面白い問題おしえて～な二十一問目

面白い問題おしえて～ ..

51:１３２人目の素数さん
15/06/03 10:29:42.56 +7SpCnec.net
>>50
tanα=3/4（0<α<π/2）とすると、
α/πは無理数。（←これは別途証明要）
単位円周上に点P_1をとり、
中心から見てP_kを反時計回りに角度2αだけ回転させた点をP_{k+1}とする（k=1,…,2014）
α/πが無理数であることから、P_1～P_{2015}は全て異なる点。
このとき、２点P_i，P_j間の距離は｜2sin(j-i)α｜となるが、
sinα，cosαがともに有理数であることから数学的帰納法により自然数nに対しsin(nα)は有理数なので
P_1～P_{2015}のどの２点間の距離も有理数となる。
このようにして得られた全ての２点間距離を既約分数で表したときの分母の最小公倍数をNとし、
半径Nの円周上に同様に角度2αずつ離れた2015個の点を取ると、条件を満たす。

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