面白い問題おしえて～な二十一問目

面白い問題おしえて～ ..

2:１３２人目の素数さん
15/05/22 13:22:01.33 KVBOnSTu.net
>>ｽﾚﾘﾝｸ(math板:994番)
切断面が4角形以上なら立方体の対面を含み、断面図形は平行辺を持つ
正五角形は平行辺を持たないから断面図形になりえない

3:１３２人目の素数さん
15/05/23 20:08:22.68 9Ox0BYbh.net
平面上に不等辺三角形ABCがあるとする。
このとき同じ平面上に点P,Q,R,S,T,Uが存在して次を満たすことを示せ。
三角形PQRおよびSTUはともに正三角形であり、それらの重心は一致し、
その重心をGとすると四角形GPAS,GQBT,GRCUはすべて平行四辺形である。

4:１３２人目の素数さん
15/05/24 00:37:22.14 MMPYJdfM.net
実数に対して定義され, 実数値をとる関数fであって, 任意の実数x, yに対して
f(xf(y))=f(xy)+x
が成り立つようなものをすべて求めよ.
(レベル1)

5:１３２人目の素数さん
15/05/24 01:19:51.34 Gnf8gD0x.net
a=f(0)とおく。
与式にy=0を代入するとf(ax)=x+a
a=0とするとa=xとなり矛盾。
よってa≠0なのでf(x)=x/a+a
与式にx=1を代入するとf(f(y))=f(y)+1
これよりa=1すなわちf(x)=x+1

6:１３２人目の素数さん
15/05/24 08:39:17.88 MMPYJdfM.net
>>3
x軸とy軸のなす角が60°の斜交座標上に△ABCを任意の向きで置く.
△ABCをy軸に沿って平行移動することで, 3頂点のx座標を変えないままy座標の和を0にできる.
同様に, △ABCをx軸に沿って平行移動することで, 3頂点のy座標を変えないままx座標の和を0にできる.
そのように平行移動したあとのA, Bの座標をA(x_1, y_1), B(x_2, y_2)とする.
a,b,p,qに関する連立方程式[a+p=x_1, b+q=y_1 -a-b+q=x_2, a-p-q=y_2]を解いてa,b,p,qの値を求め,G(0,0),P(a,b),Q(-a-b,a),R(b,-a-b),S(p,q),T(q,-p-q),U(-p-q,p)とすれば, これらの点が条件を満たす.

7:１３２人目の素数さん
15/05/24 09:32:05.44 MMPYJdfM.net
実数に対して定義され, 実数値をとる関数fであって, 任意の実数x, yに対して
f(xf(x)+f(x)f(y)+y-1)=f(xf(x)+xy)+y-1
が成り立つようなものをすべて求めよ.
(レベル1)

8:１３２人目の素数さん
15/05/24 10:22:05.32 X29tvW+c.net
N:正の整数全体　f,g,h はそれぞれNからNへの関数　f(f(f(n))) を fff(n)と書く
次の(1)(2)(3)を満たす f,g,h は存在するか。存在しないなら証明し、存在するなら例をあげよ
(1) ∀n∈N に対して fff(n) = n+2015
(2) ∀n∈N に対して ggg(n) = 2015n
(3) ∀n∈N に対して hhh(n) = n^2015

9:１３２人目の素数さん
15/05/24 23:15:58.78 Gnf8gD0x.net
>>7
与式にx=0を代入
f(f(0)f(y)+y-1)=f(0)+y-1・・・(#)
y=1-f(0)を代入
f(f(0)f(1-f(0))-f(0))=0
ここでa=f(0)f(1-f(0))-f(0)とおくと
f(a)=0
与式にx=a,y=1を代入すると
f(0)=f(a)=0
よって(#)よりf(y-1)=y-1
すなわちf(x)=x

10:１３２人目の素数さん
15/05/25 18:25:36.30 Ic4oaJR1.net
nを正の整数とする.以下の条件を満たす2n桁の整数Nを全て求めよ：
【条件】Nの上n桁と下n桁をそれぞれ1つの整数とみたとき,それらの積がNの約数になる.

11:１３２人目の素数さん
15/05/25 20:57:41.41 GTPxpkqC.net
>>10
11, 12, 15, 24, 36
1352, 1734
{(10^k+2)^2}/6
{(10^(6k-3)+1)^2}/7

12:１３２人目の素数さん
15/05/26 20:41:40.76 2aztPFyt.net
αを, α^7=1を満たす複素数のうち虚部が最大であるものとする.
1/|α^2+α+1|-1/|α+1|
の値を求めよ.

13:１３２人目の素数さん
15/05/26 21:45:25.08 MZa9woGS.net
>>8
(1) 存在しない
A={f(n):n∈N}
B={ff(n):n∈N}
C={fff(n):n∈N}とおくと
|N-A|=|A-B|=|B-C|
|N-A|+|A-B|+|B-C|=|N-C|=2015
2015は3の倍数でないので矛盾
(2) a(n)=Max{k∈N+{0}:n/2^k∈N}とおく
g(n)=2n (a(n)≡0,1(mod 3))
g(n)=2015n/4 (a(n)≡2(mod 3))
(3) b(n)=Max{k∈N:n^(1/k)∈N}とおく
h(1)=1
h(n)=n^2 (a(b(n))≡0,1(mod 3))
h(n)=n^(2015/4) (a(b(n))≡2(mod 3))

14:１３２人目の素数さん
15/05/26 21:47:07.46 MZa9woGS.net
>>13
あ、(3)はナシで

15:１３２人目の素数さん
15/05/26 22:36:13.03 dwAp1wFI.net
>>13
(1)(2)正解です

16:１３２人目の素数さん
15/05/27 01:21:13.29 dfnaaauX.net
Nは正の整数とする。
X+Y+Z≦Nを満たす正の整数の組(X,Y,Z)は何通りあるか？

17:１３２人目の素数さん
15/05/27 02:21:35.09 tuOMDtKz.net
>>16
宿題は他所で聞け！

18:１３２人目の素数さん
15/05/27 14:00:02.49 PZMJUt71.net
nを2以上の整数とする. 任意の正の整数kに対して, kと書かれたボールが1個ずつある.
これらのボール全てを, 以下の条件(1),(2)をともに満たすようにボールがいくらでも入るn個の袋に分け入れることは出来るか.
　条件(1)：どの袋も空にはならない
　条件(2)：n個の袋のうちどのn-1個を選び, 選んだ各袋からボールを無作為に1個ずつ取り出しても, 取り出したボールに書かれた数の和をSとすると, Sと書かれたボールは残り1個の袋に入っている.

19:１３２人目の素数さん
15/05/28 10:58:30.37 lVJ8cRpY.net
N：自然数全体の集合
R：自然数全体の集合
f ; R→N
∀x、∀y、f(x+f(x)) = (1+y)・f(x)
ときどき聞かれるが、自然数は 0 を含まない。

20:19
15/05/28 10:59:51.42 lVJ8cRpY.net
ゴメン訂正。左辺を書き間違った。あのままでも解けるならやって味噌。
N：自然数全体の集合
R：自然数全体の集合
f ; R→N
∀x、∀y、f(x+f(x)f(y)) = (1+y)・f(x)
ときどき聞かれるが、自然数は 0 を含まない。

21:１３２人目の素数さん
15/05/28 11:11:07.18 lVJ8cRpY.net
ゴメンもひとつ訂正。
N：自然数全体の集合
f ; N→N
∀x、∀y∈N、f(x+f(x)f(y)) = (1+y)・f(x)

22:１３２人目の素数さん
15/05/28 17:23:10.78 OzVozmQ7.net
>>12
複素数平面上で
4点A(1), B(cos2π/7+isin2π/7), C(α), D(α^2)にトレミーの定理を適用して
1/|α^3-1|-1/|α^2-1|=1/|α-1|
∴ 1/|α^2+α+1|-1/|α+1|=1

23:１３２人目の素数さん
15/05/28 23:08:18.47 OzVozmQ7.net
素数からなる数列{p_n}を以下のように定める：
p_1=2, n≧2においてp_nはΠ[k=1 to n-1]p_k +1の最大の素因数
(1)数列{p_n}に5は現れるか.
(2)数列{p_n}に11は現れるか.

24:１３２人目の素数さん
15/05/28 23:09:55.13 lVJ8cRpY.net
>>22
すごいな！

25:１３２人目の素数さん
15/05/28 23:42:41.84 61sb4mGP.net
>>22
おもすれー！

26:１３２人目の素数さん
15/05/29 00:13:33.28 O8xAIr5P.net
>>23
(1)はなんとかなった。
p_n=5のとき
Π[k=1 to n-1]p_k +1 = (3^a)*(5^b)　ただし、aは非負整数，bは正の整数
ここで、p_2=3より左辺≡1 mod 3
よって、a=0
そのとき、右辺≡1 mod 4
よって、Π[k=1 to n-1]p_kは4の倍数となるが、それはありえない。
(2)も、
p_n=11のとき
Π[k=1 to n-1]p_k +1 = (3^a)*(5^b)*(7^c)*(11^d)　ただし、a,b,cは非負整数，dは正の整数
とおくと、p_2=3とp_3=7より、a=c=0と、
mod 4とmod 6における考察からbとdは奇数というところまではわかるが、
矛盾がまだ導けない…
ちなみに、これだよな
URLﾘﾝｸ(oeis.org)

27:１３２人目の素数さん
15/05/29 07:55:46.24 7uOmhxTR.net
>>26
ものすごい速さで増加してるから気になって調べたけど、単調増加ではないことが証明されているらしい

28:１３２人目の素数さん
15/05/29 12:17:53.69 7uOmhxTR.net
>>26
そこまで来たらあとはmod○で見ればおしまいですぜ

29:１３２人目の素数さん
15/05/30 00:10:39.16 DTDtTIAa.net
>>23 (2)
>>26 のようにしてbは奇数
よって5^b≡3,5,6 , 11^d≡1,2,4 (mod 7)より
5^b・11^d≡1になりえないので矛盾

30:１３２人目の素数さん
15/05/30 01:08:03.54 cjrKKsVK.net
出題します
(1)無理数全体の集合は可付番か。
(2)有理数の無理数乗で有理数となるものは存在するか。

31:１３２人目の素数さん
15/05/30 01:11:41.16 8C3h28FU.net
0
1

32:１３２人目の素数さん
15/05/30 01:19:18.86 ALkUXCoP.net
>>30
なんで(1)を出題したのか泣くまで苛めたい

33:１３２人目の素数さん
15/05/30 01:40:28.38 DTDtTIAa.net
>>30 (2)
2^log_(2)3=3など無数
<類題>
無理数の無理数乗で有理数となるものは存在するか。
↑これの答え知ったときの感動といったらもう

34:１３２人目の素数さん
15/05/30 05:41:31.12 WTsTfqJY.net
>>33
あの証明は排中律のうさんくささを物語っているのであり、
感動しちゃイカン
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)排中律
＞上記の例は直観主義では許されない「非構成的; non-constructive」証明の例である。
＞「この証明は、定理を満足する a と b という数を特定せずに可能性だけで論じているため、
＞非構成的である。実際には a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} は無理数だが、これを簡単に示す証明は
＞知られていない」(Davis 2000:220)

35:１３２人目の素数さん
15/05/30 10:50:46.63 DTDtTIAa.net
nを2以上の整数とする. 黒板にnがn個書かれている.
このとき, 以下の操作を繰り返し行う：
操作：黒板に書かれた数のうち2つを任意に選んでa, bとする. 黒板に書かれたa, bを1つずつ消し, 代わりに(a+b)/4を1つ黒板に書き加える.
初めの状態から上記の操作を(n-1)回繰り返して黒板に数が1つだけ残ったとき, その残った数は1以上であることを示せ.

36:１３２人目の素数さん
15/05/30 13:00:00.51 O0nWqd/h.net
１／ａ＋１／ｂ－４／（ａ＋ｂ）＝（ａ－ｂ）＾２／ａｂ（ａ＋ｂ）。

37:１３２人目の素数さん
15/05/30 16:11:45.43 DTDtTIAa.net
nを2以上の整数とする. 黒板にnがn個書かれている.
このとき, 以下の操作を繰り返し行う：
操作：黒板に書かれた数のうち2つを任意に選んでa, bとする. 黒板に書かれたa, bを1つずつ消し, 代わりに√(ab/2)を1つ黒板に書き加える.
初めの状態から上記の操作を(n-1)回繰り返して黒板に数が1つだけ残ったとき, その残った数は1以上であることを示せ.

38:１３２人目の素数さん
15/05/30 16:14:30.32 DTDtTIAa.net
訂正
✕1以上　○√n以上

39:１３２人目の素数さん
15/05/31 00:33:48.52 fE/FMywr.net
(1/a)^2＋(1/b)^2－(1/√(ab/2))^2＝(a－b)^2/(a^2b^2)

40:１３２人目の素数さん
15/05/31 04:14:16.21 sfLdmxRv.net
平面上の相異なる6点A, B, C, D, E, Fは次の(i)～(iii)を全て満たす.
(i)AB//CD
(ii)4点A, B, E, Fは同一円周上にある
(iii)4点C, D, E, Fは同一円周上にある
このとき, 6点A, B, C, D, E, Fを全て通る二次曲線が存在することを示せ.
ただし, 「二直線」も二次曲線に含めるものとする.

41:１３２人目の素数さん
15/06/01 00:59:17.14 3Q/kEBod.net
>>30だけど(3)を書き忘れてつまらん問題になってるね
(3)任意の有理数と無理数の同数の組み合わせから四則演算とべき乗によって有理数を作ることは可能か。
あと>>33は例示が間違ってますね。無理数乗の要素も見当たらない
無理数の無視数乗の問題の方が簡単です。(2\を解く過程で背理法を使うと系として出てきます
有理数の無理数乗で無理数となるものも同様に存在します。

42:１３２人目の素数さん
15/06/01 06:39:28.92 3uXQ8gBK.net
>>41
2を底とする3の対数って有理数だったのか…

43:１３２人目の素数さん
15/06/01 14:31:50.05 e8HqnHNl.net
>>21
これか
URLﾘﾝｸ(www.toshin.com)
しかし、最後の３行が謎ちゅうか誤魔化してないか？誰か解説 please !

44:１３２人目の素数さん
15/06/01 20:16:36.54 3uXQ8gBK.net
>>43
f(xl=cx (cは定数)
の形だとわかって、それを元の式に代入してc=1がわかるって意味だよ

45:１３２人目の素数さん
15/06/01 20:22:57.45 oUH6EhHI.net
>>43
∀x、f(x) = f(1)xが成り立つので
元の式f(x+f(x)f(y)) = (1+y)f(x)にあてはめて
f(1)(x+f(x)f(y)) = (1+y)f(1)x
f(1)f(x)f(y) = f(1)xy
f(x)f(y) = xy
f(1)x・f(1)y = xy
f(1)^2=1

46:１３２人目の素数さん
15/06/01 23:21:16.89 e8HqnHNl.net
>>44-45
なるほど～、ありがとうございます！

47:１３２人目の素数さん
15/06/02 11:52:49.46 hznov9EH.net
ad-bc=1, ac+bd=72
を満たす正の整数a,b,c,dをすべて求めよ

48:１３２人目の素数さん
15/06/02 15:40:04.20 311eJ5rc.net
(ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=5185=5*17*61
5=1^2+2^2,17*61=29^2+14^2=26^2+19^2
17=1^2+4^2,5*61=4^2+17^2=7^2+16^2
61=5^2+6^2,5*17=2^2+9^2=6^2+7^2
29*1-14*2=1,29*2+14*1=72
17*1-4*4=1,17*4+4*1=72
6*6-7*5=1,6*7+5*6=72
(a,b,c,d),(d,c,b,a)=(1,2,14,29),(1,4,4,17),(6,5,7,6)

49:１３２人目の素数さん
15/06/03 00:52:37.07 a8jU9vQT.net
y=ax^2 (a>0)で表される放物線はすべて相似であることを示せ

50:１３２人目の素数さん
15/06/03 06:27:25.51 aO76Pz1F.net
平面上に相異なる2015個の点を, 以下の(i)(ii)をともに満たすように配置できることを示せ.
(i)全ての点が同一円周上にある
(ii)どの2点間の距離も整数

51:１３２人目の素数さん
15/06/03 10:29:42.56 +7SpCnec.net
>>50
tanα=3/4（0<α<π/2）とすると、
α/πは無理数。（←これは別途証明要）
単位円周上に点P_1をとり、
中心から見てP_kを反時計回りに角度2αだけ回転させた点をP_{k+1}とする（k=1,…,2014）
α/πが無理数であることから、P_1～P_{2015}は全て異なる点。
このとき、２点P_i，P_j間の距離は｜2sin(j-i)α｜となるが、
sinα，cosαがともに有理数であることから数学的帰納法により自然数nに対しsin(nα)は有理数なので
P_1～P_{2015}のどの２点間の距離も有理数となる。
このようにして得られた全ての２点間距離を既約分数で表したときの分母の最小公倍数をNとし、
半径Nの円周上に同様に角度2αずつ離れた2015個の点を取ると、条件を満たす。

52:１３２人目の素数さん
15/06/03 11:49:30.77 aO76Pz1F.net
>>51
tを十分大きな有理数で
tan α=2t/(t^2-1) (0<α<π/2014)
を満たすようにとれば「別途証明」不要

53:１３２人目の素数さん
15/06/03 11:55:27.40 aO76Pz1F.net
nを4以上の整数とする.
凸n角形をその全ての対角線によっていくつかの小多角形に分割したとき, 小多角形の個数としてありうる最大値を, nの式で表せ.

54:１３２人目の素数さん
15/06/03 17:03:57.79 tA8LQoZR.net
(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)/24　かな？

55:１３２人目の素数さん
15/06/03 17:50:39.91 4qlGfN1X.net
nが奇数のとき、(n-1)(n-2)(n^2-3b+12)/24

56:１３２人目の素数さん
15/06/03 17:51:59.01 4qlGfN1X.net
訂正
奇数のとき、(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)/24
>>54と同じだった．．．

57:１３２人目の素数さん
15/06/03 17:57:16.64 4qlGfN1X.net
偶数のとき、1/24 (n^4-6 n^3+23 n^2-54 n+72)

58:１３２人目の素数さん
15/06/03 18:58:25.16 MHyXHGHf.net
>>54 が正解

59:１３２人目の素数さん
15/06/03 20:01:26.09 4qlGfN1X.net
>>58は不正解
n=6のときは24

60:１３２人目の素数さん
15/06/03 21:43:20.50 MHyXHGHf.net
>>59 は不正解
六角形の3本の対角線が1点で交わらないようにすれば25

61:１３２人目の素数さん
15/06/03 21:51:53.69 MHyXHGHf.net
>>60
無論頂点以外で

62:１３２人目の素数さん
15/06/03 22:19:26.59 DLQt16A/.net
むしろ正ｎ角形の場合はどうなるんだ？

63:１３２人目の素数さん
15/06/04 00:05:41.35 DlD1fgXL.net
>>62
www-math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf

64:１３２人目の素数さん
15/06/04 00:10:22.67 DlD1fgXL.net
>>62
すまん
the number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon
っていう名のpdfがあるから検索してくれ

65:62
15/06/04 07:57:49.04 5CVBYIht.net
>>63-64 ありがとう
導入だけ読んでみたけど、けっこう面白いな
正奇数角形では、中心以外の点で３本以上の対角線が交わることがない
中心以外の点で８本以上の対角線が交わることがない
交点数は mod 2520 で場合分けされた多項式で表わせる、など

66:１３２人目の素数さん
15/06/04 09:47:21.93 DlD1fgXL.net
(1)n!がn^2+1で割り切れるような正の整数nが無限に存在することを示せ.
(2)n!+1が2nより大きな素数で割り切れるような正の整数nが無限に存在することを示せ.

67:１３２人目の素数さん
15/06/04 10:18:28.83 VK5AHYCS.net
最大値、1+C[n,2]-n+C[n,4]=(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)/24

68:１３２人目の素数さん
15/06/04 11:37:55.53 VRhXXN4e.net
>>65
その議論の中で全ての三重点（３本以上の対角線が交わる点）が特定されることから
全ての整角四角形を特定できる。

69:１３２人目の素数さん
15/06/08 10:00:02.69 SYFaGsUd.net
「フィボナッチ時計」現る　時刻をフィボナッチ数の正方形で表現
URLﾘﾝｸ(www.itmedia.co.jp)

70:１３２人目の素数さん
15/06/08 14:18:26.14 kPVANlDn.net
サゲ

71:１３２人目の素数さん
15/06/08 18:02:19.48 tVQ59KCQ.net
各桁に0,1,2,3,4,5,6,7,8,9がいずれも等しい回数現れるような2015の倍数が無限個存在することを示せ

72:１３２人目の素数さん
15/06/08 23:21:01.18 C27RTUbC.net
2015=5×13×31
a=987654321098765432109876543210は5の倍数
1,10^30,10^60,... という長さ13×31の列の和bは13×31の倍数
abは2015の倍数
abは問題の条件を満たす
abを何回も繰り返した数も条件を満たす
このような数が無限に存在する

73:１３２人目の素数さん
15/06/09 13:49:00.57 T0GLx/6H.net
2^n+n=m!を満たす正の整数の組(m,n)を全て求めよ.

74:１３２人目の素数さん
15/06/09 23:44:26.68 C9PCsexr.net
m=4のとき、m!=24 は 2^3=8 の倍数。
2^n+n=m! が成り立つとすると、2^n+n は 2^3=8 の倍数。n自体が 2^3=8 の倍数。
すると 2^n+n は最低でも 2^8+8=264>24。関係式は成り立たない。
m≧5のときも同様
あとは m=1,2,3 の場合を考えれば n=2,m=3 でのみ成立

75:１３２人目の素数さん
15/06/10 00:24:56.38 7AH0/qSj.net
m!は2^kを因数に持つけど、kをmで表すことってできる？

76:１３２人目の素数さん
15/06/10 00:43:27.74 tY3zLt2n.net
k=[m/2]+[m/4]+[m/8]+[m/16]+…
（[]はガウス記号）
とかですかね
これから
(m-1)/2 ≦ k < m
が言える。（下はもう少しいい評価があるかも）

77:１３２人目の素数さん
15/06/10 00:53:05.27 bFulPhM4.net
73を解くのにあたってって話なら
4は2^2の倍数
それ以外の偶数は2の倍数って考えて
「m!の中の2の因子の数は最低でもこれ以上」っていう評価をすれば
じゅうぶんみたい

78:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:17:10.16 bGUttT8X.net
ちょっと出題してみる。経験的に初学者がやりがちなミスについての問題だけど、お前らは大丈夫だよな？
問：S大学数学科1年生のT君は、以下の定理を次のように証明した。
定理　ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）＝ｆ（P_1∨P_2）
（証明）
ｂ∈ｆ（P_1∨P_2）　（1）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1∨P_2）　（2）
⇔a∈P_1∨P_2　（3）
⇔a∈P_1またはa∈P_2　（4）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはa∈ｆ（P_2）　（5）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（6）
⇔ｂ∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（7）
（ただし、証明中の∨はcopを表している。）
（1）この定理は確かに正しいのだが、T君の証明には致命的な欠陥（誤り）がある。それはどの部分か。理由を含めて指摘せよ。
（2）T君の証明を正しく訂正せよ（誤っている部分のみでよい）。
（3）（2）に適切な証明を補い、定理の証明を完成させよ。

79:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:22:33.65 bGUttT8X.net
>>78補足
ｆは集合Aから集合Bへの写像であり、a∈A、ｆ（a)=b∈Bとする。

80:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:24:49.45 bGUttT8X.net
すいません訂正です。
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはa∈ｆ（P_2）　（5）
　訂正　→　⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはｆ（a）∈ｆ（P_2）　（5）

81:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:26:02.12 wfdOlE04.net
aを実数とします。縦1/a，横aの長方形があるとして，その面積は１です。
しかし，ここでaを∞にすると，長方形は直線になりますが，直線には面積
がないにもかかわらず，面積１があることになってしまいます。これはどういう
ことなのでしょうか。

82:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:35:03.48 bGUttT8X.net
>>81
長方形の面積をS（a）＝1/a * aとする。
この定義域は（0、∞）であるため、a=∞である場合にはこの式をそのまま用いてはならない。
そこで極限を利用するものとし、ロピタルの定理によれば、
lim[a→∞]S(a)（不定形）＝lim[a→∞]S’（a）＝-1/∞＝0
となり、直観に合う。

83:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:45:55.24 wfdOlE04.net
意味が通らない。普通微分の世界では，h/hはh→∞の場合も１で
扱うことになっているから，a/aはa∞でも１である。これを否定するなら
微分を否定することになる。

84:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:49:33.06 FCTGdr8N.net
「長方形は直線になります」が間違いなだけ

85:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:53:42.28 wfdOlE04.net
半直線でもない，無限に長い直線になることは明らかである

86:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:54:40.44 wfdOlE04.net
直線とは，縦の長さが∞で，横の長さが０であるものである

87:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:55:04.31 3LGTbrht.net
>>78
>>79、>>80　を全部まとめて、　T　君の示した証明を”正確”に書き写すべし。

88:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:55:38.31 3LGTbrht.net
>>85
ならない。

89:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:57:23.86 bGUttT8X.net
>>83
お前の普通が普通じゃないだけ
h/hがh→∞のとき1っていうのは定義でもなんでもない。状況による
そうでないって言うなら証明しろ。
h/hの形で表される関数はh→∞において常に1である

90:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:59:04.50 QtO61PaI.net
へんなのが湧いてきた

91:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:02:33.19 kvq6G/61.net
超函数と似てる。

92:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:02:39.28 bGUttT8X.net
>>87
（T君の示した証明）
ｂ∈ｆ（P_1∨P_2）　（1）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1∨P_2）　（2）
⇔a∈P_1∨P_2　（3）
⇔a∈P_1またはa∈P_2　（4）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはｆ（a）∈ｆ（P_2）　（5）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（6）
⇔ｂ∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（7）
各行末の（　）は式番号を表しています。
証明の形式が一般的なものと外れているという問題ではなくて、
あからさまにおかしな点が一か所存在していますので、
それを式番号で指摘し、おかしい理由を説明してください。
（2）、（3）はこの定理に馴染みがない人のための補足のようなものですので、
別段興味がわかなければやらなくてもいいです。

93:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:21:42.97 wfdOlE04.net
aを無限大にしていくと，直線に「なる」ことは明白である

94:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:26:47.17 bGUttT8X.net
>>93
うだうだ言ってないではやく>>83にある普通とやらを微分の定義から証明しろ
それができないなら消えろ

95:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:28:54.63 3LGTbrht.net
>>92
「式番号」というよりは　「⇔が成立していない箇所」というべきか。

96:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:30:13.81 3LGTbrht.net
>>93
ならない。
aがどれほど大きくなろうとも、そこにあるのは一辺がaもう一辺が1/aの長方形である。

97:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:36:37.66 bGUttT8X.net
>>95
確かに、この問題についてはその認識で間違っていませんね。
細部を直せば証明が合うというものではなく、この議論だけでは不十分である
ということを指摘していただきたいです。

98:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:44:39.82 3LGTbrht.net
T君の頭のなかでは
任意のX⊂Aに対して　X=f^(-1)(f（X))　となっているようなので
それを使った箇所は全て間違い。

99:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:58:47.37 bGUttT8X.net
>>98
「逆”対応”はもとの集合に一致する」は明らかに真ですので、
正解は分かっていると思うんですが、その解答は誤りです。
その解答を正しく訂正すると、
∀a∈Aに対してf:a│→f(a)＝ｂならばｆ^（-1）：ｂ＝ｆ（a）│→aが誤りです。
つまりおかしいのは（5）で、例えばｆ（a）=f（a'）∈ｆ（P_2）であるときに
a∈P_2は成り立たないということを指摘すべきでした。
>>98さんは写像ｆにどのような条件が成り立てば元の証明が成り立つかということについて
考察し、集合に関する理解を深めてください。

100:１３２人目の素数さん
15/06/12 00:04:31.41 GlaDXgea.net
>>99
間違い。

101:１３２人目の素数さん
15/06/12 00:05:53.41 bcUTKLj5.net
(2)⇔(3)も間違いだよ。

102:１３２人目の素数さん
15/06/12 00:09:58.41 d0ufml/3.net
>「逆”対応”はもとの集合に一致する」は明らかに真
語弊がありました。つまり
ｂ∈Γ（a）⇔a∈Γ^（-1）（ｂ）
逆対応の定義によりこれが成り立つので、Aの任意の部分集合Xに対する写像ｆによる像の集合をｆ（X）とすれば
b∈ｆ（X）⇔a∈f^(-1)(f（X))
したがって、a∈f^(-1)(f（X))⇔a∈Xが確かに成立します。

103:１３２人目の素数さん
15/06/12 00:12:52.05 d0ufml/3.net
>>101
すいません確かにそうでした。
⇔∃a∈P_1∨P_2　（3）
（これが最適とは言えませんが）せめてこうするべきですね。
（すなわち、ｂ＝ｆ（a）を満たすaが存在して、の意）

104:１３２人目の素数さん
15/06/12 00:19:33.30 bcUTKLj5.net
>>102
A={1,2}、B={1}、X={1}⊂A、ｆ：A→B　をf(1)=f(2)=1　とすれば
f^(-1)(f(X))={1,2}=A　であり　　明かにX≠f^(-1)(f(X))

105:１３２人目の素数さん
15/06/12 00:37:04.12 d0ufml/3.net
>>104
大変申し訳ありませんあなた様の御認識が正しくてわたくし目の節操のない
意見未満の戯言がすべて間違っています。
ご高説を参考にわたくし目の大変見苦しい証明を訂正いたしますと、
a∈X⇒a∈f^(-1)(f（X))
こうですね。
したがってX⊂f^(-1)(f（X))

106:１３２人目の素数さん
15/06/12 00:42:10.83 d0ufml/3.net
何度も書き込みして大変申し訳ないのですが、>>104様ありがとうございました。
具体的に考えてみればすぐに分かることとはいえ、長年勘違いしていたらしく、
恥ずかしい限りです。できれば貝になりたいです。
300年ROMります。

107:１３２人目の素数さん
15/06/12 01:12:17.78 bcUTKLj5.net
これで思い出した。
しばしば初心者が間違いに気付かないところ。
空でない集合A、B、写像ｆ：A→B、部分集合Y⊂Bに対して
（真）命題：　f(f^(-1)(Y))⊂Y
（嘘）証明
任意のy∈f(f^(-1)(Y))をとればあるx∈f^(-1)(Y)があってy=f(x)。
f^(-1)の定義とxの取り方から　f(x)∈Y　これより　y∈Y
即ち　f(f^(-1)(Y))⊂Y。

108:１３２人目の素数さん
15/06/12 01:38:18.11 d0ufml/3.net
>>107
先生、これはどこがまずいんですか？
∀x(f(x)＝y)、f(x)∈Yはほぼ自明に成り立っていると思うのですが。

109:１３２人目の素数さん
15/06/12 04:06:22.05 d0ufml/3.net
あるxがあってy＝……の順序が逆なんですかね。
間違いと言うより書き方の問題のような気がしますが。
ろm言った後にしゃしゃってすみません。
>>107の等号成立条件は何か、という問題を置いて今度こそ去ります

110:１３２人目の素数さん
15/06/12 19:02:34.86 Baaq2w5d.net
>>107は釣り

111:１３２人目の素数さん
15/06/12 20:20:24.55 bcUTKLj5.net
>>108
f^(-1)(Y)=φのときを別に言っておかなければならない。

112:１３２人目の素数さん
15/06/12 20:21:59.81 Baaq2w5d.net
>>111
するとあなたは φ⊂A をどうやって証明すると思ってるの

113:１３２人目の素数さん
15/06/12 21:35:06.49 bcUTKLj5.net
釣りと言ったからには何かを言わなきゃ、ね

114:１３２人目の素数さん
15/06/12 21:42:06.44 Baaq2w5d.net
何を言ってるんだ

115:１３２人目の素数さん
15/06/13 00:38:40.24 qxL5Q/0+.net
v^3空間中にx軸、y軸をそれぞれ軸としてz軸方向に進行するコサインカーブ
E_x=A_xcos(k_0z-ωt)
E_y=A_ycos(k_0z-ωt)
を考える。軸上の任意の点からE_x、E_yに垂直な方向でそのz座標における各関数値と
同じ大きさを持つベクトルe_xおよびe_bを取り、そので表現されるベクトルの集合を考える。
z軸正方向無限遠点に立ち、xy平面を見るとき、このベクトルによってどのような軌跡が描かれるか。
また、E_y=A_ycos(k_0z-ωt-π/2)のときはどうか。
ただし A_x、A_y、k_0、ωは比例定数であり、考察上1と置いても構わない。

116:１３２人目の素数さん
15/06/13 00:42:07.76 qxL5Q/0+.net
>>115
……を、それぞれ軸として～は間違い。
軸はz軸に固定されていて、いわゆる振幅の方向がそれぞれx、yです。
数学ではあまり扱わない話題ですが、ぜひどうぞ。

117:１３２人目の素数さん
15/06/13 00:44:18.82 qxL5Q/0+.net
5行目、e_bはe_yに訂正。
その直後のそのではその和でに訂正。

118:１３２人目の素数さん
15/06/13 05:11:04.60 QxkJCEZQ.net
無駄に長い文章で読む者をヒかせるが、要するに
(x,y)=(A_xcos(k_0z-ωt),A_ycos(k_0z-ωt)),z∈実数
の軌跡を各 t ごとに求めよってことでしょ。
そう言えば簡単じゃない。

119:１３２人目の素数さん
15/06/13 17:29:00.06 qxL5Q/0+.net
>>118
前半はそうなんですが、後半はベクトル和であることで単なる軌跡ではない
ある特別な性質が見られるのです。
(数学ではありませんが)物理学的に重要なので、あえてまどろっこしい言い方をした次第です。

120:１３２人目の素数さん
15/06/13 22:19:15.17 QxkJCEZQ.net
>>119
物理方面の人は、ベクトルとか行列とかに
あらぬ感傷を抱きがちだけれど、ベクトルは
ベクトルに過ぎず、それ以外の意味は無い。
この問題の場合、「ベクトル和」は
x e_x + y e_y を構成しているだけだから、
単に (x,y) が直交座標になるだけ。
文系のロマンは、ここでは必要ない。

121:１３２人目の素数さん
15/06/13 22:31:30.86 qxL5Q/0+.net
>>120
ベクトル和の集合ですよ。
余弦波の変域がx、yの各定義域になりますので、当然直交座標にはなり得ません。
>ベクトルはベクトルに過ぎず～
位置ベクトルが指し示す座標の集合、と言い換えます。
恐らくは>>118の、単なる軌跡ではない、に引きづられているのかと思いますが、
これについては説明が不足していますのでお詫びして訂正します。
各点をzの値によって添数付けて、その順序を追って見てください。
すると軌跡上の各点に対して変化の方向を定義できます。
これが、例えば問題後半の-π/2を-3π/4としたときに
軌跡としては同じなのですが、実質的な大きな違いとして現れます。面白いですよ。

122:１３２人目の素数さん
15/06/13 23:25:10.90 QxkJCEZQ.net
ああ、e_x, e_y は定ベクトルではないのか、
それはすまなかった。しかし、
＞軸上の任意の点からE_x、E_yに垂直な方向で
＞そのz座標における各関数値と同じ大きさを持つ
＞ベクトルe_xおよびe_y
は、意味不明だな。言葉でうまく書けないなら、
式で定義したほうが伝わるんじゃないかね？

123:１３２人目の素数さん
15/06/13 23:41:28.88 qxL5Q/0+.net
>>122
そうですねえ……
すぐに定式化とはいかないのでやはり言葉での説明なのですが、要するに
あるz軸上の値を決めたときに最初に挙げた二つの関数が取る値をx、yとして、
これをそのz軸上の値における座標(x、y)としてxy平面にプロットする訳です。
そうするとxy平面にはzで添数づけられた連続なグラフのようなものが描けるはずなので、それを求めてください。

124:１３２人目の素数さん
15/06/13 23:55:31.45 qxL5Q/0+.net
問題（修正版）
V＾3空間においてｚ軸を変位中心とし、ｘ、ｙ軸に垂直な方向に変位する2つの余弦関数、
E_x=cos(z)、E_y=cos(z-φ)
を考える。あるｚにおける各関数の値をそれぞれｘ、ｙとし、
ｚにより添数づけられた座標（ｘ、ｙ）としてｘｙ平面にプロットするとき、
ｘｙ平面上の軌跡を求めよ。
ただし、関数中におけるφは初期位相を表しており、
今回は特にφ＝0、π/4、π/2、3π/4のいずれかであるものとする。
また、描かれた軌跡について添数ｚの値による変化の方向を調べ、
一方向に定まる場合には、それも併記すること。

125:１３２人目の素数さん
15/06/14 00:05:53.44 ovwdE92/.net
ああ、リサージュ曲線のこと話してたの
説明下手すぎでしょ…
最初の問題文のように下手な文章でわざわざ遠回しに表現する意味あったの？

126:１３２人目の素数さん
15/06/14 00:10:38.56 nchbPgqM.net
理紗汁

127:１３２人目の素数さん
15/06/14 00:28:15.70 yvZpfH/+.net
>>125今解いてきたけどリサージュ曲線じゃなくね？
0とπ/2のときはとりあえず直線になるね
π/4は円か？3π/4はまだやってない

128:１３２人目の素数さん
15/06/14 00:33:23.67 yvZpfH/+.net
すまん紛れもなくリサージュ曲線だったわ

129:１３２人目の素数さん
15/06/14 00:44:42.42 x/eXaC3E.net
lissajous はリサジューと発音するんじゃね？

130:１３２人目の素数さん
15/06/14 00:47:22.00 yhbaX4/I.net
/ˈlɪsəʒuː/だそうです

131:１３２人目の素数さん
15/06/14 00:54:35.85 yvZpfH/+.net
>>130アクセントは？

132:１３２人目の素数さん
15/06/14 01:02:56.17 yhbaX4/I.net
第一音節です
かと思ったんですけど、元はフランス語なんですね
/lisaʒu/
フランス語にアクセントはないっぽいので、リサジュみたいな感じなんでしょうか

133:１３２人目の素数さん
15/06/14 01:03:00.80 GhoEuWAe.net
>>124
なんで3次元なの？

134:１３２人目の素数さん
15/06/14 01:04:45.60 yhbaX4/I.net
問題を複雑にするためだと思います

135:１３２人目の素数さん
15/06/14 01:09:17.92 ovwdE92/.net
そこは分かれよ
振動面の直交する電磁波の重ね合わせを定点観測する状況のことでしょ

136:１３２人目の素数さん
15/06/14 01:37:37.90 yvZpfH/+.net
>>135
物理どうのこうのだから多分それだよな
初期位相を変えるのは偏光のことを指していると思われ

137:１３２人目の素数さん
15/06/14 02:05:56.19 OzMn4BdF.net
黒４個、白４個、赤４個を円形に繋いでネックレスを作る方法をエレガントに求めよ。
同色の玉は見分けがつかず、回転や裏返しで一致する繋ぎ方は同じものと見做す。

138:１３２人目の素数さん
15/06/14 03:22:07.16 yV4TcWxT.net
宿題は自分でやれ

139:１３２人目の素数さん
15/06/14 05:13:55.99 OzMn4BdF.net
>>138
まぁやってみろよ。

140:１３２人目の素数さん
15/06/14 09:24:00.27 Imd90ide.net
ただの数珠順列やん。

141:１３２人目の素数さん
15/06/14 09:28:00.96 r3//wh8S.net
>>123-125
なんだ。結局>>118でよかったのか。
簡単なことは、簡単にすまそうよ。

142:１３２人目の素数さん
15/06/14 10:56:06.46 OzMn4BdF.net
>>140
いかに上手に計算するかが問題なんだけどな。

143:１３２人目の素数さん
15/06/14 11:26:20.13 r3//wh8S.net
>>137 >>140 >>142
この問題だと、
裏返して重なる
が面倒だよね。

144:１３２人目の素数さん
15/06/14 11:42:56.16 0jPi0lqx.net
バーンサイドの定理

145:１３２人目の素数さん
15/06/14 11:48:33.06 iM/KqZS8.net
お前ら問題をよく読めよ。求めるのはネックレスを作る方法だぞ。
手芸板とかの方がいいんじゃないか？
そんなのあるのかどうか知らんけど。

146:１３２人目の素数さん
15/06/14 17:13:57.01 yvZpfH/+.net
>>141
他のレスも読んだらどうだ

147:１３２人目の素数さん
15/06/15 12:18:46.06 wIc3lRqX.net
>>137
答えは？

148:１３２人目の素数さん
15/06/15 14:02:26.11 jTvzDREJ.net
>>137
719

149:１３２人目の素数さん
15/06/15 14:13:39.05 1SLeoFUz.net
冗談は芳江さん

150:１３２人目の素数さん
15/06/15 22:59:41.61 w9Nq94Ln.net
7×7のマス目のいくつかのマスの中心に、以下の条件を満たすようにゴマを1つ置く。
条件：置かれたゴマのうちのどれか4つを頂点とする長方形で、その辺がマス目の辺に平行なものができてはならない。
最大でいくつゴマを置くことができるか。

151:１３２人目の素数さん
15/06/15 23:11:35.53 O9+dQNu/.net
なんか日本語おかしいよ

152:１３２人目の素数さん
15/06/16 00:24:40.43 fqscTCpW.net
>>137
最初地道にやった結果と、
wikipediaの「バーンサイドの補題」を参考にしてやった結果が一致したから
合ってるかな
1493通り

153:１３２人目の素数さん
15/06/16 00:43:12.01 fqscTCpW.net
>>150
7列からどの２列を選んで重ねても、ゴマのあるマスが２箇所以上重なることがない
という条件なので、多分21個。
例：
(1,1)(1,2)(1,3)
(2,1)(2,4)(2,5)
(3,1)(3,6)(3,7)
(4,2)(4,4)(4,6)
(5,2)(5,5)(5,7)
(6,3)(6,4)(6,7)
(7,3)(7,5)(7,6)

154:１３２人目の素数さん
15/06/16 01:14:16.63 H1/I840P.net
>>152
俺も地道に計算して1493通りになったんだけど、ネットで見つけた問題の模範解答は違っていた…
どう思う？
URLﾘﾝｸ(www.y-sapix.com)

155:１３２人目の素数さん
15/06/16 03:30:19.03 fqscTCpW.net
>>154
そのsapixの解答は、明らかに間違ってるな。
(C)以外の(A)の場合と、(D)以外の(B)の場合において、上下反転をダブルカウントしてる。
実際は、(A)も(B)も
(90-3!)/2+3で45通りなので
45*2+(2896-45*2)/2=1493
が正解。
そりゃ「優秀賞に値する答案はいただけませんでした」になるわな（苦笑）
その間違った模範解答をエスパーするのは無理。
sapix大丈夫？

156:１３２人目の素数さん
15/06/16 03:36:36.67 fqscTCpW.net
（それ、最終回の問題だったのか…とんだ有終の美だな…）

157:１３２人目の素数さん
15/06/16 03:57:44.00 H1/I840P.net
やはり間違っていたようですね。安心した。
2007年頃に塾のバイトしていたときに、m色n個ずつの円順列や数珠順列を
(m、n)=(2、4)、(3、3)、(3、4)の場合を出題したことがあったんだけど、
当時の解答の手書きメモと、最近ネットで見かけたsapixの解答が違っていて>>137に書いた次第。
ちなみに私の解法は黒玉の連続する個数で５通りに場合分けして、エレガントとは程遠い解法でしたが…。

158:１３２人目の素数さん
15/06/16 05:24:18.29 goQtvF3x.net
プログラムでカウントさせたところ、1493通りでした。
ちなみに、色を入れ替えて一致するものも同一視すると297通り

159:１３２人目の素数さん
15/06/16 06:06:45.29 H1/I840P.net
>>158
ありがとうございます。プログラムはご自分で作られたのですか？
模範解答と答えが違うとき、まず自分を疑ってしまいがちですが、こんなこともあるのですね。

160:１３２人目の素数さん
15/06/16 08:49:30.12 deTZhkJL.net
>>159
こんな感じのもので確かめました。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)

161:１３２人目の素数さん
15/06/16 13:35:34.98 TmgIPwFn.net
誰か>>18 >>40 >>66の解き方教えて

162:１３２人目の素数さん
15/06/16 21:57:51.55 LTpWN3vT.net
>>66 (1)は解けた
(50k^2+20k+2)^2+1=5(10k^2+6k+1)(50k^2+10k+1)
よりn=50k^2+20k+2(k≧1)のときn!はn^2+1で割り切れる
(2)は素数pが4n-1型のとき、((p-1)/2)!≡±1 (mod p) になることまでは分かったが…

163:１３２人目の素数さん
15/06/17 01:20:30.74 QCqizCQx.net
>>155-157
あまり責めないでやれ。
SAPIXというと、ある年代以降の生まれの人には
絶大な信用があるが、
要するに代ゼミだよと言えば、ある年代以前の人なら
多くを期待すべき相手でないことが解る。
M&Aは、ブランド名のロンダリングでもある。

164:１３２人目の素数さん
15/06/18 09:44:50.83 XPs4xt6p.net
2015個の連続する正の整数からなる列であって, ちょうど155個の素数を含むようなものが存在することを示せ

165:１３２人目の素数さん
15/06/18 11:26:36.76 pAuqikyi.net
>>164
nからn+2014までの自然数のうち素数の個数をf(n)とおくと、
f(1)=305であり、
素数定理などから、明らかにf(N)<155となるNが存在する。
ここで、任意の自然数nについて、
f(n+1)-f(n)は、1,0,-1のいずれかなので、
f(n)=155，1<n<Nを満たすnが存在する。
定義域が整数である場合の中間値の定理のようなものですな。
本当はf(N)<155となるNの具体例を示したかったのだが、
いきなりf(500000)=155となることを見つけてしまったので^^;

166:１３２人目の素数さん
15/06/18 19:54:40.67 /w4mTADd.net
>>165
f(N)<155となるNの存在をいうだけなら素数定理を持ちださなくても
あきらかにf(2016!+2)=0だよね

167:１３２人目の素数さん
15/06/19 18:55:13.73 n/Pn+0sj.net
>>40は上手くいきそうでいかない
「六角形」の辺を適当に結んで平行云々でパスカルの逆、って流れだと
いまいち綺麗にできない（場合分けが下手？）
数式に持ち込んでもごちゃごちゃ
前提条件が妙に強いからサクッとできるのだろうが

168:１３２人目の素数さん
15/06/21 14:51:11.58 eRDPXgWJ.net
>>66 (2)
まず, 条件を満たすnを具体的に構成する方法を示す.
kを3以上の奇数とする. k!+1は奇数なのでp|(k!+1)である奇素数pが存在する.
k!+1は1,2,...,kで割り切れず, またk,pはともに奇数なのでp-1>k
ここで, ウィルソンの定理より(p-1)!≡-1(mod p)なので,
-1≡(p-1)!
≡k!*(k+1)*...*(p-1)
≡(-1)*(k+1)*...*(p-1)
≡(-1)^(p-k)*(p-k-1)!
≡(p-k-1)! (∵p-kは偶数)
よってp|((p-k-1)!+1)
k+(p-k-1)=p-1<pより, kかp-k-1の一方はp/2より小さい.
その小さい方をnとすれば, p|(n!+1)かつ2n<pが成り立つので, このnは条件を満たす.
次に条件を満たすnが無限個存在することを示す.
条件を満たすnとして n_1,n_2,...,n_m が与えられたとき, そのいずれとも異なるn_(m+1)が存在して条件を満たすことを示せばよい.
(n_1)!+1,(n_2)!+1,...,(n_m)!+1の素因数全体の集合をPとする.
Pの元のいずれよりも大きな3以上の奇数kをとり, 上記の構成法に従ってp,nを定める.
このときp>kよりp∉Pなので, nはn_1,n_2,...,n_mのいずれとも異なる.
よってn=n_(m+1)とすればよい. 以上より示された.

169:１３２人目の素数さん
15/06/21 14:59:56.59 eRDPXgWJ.net
正の整数からなる集合Aは次の条件(i),(ii),(iii)を全て満たす：
条件(i)：Aは3個以上の元を持つ
条件(ii)：a∈Aかつ d|a (d>0)ならばd∈A
条件(iii)：a, b∈Aかつ1<a<bならば1+ab∈A
このとき, Aは全ての正の整数を含むことを示せ.

170:１３２人目の素数さん
15/06/22 20:30:45.44 pYzkOfH1.net
>>169
条件より1<a<bなるa,bが存在して1,a,b,ab+1∈A
a,b,ab+1のうち少なくとも1つは偶数なので2∈A
よって2b+1,2(2b+1)+1∈A
b,2b+1,2(2b+1)+1のうち少なくとも1つは
3の倍数であるかまたは6で割った余りが2
前者の場合3∈A
後者の場合6k+2∈Aとして
3k+1∈A
2(3k+1)+1=3(2k+1)∈A
よって3∈A
ここまでで1,2,3∈Aが示せたので4,5∈Aもいえる
ここでn(≧5)以下の正整数が全てAに属すると仮定する
nが偶数のとき2<n/2∈Aよりn+1∈A
nが奇数のとき2<(n+1)/2∈Aよりn+2∈A
よってn(n+2)+1=(n+1)^2∈Aよりn+1∈A
以上よりAは全ての正整数を含む

171:１３２人目の素数さん
15/06/22 21:01:14.59 pYzkOfH1.net
>>170
抜けがあったので訂正
＞b,2b+1,2(2b+1)+1のうち少なくとも1つは
＞3の倍数であるかまたは6で割った余りが2
b≡5(mod 6)の場合これは成り立たないが
このときはb(2b+1)+1≡2(mod 6)がAに属するので
「後者の場合」に帰着する

172:１３２人目の素数さん
15/06/22 21:16:09.10 pYzkOfH1.net
＞よって2b+1,2(2b+1)+1∈A
＞b,2b+1,2(2b+1)+1のうち少なくとも1つは
よって2b+1,b(2b+1)+1∈A
b,2b+1,b(2b+1)+1のうち少なくとも1つは
とすればいいだけだった…

173:１３２人目の素数さん
15/06/23 05:42:15.74 bZvTLbCC.net
>>169の条件(iii)を改変したバージョンも解けたので問題として出しておく
正の整数からなる集合Aは次の条件(i),(ii),(iii)を全て満たす：
条件(i)：Aは3個以上の元を持つ
条件(ii)：a∈Aかつ d|a (d>0)ならばd∈A
条件(iii)：a, b∈Aかつ1<a<bならばab-1∈A
このとき, Aは全ての正の整数を含むことを示せ.

174:１３２人目の素数さん
15/06/23 23:32:20.59 rY+w350S.net
どことなくコラッツの問題に似てるから
実は解くのが難しいとかそういう話なのかと思ったら
解けるのか

175:１３２人目の素数さん
15/06/25 21:00:57.54 35Y69c7I.net
表裏の出る確率が均等でないコインが1枚ある。
これを繰り返し投げて出た結果によって、確率1/2の試行を実現したい。
投げる回数の期待値を最小にするにはどうすればいいか。

176:１３２人目の素数さん
15/06/25 22:22:23.83 2yBiznPm.net
右手か左手に表裏の出る確率が均等でないコインを隠し、選んで貰う

177:１３２人目の素数さん
15/06/26 10:13:21.94 5yy/K2nU.net
>>175
最初「期待値」の意味がわからなかったけど、例えばこういうことかな。（これが期待値最小かどうかはおいといて）
判定結果は○／×で表すものとします。
偶数回目のみにチェックポイントを設け、以下の判定を行う。
そこまでに投げた回数をN=2^n*a（aは奇数、nは正の整数）とする。
次の判定を、決着がつかない限り、k=1からnまで順に繰り返す。
・N回目とN-2^(k-1)回目のコインの表裏が異なる場合、N回目は表なら○、裏なら×で決着。そうでない場合は決着せず。
有限回数で必ず決着する手段が存在しない以上、「ある条件を満たせば決着」という手法を考え
その条件に至るまでの回数の期待値ってのが問題になるわけね

178:１３２人目の素数さん
15/06/26 10:42:50.12 5yy/K2nU.net
さっきの >>177 の判定の意味がわかりにくいので補足。
基本となる手法は以下
　偶数回目のみチェックする。
　直前の２回が「裏表」なら○、「表裏」なら×で決着
　それ以外は、その回では決着せず

この手法では、決着せずに試行を繰り返さないといけないケースは
２回ずつまとめてみると「表表」もしくは「裏裏」のパターンのみをくりかえす場合。
その決着しないケースをなるべく救済するために、今度は4の倍数回にチェックポイントを設け
直前４回が「裏裏表表」なら○、「表表裏裏」なら×とする。
この手法を追加しても、決着せずに試行を繰り返さないといけないケースは
４回ずつまとめてみると「表表表表」もしくは「裏裏裏裏」のパターンのみをくりかえす場合。
それををなるべく救済するため、8の倍数回にチェックポイントを設け
直前８回が「裏裏裏裏表表表表」なら○、「表表表表裏裏裏裏」なら×とする。
（以下略）
というのをまとめた結果。

179:１３２人目の素数さん
15/06/26 12:09:01.54 IIy/cicI.net
1/2を期待できる方法（小道具を使うが、１回で完了）
コインの表を偶数、裏を奇数に対応づけ、コインを振り、止まった瞬間に時計の秒針を見て
偶数か奇数かをチェック。コインの偶奇と一致するかどうかで判定
ほぼ1/2を期待できる方法
でやすい面を表、でづらい面を裏と表すこととし、表のでる確率をpとする
コインを繰り返し振り、n回目の裏がでたのが、偶数回目だったか、奇数回目だったかで判定
確率pに対応して、下のようなｎを採用すれば、最大誤差1%程度になる。
0.99<p<1　なら、n=1で十分。
初めて裏がでるのが偶数回目となる確率＝p(1-p)+p^3(1-p)+...=p/(1+p)
初めて裏がでるのが奇数回目となる確率＝(1-p)+p^2(1-p)+...=1/(1+p)
0.8<p<0.99　なら、n=2辺りを用いる
二回目の裏がでるのが偶数回目となる確率＝(1-p)^2+C[3,1]p^2(1-p)^2+...=(1+p^2)/(1+p)^2
二回目の裏がでるのが奇数回目となる確率＝2p/(1+p)^2
0.6<p<0.8　なら、n=3辺り
３回目の裏がでるのが偶数回目となる確率＝3p(1-p)^3+C[5,2]p^3(1-p)^3+...=(3p+p^3)/(1+p)^3
３回目の裏がでるのが奇数回目となる確率＝(3p^2+1)/(1+p)^3
0.5<p<0.6　なら、n=4
４回目の裏がでるのが偶数回目となる確率＝(1-p)^4+C[5,3]p^2(1-p)^4+...=(p^4+6p^2+1)/(1+p)^4
４回目の裏がでるのが奇数回目となる確率＝(4p^3+4p)/(1+p)^3

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