素数さん
16/05/08 17:41:52.34 rNtLA5lb.net
>>936
(a+b)^4+(a^b)^4=2(AA+6AB+BB), etc.
ここに A=aa, B=bb, C=cc, D=dd.
与式=6(A+B+C+D)^2.
>>937
与式=(xx+1)^2－x^2=(xx+x+1)(xx-x+1)

960:１３２人目の素数さん
16/05/08 19:40:22.28 yuoJE0k4.net
a,b,cは実数とする。以下を示せ。等号条件も求めよ。
(1) a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)≧0
(2) a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)≧0
下は「知識問題」（≒受験テクニック）

961:１３２人目の素数さん
16/05/08 19:46:00.20 1glUp2Ic.net
a=b=c=1

962:１３２人目の素数さん
16/05/08 19:58:37.79 yuoJE0k4.net
ごめんなさい
出題ミス
(1) a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)≧0
俺のケツ掘っていいよ

963:１３２人目の素数さん
16/05/08 20:06:44.46 sBc0clZf.net
くさくさくさくさくさくさ

964:１３２人目の素数さん
16/05/08 20:06:56.48 aM1hdXDC.net
どのへんに面白みがあるのかを問いたい

965:１３２人目の素数さん
16/05/08 20:08:54.47 usZgkkG0.net
ほならね

966:１３２人目の素数さん
16/05/08 22:55:56.95 8Zqy3qsE.net
ＧＷだからかなぁ、香ばしいですね

967:１３２人目の素数さん
16/05/08 23:19:38.77 7jJxq1Mz.net
高校生かな

968:１３２人目の素数さん
16/05/09 02:54:27.05 ZqUmALKq.net
√(π)erf(1)/2= ∫_0^1 e^(-x^2) dxは無理数であることを証明せよ

969:１３２人目の素数さん
16/05/11 00:01:17.43 cHXI1ndC.net
無理っす

970:１３２人目の素数さん
16/05/11 07:44:39.19 V8Kk1cJe.net
√(π)erf(1)/2= ∫_0^1 e^(-x^2) dxは無理数である(証明終)

971:１３２人目の素数さん
16/05/13 05:35:42.76 LsRX7drd.net
pを素数とし、nを0からp-1の整数としたとき
2^n mod pが全て合同にならないpの条件を求めよ

972:１３２人目の素数さん
16/05/13 08:52:29.56 LsRX7drd.net
訂正 nを0からp-2の整数としたとき

973:１３２人目の素数さん
16/05/13 09:00:14.76 LsRX7drd.net
2,3,5,11,13,19,29…

974:１３２人目の素数さん
16/05/16 02:40:57.14 mIfL0IS4.net
a*bマスのフィールドにm個の地雷があるマインスイーパーで最前手順をとった時のクリア率を求めよ。
ただし初手で開けたマスは必ず地雷の無いマスになり、残りのab-1マスにm個の地雷がランダムに配置されるものとする。

975:１３２人目の素数さん
16/05/16 02:42:12.72 mIfL0IS4.net
×最前
○最善

976:１３２人目の素数さん
16/05/18 20:03:33.07 0UHiF+Fs.net
面白い問題おしえて～な１１問目でネズミの問題をだしたものですが、
アレンジしてゲームにしてみました。
遊んでみてください。
URLﾘﾝｸ(www.vector.co.jp)

977:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/18 22:57:40.22 aEUwscPn.net
￥

978:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/18 22:58:00.60 aEUwscPn.net
￥

979:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/18 22:58:20.95 aEUwscPn.net
￥

980:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/18 22:58:40.15 aEUwscPn.net
￥

981:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/18 22:59:05.07 aEUwscPn.net
￥

982:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/18 22:59:23.70 aEUwscPn.net
￥

983:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/18 22:59:46.67 aEUwscPn.net
￥

984:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/18 23:00:09.22 aEUwscPn.net
￥

985:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/18 23:00:31.99 aEUwscPn.net
￥

986:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/18 23:00:57.69 aEUwscPn.net
￥

987:１３２人目の素数さん
16/05/19 02:50:29.55 5Smi0Rms.net
>>955
とりあえず169手で捕まえられたけど、無駄な手が多かったからだいぶ縮められそう
あと、似たゲームがあったのを思い出した
URLﾘﾝｸ(www.gamedesign.jp)

988:955
16/05/19 07:19:13.24 PSTI5TlD.net
>>966
おお、とけましたか。
作者の私以外の人にはかなり難しいと思ってましたが、
無理ゲーではないようで安心しました。

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