面白い問題おしえて～ ..
513:１３２人目の素数さん
15/09/21 21:17:29.58 gtDqKY3a.net
正方形を直角三角形を除く8枚の鋭角三角形のみで分割できることを示し、それが最小枚数であることを証明せよ
514:１３２人目の素数さん
15/09/21 21:52:18.63 Z3V2IWKL.net
鋭角三角形は無理じゃね？
どこかしら鈍角になりそうな
515:１３２人目の素数さん
15/09/21 22:07:19.88 BwSfAQxg.net
>>502
10枚ならできた。
８枚かあ…
516:１３２人目の素数さん
15/09/21 22:38:44.71 BwSfAQxg.net
８枚できた。
例：A(0,20)，B(0,0)，C(20,0)，D(20,20)，M(10,0)，N(10,20)，P(9,4)，Q(11,4)
PA,PB,QC,QD,PM,PN,QM,QN,PQを結ぶ
証明はまだ。
517:１３２人目の素数さん
15/09/21 22:44:59.52 BwSfAQxg.net
ちなみに、P,Qを取る場所は，
AB，CD，BM，CM，AN，DNを直径とする６つの円のいずれにも含まれない
上下２箇所の領域の片方の中に，大体左右対称に取ればよい。
518:１３２人目の素数さん
15/09/22 16:07:30.17 ZLtLRDuu.net
>>502
正方形ABCDを鋭角三角形で分割するとき、
A,B,C,Dからそれぞれ1本以上の辺が出ていなければならない。
仮に、辺BC上（Bを除く）に点EがあってAEを辺にもつ三角形があるとすると、
三角形ABEは直角三角形なので、AE上に頂点をとらなければ
鋭角三角形で分割できない。
点Eが辺CD上にある場合も同様。
よってAから出る辺は、正方形の内部にある頂点につながっている。
B,C,Dについても同じことがいえる。
仮に、正方形の内部に頂点が1個しかないとして、これを点Fとすると、
A,B,C,Dから出る辺はFにつながっていることになる。
∠AFB,∠BFC,∠CFD,∠DFAのいずれかは90°以上であるが、
どの場合も同様なので∠AFB≧90°とする。
このときFとAB上の点Gを結ぶ辺が無ければならない。
∠AGFか∠BGFのいずれかは90°以上なので、
Gから辺が出ていて、AFまたはBFと交わることになってしまい、
正方形の内部に頂点が1個しか無いという仮定に矛盾する。
よって正方形の内部には2個以上の頂点がある。
そのうちの2個をH,Iとする。
H,Iからそれぞれ5本以上の辺が出ていなければならず、
H,Iを頂点とする鋭角三角形は5個以上あることになる。
これらのうち重複するものがあるとすればHIを辺とするものであり、
その個数は最大2個である。
よって鋭角三角形の個数は少なくとも5+5-2=8個以上である。
519:１３２人目の素数さん
15/09/22 21:03:47.21 lhGzKtWu.net
内部の点には頂点しか集まらないことが前提になってない？
1つの辺と3つの頂点が集まっている場合もある。
例えば、ある内部点の回りが180°、60°、60°、60°で区切られている場合とか
520:１３２人目の素数さん
15/09/22 21:18:16.16 ZLtLRDuu.net
>>508
そういうものも含めて頂点と呼んでいるので、問題ないはず。
521:１３２人目の素数さん
15/09/22 22:13:30.88 V9wMy4Aa.net
>>509
＞H,Iからそれぞれ5本以上の辺が出ていなければならず、
＞H,Iを頂点とする鋭角三角形は5個以上あることになる。
のあたりで、H,Iが辺の途中にある可能性を無視していることを
指摘しているのだと思うが。
自分も、三角形の辺の途中に他の三角形の頂点があるケースがあるせいで
（つまり、グラフとしては四角形もしくはそれ以上で頂点にできる角が180°の物
の存在を排除できないため）
シンプルな場合分けができず面倒になってギブアップした。
正方形の４頂点以外に辺上に最低でも１点、内部に最低でも２点が存在することまでは
すぐ言えるのだが。
522:１３２人目の素数さん
15/09/22 22:26:29.90 ZLtLRDuu.net
>>510
あー、なるほど。その可能性をおもいっきり見逃してた。
>>507を土台にうまく修正できるかどうか。
それとも、まるっきり考え方を変える必要があるのかな？
523:１３２人目の素数さん
15/09/24 03:04:42.06 VcRgqQ8I.net
n個の鋭角三角形に分割できたとして
正方形の頂点以外の頂点の個数をvとすると
各頂点に集まる内角の個数に関して
3v+8≦3nよりv≦n-3
ここでn≦7とするとv≦4
よってv≦4かつn≦7となるような分割が存在しないことが示せればよい
あとは頼んだ
524:１３２人目の素数さん
15/09/26 01:59:16.33 KGE6XyvT.net
この問題か
Acute Square Triangulation
URLﾘﾝｸ(www.ics.uci.edu)
525:１３２人目の素数さん
15/09/26 01:59:41.85 KGE6XyvT.net
Survey of two-dimensional acute triangulations
Discrete Math. 313, Iss. 1 (2013) 35–49.
URLﾘﾝｸ(czamfirescu.tricube.de)
9頁
In the same busy year of 1960, Lindgren [54] described an acute triangulation of
the square (see Fig. 6), proving that it can be done with 8 triangles and that this is
optimal – Federico solved this independently in the same year. In 1966, Gardner also
gave a construction, which he reports in one of his mathematical columns (reprinted
in [35]), saying: “For days I was convinced that nine was the answer; then suddenly I
saw how to reduce it to eight”. We remark that, in fact, Gardner was trying to find
dissections of the square, and it happened that his configuration on eight triangles is a
triangulation. If he were looking for triangulations, this would have contradicted the
following matter.
Cassidy and Lord [15] continued the investigations of acutely triangulating the
square, publishing their results in 1980. They gave an alternative proof of the min-
imality (and combinatorial uniqueness) of the Federico-Lindgren construction on 8
triangles. They also showed that there is no triangulation consisting of exactly 9 tri-
angles, and proved that there exist acute triangulations of the square with k triangles
whenever k ≥ 10.
[54] H. Lindgren. A quadrilateral dissection. Austral. Math. Teacher 16 (1960) 64–65.
[15] Ch. Cassidy and G. Lord. A square acutely triangulated. J. Recr. Math. 13 (1980–
81) 263–268.
526:１３２人目の素数さん
15/09/26 02:39:33.02 MgrWGZzr.net
Journal of Recreational Mathematicsが大学の図書館にあるか判らん
527:513
15/09/26 03:05:19.37 MgrWGZzr.net
あるっぽいな
528:１３２人目の素数さん
15/09/26 04:08:58.11 jeE3BpXh.net
URLﾘﾝｸ(math.a.la9.jp)
正方形じゃなくて鈍角三角形バージョンの問題と解答を発見
529:１３２人目の素数さん
15/09/26 10:46:23.47 aSIv8JvA.net
>>513
どうやって見つけたんだ？貴様は神か？
530:513
15/09/26 11:20:48.61 smOIV1i/.net
>>518
divide square into acute triangle
でググっただけです（小声）
531:１３２人目の素数さん
15/09/26 19:43:56.60 Jz1cA5oo.net
よくわからんけど三角形分割ってことは
頂点が三角形の辺上にあるケースはそもそも考慮されて泣くね？
532:１３２人目の素数さん
15/09/27 04:15:48.86 qZeHHCLI.net
>>514の[15]を上げるまでの暇潰しに
URLﾘﾝｸ(www.itmedia.co.jp)
この時計は全ての時刻を表現可能である
（証明はｽﾚﾘﾝｸ(math板:136-138番)）
この周辺で面白い問題を作ってよ
533:１３２人目の素数さん
15/09/27 20:53:09.22 ONZsfJnq.net
上の時計で全ての正方形が光る回数の最小値と最大値を求めよ
534:１３２人目の素数さん
15/09/28 03:41:57.77 NXSABs39.net
>>522
12時は0と12のどちらを表示するのかによって話は変わるな。
535:１３２人目の素数さん
15/09/28 04:11:24.95 NXSABs39.net
>>522
ちなみに、最大の方では、時と分を表す数字を足して12以上になる場合のうち、
全ての正方形がひかる可能性がないのは8と8（8時40分）の場合のみ。
最小の方では、時または分が12を表示する場合のみ必ず全ての正方形がひかる。
分は12を表示することはないようなので、
時が1から12ならば12時台のみ必ず全てひかる。
0から11ならば、1の正方形のうちの片方は使わなくてもよくなる。
（ということは、やっぱり12時は12を表示するのだろうな）
（正確に言うと、「ひかる」ではなく「色がつく」だな）
536:１３２人目の素数さん
15/09/28 06:44:31.35 VbfJNND9.net
このスレでは未出題のようだから
n,n+2,n+4がいずれも素数になる自然数nを全て求めよ
537:１３２人目の素数さん
15/09/28 07:59:34.04 qwCqNxiY.net
つまらなすぎ
538:１３２人目の素数さん
15/09/28 09:45:45.18 NCZ2EFYi.net
ひねりがなんもないよな
539:１３２人目の素数さん
15/09/28 10:02:28.23 jlLelCrV.net
与えられた円の中心をコンパスのみで特定せよ
540:１３２人目の素数さん
15/09/28 22:29:57.43 NXSABs39.net
>>528
円周上にAB=BCとなるような３点A,B,Cを適当にとって
AB=BC=a、CA=bとおくと、
円の半径はa^2/√(4a^2-b^2)なので、その長さを
URLﾘﾝｸ(www.shinko-keirin.co.jp)
あたりを参考に作図すればいいよ
541:１３２人目の素数さん
15/09/29 02:25:06.10 nc3nLp6q.net
>>528
弦の垂直２等分線どうしの交点を求めるだけだが、
もしかして、定規は使っちゃいけないのか？
542:１３２人目の素数さん
15/09/29 03:19:11.03 azN8533W.net
コンパスだけでしょ
543:１３２人目の素数さん
15/09/29 04:16:04.08 /gO4uSCx.net
方眼紙上で定木のみを用いて面積7の正方形を作図できるか？
方眼紙の1つの升目の面積を1とする
544:１３２人目の素数さん
15/09/29 04:20:11.75 /gO4uSCx.net
つまり、面積が2平方数の和ではない正方形は作図できるか？
545:１３２人目の素数さん
15/09/29 08:15:26.52 2tetWzJ3.net
>>532
1x6のマス目の対角線は√7
これで正方形を作る
546:534
15/09/29 08:17:23.37 2tetWzJ3.net
間違ってた
上の無しで
547:１３２人目の素数さん
15/09/29 16:03:39.90 b0As/vwW.net
>>532
まず、定木のみの作図で新たに作れる点は、
既に存在する２点間を結んだ２直線の交点だけなので、
最初に格子点のみが全て与えられている状態から作図できるのは有理数点のみ。
２つの有理数点間の距離が√7になるとすると
x^2+y^2=7（x,yは有理数）となり、
x=m/k、y=n/k（m,nは整数，kは自然数で，m,n,kの最大公約数は1）とおくと，
m^2+n^2=7k^2とおける
ここで、整数Nについて
N^2≡0,1,2,4（mod 7）であり、N^2≡0となるのはNが7の倍数のときだけなので、
m^2+n^2≡0（mod 7）より、mもnも7の倍数となるが、
その場合、kも7の倍数となり、m,n,kの最大公約数は1という条件に矛盾する
よって、そのような有理数x,yは存在しないので、√7は作図できない。
√7の場合は、m,nの偶奇で場合分けしてmod 4で議論する手もあるが、
>>533のように一般化した議論では
2平方数の和ではない自然数の条件が、
n=a^2×b（a,bは自然数で、bは平方因子を持たず4k+3型の素数を因数として持つ）
というものなので、bの素因数である4k+3型の素数をpとしてmod pで議論するのが
より一般性がありそうだと考えた
548:１３２人目の素数さん
15/09/29 23:19:15.07 1WvbOcmu.net
F(1)=F(2)=1
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
のときΣ[k=0~∞]1/F(2^k)を求めよ
549:１３２人目の素数さん
15/09/29 23:40:04.23 MmwWCV56.net
F(0)の値が定義されてないぞ
550:１３２人目の素数さん
15/09/29 23:45:51.82 sCkKbHjD.net
それが何か？
551:１３２人目の素数さん
15/09/30 01:12:56.07 W4f7D5tC.net
>>573
たまげたなあ
ネタバレ注意
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
552:１３２人目の素数さん
15/09/30 01:14:25.58 W4f7D5tC.net
>>540は>>537に
553:１３２人目の素数さん
15/09/30 09:58:15.18 dmcZQwC0.net
>>540
kwsk
554:１３２人目の素数さん
15/09/30 10:50:49.83 lYRAE3q3.net
>>542
ウルフなんとかにぶちこんだだけ
555:１３２人目の素数さん
15/09/30 16:06:49.22 P+qfF9ot.net
>>537
F_{k-1}/F_{k} - F_{2k-1}/F_{2k} = ... = (-1)^k/F_{2k}
特に、kが偶数なら F_{k-1}/F_{k} - F_{2k-1}/F_{2k} = 1/F_{2k}
Σ[k=0~n]1/F(2^k) = 1/F(1) + 1/F(2) + Σ[k=2~n]1/F(2^k)
= 2 + Σ[k=2~n][ F_{2^(k-1)-1}/F_{2^(k-1)} - F_{2^k-1}/F_{2^k} ]
= 2+ F_{1}/F_{2} - F_{2^n-1}/F_{2^n} → 3 - 2/(1+√5) = (1/2)(7-√5) (n→∞)
556:１３２人目の素数さん
15/10/02 16:20:22.89 PIlMCyTn.net
F_1=F_2=1
F_(n+2)=F_(n+1)+F_n
のとき
Σ[n=1,∞](10^(-n))F_n
を求めよ
すなわち
0.1+0.01+0.002+0.0003+0.00005+0.000008+0.0000013+0.00000021+...
を求めよ
557:１３２人目の素数さん
15/10/02 19:05:28.58 ibVc9iom.net
F0=0として
G(x)= F0 + F1*x + F2*x^2 + F3*x^3 + ... + Fn* x^n + ... とすると
x*G(x)= F0*x + F1*x^2 + F2*x^3 + ... + F(n-1)* x^n + ...
x^2*G(x)= F0*x^2 + F1*x^3 + ... + F(n-2)* x^n + ...
ここで、Fn=F(n-1)+F(n-2)をつかうと
G(x) - F0 -F1*x = (x*G(x) - F0*x) + x^2 G(x)
つまり、G(x)=x/(1-x-x^2)
G(1/10)=10/89
558:１３２人目の素数さん
15/10/03 02:38:38.28 YaYUqMJy.net
F(1)=F(2)=1
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
としてF(n)が2015の倍数となるような最小の正整数nは偶数かそれとも奇数か
559:１３２人目の素数さん
15/10/03 09:36:33.30 UXtZmLrn.net
>>547
mod 5
560:１３２人目の素数さん
15/10/03 14:23:35.96 vbqVLgzq.net
mod 31 でF(k)を考えると
01,01,02,03,05,08,13,21,03,24,
27,20,16,05,21,26,16,11,27,07,
03,10,13,23,05,28,02,30,01,00,
01,01,...
と周期30を持ち、F(30)≡0 (mod 31)
2015の倍数であるためには31の倍数である必要があるため、
f(n)が2015の倍数であるためには、nが30の倍数である必要がある
従って、>>547の解答は偶数
ちなみに、2015=5*13*31、
5|F(5r)、13|F(7s)、31|F(30t)
5,7,30の最小公倍数は210なので、2015|F(210u)
561:１３２人目の素数さん
15/10/03 22:53:51.35 YaYUqMJy.net
じゃあ>>547の発展問題
素数pがp≡3(mod 4)を満たすとき
F(n)がpの倍数となるようなnは偶数であることを示せ
562:１３２人目の素数さん
15/10/05 13:51:42.85 363gcpru.net
F(1)=F(2)=1
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
のときΣ[k=1～n]F(4k-2)は平方数となることを示せ
563:１３２人目の素数さん
15/10/05 21:26:56.98 4FTwqx8Y.net
>>550
奇数番目のフィボナッチ数は
F_{2n+1}=F_{n+1}^2+F_{n}^2
と変形できるが、互いに素な二つの数の平方の和は、4k+3型の素因数を持たない(※)。
従って、あるフィボナッチ数が4k+3型の素因数を持つとすれば、それは偶数番目の項に限られる。
>>551
F_{2n}^2-F_{2n-2}^2=(F_{2n}+F_{2n-2})*(F_{2n}-F_{2n-2})=...=F_{4n-2}
Σ[k=1～n]F_{4k-2} = F_{2n}^2-F_{0}^2 = F_{2n}^2
※ F_{n+1}^2+F_{n}^2 が合成数の場合、(ax+by)^2+(ay-bx)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)
という恒等式に対応する形で逐次、因数を取り出すことができる。
奇数の平方＋奇数の平方は4k+2型の数に、奇数の平方＋偶数の平方は4k+1型の数になる
(ax+by)^2+(ay-bx)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2) この式の中には三つの（平方＋平方）型の数があるが、
(4k+1型)=(4k+1型)×(4k+1型) か、(4k+2型)=(4k+2型)×(4k+1型) というパターンでの
登場に限られる。この中に�
564:A4k+3型の数は現れない。
565:１３２人目の素数さん
15/10/05 21:44:07.21 nbzLSFra.net
よく知っているなあ。(棒
566:１３２人目の素数さん
15/10/06 18:24:25.73 fsLNLxlt.net
鶴と亀の頭の数の合計がk個、足の数の合計がl本のとき、鶴はx羽、亀はy匹である
x,yがともに非負整数となるようなk,lの条件を求めよ
567:１３２人目の素数さん
15/10/06 19:20:23.94 REG7UsAr.net
三角形ABCの内部に点Pがある。
三角形BCPの面積をα
三角形ACPの面積をβ
三角形ABPの面積をγとする。
ベクトルPAをa
ベクトルPBをb
ベクトルPCをcとおくとき
αa+βb+γc=0を示せ
みたいな問題を昔見た気がするんだが記憶違いだったらすまん。
答えは忘れたｗ
568:１３２人目の素数さん
15/10/07 04:46:25.83 kiTgcolQ.net
3桁の自然数を引っくり返して、元の数との差の絶対値をとる。
得られた数の桁の数字の和は一定値であることを示せ。
569:１３２人目の素数さん
15/10/07 08:59:57.27 H50pZ5gt.net
九九の９の段
570:１３２人目の素数さん
15/10/07 09:05:11.67 +3sISOZm.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カプレカ数
571:１３２人目の素数さん
15/10/07 20:29:55.92 bVIaakd/.net
>>555
直線APと辺BCの交点をQとする
BQ:CQ=△ABQ:△ACQ=△ABP:△ACP=γ:β
また
AP:AQ=△ABP:△ABQ=△ABP:(△ABP+△PBQ)=△ABP:(△ABP+△PBC*BQ/BC)=γ:(γ+αγ/(γ+β))
よって
AP↑=(AP/AQ)AQ↑=1/(1+α/(β+γ))((β/(β+γ))AB↑+(γ/(β+γ))AC↑)=((β+γ)/(α+β+γ))(1/(β+γ))(βAB↑+γAC↑)=(1/(α+β+γ))(βAB↑+γAC↑)
αa+βb+γc=α(-AP↑)+β(AB↑-AP↑)+γ(AC↑-AP↑)=-(α+β+γ)AP↑+βAB↑+γAC↑=-(βAB↑+γAC↑)+βAB↑+γAC↑=0
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
これの逆
確認はしていないが
αa+βb+γc=0の左辺の係数を適宜負にすれば
Pが△ABCの外部にある場合にも拡張できるだろう
572:１３２人目の素数さん
15/10/07 20:45:04.75 bVIaakd/.net
>>556
1つの値にはならない
|100-1|=99 9+9=18
|101-101|=0
0か18のいずれかになる
573: ◆nxVhLK6vrE
15/10/07 22:51:00.01 Xsw/4YgJ.net
sin1°+2sin2°+3sin3°+...+90sin90°を計算せよ
答えはトリップ
574:１３２人目の素数さん
15/10/07 22:57:18.15 Xsw/4YgJ.net
>>561はトリップ間違えました
無かったことにしてください
575:１３２人目の素数さん
15/10/08 18:28:59.15 0srW166e.net
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
問題も間違ってるような
576:１３２人目の素数さん
15/10/08 18:35:23.90 hjzFehcS.net
フィボナッチ数列をこねくり回してたら次の式が出てきた。
F(mn)/F(n)=Σ[0≦k＜m/2](-1)^{k(n+1)}*C(m-1-k,k)L(n)^(m-1-2k) (☆)
ただし L(n)=F(n+1)+F(n-1) とする。
(1) F(m+n+d)=F(m+d)F(n+d)+(-1)^(d+1)*F(m)F(n) を証明せよ。
(2) F(n+2d)=L(n)F(n+d)+(-1)^(d+1)*F(n) を証明せよ。
(3) (☆)を証明せよ。
577:１３２人目の素数さん
15/10/08 18:36:53.32 hjzFehcS.net
>>564
ただしC(m,n)=(m+n)!/(m!n!)とする。
578:１３２人目の素数さん
15/10/08 18:44:03.48 hjzFehcS.net
>>564の(1)が間違ってた。申し訳ない。
(1) F(d)F(m+n+d)=F(m+d)F(n+d)+(-1)^(d+1)*F(m)F(n) を証明せよ。
579:１３２人目の素数さん
15/10/10 10:24:56.14 PeUyjTTt.net
>>555
直線ABとCPの交点をQ, αPD↑=βBP↑, αPE↑=γCP↑となる2点D,Eをとる
BQ:AQ=△PBC:△PCA=α:βよりAD//EP, 同様にAE//DP
よってPA↑=PD↑+PE↑より示すべき式を得る
580:１３２人目の素数さん
15/10/10 10:25:37.83 PeUyjTTt.net
a,b,cを与えられた正の整数とし, aとbは互いに素とする. このとき, aを法としてbに合同な正の整数であって, その全ての素因数がc以上であるようなものが無限個存在することを示せ.
581:１３２人目の素数さん
15/10/10 23:48:04.25 AWp5N1O6.net
>>566の式の拡張したような式が作れた。
役立つかどうかしらんけど。
数列{a[n]},{b[n]}は
b[n+1]=b[n]-a[n]-a[n+1]
を満たすとして
s[n]=Σ[k=1..n]a[k]
とすると
F(s[n])F(s[n-1]+b[n])=Σ[k=1..n](-1)^s[k-1]*F(a[k])F(b[k])
が成り立つ。
この式でn=2の場合は>>566の式になる。
問題：この式を証明せよ。
582:１３２人目の素数さん
15/10/11 19:30:16.51 1lehTb7O.net
>>568
a=1のときは素数の無限性より自明。a>1のとき、bを割り切らないc未満の素数全体の集合をPとし、Pのすべての元の積をmとする(Pが空のときはm=1とする)。このとき、a^k*m+b(k=1,2,...,)が条件を満たす。
証明は各自に任せる。
583:１３２人目の素数さん
15/10/14 07:19:35.42 m8TEiTt6.net
ほ
584:１３２人目の素数さん
15/10/15 08:02:39.75 ShUHgYGn.net
e^(1/e) - π^(1/π) < 1 を示せ。
585:１３２人目の素数さん
15/10/15 20:29:10.95 6VlkFHpA.net
e^(1/e)-π^(1/π)<4^(1/2)-1=1
586:１３２人目の素数さん
15/10/15 22:29:20.51 6KJ0Q333.net
ゆるい
587:１３２人目の素数さん
15/10/15 22:33:15.97 ShUHgYGn.net
ぐぬぬ…
e^(1/e) - π^(1/π) < 1/100 を示せ。
588:１３２人目の素数さん
15/10/17 00:55:05.00 oJL6KLEm.net
半径1の円に内接する正n角形について、ある頂点から時計回りに1,2,...,nとそれぞれの頂点に番号を付ける. このとき、nと互いに素な番号とn番の頂点との距離の総積は自然数であることを証明せよ
589:１３２人目の素数さん
15/10/17 02:15:57.96 T+AEruC5.net
>>576
ほんとかよウソくせー適当いってねぇ？
590:１３２人目の素数さん
15/10/17 02:24:55.17 MoaMy0B0.net
本当でしょ。
円分方程式の差積の絶対値。
591:１３２人目の素数さん
15/10/17 04:28:19.06 XxOr4UDp.net
z(k)=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)とおくと、
n次の円分多項式F_n(x)は
n以下でnと互いに素なφ(n)個の自然数kについての総積Π(x-z(k))で表され、
一方、F_n(x)は整数係数の多項式なので、F_n(1)は整数。
（1はF_n(x)の根ではないので、0ではない）
>>576で言ってる距離の総積はΠ|1-z(k)|=|F_n(1)|なので、これは自然数
って話ですよね。
円分多項式についての基本的な知見を既知とするなら、これでおしまい。
それを証明するというのなら、任せた。
592:１３２人目の素数さん
15/10/17 04:44:29.85 oJL6KLEm.net
>>578
>>579
正解です
F_n(1)の具体的な値が分かればもっと面白い問題になると思うのですが
円分多項式に関する知識がないので自然数、とまでしか言えませんでした
593:１３２人目の素数さん
15/10/17 12:12:19.15 XxOr4UDp.net
>>580
＞F_n(1)の具体的な値が分かれば
n次の円分多項式をF_n(x)とするとき、
nが素数ならF_n(1)=n
nが合成数なら|F_n(1)|=1となることを示せ
594:１３２人目の素数さん
15/10/17 13:00:00.54 u2MeBzbf.net
1->0.
p^k->p.
pq|n,p≠q.
n->1.
595:１３２人目の素数さん
15/10/17 13:08:23.42 uGe4tjBl.net
>>581
nが素数ならx^(n-1)+x^(n-2)+...+1がQ上既約となるのでこれが円分多項式になってF_n(1)=n
nが合成数の場合
例えば4次の円分多項式はx^2+1より
F_4(1)=2になるので成り立たないと思うのですが...
596:１３２人目の素数さん
15/10/17 22:42:46.53 XxOr4UDp.net
>>583
そうですね、すみません。
f_1(1)=0
nが素数pの冪のとき、F_n(1)=p
それ以外のとき、F_n(1)=1
であってますかね。
597:１３２人目の素数さん
15/10/17 22:45:04.87 XxOr4UDp.net
（ということを、>>582さんが指摘してたようですね^^;）
598:１３２人目の素数さん
15/10/24 13:56:14.38 BAbl4apN.net
４×４の升目に1,2,3,4の数字を入れるとき、
(1) �
599:宴eン方陣は何通り作れるか？ (2) 数独は何通り作れるか？
600:１３２人目の素数さん
15/10/25 10:27:38.50 U2A2nlW9.net
>>586
(1)ラテン方陣
1234
2XXX
3XXX
4XXX
となるのは
1234 1234 1234 1234
2143 2143 2341 2413
3412 3421 3412 3142
4321 4312 4123 4321 の4通り。
左端を固定すると、列の入れ替えのバリエーションが×3!
さらに、4つの数字の入れ替えで×4!なので、
4×3!×4! = 576通り
(2)数独
1234
34XX
2XXX
4XXX
となるのは
1234 1234 1234
3412 3412 3421
2143 2341 2143
4321 4123 4312 の3通り。
左上4マスを固定すると、右２列と下２行の入れ替えのバリエーションが×2×2
さらに、4つの数字の入れ替えで×4!なので、
3×2×2×4! = 288通り
601:１３２人目の素数さん
15/10/25 10:58:05.90 +qG/76bi.net
>>587
正解です！
602:１３２人目の素数さん
15/10/25 11:23:55.54 +qG/76bi.net
(2)の数独において、２本の対角線上にも同じ数字が並ばない場合はどうか？
603:１３２人目の素数さん
15/10/25 11:47:40.29 ftLSrIfJ.net
問題が何通りって意味じゃないのか。
604:１３２人目の素数さん
15/10/25 12:00:01.40 +qG/76bi.net
(1)のラテン方陣で、２本の対角線上も同じ数字が入らない条件を持つものは何通りあるか？
条件を増やすと簡単になるなあ
605:１３２人目の素数さん
15/10/25 12:11:23.38 U2A2nlW9.net
>>589
12XX
34XX
XXXX
XXXX
において対角線上にも同じ数字が並ばない数独の配置は
1234 1243
3412 3421
4321 2134
2143 4312 の2通りのみ
数字の入れ替えを考慮して、2×4! = 48通り
606:１３２人目の素数さん
15/10/25 12:13:10.79 U2A2nlW9.net
>>590
ヒント数が４個の、別解のない４×４の数独の問題は
何通りあるか？
607:１３２人目の素数さん
15/10/25 12:19:49.64 +qG/76bi.net
>>592
正解です！
608:１３２人目の素数さん
15/10/25 13:47:25.43 U2A2nlW9.net
>>593
全てのヒントの数字が異なる場合を調べたら、唯一解となるのは
1x3x 1x3x 1x2x 1x2x 1x2x 1xxx
2xxx x2xx xxxx xxxx xxxx xx2x
xx4x xxx4 3xx4 x3x4 x3xx x3xx
xxxx xxxx xxxx xxxx xxx4 xxx4
の６タイプのみで、
それぞれの上下左右反転や、上２行、下２行、右２列、左２列の入れ替え、
数字の入れ替えによるバリエーションが、
左から順に
3072、3072、3072、768、1536、384 通りなので、
合計11904通り。
ヒントの数字には少なくとも３種類の数字が含まれる必要があるので、
あとは、ヒントがちょうど３種類の数字からなる場合を考えればよいが、
場合分けが発散しそうなので、人手でやるべき作業ではなさそう。
暇な人は、プログラムで調べてちょ
609:１３２人目の素数さん
15/10/25 13:50:42.41 U2A2nlW9.net
ずれた。コピーして等幅フォントで。
610:１３２人目の素数さん
15/10/25 14:06:38.28 FeX0gcyy.net
別スレで見た問題だけど
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:738番)
738 １３２人目の素数さん sage 2015/10/24(土) 00:08:28.37 ID:mxQpNuML
次の性質を持つ実数全体で定義された連続関数y＝f(x)は存在しない事を（高校範囲で）示せ
xが有理数の時yは無理数
xが無理数の時yは有理数
611:１３２人目の素数さん
15/10/25 16:23:51.60 yazxyviR.net
>>597
高校範囲では、「連続関数」を定義しないから、
極限の計算練習くらいはできても、証明は不可能。
高校範囲でなく、普通にやれば？
612:１３２人目の素数さん
15/10/25 16:29:51.70 U2A2nlW9.net
>>597
補題：実数a,bがa<bを満たすとき、a<q<bとなる有理数qが存在する。
a<bより、1/(b-a)は正の実数であり、N>1/(b-a)となる自然数Nが存在する。
このとき、Nb-Na>1なので、Nb<M<Naとなる整数Mが存在する。
q=M/Nとすると、a<q<bを満たす。
以下本題
条件を満たす関数f(x)が存在すると仮定する。
関数g(x)をg(x)=x+f(x)と定義すると、g(x)は連続関数であり、
xが有理数ならf(x)は無理数なのでg(x)は無理数
xが無理数ならf(x)は有理数なのでg(x)は無理数
よって、g(x)は任意の実数xに対して無理数となる。
g(x)が定数関数の場合、g(x)=kとおくと、f(-k)=2kとなり、
kが有理数ならば-kもf(-k)も有理数、kが無理数ならば-kもf(-k)も無理数となるので
条件と矛盾
g(x)が定数関数ではない場合、g(a)<g(b)となる実数a,bが存在する。
このとき、補題より、g(a)<q<g(b)となる有理数qが存在し、
g(x)は連続関数なので、中間値の定理より、g(c)=qとなるcがaとbの間に存在する。
ところが、g(c)は無理数なので、qが有理数であることと矛盾
以上より、いずれの場合も矛盾が生じるので、仮定は誤りであり
条件を満たす関数f(x)は存在しない。
# そもそも中間値の定理が実数の連続性から導かれるものなので、
# それを証明なしに勝手に使っていい高校数学は、結構ゆるゆる。
613:１３２人目の素数さん
15/10/25 16:32:00.45 U2A2nlW9.net
>>598
数IIIに「関数の連続性」という章があるのですが…
614:１３２人目の素数さん
15/10/25 17:35:12.41 yazxyviR.net
>>600
そこで、未定義の「lim」を使っているだろ。
615:１３２人目の素数さん
15/10/25 18:10:59.01 U2A2nlW9.net
そんなことはわかっとるわい（苦笑）
高校数学で中間値の定理とか微積を使った証明問題がないわけではあるまいに。
高校数学の範囲で示せ、と言われたら、使っていいことになってることを使って示す
パズルだと思えばいいだろ。
厳密に定義されていないものは使えないなら、高校数学なんて全滅だろって…
616:１３２人目の素数さん
15/10/25 20:44:52.80 eQ55Oj7N.net
>>601
高校の教科書にもちゃんと定義しているだろ
元の問題は高校の範囲超えてもいいのなら濃度を考えたら自明だろ
617:１３２人目の素数さん
15/10/26 00:05:39.06 YOaWhcc4.net
濃度を考えても自明とは思えないな
618:１３２人目の素数さん
15/10/26 01:28:40.96 RXHa2tRu.net
>>603
定義したようなふりはしているけれど、
「ちゃんと定義」はしてないよ。
そっちの方針がいいね。
619:１３２人目の素数さん
15/10/26 04:16:09.61 slr0ql1P.net
確かに濃度を考えても自明とは思えないですね。
自明だという方々は、どのような流れで自明だと言うつもりなのか
教えて頂きたいものです。
620:１３２人目の素数さん
15/10/26 04:22:08.47 VswQofCi.net
定数でない連続関数fの像は連続体濃度を持つけど、fの定義からfの像は高々可算集合であり、矛盾
自明だろう
621:１３２人目の素数さん
15/10/26 05:03:33.19 slr0ql1P.net
>>607
＞定数でない連続関数fの像は連続体濃度を持つけど、fの定義からfの像は高々可算集合であり
なるほど。「fの像は高々可算集合」ってとこに気付きませんでした。
（有理数の集合＋有理数の像、なんですね）
私のように気付かなかった奴からすると、その１行の説明でも立派な証明で、
自明って言葉のニュアンスとは違って感じたりもします。
622:１３２人目の素数さん
15/10/26 08:20:47.83 lA+MWMHJ.net
>>608
数学の専門書読んで行間を埋めたこと事ないの？
著者が自明だと書いていても理解するのに数日かかったりする事はざらだよ
623:１３２人目の素数さん
15/10/26 14:50:38.40 j7RcQfYy.net
>>595
いやすごいな。
624:１３２人目の素数さん
15/10/31 15:55:03.83 oUaeh8L4.net
おまけ付きの菓子にはA、B、Cのどれか１つが、それぞれ確率a、b、cで入っている。
(1) a+b+c=1のとき、3種類が揃うまでに買う個数の期待値を求めよ。
(2) 0<a+b+c<1のとき、3種類が揃うまでに買う個数の期待値は変わるか？
変わるならその値を求め、変わらないならそれを証明せよ。
625:１３２人目の素数さん
15/10/31 16:31:21.02 jlw7lTLW.net
>>611
(1)
nは3以上の整数として
n個目にA,B,C全て揃う確率は
n-1個目までにAが出ず、n個目にAが出る確率
n-1個目までにBが出ず、n個目にBが出る確率
n-1個目までにCが出ず、n個目にCが出る確率
の和であり
(1-a)^(n-1)*a+(1-b)^(n-1)*b+(1-c)^(n-1)*c
よって買う個数の期待値は
n((1-a)^(n-1)*a+(1-b)^(n-1)*b+(1-c)^(n-1)*c) (個)
(2)
買う個数の期待値は(1)と同じ
n((1-a)^(n-1)*a+(1-b)^(n-1)*b+(1-c)^(n-1)*c) (個)
これは式の意味から明らか
626:１３２人目の素数さん
15/10/31 16:36:34.14 jlw7lTLW.net
(2)のようにはず
627:れがあるなら 買う個数の期待値は(1)より大きくなる と思われる
628:１３２人目の素数さん
15/10/31 16:40:55.08 0j1dwPeS.net
>>612
＞n-1個目までにAが出ず
ではBだけ出てCが出ていないかもしれない
629:１３２人目の素数さん
15/10/31 16:45:45.73 jlw7lTLW.net
（n-1個目までにAが出ず、n個目にAが出る確率）
-（n-1個目までにBのみが出て、n個目にAが出る確率）
-（n-1個目までにCのみが出て、n個目にAが出る確率）
+（n-1個目までにBが出ず、n個目にBが出る確率）
-（n-1個目までにCのみが出て、n個目にBが出る確率）
-（n-1個目までにAのみが出て、n個目にBが出る確率）
+（n-1個目までにCが出ず、n個目にCが出る確率）
-（n-1個目までにAのみが出て、n個目にCが出る確率）
-（n-1個目までにBのみが出て、n個目にCが出る確率）
か
やめた
630:１３２人目の素数さん
15/11/01 00:54:53.93 AWAb936d.net
>>615より
n個目にA,B,C全て揃う確率は
(1-a)^(n-1)*a-b^(n-1)*a-c^(n-1)*a
+(1-b)^(n-1)*b-c^(n-1)*b-a^(n-1)*b
+(1-c)^(n-1)*c-a^(n-1)*c-b^(n-1)*c
買う個数の期待値は
n((1-a)^(n-1)*a-b^(n-1)*a-c^(n-1)*a
+(1-b)^(n-1)*b-c^(n-1)*b-a^(n-1)*b
+(1-c)^(n-1)*c-a^(n-1)*c-b^(n-1)*c)個
631:611
15/11/01 10:36:50.24 LvsYUQg2.net
正解者なし。
632:１３２人目の素数さん
15/11/01 11:39:28.82 BcQa9qVi.net
期待値の式にnが入ってる時点で明らかに不正解なのはわかる
633:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:06:20.55 tOJjs8t9.net
>>611
(2)は問い方がおかしいだろ。
(1)でa+b+c=1を前提に答えを式変形していたら、(2)で使えるわけがない。
(1),(2)で共通で使える表現は存在する。
(1)だけの答えなら
bc+ca+ab=X、abc=Yとおいて
期待値は 1+ X/Y - (1+X)/(X-Y)
(1)(2)共通の答えは
期待値は 1+ 1/a + 1/b + 1/c - 1/(b+c) - 1/(c+a) - 1/(a+b)
考え方は、n≧1として、n回後にまだ全部揃っていない確率は
P(n) = (1-a)^n + (1-b)^n + (1-c)^n - (1-b-c)^n - (1-c-a)^n - (1-a-b)^n
であり、期待値は
1+Σ[n=1,∞]P(n)
（P(n)の式にn=0を代入すると0になるので、Σは0から計算すると楽）
634:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:10:01.30 4gDXr50m.net
買う個数の期待値ですけど
635:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:20:13.32 tOJjs8t9.net
>>620
そうですがなにか
636:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:31:08.00 NRx06mRK.net
なお、おまけのお菓子は廃棄してはいけないこととする
637:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:37:02.93 tOJjs8t9.net
ちょっと冷たかったな（汗）
一般に終了するまでの回数の期待値を考える場合、少しトリッキーな言い方だが、
「n回目が行われる回数」という確率変数をx(n)（x(n)は0か1の値をとる）とすると、
終了するまでの回数という確率変数Xは
X=Σ[n=1,∞]x(n)
となるので、Xの期待値は
E(X)=Σ[n=1,∞]E(x(n))
で、n回目までに終わってない確率をP(n)（n=0,1,…）とすると、
E(x(n))=P(n-1)となるので、結局
E(X)=Σ[n=0,∞]P(n)
と言える。今回の問題では、n≧1ではP(n)は示した通りで、P(0)=1。
638:１３２人目の素数さん
15/11/01 15:05:08.43 4gDXr50m.net
>>623
普通n回目に揃う確率をp(n)とした場合に求める期待値は当然
lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)np(n)
ではないの？
その方法でどうその後計算ができるのか示してもらいたいもんだ。
639:１３２人目の素数さん
15/11/01 15:06:23.21 4gDXr50m.net
×lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)np(n)
○lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)Σ[j=1,n]kp(k)
640:１３２人目の素数さん
15/11/01 15:15:08.77 tOJjs8t9.net
（さっきから示してるんですが…ま、いいや）
641:１３２人目の素数さん
15/11/01 15:25:50.30 tOJjs8t9.net
結局縦のものを横にして計算してるだけなんだがな。
あと、E(X+Y)=E(X)+E(Y)は理解してるよな？
642:１３２人目の素数さん
15/11/01 16:07:34.53 4gDXr50m.net
n回目まで終わっていない確率を足し合わせても回数の期待値にはならないと言っているだけだが？
643:１３２人目の素数さん
15/11/01 22:14:45.26 tOJjs8t9.net
>>623の説明でわからなければ、私の手には負えません。
644:１３２人目の素数さん
15/11/01 23:00:35.12 4gDXr50m.net
>>629
n回目まで終わっていない確率を足し合わせたところで、その極限は1にしかならない。以上。
645:１３２人目の素数さん
15/11/01 23:11:13.81 tOJjs8t9.net
>>630
他のスレでの発言を見ていると、大学レベルの数学の知識をお持ちの方と
見受けられるのですが、
どうして自分の頭できちんと考えることを放棄されているのでしょうか？
646:１３２人目の素数さん
15/11/01 23:18:30.47 tOJjs8t9.net
（下げ忘れました。スミマセン）
647:１３２人目の素数さん
15/11/02 00:34:13.02 FzT0ePp1.net
日付が変わる前に>>630の発言を引き出せたからよしとするか…
何を言ってるかと思えば、そんなレベルの話だったとは
648:１３２人目の素数さん
15/11/02 02:34:02.14 krCUW5Pu.net
>>619は考え方は合ってるけど計算ミスしてるのでは。
649:１３２人目の素数さん
15/11/02 05:33:21.12 wY9be5wM.net
>>631
>>625
650:611
15/11/02 06:19:14.52 O2maGD3B.net
>>619
> (1)(2)共通の答えは
> 期待値は 1+ 1/a + 1/b + 1/c - 1/(b+c) - 1/(c+a) - 1/(a+b)
(1)のみ正解。
(2)はa+b+c≠1なので、式の形は異なります。(2)の値にa+b+c=1を代入すると(1)に一致するけどね。私が間違っていたらゴメン。
651:611
15/11/02 07:49:59.21 O2maGD3B.net
(2)の問題文を 「期待値を a, b, c で表せ」 に変更します。
s=a+b+c、t=ab+bc+ca、u=abc とおいて、s, t, u で表してもいいです。
652:１３２人目の素数さん
15/11/02 08:30:02.32 udp++JuJ.net
1/a+1/b+1/c-1/(a+b)-1/(a+c)-1/(b+c)+1/(a+b+c).
653:１３２人目の素数さん
15/11/02 10:26:01.27 FzT0ePp1.net
>>636
本当だ、ベン図の真ん中が(2)では存在するのを忘れてた。
（説明すると、n回終わってaが出ていない事象をA、bが出ていない事象をB、
cが出ていない事象をCとして、ベン図書いて考えてて、3つ重なった所に
最初に0を入れたまま忘れてた…基本的ミスですな）
>>638で両方共通の答えになるのかな。
654:１３２人目の素数さん
15/11/02 10:36:33.87 FzT0ePp1.net
ところで、>>635は昨日の4gDXr50mさんですかね。
そろそろ「もしかしたら自分が勘違いしてるかも」と疑い始めてもいいころでしょうに。
その自信はどこから来るのか、ある意味うらやましい（嘘です）。
いや、誰も
lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)Σ[j=1,n]kp(k)
の考え方を間違いだと言ってるわけではないんですよ。
その考え方でうまく計算できないようなケースに、
>>623みたいな作戦が使えるという話をしているだけで。
どうして自分の頭で考えて人の言っていることを理解する努力をしないのかと
不思議に思っているわけです。
655:１３２人目の素数さん
15/11/02 13:02:00.46 wY9be5wM.net
>>640
4gDXr50mです。
>>630で書いているとおりですが、理解しようがありません。
確率を足しても、∞の試行回数までに試行が終わる確率＝1しか得られないと考えます。
656:１３２人目の素数さん
15/11/02 15:08:14.85 1VvZixfA.net
>>630,641
> n回目まで終わっていない確率を足し合わせたところで、その極限は1にしかならない。以上。
n回目までに終わっていない確率(=n+1回目が行われる確率)の和は、
0回目から1回目までの和ですでに2になる単調増加列だが？
P(0)=1
P(1)=1
P(2)=1
P(3)=1-6abc
657:１３２人目の素数さん
15/11/02 16:20:04.75 udp++JuJ.net
a+2b+3c+4d+...
=(a+b+c+d+...)+(b+c+d+...)+(c+d+...)+(d+...)+....
658:１３２人目の素数さん
15/11/02 16:30:52.95 wY9be5wM.net
>>642
回数の期待値と書いているのにも関わらず、回数を考慮していないからおかしい。
659:１３２人目の素数さん
15/11/02 16:50:16.25 1VvZixfA.net
>>644
そんな関係ないレスしてないで
> 確率を足しても、∞の試行回数までに試行が終わる確率＝1しか得られないと考えます。
が偽だということは理解できたか？
660:１３２人目の素数さん
15/11/02 17:48:34.69 wY9be5wM.net
>>645
＞確率を足しても、∞の試行回数までに試行が終わる確率＝1しか得られないと考えます。
それは誤解だった。
n回目で終わる確率をP(n)とした場合にはその極限が1になるということ間違った。
＞E(x(n))=P(n-1)
と書かれているのがまずおかしい。
x(n)は0か1だから、E(0)とかE(1)は何を意味するのか？
E(n)=nP(n-1)
の間違いではないのか？
661:１３２人目の素数さん
15/11/02 20:26:17.36 Cvr2y9Py.net
一般に、確率変数Xが与えられたときにその期待値のことをE(X)と書くのであって
E(0)とかE(1)とかE(n)っていうのはちょっと意味が分からないなあ
662:１３２人目の素数さん
15/11/02 21:36:38.51 1VvZixfA.net
>>646
> ＞E(x(n))=P(n-1)
> と書かれているのがまずおかしい。
まず、「E(x(n))」という書き方は>>647の通り期待値の一般的な記法であって何もおかしくない
x(n)は
663:>>623が書いている通り、「n回目が行われる回数」という確率変数で、 n-1回目までに全部そろっていなければ1を取り、 (確率P(n-1)) 全部そろっていれば0を取る (確率1-P(n-1)) 当然x(n)の期待値E(x(n))は E(x(n))=1*P(n-1)+0*(1-P(n-1)=P(n-1) になる 補足だが、このP(n)はｎ回目終了時点で終わっていない確率であって、n回目に最後の一つがそろい終了する確率ではない > E(n)=nP(n-1) > の間違いではないのか？ このE(n)、P(n)が何を意味するのか判りかねるが >>624-625に倣ったもので、 E(n)=Σ[ｋ=1,n]kP(k) の間違いならば、 P(n)は「n回目に最後の一つがそろい終了する確率」 E(n)は「『k回目に終了する時の買う個数kとP(ｋ)との積』のｋ=1からｎまでの和」 だろうから > E(x(n))=P(n-1) の「E(x(n))」、「P(n)」とは別のものだろう
664:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:28:55.42 FzT0ePp1.net
x(n)は確率変数だと書いたはずだが。
ネット上で添字は分かりにくくなることがあるので、関数風に書くことはあるだろう。
x_nなら理解できるか？
nに対応する確率変数が無限にあるんだよ。
（というか、ただのよくある期待値計算の手法なのだが、なんでこんなことになってるの？）
665:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:35:48.94 FzT0ePp1.net
E(x(n))ではなくE[x_n]と書けばよかったか？
丸カッコではなく角カッコの方が一般的だというなら、そう読み替えて下さい。
（高校の教科書では、残念ながら丸カッコを使っているが。）
666:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:41:46.19 FzT0ePp1.net
最早難癖モードなのか、
本当に理解してないのかが計りにくいが、
ホントもうどうでもいい。
これでもまだ上から目線で議論できる神経にはある意味敬服する。（嘘です）
667:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:42:07.10 Mg+fRVGR.net
>>611
(2)
f(x)=x/(1-x) + x/(1-x)^2 として
a*f(b+c) + b*f(c+a) + c*f(a+b) - (a+b)*f(c) - (b+c)*f(a) - (c+a)*f(b)
展開したり、通分したりすると、複雑になるので、ここで止めておく
特にa+b+c=1 の時は、
a*f(1-a)-(1-a)*f(a)=1-2a+1/a-1/(1-a) 等から
1 + 1/a + 1/b + 1/c - 1/(1-a) - 1/(1-b) - 1/(1-c)
と>>619に一致
668:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:43:11.61 wY9be5wM.net
全て了解しました
669:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:45:27.00 wY9be5wM.net
よく考えれば非常に簡単なことだった。間違っていると思ったから書いているだけで
別に上から目線だとは全然思っていない。
670:１３２人目の素数さん
15/11/02 23:08:00.26 d0E5e822.net
>>652に補足
3c{(a+b)^2-a^2-b^2} + 4c{(a+b)^3-a^3-b^3} + 5c{(a+b)^4-a^4-b^4} + ... + (cyclic項)
=Σ[k=2,∞](k+1)c{(a+b)^k-a^k-b^k} + cyc.
=Σ[k=1,∞](k+1)c{(a+b)^k-a^k-b^k} + cyc.
ここで
Σ[k=1,∞](k+1)x^k = Σ[k=1,∞](∂/∂x)x^(k+1) = ... = x/(1-x) + x/(1-x)^2 ≡f(x)
に注意して、書き直したのが>>652
671:１３２人目の素数さん
15/11/02 23:15:13.34 wY9be5wM.net
>>651
そうですね、それは大変に失礼いたしました。
以前に私はこの計算を行った問題です。
レアカードはABCDEFGHの8種類あり、レアカードが出る確率は5%。
A～Fと比べて、GとHは出る確率が半分。
n回目にレアカードがコンプする確率とコンプする回数の期待値を求めよ。
672:１３２人目の素数さん
15/11/02 23:15:58.38 wY9be5wM.net
×以前に私はこの計算を行った問題です。
○以前に私が計算を行った問題です。
673:１３２人目の素数さん
15/11/02 23:39:02.75 R2z+EcrU.net
あ、ミスった
>>652 >>655は無かったことに
674:１３２人目の素数さん
15/11/05 07:18:20.80 jjaZ4tUN.net
1から2n+1までの数字の書かれたカードが1枚ずつ2n+1枚ある。
この中から無作為に3枚を取り出す。
(1) 2数の差の最小値を得点とするとき、得点の期待値を求めよ。
(2) 2数の差の最大値を得点とするとき、得点の期待値を求めよ。
675:１３２人目の素数さん
15/11/08 01:47:28.64 Qs7YPP2X.net
任意の実数a,b,cに対して、不等式
|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|≦M（a^2+b^2+c^2）^2
が成り立つような最小の実数Mを求めよ
676:１３２人目の素数さん
15/11/08 16:59:39.06 f/sobXmt.net
(9√2)/32
677:１３２人目の素数さん
15/11/08 23:12:29.95 Ra6N4a1N.net
過程も書け
678:１３２人目の素数さん
15/11/09 21:15:51.58 VgRTV7gt.net
>>660
a^2+b^2+c^2=1 の球面上での極値問題と考える
a,b,c が対称だから (a,b,c)=(1,1,1)/√3 を軸とする極座標 (r,θ,φ) に変換すれば簡単になると予想
他の2軸を (√(2/3),-1/√6,-1/√6),(0,1/√2,-1/√2) として
a=(1/√3)r(√2cosφcosθ+sinφ)
b=r(-(1/√6)cosφcosθ+(1/√2)cosφsinθ+(1/√3)sinφ)
c=r(-(1/√6)cosφcosθ-(1/√2)cosφsinθ+(1/√3)sinφ)
とすれば
ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)=√(3/2)r^4 sinφ(cosφ)^3 (3sinθ-4(sinθ)^3)
sinφ(cosφ)^3 の最大値は 3√3/16 で 3sinθ-4(sinθ)^3 の最大値は 1 だから答は 9√2/32
679:１３２人目の素数さん
15/11/09 21:45:24.58 Uts8GNkz.net
すごい
680:１３２人目の素数さん
15/11/09 21:49:30.09 wYVWaO80.net
>>663
> a^2+b^2+c^2=1 の球面上での極値問題と考える
すでにココで何をやってるか分からない…
681:１３２人目の素数さん
15/11/09 23:29:45.01 2fj29AuI.net
>>662
X=a-b,Y=b-c,R=√(a^2+b^2+c^2)とすると、(c-a)=-X-Y
X^2+Y^2+(X+Y)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=2R^2-2(ab+bc+ca)なので
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=R^2+2R^2-X^2-Y^2-(X+Y)^2
{左辺/(右辺/M)}^2={(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}^2/(a^2+b^2+c^2)^4
=X^2Y^2(X+Y)^2(3R^2-X^2-Y^2-(X+Y)^2)/R^8=...≦81/512
腕力に頼るなら、f(x,y)={xy(x^2-y^2)+y(y^2-1)+x(1-x^2)}/(x^2+y^2+1)^2
として、∂f/∂x=∂f/∂y=0を解いて極大の候補を見つける方法も
682:１３２人目の素数さん
15/11/10 08:10:32.00 ktIVqkZl.net
2015年度 釣塔大学理学部 入学試験問題 数学
2/29 9:00-15:00 （6時間）
問1 π>3.05を示せ。
問2 tan1゜は有理数か。
問3 一辺1の正二十面体の体積を求めよ。
問4 tan10°=(tan20°)(tan30°)(tan40°) を示せ。
問5 C[2015,n]が偶数となる最小の自然数nを求めよ。
問6 (2^n+1)/n^2 が整数となるような自然数nを全て求めよ。
683:１３２人目の素数さん
15/11/10 11:46:09.81 AkD0Xa0Q.net
>>667
> 釣塔大学理学部
ネタも大概にしろ
684:１３２人目の素数さん
15/11/10 13:38:57.41 RSSjjlq7.net
同じ問題ばっかしコピペしてるなー
685:１３２人目の素数さん
15/11/10 13:55:57.09 eSJ4pj9H.net
解けない馬鹿ばかりだからね
686:１３２人目の素数さん
15/11/10 14:04:37.53 yjYWK9mN.net
調べればすぐ答え出てくる問題ばっかやな
687:１３２人目の素数さん
15/11/10 15:03:31.81 M07kpxaE.net
釣塔大の過去問ではファレイ数列を背景にしたものが面白かった
688:１３２人目の素数さん
15/11/10 17:44:20.54 QKJlOMCa.net
釣塔大学 平成24年度入学試験問題
数学(文科)
URLﾘﾝｸ(www.choto.jp)
数学(理科)
URLﾘﾝｸ(www.choto.jp)
から一問
文科第4問
x^17+7x=1の
(1) 17個の解の17乗の総和
(2) 17個の解の逆数の総和
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