面白い問題おしえて～な二十一問目

面白い問題おしえて～ ..

624:１３２人目の素数さん
15/10/31 15:55:03.83 oUaeh8L4.net
おまけ付きの菓子にはA、B、Cのどれか１つが、それぞれ確率a、b、cで入っている。
(1) a+b+c=1のとき、3種類が揃うまでに買う個数の期待値を求めよ。
(2) 0<a+b+c<1のとき、3種類が揃うまでに買う個数の期待値は変わるか？
　変わるならその値を求め、変わらないならそれを証明せよ。

625:１３２人目の素数さん
15/10/31 16:31:21.02 jlw7lTLW.net
>>611

(1)
nは3以上の整数として
n個目にA,B,C全て揃う確率は
n-1個目までにAが出ず、n個目にAが出る確率
n-1個目までにBが出ず、n個目にBが出る確率
n-1個目までにCが出ず、n個目にCが出る確率
の和であり
(1-a)^(n-1)*a+(1-b)^(n-1)*b+(1-c)^(n-1)*c
よって買う個数の期待値は
n((1-a)^(n-1)*a+(1-b)^(n-1)*b+(1-c)^(n-1)*c) (個)

(2)
買う個数の期待値は(1)と同じ
n((1-a)^(n-1)*a+(1-b)^(n-1)*b+(1-c)^(n-1)*c) (個)
これは式の意味から明らか

626:１３２人目の素数さん
15/10/31 16:36:34.14 jlw7lTLW.net
(2)のようにはず

627:れがあるなら買う個数の期待値は(1)より大きくなると思われる

628:１３２人目の素数さん
15/10/31 16:40:55.08 0j1dwPeS.net
>>612
＞n-1個目までにAが出ず
ではBだけ出てCが出ていないかもしれない

629:１３２人目の素数さん
15/10/31 16:45:45.73 jlw7lTLW.net
（n-1個目までにAが出ず、n個目にAが出る確率）
-（n-1個目までにBのみが出て、n個目にAが出る確率）
-（n-1個目までにCのみが出て、n個目にAが出る確率）
+（n-1個目までにBが出ず、n個目にBが出る確率）
-（n-1個目までにCのみが出て、n個目にBが出る確率）
-（n-1個目までにAのみが出て、n個目にBが出る確率）
+（n-1個目までにCが出ず、n個目にCが出る確率）
-（n-1個目までにAのみが出て、n個目にCが出る確率）
-（n-1個目までにBのみが出て、n個目にCが出る確率）
か
やめた

630:１３２人目の素数さん
15/11/01 00:54:53.93 AWAb936d.net
>>615より
n個目にA,B,C全て揃う確率は
(1-a)^(n-1)*a-b^(n-1)*a-c^(n-1)*a
+(1-b)^(n-1)*b-c^(n-1)*b-a^(n-1)*b
+(1-c)^(n-1)*c-a^(n-1)*c-b^(n-1)*c
買う個数の期待値は
n((1-a)^(n-1)*a-b^(n-1)*a-c^(n-1)*a
+(1-b)^(n-1)*b-c^(n-1)*b-a^(n-1)*b
+(1-c)^(n-1)*c-a^(n-1)*c-b^(n-1)*c)個

631:611
15/11/01 10:36:50.24 LvsYUQg2.net
正解者なし。

632:１３２人目の素数さん
15/11/01 11:39:28.82 BcQa9qVi.net
期待値の式にnが入ってる時点で明らかに不正解なのはわかる

633:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:06:20.55 tOJjs8t9.net
>>611
(2)は問い方がおかしいだろ。
(1)でa+b+c=1を前提に答えを式変形していたら、(2)で使えるわけがない。
(1),(2)で共通で使える表現は存在する。
(1)だけの答えなら
bc+ca+ab=X、abc=Yとおいて
期待値は 1+ X/Y - (1+X)/(X-Y)
(1)(2)共通の答えは
期待値は 1+ 1/a + 1/b + 1/c - 1/(b+c) - 1/(c+a) - 1/(a+b)
考え方は、n≧1として、n回後にまだ全部揃っていない確率は
P(n) = (1-a)^n + (1-b)^n + (1-c)^n - (1-b-c)^n - (1-c-a)^n - (1-a-b)^n
であり、期待値は
1+Σ[n=1,∞]P(n)
（P(n)の式にn=0を代入すると0になるので、Σは0から計算すると楽）

634:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:10:01.30 4gDXr50m.net
買う個数の期待値ですけど

635:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:20:13.32 tOJjs8t9.net
>>620
そうですがなにか

636:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:31:08.00 NRx06mRK.net
なお、おまけのお菓子は廃棄してはいけないこととする

637:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:37:02.93 tOJjs8t9.net
ちょっと冷たかったな（汗）
一般に終了するまでの回数の期待値を考える場合、少しトリッキーな言い方だが、
「n回目が行われる回数」という確率変数をx(n)（x(n)は0か1の値をとる）とすると、
終了するまでの回数という確率変数Xは
X=Σ[n=1,∞]x(n)
となるので、Xの期待値は
E(X)=Σ[n=1,∞]E(x(n))
で、n回目までに終わってない確率をP(n)（n=0,1,…）とすると、
E(x(n))=P(n-1)となるので、結局
E(X)=Σ[n=0,∞]P(n)
と言える。今回の問題では、n≧1ではP(n)は示した通りで、P(0)=1。

638:１３２人目の素数さん
15/11/01 15:05:08.43 4gDXr50m.net
>>623
普通n回目に揃う確率をp(n)とした場合に求める期待値は当然
lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)np(n)
ではないの？
その方法でどうその後計算ができるのか示してもらいたいもんだ。

639:１３２人目の素数さん
15/11/01 15:06:23.21 4gDXr50m.net
×lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)np(n)
○lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)Σ[j=1,n]kp(k)

640:１３２人目の素数さん
15/11/01 15:15:08.77 tOJjs8t9.net
（さっきから示してるんですが…ま、いいや）

641:１３２人目の素数さん
15/11/01 15:25:50.30 tOJjs8t9.net
結局縦のものを横にして計算してるだけなんだがな。
あと、E(X+Y)=E(X)+E(Y)は理解してるよな？

642:１３２人目の素数さん
15/11/01 16:07:34.53 4gDXr50m.net
n回目まで終わっていない確率を足し合わせても回数の期待値にはならないと言っているだけだが？

643:１３２人目の素数さん
15/11/01 22:14:45.26 tOJjs8t9.net
>>623の説明でわからなければ、私の手には負えません。

644:１３２人目の素数さん
15/11/01 23:00:35.12 4gDXr50m.net
>>629
n回目まで終わっていない確率を足し合わせたところで、その極限は1にしかならない。以上。

645:１３２人目の素数さん
15/11/01 23:11:13.81 tOJjs8t9.net
>>630
他のスレでの発言を見ていると、大学レベルの数学の知識をお持ちの方と
見受けられるのですが、
どうして自分の頭できちんと考えることを放棄されているのでしょうか？

646:１３２人目の素数さん
15/11/01 23:18:30.47 tOJjs8t9.net
（下げ忘れました。スミマセン）

647:１３２人目の素数さん
15/11/02 00:34:13.02 FzT0ePp1.net
日付が変わる前に>>630の発言を引き出せたからよしとするか…
何を言ってるかと思えば、そんなレベルの話だったとは

648:１３２人目の素数さん
15/11/02 02:34:02.14 krCUW5Pu.net
>>619は考え方は合ってるけど計算ミスしてるのでは。

649:１３２人目の素数さん
15/11/02 05:33:21.12 wY9be5wM.net
>>631
>>625

650:611
15/11/02 06:19:14.52 O2maGD3B.net
>>619
> (1)(2)共通の答えは
> 期待値は 1+ 1/a + 1/b + 1/c - 1/(b+c) - 1/(c+a) - 1/(a+b)
(1)のみ正解。
(2)はa+b+c≠1なので、式の形は異なります。(2)の値にa+b+c=1を代入すると(1)に一致するけどね。私が間違っていたらゴメン。

651:611
15/11/02 07:49:59.21 O2maGD3B.net
(2)の問題文を「期待値を a, b, c で表せ」に変更します。
s=a+b+c、t=ab+bc+ca、u=abc とおいて、s, t, u で表してもいいです。

652:１３２人目の素数さん
15/11/02 08:30:02.32 udp++JuJ.net
1/a+1/b+1/c-1/(a+b)-1/(a+c)-1/(b+c)+1/(a+b+c).

653:１３２人目の素数さん
15/11/02 10:26:01.27 FzT0ePp1.net
>>636
本当だ、ベン図の真ん中が(2)では存在するのを忘れてた。
（説明すると、n回終わってaが出ていない事象をA、bが出ていない事象をB、
cが出ていない事象をCとして、ベン図書いて考えてて、3つ重なった所に
最初に0を入れたまま忘れてた…基本的ミスですな）
>>638で両方共通の答えになるのかな。

654:１３２人目の素数さん
15/11/02 10:36:33.87 FzT0ePp1.net
ところで、>>635は昨日の4gDXr50mさんですかね。
そろそろ「もしかしたら自分が勘違いしてるかも」と疑い始めてもいいころでしょうに。
その自信はどこから来るのか、ある意味うらやましい（嘘です）。
いや、誰も
lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)Σ[j=1,n]kp(k)
の考え方を間違いだと言ってるわけではないんですよ。
その考え方でうまく計算できないようなケースに、
>>623みたいな作戦が使えるという話をしているだけで。
どうして自分の頭で考えて人の言っていることを理解する努力をしないのかと
不思議に思っているわけです。

655:１３２人目の素数さん
15/11/02 13:02:00.46 wY9be5wM.net
>>640
4gDXr50mです。
>>630で書いているとおりですが、理解しようがありません。
確率を足しても、∞の試行回数までに試行が終わる確率＝1しか得られないと考えます。

656:１３２人目の素数さん
15/11/02 15:08:14.85 1VvZixfA.net
>>630,641
> n回目まで終わっていない確率を足し合わせたところで、その極限は1にしかならない。以上。
n回目までに終わっていない確率(=n+1回目が行われる確率)の和は、
0回目から1回目までの和ですでに2になる単調増加列だが？
P(0)=1
P(1)=1
P(2)=1
P(3)=1-6abc

657:１３２人目の素数さん
15/11/02 16:20:04.75 udp++JuJ.net
a+2b+3c+4d+...
=(a+b+c+d+...)+(b+c+d+...)+(c+d+...)+(d+...)+....

658:１３２人目の素数さん
15/11/02 16:30:52.95 wY9be5wM.net
>>642
回数の期待値と書いているのにも関わらず、回数を考慮していないからおかしい。

659:１３２人目の素数さん
15/11/02 16:50:16.25 1VvZixfA.net
>>644
そんな関係ないレスしてないで
> 確率を足しても、∞の試行回数までに試行が終わる確率＝1しか得られないと考えます。
が偽だということは理解できたか？

660:１３２人目の素数さん
15/11/02 17:48:34.69 wY9be5wM.net
>>645
＞確率を足しても、∞の試行回数までに試行が終わる確率＝1しか得られないと考えます。
それは誤解だった。
n回目で終わる確率をP(n)とした場合にはその極限が1になるということ間違った。
＞E(x(n))=P(n-1)
と書かれているのがまずおかしい。
x(n)は0か1だから、E(0)とかE(1)は何を意味するのか？
E(n)=nP(n-1)
の間違いではないのか？

661:１３２人目の素数さん
15/11/02 20:26:17.36 Cvr2y9Py.net
一般に、確率変数Xが与えられたときにその期待値のことをE(X)と書くのであって
E(0)とかE(1)とかE(n)っていうのはちょっと意味が分からないなあ

662:１３２人目の素数さん
15/11/02 21:36:38.51 1VvZixfA.net
>>646
> ＞E(x(n))=P(n-1)
> と書かれているのがまずおかしい。
まず、「E(x(n))」という書き方は>>647の通り期待値の一般的な記法であって何もおかしくない
x(n)は

663:>>623が書いている通り、「n回目が行われる回数」という確率変数で、 n-1回目までに全部そろっていなければ1を取り、 (確率P(n-1)) 全部そろっていれば0を取る (確率1-P(n-1)) 当然x(n)の期待値E(x(n))は E(x(n))=1*P(n-1)+0*(1-P(n-1)=P(n-1) になる補足だが、このP(n)はｎ回目終了時点で終わっていない確率であって、n回目に最後の一つがそろい終了する確率ではない > E(n)=nP(n-1) > の間違いではないのか？このE(n)、P(n)が何を意味するのか判りかねるが >>624-625に倣ったもので、 E(n)=Σ[ｋ=1,n]kP(k) の間違いならば、 P(n)は「n回目に最後の一つがそろい終了する確率」 E(n)は「『k回目に終了する時の買う個数kとP(ｋ)との積』のｋ=1からｎまでの和」だろうから > E(x(n))=P(n-1) の「E(x(n))」、「P(n)」とは別のものだろう

664:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:28:55.42 FzT0ePp1.net
x(n)は確率変数だと書いたはずだが。
ネット上で添字は分かりにくくなることがあるので、関数風に書くことはあるだろう。
x_nなら理解できるか？
nに対応する確率変数が無限にあるんだよ。
（というか、ただのよくある期待値計算の手法なのだが、なんでこんなことになってるの？）

665:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:35:48.94 FzT0ePp1.net
E(x(n))ではなくE[x_n]と書けばよかったか？
丸カッコではなく角カッコの方が一般的だというなら、そう読み替えて下さい。
（高校の教科書では、残念ながら丸カッコを使っているが。）

666:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:41:46.19 FzT0ePp1.net
最早難癖モードなのか、
本当に理解してないのかが計りにくいが、
ホントもうどうでもいい。
これでもまだ上から目線で議論できる神経にはある意味敬服する。（嘘です）

667:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:42:07.10 Mg+fRVGR.net
>>611
(2)
f(x)=x/(1-x) + x/(1-x)^2　として
a*f(b+c) + b*f(c+a) + c*f(a+b) - (a+b)*f(c) - (b+c)*f(a) - (c+a)*f(b)
展開したり、通分したりすると、複雑になるので、ここで止めておく
特にa+b+c=1 の時は、
a*f(1-a)-(1-a)*f(a)=1-2a+1/a-1/(1-a) 等から
1 + 1/a + 1/b + 1/c - 1/(1-a) - 1/(1-b) - 1/(1-c)
と>>619に一致

668:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:43:11.61 wY9be5wM.net
全て了解しました

669:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:45:27.00 wY9be5wM.net
よく考えれば非常に簡単なことだった。間違っていると思ったから書いているだけで
別に上から目線だとは全然思っていない。

670:１３２人目の素数さん
15/11/02 23:08:00.26 d0E5e822.net
>>652に補足
3c{(a+b)^2-a^2-b^2} + 4c{(a+b)^3-a^3-b^3} + 5c{(a+b)^4-a^4-b^4} + ... +　(cyclic項)
=Σ[k=2,∞](k+1)c{(a+b)^k-a^k-b^k} + cyc.
=Σ[k=1,∞](k+1)c{(a+b)^k-a^k-b^k} + cyc.
ここで
Σ[k=1,∞](k+1)x^k = Σ[k=1,∞](∂/∂x)x^(k+1) = ... = x/(1-x) + x/(1-x)^2 ≡f(x)
に注意して、書き直したのが>>652

671:１３２人目の素数さん
15/11/02 23:15:13.34 wY9be5wM.net
>>651
そうですね、それは大変に失礼いたしました。
以前に私はこの計算を行った問題です。
レアカードはABCDEFGHの8種類あり、レアカードが出る確率は5%。
A～Fと比べて、GとHは出る確率が半分。
n回目にレアカードがコンプする確率とコンプする回数の期待値を求めよ。

672:１３２人目の素数さん
15/11/02 23:15:58.38 wY9be5wM.net
×以前に私はこの計算を行った問題です。
○以前に私が計算を行った問題です。

673:１３２人目の素数さん
15/11/02 23:39:02.75 R2z+EcrU.net
あ、ミスった
>>652　>>655は無かったことに

674:１３２人目の素数さん
15/11/05 07:18:20.80 jjaZ4tUN.net
1から2n+1までの数字の書かれたカードが1枚ずつ2n+1枚ある。
この中から無作為に3枚を取り出す。
(1) 2数の差の最小値を得点とするとき、得点の期待値を求めよ。
(2) 2数の差の最大値を得点とするとき、得点の期待値を求めよ。

675:１３２人目の素数さん
15/11/08 01:47:28.64 Qs7YPP2X.net
任意の実数a,b,cに対して、不等式
|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|≦M（a^2+b^2+c^2）^2
が成り立つような最小の実数Mを求めよ

676:１３２人目の素数さん
15/11/08 16:59:39.06 f/sobXmt.net
(9√2)/32

677:１３２人目の素数さん
15/11/08 23:12:29.95 Ra6N4a1N.net
過程も書け

678:１３２人目の素数さん
15/11/09 21:15:51.58 VgRTV7gt.net
>>660
a^2+b^2+c^2=1 の球面上での極値問題と考える
a,b,c が対称だから (a,b,c)=(1,1,1)/√3 を軸とする極座標 (r,θ,φ) に変換すれば簡単になると予想
他の2軸を (√(2/3),-1/√6,-1/√6),(0,1/√2,-1/√2) として
a=(1/√3)r(√2cosφcosθ+sinφ)
b=r(-(1/√6)cosφcosθ+(1/√2)cosφsinθ+(1/√3)sinφ)
c=r(-(1/√6)cosφcosθ-(1/√2)cosφsinθ+(1/√3)sinφ)
とすれば
ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)=√(3/2)r^4 sinφ(cosφ)^3 (3sinθ-4(sinθ)^3)
sinφ(cosφ)^3 の最大値は 3√3/16 で 3sinθ-4(sinθ)^3 の最大値は 1 だから答は 9√2/32

679:１３２人目の素数さん
15/11/09 21:45:24.58 Uts8GNkz.net
すごい

680:１３２人目の素数さん
15/11/09 21:49:30.09 wYVWaO80.net
>>663
> a^2+b^2+c^2=1 の球面上での極値問題と考える
すでにココで何をやってるか分からない…

681:１３２人目の素数さん
15/11/09 23:29:45.01 2fj29AuI.net
>>662
X=a-b,Y=b-c,R=√(a^2+b^2+c^2)とすると、(c-a)=-X-Y
X^2+Y^2+(X+Y)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=2R^2-2(ab+bc+ca)なので
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=R^2+2R^2-X^2-Y^2-(X+Y)^2
{左辺/(右辺/M)}^2={(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}^2/(a^2+b^2+c^2)^4
=X^2Y^2(X+Y)^2(3R^2-X^2-Y^2-(X+Y)^2)/R^8=...≦81/512
腕力に頼るなら、f(x,y)={xy(x^2-y^2)+y(y^2-1)+x(1-x^2)}/(x^2+y^2+1)^2
として、∂f/∂x=∂f/∂y=0を解いて極大の候補を見つける方法も

682:１３２人目の素数さん
15/11/10 08:10:32.00 ktIVqkZl.net
2015年度　釣塔大学理学部　入学試験問題　数学
2/29　9:00-15:00　（6時間）
問1　π>3.05を示せ。
問2　tan1゜は有理数か。
問3　一辺1の正二十面体の体積を求めよ。
問4　tan10°=(tan20°)(tan30°)(tan40°) を示せ。
問5　C[2015,n]が偶数となる最小の自然数nを求めよ。
問6　(2^n+1)/n^2 が整数となるような自然数nを全て求めよ。

683:１３２人目の素数さん
15/11/10 11:46:09.81 AkD0Xa0Q.net
>>667
> 釣塔大学理学部
ネタも大概にしろ

684:１３２人目の素数さん
15/11/10 13:38:57.41 RSSjjlq7.net
同じ問題ばっかしコピペしてるなー

685:１３２人目の素数さん
15/11/10 13:55:57.09 eSJ4pj9H.net
解けない馬鹿ばかりだからね

686:１３２人目の素数さん
15/11/10 14:04:37.53 yjYWK9mN.net
調べればすぐ答え出てくる問題ばっかやな

687:１３２人目の素数さん
15/11/10 15:03:31.81 M07kpxaE.net
釣塔大の過去問ではファレイ数列を背景にしたものが面白かった

688:１３２人目の素数さん
15/11/10 17:44:20.54 QKJlOMCa.net
釣塔大学　平成24年度入学試験問題
数学(文科)
URLﾘﾝｸ(www.choto.jp)
数学(理科)
URLﾘﾝｸ(www.choto.jp)
から一問

文科第4問
x^17+7x=1の
(1) 17個の解の17乗の総和
(2) 17個の解の逆数の総和

689:１３２人目の素数さん
15/11/10 20:38:49.07 gneE9q0Y.net
これ、釣塔大のオリジナル？

690:１３２人目の素数さん
15/11/10 20:56:09.21 ejzOfhBl.net
そうわ問屋が卸さない。

691:１３２人目の素数さん
15/11/10 22:21:57.83 Yi1N+6jX.net
四面体の六辺の積をL、体積をVとおくとき
L/V^2の最小値を求めよ

692:１３２人目の素数さん
15/11/11 00:02:10.60 c02syTcL.net
V/2=1/

693:6abcsinαsinβ=1/6defsinγsinσ (V^2)/4=1/36Lsinαsinβsinγsinσ L/V^2=9/sinαsinβsinγsinσ こうですかわかりません！

694:１３２人目の素数さん
15/11/11 00:03:09.77 c02syTcL.net
ぜんぜん違うじゃねーか

695:１３２人目の素数さん
15/11/11 00:13:50.85 CD/W06rP.net
元ネタは何だろう
URLﾘﾝｸ(www.tcp-ip.or.jp)

696:１３２人目の素数さん
15/11/11 14:22:22.47 H4I4JOfA.net
>>638
(2) この答え違うよな

697:１３２人目の素数さん
15/11/12 23:45:42.55 +ZNawg+o.net
xy平面上で、不等式x^2＋y^2≦b^2で表される領域をDとする。
このとき、曲面Z=√(a^2－x^2－y^2)のDに対応する部分の面積を求めよ。
ただし、a.bは正の定数でa>bとする

698:１３２人目の素数さん
15/11/13 12:58:10.36 JTFtlSpL.net
それは見飽きた

699:１３２人目の素数さん
15/11/13 23:05:42.07 woulzGdF.net
解けないくせに

700:１３２人目の素数さん
15/11/14 03:12:10.96 CUofgJxc.net
球を平面で切った面積だろ？
どこの参考書にでも、
丸々おな問が載っているぞ。
勉強したこと無いの？

701:１３２人目の素数さん
15/11/14 05:03:08.80 FqgeDLEi.net
何？また質の低い出題者がエレガントに出したの？

702:１３２人目の素数さん
15/11/14 13:53:59.34 2y7u5HhI.net
受験通った奴なら解ける問題

703:１３２人目の素数さん
15/11/14 15:21:58.54 MNaw2lGQ.net
口ばっかりで実際には解けていない連中

704:１３２人目の素数さん
15/11/14 15:24:48.46 MNaw2lGQ.net
文句しかつけられない屑ども

705:１３２人目の素数さん
15/11/14 15:35:05.13 rGriZ3WF.net
文句つけるしかしようがないからな
出直して来いってことだ

706:１３２人目の素数さん
15/11/14 17:51:05.48 WlTPgH8m.net
４種類のタイルがたくさんある。いずれも正多角形形で、一辺の長さが１である。
この四種類のタイル全てを一定の割合で使い、平面を規則的に覆い尽くすことができるという。
この４種類のタイルが、それぞれ正何角形か、そして、どのように配置するか。

707:１３２人目の素数さん
15/11/14 17:55:47.72 0i+c2SxP.net
全部正六角形で材質が違う
はい論破

708:１３２人目の素数さん
15/11/14 18:43:53.07 8/VySMOE.net
全部正方形で材(ry

709:１３２人目の素数さん
15/11/14 22:20:06.93 AGL93mt1.net
3,4,6,12.

710:１３２人目の素数さん
15/11/15 01:45:23.04 60GjeiIH.net
>>693
どうやって？

711:１３２人目の素数さん
15/11/15 06:09:13.20 UyssNKsl.net
>>694
693ではないが、
正十二角形と正三角形だけで平面が敷き詰められることと
正六角形の回りに正方形と正三角形を6つずつ並べると正十二角形になることを知ってれば
簡単だと思うが。
正十二角形と正三角形の敷き詰めパターンの中で
一部の正十二角形を規則的に選んで、他の正多角形の組合せに置き換えればいいだけ。
どういうルールで置き換える正十二面体を選ぶかはさじ加減次第でいかようにも。

712:１３２人目の素数さん
15/11/15 06:10:25.43 UyssNKsl.net
誤：正十二面体
正：正十二角形

713:１３２人目の素数さん
15/11/15 07:20:01.98 60GjeiIH.net
>>695
なるへそ。さんくす。

714:１３２人目の素数さん
15/11/15 22:04:33.00 VhAV5WwG.net
次の条件を満たす関数f(x)が存在すればそれを求め，存在しなければそれを示せ．
(1) 実数全体で微分可能
(2) x≠0 なる任意の実数 x に対して x^2 f’(x)＝f(x)
(3) f(1)＝1

715:１３２人目の素数さん
15/11/16 01:06:30.99 iIs89nTI.net
>>698
微分方程式知ってればただの問題だしなあ
(2)を解くと一般解はf(x)=Ce^(-1/x)で
(3)から特殊解はe^((x-1)/x)となるけど、
(1)の条件を満たさない（x=0が定義域に入らない）からそんな関

716:数は存在しない。

717:１３２人目の素数さん
15/11/16 01:13:40.85 20I39tfO.net
>>690の出題者です。wiki の「平面充填」のページの「複数種類のタイルによる平面充填」の「正多角形」
の所に、８つの種類が図を伴って載っているが、
・(3,4,6,4)型において、正六角形とその周りの正方形と正三角形をまとめ、一つの正十二角形にする
・(3,12,12)型において、正十二角形を、一つの正六角形と３つの正方形・三つの正三角形にする
・(4,6,12)型において、正六角形を六つの正三角形にする
それぞれの平面充填図に於いて、この三パターンを置き換えを規則的な位置で行ったものが、
解答にあたると考えています。
いずれも正3,4,6,12角形の四種類のタイルを使用することになります。

718:１３２人目の素数さん
15/11/16 07:20:24.93 dgMTjPk9.net
>>699
地雷踏んでますな
間違ってるよ

719:１３２人目の素数さん
15/11/16 09:48:09.42 gF+qHZnf.net
型どおりの嵌め手だな。
lim[x→0]f(x)を
考えるといいんじゃない？

720:１３２人目の素数さん
15/11/16 10:09:59.96 lYzjmwv3.net
0(x<=0).
exp(1-1/x)(0<x).

721:１３２人目の素数さん
15/11/16 11:42:47.39 iIs89nTI.net
なるほど嵌められた。

722:１３２人目の素数さん
15/11/16 15:18:57.34 NgBGszqz.net
中途半端な知識がある奴に限って
引っかかって涙目になる好例だな

723:１３２人目の素数さん
15/11/16 23:49:12.75 gF+qHZnf.net
こういうのがあるから、実解析は厭らしい。
複素解析のように単純明快ではないから。

724:１３２人目の素数さん
15/11/17 00:21:31.90 B/WbhtGY.net
そういう問題ではないだろw

725:１３２人目の素数さん
15/11/18 08:07:35.28 YfZeoSBZ.net
Z:整数の集合　a,b:互いに素な整数　n:正の整数
A(n) = { ax^n+by^n | x,y∈Z }　とおく
ZにおけるA(n)の補集合をB(n)とする
n≧2のとき B(n)が無限集合であることを示せ

726:１３２人目の素数さん
15/11/20 12:07:03.57 XLNgk5Ci.net
算数の授業で「皆殺し」　18782（嫌なやつ）＋18782＝37564
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)
藤沢市の女性教諭（４０）が４年生の算数の授業で電卓の使い方を教える際、
「嫌なやつ（１８７８２）と嫌なやつ（１８７８２）を足すと皆殺し（３７５６４）になる」
との語呂合わせを用いていたことが１９日、分かった。

727:１３２人目の素数さん
15/11/20 14:10:47.87 YC7UIon5.net
>>709
内容の善し悪し以前に、
ネタをボキャブラ天国から
とたことが異常に浅薄だな。

728:１３２人目の素数さん
15/11/20 21:20:39.64 cGbJbMBr.net
【問題】
2015年現在、個人情報の管理の効率化や行政事務の簡素化・迅速化などを目的として、住民票を有する日本国民一人一人にマイナンバーが付与されている。
マイナンバーはいずれも12桁以下の自然数であり、その中にはシステム上マイナンバーとして使用されない数もあるが、ここではそのような例外の存在は考慮しないものとする。
東工大生のヒロシはマイナンバーが異なる9個の素数の積であり、その素因数の和は250以下である。
愚かなヒロシは、自分のマイナンバーを「A,B,C,D」と3桁ずつ4つの整数に区切ったとき、A+B+C+Dと-A+B-

729:C+Dの値がともに41以上の素数であることに発狂・卒倒し、その驚愕的事実をあろうことか2chに書き込んでしまった.。この際、ヒロシのマイナンバーを当てちゃえ。

730:１３２人目の素数さん
15/11/20 21:23:39.27 yi/k0l6t.net
これは難しいな
どこが面白いのかを理解するのが

731:１３２人目の素数さん
15/11/20 21:41:16.13 qwFw9WzJ.net
たぶんヒロシの正体だろ？

732:１３２人目の素数さん
15/11/20 22:51:15.90 YC7UIon5.net
>>710 について陳謝と訂正。
ボキャブラ天国ではなく
トリビアの泉だったようだ。
似たようなもんといえば
似たようなもんだが。

733:１３２人目の素数さん
15/11/21 02:22:52.60 sgarGLHU.net
>>711
3通り

734:１３２人目の素数さん
15/11/21 04:26:38.18 gKgefaB2.net
>>715
同じく三通り見つかった
その三通りの　A+B+C+D　の和は、5345でおｋ

735:１３２人目の素数さん
15/11/25 06:31:23.75 b4wpDMiG.net
a^(bc)・b^(ca)・c^(ab)=2^(abc)をみたす自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ。

736:１３２人目の素数さん
15/11/29 04:11:41.47 JA15tZsj.net
a^(bc)*b^(ca)*c^(ab)の素因数は2のみだから
a=2^l, b=2^m, c=2^n　（l,m,nは非不整数）
とおける
(2^l)^(2^(m+n))*(2^m)^(2^(n+l))*(2^n)^(2^(l+m))=2^(2^(l+m+n))
⇔2^(m+n)*l+2^(n+l)*m+2^(l+m)*n=2^(l+m+n)　…★
⇔(l,m,n)=(3,3,4),(3,4,3),(4,3,3)　…☆
したがって
(a,b,c)=(8,8,16),(8,16,8),(16,8,8)
(l,m,n)の解（の一部？）☆は
l=m=nとしたとき
★⇔2^(2l)*3l=2^(3l)⇔2^l=3l
で3<l<4から当たりをつけた
☆以外にも解があるかもしれないが
★の両辺の大小関係から絞れるはず
例えば
(l,m,n)=(1,1,1),(1,2,3)では(左辺)>(右辺)
(l,m,n)=(4,5,6),(6,6,6)では(左辺)<(右辺)

737:１３２人目の素数さん
15/11/29 10:10:01.03 9sTwx4pn.net
1,2,2.
1,2,4.
1,4,4.
2,16,16.
4,16,16.
8,8,16.

738:１３２人目の素数さん
15/11/29 10:27:06.20 0eJS4rU2.net
そんなあるのか

739:１３２人目の素数さん
15/11/29 14:31:10.14 jKzfN99j.net
京大特色入試
URLﾘﾝｸ(imgur.com)

740:１３２人目の素数さん
15/11/29 18:35:31.67 Zlc4lq5j.net
n個の変換ベクトルが互いに独立であれば良い

741:１３２人目の素数さん
15/12/17 12:45:31.26 bnNJ+6iW.net
別スレから
309 １３２人目の素数さん sage 2015/12/17(木) 12:03:29.97 ID:3RmDFSBV
問題変えたほうが良いな
a^2≡a(mod.p)を満たすaの個数がn個であるときR(p)=nとおく。
例えば、R(1)=1,R(2)=2,R(3)=2,R(4)=2
(1)R(10),R(20)を求めよ。
(2)R(p)を求めよ。

742:１３２人目の素数さん
15/12/18 00:11:55.50 NonrS9aL.net
因数分解せずに数える方法があるなら知りたい

743:１３２人目の素数さん
15/12/18 04:00:36.74 TFNLlafx.net
rad(p)をpの異なる素因数の積としてR(p)=2^rad(p)かな
素因数分解は必須のような気がする

744:１３２人目の素数さん
15/12/18 04:02:14.76 TFNLlafx.net
>>725
間違えた、rad(p)関係ない
f(p)をpの異なる素因数の個数としてR(p)=2^f(p)

745:１３２人目の素数さん
15/12/18 05:57:20.01 C7lNQQ2f.net
これ意味ある問題？
aの個数？
もとの問題は？

746:１３２人目の素数さん
15/12/18 06:03:42.22 8+Iq0zwg.net
意味ある問題なんてないぞ

747:１３２人目の素数さん
15/12/18 06:13:22.44 C7lNQQ2f.net
問題として成り立つの？ってことだよ。

748:１３２人目の素数さん
15/12/18 12:27:18.65 TFNLlafx.net
元の問題は知らないけど>>726はaの値の範囲を0≦a≦p-1として考えた

749:１３２人目の素数さん
15/12/18 21:30:27.61 C7lNQQ2f.net
問題作るにはちょっと早いな。

750:１３２人目の素数さん
15/12/18 22:06:34.90 TFNLlafx.net
どういう意味かな

751:１３２人目の素数さん
15/12/27 17:41:26.69 uzhfdEJQ.net
出来る人は３０秒で出来る問題を一つ
（>>597 とは別問題だよ）
【問】実数全体で微分可能で、以下の性質を満たす関数 f(x) が存在すれば例をあげ、存在しなければそれを示せ。
x が有理数のとき f(x) は有理数の値をとる
x が無理数のとき f(x) は無理数の値をとる
f’(x) は任意の区間で定数ではない

752:１３２人目の素数さん
15/12/27 18:23:01.25 yrBNFagd.net
1/(x-1) + 1 (x < 0)
1/(x+1) - 1 (x >= 0)

753:１３２人目の素数さん
15/12/30 23:35:52.20 dwu7uNBX.net
正の整数nは異なる正の整数a,bを用いてn=a^2+b^2と表せるとする.
aとbを3で割った余りが等しいならば,nは3つの0でない平方数の和としても表せることを示せ.

754:１３２人目の素数さん
15/12/31 00:42:30.09 5yG2/U0D.net
(3a+k)^2+(3b+k)^2=...=(2a-2b)^2+(a+2b+k)^2+(2a+b+k)^2

755:１３２人目の素数さん
15/12/31 10:58:17.26 4isRYK2s.net
>>735の「3で割った余り」のところを「mで割った余り」で置き換えても成立するようなmの条件は、
mがp≡1またはp≡3(mod 8)なる素因数pをもつことであると予想してみたがどうか

756:１３２人目の素数さん
15/12/31 20:05:35.26 yOpIKA8C.net
>>737
((2n^2+1)a+k)^2 + ((2n^2+1)b+k)^2 = ... = (2n)^2 (a-b)^2 + (2n^2 a+b+k)^2 + (a+2n^2 b+k)^2
m = 2n^2+1 の時、>>735と同様の表し方が可能

757:１３２人目の素数さん
16/01/01 15:25:04.88 l8HQHaTT.net
一般に2n^2+m^2の素因数はmod 8で1または3

758:１３２人目の素数さん
16/01/01 15:28:53.86 l8HQHaTT.net
>>739ミス
一般に2n^2+m^2はmod 8で1または3なる素因数をもつ

759:１３２人目の素数さん
16/01/02 13:26:26.97 ivVRndIw.net
>>740
「(m,n)=1の時、2n^2+m^2　の奇素因数は、8k+1型と8k+3型のみ」
＝「(m,n)=1の時、2n^2+m^2　は、8k+5型と8k+7型の素因数を持たない」
という事だよね

760:１３２人目の素数さん
16/01/02 19:22:52.35 DyVpxaXV.net
((2n^2+m^2)a+k)^2 + ((2n^2+m^2)b+k)^2
=(2n^2 a + m^2 b + k)^2 + (m^2 a+ 2n^2 b+k)^2 + (2mn)^2(a- b)^2

761:１３２人目の素数さん
16/01/02 22:57:05.36 nzebj+zc.net
>>741
そう言いたかった
さらに言えばmn≠0のとき2n^2+m^2は2の冪にはならないので必ず奇素因数をもつ
m,nの共通因数で括れば8k+1型または8k+3型の素因数をもつことがわかる

762:１３２人目の素数さん
16/01/03 11:45:59.37 pr/BgAgr.net
平面上にn個の点からなるAグループと、m個の点からなるBグループがある
Aグループのそれぞれの点について、Bグループにあるm個の点全てと線で結ぶ
線と線の交差点を無くすように線を結ぶことが可能な(n,m)の必要十分条件を求めよ

763:１３２人目の素数さん
16/01/03 12:03:48.45 Ndtu0gjX.net
完全二部グラフが平面グラフとなる条件…

764:予言
16/01/03 17:33:24.79 5w915yXZ.net
予言　「今年もマジメな労働者が「過労死」するだろう・・・」
働きすぎの労働者が、鼻から血をだして・・たおれて死ぬだろう・・今年も・・
ユダヤの人類削減計画（じんるいさくげんけいかく）！！
人類同士を争わせ、過労死させ・・・日本人の数が減らされるだろう・・
すべては・・ユダヤの陰謀！！
すべてフリーメーソン（悪魔崇拝者）の陰謀！！
「フリーメーソン」と「韓国系カルト団体」が手を組んで・・・
日本人全員に「獣の数字」をつけるだろう・・・
マイナンバー＝「獣の数字」
政治家も総理大臣も正体は・・・悪魔だ！！
「世界制覇をもくろむカルト集団」フリーメーソンが、
政治家たちをあやつっている！！
「安倍総理」も「小泉元総理」も「小泉進次郎」も正体は、「フリーメーソン」
カルト団体が、世界を支配し・・・人類は、悪魔に支配されるだろう・・
「やさしげな笑みをうかべ・・友好的に近づいてくる
悪魔（フレンド・エネミー）にきをつけろ！！」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ミカエル

765:１３２人目の素数さん
16/01/06 12:31:37.22 BlYtndoR.net
引用すれば頭良くなった錯覚ってあるね

766:１３２人目の素数さん
16/01/08 21:35:27.33 KfibX6Ld.net
どんな整数nについても、方程式 v^3+w^3+x^3+y^3+z^3=n は整数解を持つことを示せ

767:１３２人目の素数さん
16/01/08 22:15:01.82 +LoVeze2.net
(a+1)^3+(a-1)^3+2(-a)^3=6a.

768:１３２人目の素数さん
16/01/09 13:03:46.56 HojI1yPI.net
>>748
ほんまかいな

769:１３２人目の素数さん
16/01/09 15:37:20.57 KWqzf2XN.net
>>749がほぼ答えっぽい
mod 6で考えるとnは6a,6a±1,6a±8,6a±27のいずれかの式で表せる

770:１３２人目の素数さん
16/01/09 18:30:01.17 VeR4YgtA.net
n=n^3-(n-1)n(n+1).

771:１３２人目の素数さん
16/01/09 20:07:30.82 ahhfOA3Z.net
素晴らしいなあ

772:１３２人目の素数さん
16/01/09 23:41:29.32 KWqzf2XN.net
任意の整数nは18個の整数の5乗の和で表せることを示せ
ちなみに18個が上限かどうかは知らない

773:１３２人目の素数さん
16/01/10 13:23:12.67 /xlK0Zug.net
下限の間違いだろ

774:１３２人目の素数さん
16/01/10 14:38:47.27 tpDYgS5v.net
>>754
下限の間違いだろ

775:１３２人目の素数さん
16/01/10 14:50:19.76 w/r+YeUk.net
いや、下限の間違いじゃねこれ

776:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:18:15.30 o98nGKNX.net
整数nをいくつかの5乗数の和で表すとき必要な個数を表す関数f(n)の上限という意味で書いたんだけど
違う意味に取られたみたいね

777:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:23:50.65 tpDYgS5v.net
やっぱり下限の間違いじゃね？

778:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:24:29.65 o98nGKNX.net
問題として成立する範囲で「18」という数をさらに小さくできるかと考えると
下限と言ったほうが良かったかもしれない

779:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:34:31.30 Ez+gNfz3.net
任意の整数nは18個の整数の5乗の和で表せることを示せ。
ちなみに整数nをいくつかの5乗数の和で表すとき必要な個数を
表す関数f(n)の上限が18個かどうかは知らない。
問題は出したが答え(以前に正しいかどうか)は知らないということ?

780:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:49:32.38 tsDGMVN4.net
題意を満たす整数の個数の最小値よりも大きい数の整数では
題意は満たされるのだから下限と言った方が正しいと思われる

781:１３２人目の素数さん
16/01/10 16:07:52.02 o98nGKNX.net
>>761
任意の整数が18個の5乗数の和で表せることは証明できたので出題してみた
f(n)の値は任意の整数nについて18以下になるということ
>>762
そのほうが正しいというか自然だったと思う

782:１３２人目の素数さん
16/01/10 16:12:41.68 tpDYgS5v.net
やっぱり下限だよな。頭おかしいわ

783:１３２人目の素数さん
16/01/10 16:22:40.09 o98nGKNX.net
どっちでもいいけど納得出来ない人は>>758を読んでね

784:１３２人目の素数さん
16/01/11 11:56:45.89 PTpdZCyq.net
そこんとこの加減がわからない。

785:１３２人目の素数さん
16/01/17 04:37:21.88 F9usaSuM.net
地理の問題
赤道上において、その対蹠点と気温が等しい地点は存在するか？

786:１３２人目の素数さん
16/01/17 07:36:39.68 NP2A8SJ4.net
厳密には、わからない、と言う回答が無難だな。
同一時刻の計測なんてのがまず至難の技だ。
赤道上とか地点とかを決められるのか、って問題もある。
愚問だな。

787:１３２人目の素数さん
16/01/17 11:38:23.39 JJ87gKrs.net
地理の問題としては、
「厳密にはわからない」だろうね。
数学の問題としては、
周期Tを持つ連続関数fにf(x)=f(x+T/2)となるxは
あるか？と言い換えられる。
g(x)=f(x)-f(x+T/2)と置くと、g(T/2)=-g(0)だから
中間値定理より、g(x)=0となるxは存在する。

788: ◆BrMQ7vJgz6
16/01/26 03:08:21.90 SK

789:HH2AHq.net

790:１３２人目の素数さん
16/01/26 04:35:49.05 UTH+2ssK.net
>>770
小学生向けだな

791: ◆BrMQ7vJgz6
16/01/26 11:41:13.02 vB7AoAcz.net
【解法1】
3k, 5l+1, 7m+2の最小公倍数nを求める問題に帰着する
N=n+9とおくと、Nは
10以上
かつ
3と5の公倍数、すなわち15の倍数
かつ
7で割ると4余る数
これらを満たす最小のNはN=60 (n=51)
よって、51日後
【解法2】
求める日数をxとおくと
x≡0 (mod 3), x≡1 (mod 5), x≡2 (mod 7)
x=3aとおくと
3a≡1 (mod 5)　∴6a≡2 (mod 5)　∴a≡2 (mod 5)
a=5b+2とおくと、x=15b+6であり
15b+6≡2 (mod 7)　∴15b≡3 (mod 7)　∴b≡3 (mod 7)
b=7c+3とおくと、x=105c+51であり
最小のxは、c=0のときx=51
よって、51日後

792: ◆BrMQ7vJgz6
16/01/26 12:02:08.18 vB7AoAcz.net
【解法3】
3,5,7は互いに素であるから
(s,t)=(3,5*7),(5,7*3),(7,3*5)それぞれについて
sx+ty=1の整数解が存在する
3*12+35*(-1)=1, 5*(-4)+21*1=1, 7*(-2)+15*1=1
より
-35≡1 (mod 3), 21≡1 (mod 5), 15≡1 (mod 7)
x≡0 (mod 3), x≡1 (mod 5), x≡2 (mod 7)
より
x≡-35*0+21*1+15*2 (mod 3*5*7)、すなわちx≡51 (mod 105)
正で最小のxはx=51
よって、51日後
【解法4】（孫子算経の解法、百五減算）
0*70+1*21+2*15=51(<105)
よって、51日後
これは【解法3】において
-35≡1 (mod 3) の代わりに
70≡1 (mod 3) を用いたもの

793:１３２人目の素数さん
16/01/26 12:10:22.62 vB7AoAcz.net
そんなことより
A,B,Cはダメ大学生か何か？

794:１３２人目の素数さん
16/01/26 14:22:37.31 Pf4dZoYr.net
三日周期って三日に一度しかこないのか？（笑
登校ー休みー休みー登校ー休みー…
これじゃ単位はだせないだろう？（笑
愚問だな

795:１３２人目の素数さん
16/01/26 14:35:43.80 E78So9JJ.net
日曜は、どうすんだろう？

796:１３２人目の素数さん
16/01/26 14:37:12.76 /hDBO2fo.net
学校に行くだけの話だから、日曜だろうが祝日だろうが別に問題なくね

797:１３２人目の素数さん
16/01/28 05:16:02.06 r+S1ez0V.net
Σ[k=1, n]k=n(n+1)/2
Σ[k=1, n]k(k+1)=Σ[k=1, n](k^2+k)=(n(n+1)(2n+1)/6)+(n(n+1)/2)=n(n+1)(2n+4)/6=n(n+1)(n+2)/3
Σ[k=1, n]k(k+1)(k+2)=Σ[k=1, n](k^3+3k^2+2k)=(n(n+1)n(n+1)/4)+(n(n+1)(2n+1)/2)+(n(n+1))=n(n+1)(n^2+5n+6)/4=n(n+1)(n+2)(n+3)/4
より
2Σ[k=1, n]k=n(n+1)
3Σ[k=1, n]k(k+1)=n(n+1)(n+2)
4Σ[k=1, n]k(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)
以上より
(a+2)Σ[k=1, n](Π[j=k, k+a]j)=Π[l=n, n+(a+1)]l　…♯
という関係式が推測できる
これを用いれば任意の羃乗の和の公式を帰納的に求められ
また、高次の多項式に繰り返し使うことで総和の計算を楽にすることができる
問
＃を示せ

798:１３２人目の素数さん
16/01/28 11:16:17.82 0NAeCfq4.net
>>778
(a+2)Π[j=k,k+a]j = {(k+a+1)-(k-1)}Π[j=k,k+a]j
= Π[j=k,k+a+1]j - Π[j=k-1,k+a]j
∴ (a+2)Σ[k=1,n](Π[j=k,k+a]j) = Σ[k=1,n](Π[j=k,k+a+1]j - Π[j=k-1,k+a]j)
= Σ[k=1,n]Π[j=k,k+a+1]j - Σ[k=1,n]Π[j=k-1,k+a]j
= Σ[k=1,n]Π[j=k,k+a+1]j - Σ[k=0,n-1]Π[j=k,k+a+1]j
= Π[j=n,n+a+1]j - Π[j=0,a+1]j
= Π[j=n,n+a+1]j

799:１３２人目の素数さん
16/01/28 12:26:56.09 +Dvk1k+O.net
おお

800:１３２人目の素数さん
16/01/28 12:39:07.87 JoXwoiTx.net
>>16
(N-1)C2
1,1,1,...,1というN個の、1の列を2つのしきりで分ければX,Y,Zが定まるため

801:１３２人目の素数さん
16/01/28 13:46:22.97 zCW6syeb.net
>>778
1からn+a+1までの整数からa+2個選ぶ組合せは(n+a+1)!/{(a+2)!(n-1)!}通り
このうち選ばれる数の最大値がk+a+1となるのは(k+a)!/{(a+1)!(k-1)!}通り
よって(n+a+1)!/{(a+2)!(n-1)!}=Σ[k=1,n](k+a)!/{(a+1)!(k-1)!}
すなわち(n+a+1)!/(n-1)!=(a+2)Σ[k=1,n](k+a)!/(k-1)!

802:１３２人目の素数さん
16/01/28 13:57:23.94 4ttglcTk.net
両辺の階差をとって
帰納法

803:１３２人目の素数さん
16/01/28 19:05:40.72 Mmdmh8K/.net
帰納法なんて泥臭いね

804:１３２人目の素数さん
16/01/30 03:36:14.81 B02VPa1I.net
進研ゼミに載ってた問題。
x,y,z≧0とするとき、すべての自然数nに対して次の不等式が成り立つことを証明せよ。
①(x^n+y^n)/2≧{(x+y)/2}^n
某国立Ｓ大より

805:１３２人目の素数さん
16/01/30 04:07:45.98 KN+qiPYM.net
>>778
Σ[j=0,n](1+x)^j　を展開した時のm次の係数はΣ[k=m,n]C[km]　(Cは二項係数)
Σ[j=0,n](1+x)^j={(1+x)^(n+1)-1}/{(1+x)-1}={(1+x)^(n+1)-1}/x
を展開した時のm次の係数はC[n+1,m+1]
Σ[k=m,n]C[km]=C[n+1,m+1]

806:１３２人目の素数さん
16/02/01 02:37:13.32 AgFwJLhN.net
50629を素因数分解せよ（気付けば簡単）

807:１３２人目の素数さん
16/02/01 03:51:48.40 EydN4Yw2.net
50629 = 50000 + 625 + 4
= 2^4 * 5^5 + 5^4 + 2^2
= 5^4(2^4 * 5 +1) + 2^2
= 5^4 * 81 + 2^2
= (3^2 * 5^2)^2 + 2^2
= (3^2 * 5^2 + 2)^2 - 2^2 * 3^2 * 5^2
= 227^2 - 30^2
= 197 * 257
というのが出題意図？

808:１３２人目の素数さん
16/02/01 09:40:12.79 AgFwJLhN.net
>>788
正解！
50629に近い平方数を考えてみると50625=225^2=15^4より50629=15^4+4
x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)でx=15の場合になる

809:１３２人目の素数さん
16/02/03 17:42:21.09 35vAMKni.net
81^100000の下6桁を求めよ

810:１３２人目の素数さん
16/02/03 18:18:39.35 5qehKVMd.net
3と1000000は互いに素だから
オイラーの定理より
3^φ(1000000)≡3^400000≡81^100000≡1 (mod 1000000)
φはオイラーの関数
φ(1000000)=φ(2^6*5^6)=φ(2^6)φ(5^6)=(2^6-2^5)(5^6-5^5)=2^5*6^5*4=400000

811:１３２人目の素数さん
16/02/03 19:09:37.96 670x/vqr.net
>>791
せいかい
さすがに瞬殺か

812:１３２人目の素数さん
16/02/05 10:22:48.50 GvA6rjqo.net
nを自然数とする。
n次元ユークリッド空間上にm個の異なるベクトルを、
・どの異なる２つのベクトルを取っても標準内積が(①0以下/②0未満)である
という条件を満たすように定めることができる最大のmを求めよ

813:１３２人目の素数さん
16/02/05 13:06:07.27 FHuziIgA.net
>>793
①2n
②n+1
だと思うけど、証明はできてない。
①は各直交座標軸と平行な２つずつの単位ベクトル
②はたとえば原点を中心とする単位球に内接する正n+1胞体の各頂点の位置ベクトル
②の方はベクトルの選び方に自由度は高いけど、互いのなす角が鈍角に
なるように原点を始点とするn個の単位ベクトルを選ぶと、それらのいずれとも
鈍角となる領域でどう２つの単位ベクトルを選んでもそのなす角は鋭角になるような。

814:１３２人目の素数さん
16/02/05 14:30:06.08 SYQj5jIj.net
①2n+1（0ベクトル含む）
②n+1
①も②も考え方は同じ。
条件を満たすベクトルの集合Sがあるとして、その中から1つのベクトルaをとる。
他のベクトルそれぞれについてaとの直交成分をとったベクトルの集合Tを作る。
Tは、aと直交するn-1次元空間におけるベクトルの集合である。
Tはn-1次元の場合の条件を満たすことが計算によって示せる。
（Sのa以外のベクトルのaと平行な成分は全て同符号（または0）であることを用いる。）
Tを作るときにaとの直交成分が等しくなるようなベクトルの組がある可能性があるが、
それは0ベクトルおよびaと逆向きのベクトルがある場合に限られる。
この場合に限ってSの元の個数はTの元の個数より2個多く、そうでない場合は1個多い。
あとは1次元の場合を考え、数学的帰納法。

815:１３２人目の素数さん
16/02/06 22:35:38.93 vz5B8AoE.net
>>795
正解。ちょっとした違いでここまで違ってくるのが不思議だなあと思い出題しました

816:１３２人目の素数さん
16/02/10 21:54:50.93 bCSmWEgO.net
13333を素因数分解せよ（10秒以内）

817:１３２人目の素数さん
16/02/10 22:00:44.12 221i87Xc.net
・ぐぐる
・それっぽいページを13333で検索
10秒以内なら回線速度と手際の良さが決め手かな

818:１３２人目の素数さん
16/02/10 22:52:58.04 +x2EAWD5.net
>>797
x=13333
3x=39999
3x=40000-1=200^2-1^2
3x=199*201
x=199*67

819:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:15:21.24 SlMsaVX8.net
正解。10秒は正直きつかったと思う。反省してる。

820:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:17:58.50 M+2gbn5K.net
で、どこが面白いの？

821:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:40:24.55 SlMsaVX8.net
じゃあ面白い問題おしえて

822:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:45:47.74 nDc6EqG9.net
手頃な手持ちがないや
で、どこが面白いの？

823:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:53:50.56 SlMsaVX8.net
察してくれ

824:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:55:44.92 6lMHRCSp.net
(x^2-y^2)^2-8(x^2+y^2-2)を因数分解せよ

825:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:56:01.33 nDc6EqG9.net
なんとなくわかりました

826:１３２人目の素数さん
16/02/11 01:12:12.79 bH5NLdGW.net
>>805
前にも出てたな。

827:１３２人目の素数さん
16/02/11 04:43:32.05 lG4eYjeX.net
(1)広義積分∫_0^∞ 1/(1+e^x) dxを求めよ.
(2)広義積分∫_0^∞ 1/(1+x^e) dxを求めよ.

828:１３２人目の素数さん
16/02/11 08:10:14.92 idTVTEhT.net
＞＞805
Maximaによると
(y-x-2)*(y-x+2)*(y+x-2)*(y+x+2)

829:１３２人目の素数さん
16/02/11 11:22:14.04 jFqGopu8.net
三角形のある頂点からn回辺を渡って元の頂点に戻る方法は何通りあるか
ただし同じ辺を何度でも渡ってよいものとする

830:１３２人目の素数さん
16/02/11 11:32:44.64 jFqGopu8.net
三角形のある頂点からn回辺を渡って右隣の頂点に行く方法は何通りあるか
ただし同じ辺を何度でも渡ってよいものとする

831:１３２人目の素数さん
16/02/11 12:12:03.00 ytlW8RBD.net
場合分けして漸化式的な？

832:１３２人目の素数さん
16/02/11 12:36:26.49 4Xq5zTR2.net
>>798 >>809
こんぷぅーたーが必ず正しい答えを出す保証はないのでその解法は不可

833:１３２人目の素数さん
16/02/11 12:49:05.51 +pDw+fcr.net
>>811
行列
０１１
１０１
１１０
をｎ乗して、
非対角成分を見る。

834:１３２人目の素数さん
16/02/11 12:58:14.10 jS9+i2Cq.net
スタートを頂点Aとする。
n回目にAにいるパタンをa(n)通りとする。
a(0)=1である。
n回目にA以外にいるのは2^n - a(n)通りで、これがa(n + 1) と一致するから
a(n + 1) = 2^n - a(n)
この漸化式をとくと
a(n) = (2^n + 2(-1)^n)/3

835:１３２人目の素数さん
16/02/11 13:33:29.61 lKFnBQ6m.net
>>814,815
正解
想定してた解答は>>814だったけど
>>815のほうがスマートか

836:１３２人目の素数さん
16/02/11 14:30:45.66 vfZEdEaA.net
>>805
(x^2-y^2)^2-8(x^2+y^2-2)
=(x^2-y^2-4)^2-16y^2
=(x^2-y^2-4+4y)(x^2-y^2-4-4y)
=(x+y-2)(x-y+2)(x+y+2)(x-y-2)

837:１３２人目の素数さん
16/02/11 19:11:18.44 2qxM1Agz.net
>>814
サルにも分かるように解説キボンヌ！

838:１３２人目の素数さん
16/02/11 20:02:44.38 +pDw+fcr.net
サルには解らない。
出題者>>816には解ったようだから、
今回は、もうおしまい。

839:１３２人目の素数さん
16/02/11 20:13:17.57 lKFnBQ6m.net
>>818
隣接行列でググれ

840:１３２人目の素数さん
16/02/11 21:20:06.87 +pDw+fcr.net
点に番号をつける。
点ｉから点ｊ�

841:ﾖ１ステップで行けるとき１、行けないとき０を第ｊ行ｉ列に置いた行列をＡとすると、Ａのｎ乗の第ｊ行ｉ列成分は点ｉから点ｊへｎステップで行く経路数を表す。なんでそうなるかは、行列積の成分計算を帰納法で。

842:１３２人目の素数さん
16/02/26 15:59:46.93 jw4SQ24a.net
帯状の紙をn回ひねり、端と端をくっつけてn回ひねりのメビウスの帯を作る
このメビウスの帯の中央をはさみで切断して得られる結び目はなにか？

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