面白い問題おしえて～な二十一問目

面白い問題おしえて～ ..

547:１３２人目の素数さん
15/09/29 16:03:39.90 b0As/vwW.net
>>532
まず、定木のみの作図で新たに作れる点は、
既に存在する２点間を結んだ２直線の交点だけなので、
最初に格子点のみが全て与えられている状態から作図できるのは有理数点のみ。
２つの有理数点間の距離が√7になるとすると
x^2+y^2=7（x,yは有理数）となり、
x=m/k、y=n/k（m,nは整数，kは自然数で，m,n,kの最大公約数は1）とおくと，
m^2+n^2=7k^2とおける
ここで、整数Nについて
N^2≡0,1,2,4（mod 7）であり、N^2≡0となるのはNが7の倍数のときだけなので、
m^2+n^2≡0（mod 7）より、mもnも7の倍数となるが、
その場合、kも7の倍数となり、m,n,kの最大公約数は1という条件に矛盾する
よって、そのような有理数x,yは存在しないので、√7は作図できない。
√7の場合は、m,nの偶奇で場合分けしてmod 4で議論する手もあるが、
>>533のように一般化した議論では
2平方数の和ではない自然数の条件が、
n=a^2×b（a,bは自然数で、bは平方因子を持たず4k+3型の素数を因数として持つ）
というものなので、bの素因数である4k+3型の素数をpとしてmod pで議論するのが
より一般性がありそうだと考えた

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