面白い問題おしえて～な二十一問目

面白い問題おしえて～な二十一問目 at MATH

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50:１３２人目の素数さん
15/06/03 06:27:25.51 aO76Pz1F.net
平面上に相異なる2015個の点を, 以下の(i)(ii)をともに満たすように配置できることを示せ.
(i)全ての点が同一円周上にある
(ii)どの2点間の距離も整数

51:１３２人目の素数さん
15/06/03 10:29:42.56 +7SpCnec.net
>>50
tanα=3/4（0<α<π/2）とすると、
α/πは無理数。（←これは別途証明要）
単位円周上に点P_1をとり、
中心から見てP_kを反時計回りに角度2αだけ回転させた点をP_{k+1}とする（k=1,…,2014）
α/πが無理数であることから、P_1～P_{2015}は全て異なる点。
このとき、２点P_i，P_j間の距離は｜2sin(j-i)α｜となるが、
sinα，cosαがともに有理数であることから数学的帰納法により自然数nに対しsin(nα)は有理数なので
P_1～P_{2015}のどの２点間の距離も有理数となる。
このようにして得られた全ての２点間距離を既約分数で表したときの分母の最小公倍数をNとし、
半径Nの円周上に同様に角度2αずつ離れた2015個の点を取ると、条件を満たす。

52:１３２人目の素数さん
15/06/03 11:49:30.77 aO76Pz1F.net
>>51
tを十分大きな有理数で
tan α=2t/(t^2-1) (0<α<π/2014)
を満たすようにとれば「別途証明」不要

53:１３２人目の素数さん
15/06/03 11:55:27.40 aO76Pz1F.net
nを4以上の整数とする.
凸n角形をその全ての対角線によっていくつかの小多角形に分割したとき, 小多角形の個数としてありうる最大値を, nの式で表せ.

54:１３２人目の素数さん
15/06/03 17:03:57.79 tA8LQoZR.net
(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)/24　かな？

55:１３２人目の素数さん
15/06/03 17:50:39.91 4qlGfN1X.net
nが奇数のとき、(n-1)(n-2)(n^2-3b+12)/24

56:１３２人目の素数さん
15/06/03 17:51:59.01 4qlGfN1X.net
訂正
奇数のとき、(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)/24
>>54と同じだった．．．

57:１３２人目の素数さん
15/06/03 17:57:16.64 4qlGfN1X.net
偶数のとき、1/24 (n^4-6 n^3+23 n^2-54 n+72)

58:１３２人目の素数さん
15/06/03 18:58:25.16 MHyXHGHf.net
>>54 が正解

59:１３２人目の素数さん
15/06/03 20:01:26.09 4qlGfN1X.net
>>58は不正解
n=6のときは24

60:１３２人目の素数さん
15/06/03 21:43:20.50 MHyXHGHf.net
>>59 は不正解
六角形の3本の対角線が1点で交わらないようにすれば25

61:１３２人目の素数さん
15/06/03 21:51:53.69 MHyXHGHf.net
>>60
無論頂点以外で

62:１３２人目の素数さん
15/06/03 22:19:26.59 DLQt16A/.net
むしろ正ｎ角形の場合はどうなるんだ？

63:１３２人目の素数さん
15/06/04 00:05:41.35 DlD1fgXL.net
>>62
www-math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf

64:１３２人目の素数さん
15/06/04 00:10:22.67 DlD1fgXL.net
>>62
すまん
the number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon
っていう名のpdfがあるから検索してくれ

65:62
15/06/04 07:57:49.04 5CVBYIht.net
>>63-64 ありがとう
導入だけ読んでみたけど、けっこう面白いな
正奇数角形では、中心以外の点で３本以上の対角線が交わることがない
中心以外の点で８本以上の対角線が交わることがない
交点数は mod 2520 で場合分けされた多項式で表わせる、など

66:１３２人目の素数さん
15/06/04 09:47:21.93 DlD1fgXL.net
(1)n!がn^2+1で割り切れるような正の整数nが無限に存在することを示せ.
(2)n!+1が2nより大きな素数で割り切れるような正の整数nが無限に存在することを示せ.

67:１３２人目の素数さん
15/06/04 10:18:28.83 VK5AHYCS.net
最大値、1+C[n,2]-n+C[n,4]=(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)/24

68:１３２人目の素数さん
15/06/04 11:37:55.53 VRhXXN4e.net
>>65
その議論の中で全ての三重点（３本以上の対角線が交わる点）が特定されることから
全ての整角四角形を特定できる。

69:１３２人目の素数さん
15/06/08 10:00:02.69 SYFaGsUd.net
「フィボナッチ時計」現る　時刻をフィボナッチ数の正方形で表現
URLﾘﾝｸ(www.itmedia.co.jp)

70:１３２人目の素数さん
15/06/08 14:18:26.14 kPVANlDn.net
サゲ

71:１３２人目の素数さん
15/06/08 18:02:19.48 tVQ59KCQ.net
各桁に0,1,2,3,4,5,6,7,8,9がいずれも等しい回数現れるような2015の倍数が無限個存在することを示せ

72:１３２人目の素数さん
15/06/08 23:21:01.18 C27RTUbC.net
2015=5×13×31
a=987654321098765432109876543210は5の倍数
1,10^30,10^60,... という長さ13×31の列の和bは13×31の倍数
abは2015の倍数
abは問題の条件を満たす
abを何回も繰り返した数も条件を満たす
このような数が無限に存在する

73:１３２人目の素数さん
15/06/09 13:49:00.57 T0GLx/6H.net
2^n+n=m!を満たす正の整数の組(m,n)を全て求めよ.

74:１３２人目の素数さん
15/06/09 23:44:26.68 C9PCsexr.net
m=4のとき、m!=24 は 2^3=8 の倍数。
2^n+n=m! が成り立つとすると、2^n+n は 2^3=8 の倍数。n自体が 2^3=8 の倍数。
すると 2^n+n は最低でも 2^8+8=264>24。関係式は成り立たない。
m≧5のときも同様
あとは m=1,2,3 の場合を考えれば n=2,m=3 でのみ成立

75:１３２人目の素数さん
15/06/10 00:24:56.38 7AH0/qSj.net
m!は2^kを因数に持つけど、kをmで表すことってできる？

76:１３２人目の素数さん
15/06/10 00:43:27.74 tY3zLt2n.net
k=[m/2]+[m/4]+[m/8]+[m/16]+…
（[]はガウス記号）
とかですかね
これから
(m-1)/2 ≦ k < m
が言える。（下はもう少しいい評価があるかも）

77:１３２人目の素数さん
15/06/10 00:53:05.27 bFulPhM4.net
73を解くのにあたってって話なら
4は2^2の倍数
それ以外の偶数は2の倍数って考えて
「m!の中の2の因子の数は最低でもこれ以上」っていう評価をすれば
じゅうぶんみたい

78:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:17:10.16 bGUttT8X.net
ちょっと出題してみる。経験的に初学者がやりがちなミスについての問題だけど、お前らは大丈夫だよな？
問：S大学数学科1年生のT君は、以下の定理を次のように証明した。
定理　ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）＝ｆ（P_1∨P_2）
（証明）
ｂ∈ｆ（P_1∨P_2）　（1）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1∨P_2）　（2）
⇔a∈P_1∨P_2　（3）
⇔a∈P_1またはa∈P_2　（4）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはa∈ｆ（P_2）　（5）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（6）
⇔ｂ∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（7）
（ただし、証明中の∨はcopを表している。）
（1）この定理は確かに正しいのだが、T君の証明には致命的な欠陥（誤り）がある。それはどの部分か。理由を含めて指摘せよ。
（2）T君の証明を正しく訂正せよ（誤っている部分のみでよい）。
（3）（2）に適切な証明を補い、定理の証明を完成させよ。

79:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:22:33.65 bGUttT8X.net
>>78補足
ｆは集合Aから集合Bへの写像であり、a∈A、ｆ（a)=b∈Bとする。

80:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:24:49.45 bGUttT8X.net
すいません訂正です。
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはa∈ｆ（P_2）　（5）
　訂正　→　⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはｆ（a）∈ｆ（P_2）　（5）

81:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:26:02.12 wfdOlE04.net
aを実数とします。縦1/a，横aの長方形があるとして，その面積は１です。
しかし，ここでaを∞にすると，長方形は直線になりますが，直線には面積
がないにもかかわらず，面積１があることになってしまいます。これはどういう
ことなのでしょうか。

82:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:35:03.48 bGUttT8X.net
>>81
長方形の面積をS（a）＝1/a * aとする。
この定義域は（0、∞）であるため、a=∞である場合にはこの式をそのまま用いてはならない。
そこで極限を利用するものとし、ロピタルの定理によれば、
lim[a→∞]S(a)（不定形）＝lim[a→∞]S’（a）＝-1/∞＝0
となり、直観に合う。

83:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:45:55.24 wfdOlE04.net
意味が通らない。普通微分の世界では，h/hはh→∞の場合も１で
扱うことになっているから，a/aはa∞でも１である。これを否定するなら
微分を否定することになる。

84:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:49:33.06 FCTGdr8N.net
「長方形は直線になります」が間違いなだけ

85:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:53:42.28 wfdOlE04.net
半直線でもない，無限に長い直線になることは明らかである

86:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:54:40.44 wfdOlE04.net
直線とは，縦の長さが∞で，横の長さが０であるものである

87:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:55:04.31 3LGTbrht.net
>>78
>>79、>>80　を全部まとめて、　T　君の示した証明を”正確”に書き写すべし。

88:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:55:38.31 3LGTbrht.net
>>85
ならない。

89:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:57:23.86 bGUttT8X.net
>>83
お前の普通が普通じゃないだけ
h/hがh→∞のとき1っていうのは定義でもなんでもない。状況による
そうでないって言うなら証明しろ。
h/hの形で表される関数はh→∞において常に1である

90:１３２人目の素数さん
15/06/11 22:59:04.50 QtO61PaI.net
へんなのが湧いてきた

91:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:02:33.19 kvq6G/61.net
超函数と似てる。

92:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:02:39.28 bGUttT8X.net
>>87
（T君の示した証明）
ｂ∈ｆ（P_1∨P_2）　（1）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1∨P_2）　（2）
⇔a∈P_1∨P_2　（3）
⇔a∈P_1またはa∈P_2　（4）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはｆ（a）∈ｆ（P_2）　（5）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（6）
⇔ｂ∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（7）
各行末の（　）は式番号を表しています。
証明の形式が一般的なものと外れているという問題ではなくて、
あからさまにおかしな点が一か所存在していますので、
それを式番号で指摘し、おかしい理由を説明してください。
（2）、（3）はこの定理に馴染みがない人のための補足のようなものですので、
別段興味がわかなければやらなくてもいいです。

93:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:21:42.97 wfdOlE04.net
aを無限大にしていくと，直線に「なる」ことは明白である

94:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:26:47.17 bGUttT8X.net
>>93
うだうだ言ってないではやく>>83にある普通とやらを微分の定義から証明しろ
それができないなら消えろ

95:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:28:54.63 3LGTbrht.net
>>92
「式番号」というよりは　「⇔が成立していない箇所」というべきか。

96:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:30:13.81 3LGTbrht.net
>>93
ならない。
aがどれほど大きくなろうとも、そこにあるのは一辺がaもう一辺が1/aの長方形である。

97:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:36:37.66 bGUttT8X.net
>>95
確かに、この問題についてはその認識で間違っていませんね。
細部を直せば証明が合うというものではなく、この議論だけでは不十分である
ということを指摘していただきたいです。

98:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:44:39.82 3LGTbrht.net
T君の頭のなかでは
任意のX⊂Aに対して　X=f^(-1)(f（X))　となっているようなので
それを使った箇所は全て間違い。

99:１３２人目の素数さん
15/06/11 23:58:47.37 bGUttT8X.net
>>98
「逆”対応”はもとの集合に一致する」は明らかに真ですので、
正解は分かっていると思うんですが、その解答は誤りです。
その解答を正しく訂正すると、
∀a∈Aに対してf:a│→f(a)＝ｂならばｆ^（-1）：ｂ＝ｆ（a）│→aが誤りです。
つまりおかしいのは（5）で、例えばｆ（a）=f（a'）∈ｆ（P_2）であるときに
a∈P_2は成り立たないということを指摘すべきでした。
>>98さんは写像ｆにどのような条件が成り立てば元の証明が成り立つかということについて
考察し、集合に関する理解を深めてください。

100:１３２人目の素数さん
15/06/12 00:04:31.41 GlaDXgea.net
>>99
間違い。

101:１３２人目の素数さん
15/06/12 00:05:53.41 bcUTKLj5.net
(2)⇔(3)も間違いだよ。

102:１３２人目の素数さん
15/06/12 00:09:58.41 d0ufml/3.net
>「逆”対応”はもとの集合に一致する」は明らかに真
語弊がありました。つまり
ｂ∈Γ（a）⇔a∈Γ^（-1）（ｂ）
逆対応の定義によりこれが成り立つので、Aの任意の部分集合Xに対する写像ｆによる像の集合をｆ（X）とすれば
b∈ｆ（X）⇔a∈f^(-1)(f（X))
したがって、a∈f^(-1)(f（X))⇔a∈Xが確かに成立します。

103:１３２人目の素数さん
15/06/12 00:12:52.05 d0ufml/3.net
>>101
すいません確かにそうでした。
⇔∃a∈P_1∨P_2　（3）
（これが最適とは言えませんが）せめてこうするべきですね。
（すなわち、ｂ＝ｆ（a）を満たすaが存在して、の意）

104:１３２人目の素数さん
15/06/12 00:19:33.30 bcUTKLj5.net
>>102
A={1,2}、B={1}、X={1}⊂A、ｆ：A→B　をf(1)=f(2)=1　とすれば
f^(-1)(f(X))={1,2}=A　であり　　明かにX≠f^(-1)(f(X))

105:１３２人目の素数さん
15/06/12 00:37:04.12 d0ufml/3.net
>>104
大変申し訳ありませんあなた様の御認識が正しくてわたくし目の節操のない
意見未満の戯言がすべて間違っています。
ご高説を参考にわたくし目の大変見苦しい証明を訂正いたしますと、
a∈X⇒a∈f^(-1)(f（X))
こうですね。
したがってX⊂f^(-1)(f（X))

106:１３２人目の素数さん
15/06/12 00:42:10.83 d0ufml/3.net
何度も書き込みして大変申し訳ないのですが、>>104様ありがとうございました。
具体的に考えてみればすぐに分かることとはいえ、長年勘違いしていたらしく、
恥ずかしい限りです。できれば貝になりたいです。
300年ROMります。

107:１３２人目の素数さん
15/06/12 01:12:17.78 bcUTKLj5.net
これで思い出した。
しばしば初心者が間違いに気付かないところ。
空でない集合A、B、写像ｆ：A→B、部分集合Y⊂Bに対して
（真）命題：　f(f^(-1)(Y))⊂Y
（嘘）証明
任意のy∈f(f^(-1)(Y))をとればあるx∈f^(-1)(Y)があってy=f(x)。
f^(-1)の定義とxの取り方から　f(x)∈Y　これより　y∈Y
即ち　f(f^(-1)(Y))⊂Y。

108:１３２人目の素数さん
15/06/12 01:38:18.11 d0ufml/3.net
>>107
先生、これはどこがまずいんですか？
∀x(f(x)＝y)、f(x)∈Yはほぼ自明に成り立っていると思うのですが。

109:１３２人目の素数さん
15/06/12 04:06:22.05 d0ufml/3.net
あるxがあってy＝……の順序が逆なんですかね。
間違いと言うより書き方の問題のような気がしますが。
ろm言った後にしゃしゃってすみません。
>>107の等号成立条件は何か、という問題を置いて今度こそ去ります

110:１３２人目の素数さん
15/06/12 19:02:34.86 Baaq2w5d.net
>>107は釣り

111:１３２人目の素数さん
15/06/12 20:20:24.55 bcUTKLj5.net
>>108
f^(-1)(Y)=φのときを別に言っておかなければならない。

112:１３２人目の素数さん
15/06/12 20:21:59.81 Baaq2w5d.net
>>111
するとあなたは φ⊂A をどうやって証明すると思ってるの

113:１３２人目の素数さん
15/06/12 21:35:06.49 bcUTKLj5.net
釣りと言ったからには何かを言わなきゃ、ね

114:１３２人目の素数さん
15/06/12 21:42:06.44 Baaq2w5d.net
何を言ってるんだ

115:１３２人目の素数さん
15/06/13 00:38:40.24 qxL5Q/0+.net
v^3空間中にx軸、y軸をそれぞれ軸としてz軸方向に進行するコサインカーブ
E_x=A_xcos(k_0z-ωt)
E_y=A_ycos(k_0z-ωt)
を考える。軸上の任意の点からE_x、E_yに垂直な方向でそのz座標における各関数値と
同じ大きさを持つベクトルe_xおよびe_bを取り、そので表現されるベクトルの集合を考える。
z軸正方向無限遠点に立ち、xy平面を見るとき、このベクトルによってどのような軌跡が描かれるか。
また、E_y=A_ycos(k_0z-ωt-π/2)のときはどうか。
ただし A_x、A_y、k_0、ωは比例定数であり、考察上1と置いても構わない。

116:１３２人目の素数さん
15/06/13 00:42:07.76 qxL5Q/0+.net
>>115
……を、それぞれ軸として～は間違い。
軸はz軸に固定されていて、いわゆる振幅の方向がそれぞれx、yです。
数学ではあまり扱わない話題ですが、ぜひどうぞ。

117:１３２人目の素数さん
15/06/13 00:44:18.82 qxL5Q/0+.net
5行目、e_bはe_yに訂正。
その直後のそのではその和でに訂正。

118:１３２人目の素数さん
15/06/13 05:11:04.60 QxkJCEZQ.net
無駄に長い文章で読む者をヒかせるが、要するに
(x,y)=(A_xcos(k_0z-ωt),A_ycos(k_0z-ωt)),z∈実数
の軌跡を各 t ごとに求めよってことでしょ。
そう言えば簡単じゃない。

119:１３２人目の素数さん
15/06/13 17:29:00.06 qxL5Q/0+.net
>>118
前半はそうなんですが、後半はベクトル和であることで単なる軌跡ではない
ある特別な性質が見られるのです。
(数学ではありませんが)物理学的に重要なので、あえてまどろっこしい言い方をした次第です。

120:１３２人目の素数さん
15/06/13 22:19:15.17 QxkJCEZQ.net
>>119
物理方面の人は、ベクトルとか行列とかに
あらぬ感傷を抱きがちだけれど、ベクトルは
ベクトルに過ぎず、それ以外の意味は無い。
この問題の場合、「ベクトル和」は
x e_x + y e_y を構成しているだけだから、
単に (x,y) が直交座標になるだけ。
文系のロマンは、ここでは必要ない。

121:１３２人目の素数さん
15/06/13 22:31:30.86 qxL5Q/0+.net
>>120
ベクトル和の集合ですよ。
余弦波の変域がx、yの各定義域になりますので、当然直交座標にはなり得ません。
>ベクトルはベクトルに過ぎず～
位置ベクトルが指し示す座標の集合、と言い換えます。
恐らくは>>118の、単なる軌跡ではない、に引きづられているのかと思いますが、
これについては説明が不足していますのでお詫びして訂正します。
各点をzの値によって添数付けて、その順序を追って見てください。
すると軌跡上の各点に対して変化の方向を定義できます。
これが、例えば問題後半の-π/2を-3π/4としたときに
軌跡としては同じなのですが、実質的な大きな違いとして現れます。面白いですよ。

122:１３２人目の素数さん
15/06/13 23:25:10.90 QxkJCEZQ.net
ああ、e_x, e_y は定ベクトルではないのか、
それはすまなかった。しかし、
＞軸上の任意の点からE_x、E_yに垂直な方向で
＞そのz座標における各関数値と同じ大きさを持つ
＞ベクトルe_xおよびe_y
は、意味不明だな。言葉でうまく書けないなら、
式で定義したほうが伝わるんじゃないかね？

123:１３２人目の素数さん
15/06/13 23:41:28.88 qxL5Q/0+.net
>>122
そうですねえ……
すぐに定式化とはいかないのでやはり言葉での説明なのですが、要するに
あるz軸上の値を決めたときに最初に挙げた二つの関数が取る値をx、yとして、
これをそのz軸上の値における座標(x、y)としてxy平面にプロットする訳です。
そうするとxy平面にはzで添数づけられた連続なグラフのようなものが描けるはずなので、それを求めてください。

124:１３２人目の素数さん
15/06/13 23:55:31.45 qxL5Q/0+.net
問題（修正版）
V＾3空間においてｚ軸を変位中心とし、ｘ、ｙ軸に垂直な方向に変位する2つの余弦関数、
E_x=cos(z)、E_y=cos(z-φ)
を考える。あるｚにおける各関数の値をそれぞれｘ、ｙとし、
ｚにより添数づけられた座標（ｘ、ｙ）としてｘｙ平面にプロットするとき、
ｘｙ平面上の軌跡を求めよ。
ただし、関数中におけるφは初期位相を表しており、
今回は特にφ＝0、π/4、π/2、3π/4のいずれかであるものとする。
また、描かれた軌跡について添数ｚの値による変化の方向を調べ、
一方向に定まる場合には、それも併記すること。

125:１３２人目の素数さん
15/06/14 00:05:53.44 ovwdE92/.net
ああ、リサージュ曲線のこと話してたの
説明下手すぎでしょ…
最初の問題文のように下手な文章でわざわざ遠回しに表現する意味あったの？

126:１３２人目の素数さん
15/06/14 00:10:38.56 nchbPgqM.net
理紗汁

127:１３２人目の素数さん
15/06/14 00:28:15.70 yvZpfH/+.net
>>125今解いてきたけどリサージュ曲線じゃなくね？
0とπ/2のときはとりあえず直線になるね
π/4は円か？3π/4はまだやってない

128:１３２人目の素数さん
15/06/14 00:33:23.67 yvZpfH/+.net
すまん紛れもなくリサージュ曲線だったわ

129:１３２人目の素数さん
15/06/14 00:44:42.42 x/eXaC3E.net
lissajous はリサジューと発音するんじゃね？

130:１３２人目の素数さん
15/06/14 00:47:22.00 yhbaX4/I.net
/ˈlɪsəʒuː/だそうです

131:１３２人目の素数さん
15/06/14 00:54:35.85 yvZpfH/+.net
>>130アクセントは？

132:１３２人目の素数さん
15/06/14 01:02:56.17 yhbaX4/I.net
第一音節です
かと思ったんですけど、元はフランス語なんですね
/lisaʒu/
フランス語にアクセントはないっぽいので、リサジュみたいな感じなんでしょうか

133:１３２人目の素数さん
15/06/14 01:03:00.80 GhoEuWAe.net
>>124
なんで3次元なの？

134:１３２人目の素数さん
15/06/14 01:04:45.60 yhbaX4/I.net
問題を複雑にするためだと思います

135:１３２人目の素数さん
15/06/14 01:09:17.92 ovwdE92/.net
そこは分かれよ
振動面の直交する電磁波の重ね合わせを定点観測する状況のことでしょ

136:１３２人目の素数さん
15/06/14 01:37:37.90 yvZpfH/+.net
>>135
物理どうのこうのだから多分それだよな
初期位相を変えるのは偏光のことを指していると思われ

137:１３２人目の素数さん
15/06/14 02:05:56.19 OzMn4BdF.net
黒４個、白４個、赤４個を円形に繋いでネックレスを作る方法をエレガントに求めよ。
同色の玉は見分けがつかず、回転や裏返しで一致する繋ぎ方は同じものと見做す。

138:１３２人目の素数さん
15/06/14 03:22:07.16 yV4TcWxT.net
宿題は自分でやれ

139:１３２人目の素数さん
15/06/14 05:13:55.99 OzMn4BdF.net
>>138
まぁやってみろよ。

140:１３２人目の素数さん
15/06/14 09:24:00.27 Imd90ide.net
ただの数珠順列やん。

141:１３２人目の素数さん
15/06/14 09:28:00.96 r3//wh8S.net
>>123-125
なんだ。結局>>118でよかったのか。
簡単なことは、簡単にすまそうよ。

142:１３２人目の素数さん
15/06/14 10:56:06.46 OzMn4BdF.net
>>140
いかに上手に計算するかが問題なんだけどな。

143:１３２人目の素数さん
15/06/14 11:26:20.13 r3//wh8S.net
>>137 >>140 >>142
この問題だと、
裏返して重なる
が面倒だよね。

144:１３２人目の素数さん
15/06/14 11:42:56.16 0jPi0lqx.net
バーンサイドの定理

145:１３２人目の素数さん
15/06/14 11:48:33.06 iM/KqZS8.net
お前ら問題をよく読めよ。求めるのはネックレスを作る方法だぞ。
手芸板とかの方がいいんじゃないか？
そんなのあるのかどうか知らんけど。

146:１３２人目の素数さん
15/06/14 17:13:57.01 yvZpfH/+.net
>>141
他のレスも読んだらどうだ

147:１３２人目の素数さん
15/06/15 12:18:46.06 wIc3lRqX.net
>>137
答えは？

148:１３２人目の素数さん
15/06/15 14:02:26.11 jTvzDREJ.net
>>137
719

149:１３２人目の素数さん
15/06/15 14:13:39.05 1SLeoFUz.net
冗談は芳江さん

150:１３２人目の素数さん
15/06/15 22:59:41.61 w9Nq94Ln.net
7×7のマス目のいくつかのマスの中心に、以下の条件を満たすようにゴマを1つ置く。
条件：置かれたゴマのうちのどれか4つを頂点とする長方形で、その辺がマス目の辺に平行なものができてはならない。
最大でいくつゴマを置くことができるか。

151:１３２人目の素数さん
15/06/15 23:11:35.53 O9+dQNu/.net
なんか日本語おかしいよ

152:１３２人目の素数さん
15/06/16 00:24:40.43 fqscTCpW.net
>>137
最初地道にやった結果と、
wikipediaの「バーンサイドの補題」を参考にしてやった結果が一致したから
合ってるかな
1493通り

153:１３２人目の素数さん
15/06/16 00:43:12.01 fqscTCpW.net
>>150
7列からどの２列を選んで重ねても、ゴマのあるマスが２箇所以上重なることがない
という条件なので、多分21個。
例：
(1,1)(1,2)(1,3)
(2,1)(2,4)(2,5)
(3,1)(3,6)(3,7)
(4,2)(4,4)(4,6)
(5,2)(5,5)(5,7)
(6,3)(6,4)(6,7)
(7,3)(7,5)(7,6)

154:１３２人目の素数さん
15/06/16 01:14:16.63 H1/I840P.net
>>152
俺も地道に計算して1493通りになったんだけど、ネットで見つけた問題の模範解答は違っていた…
どう思う？
URLﾘﾝｸ(www.y-sapix.com)

155:１３２人目の素数さん
15/06/16 03:30:19.03 fqscTCpW.net
>>154
そのsapixの解答は、明らかに間違ってるな。
(C)以外の(A)の場合と、(D)以外の(B)の場合において、上下反転をダブルカウントしてる。
実際は、(A)も(B)も
(90-3!)/2+3で45通りなので
45*2+(2896-45*2)/2=1493
が正解。
そりゃ「優秀賞に値する答案はいただけませんでした」になるわな（苦笑）
その間違った模範解答をエスパーするのは無理。
sapix大丈夫？

156:１３２人目の素数さん
15/06/16 03:36:36.67 fqscTCpW.net
（それ、最終回の問題だったのか…とんだ有終の美だな…）

157:１３２人目の素数さん
15/06/16 03:57:44.00 H1/I840P.net
やはり間違っていたようですね。安心した。
2007年頃に塾のバイトしていたときに、m色n個ずつの円順列や数珠順列を
(m、n)=(2、4)、(3、3)、(3、4)の場合を出題したことがあったんだけど、
当時の解答の手書きメモと、最近ネットで見かけたsapixの解答が違っていて>>137に書いた次第。
ちなみに私の解法は黒玉の連続する個数で５通りに場合分けして、エレガントとは程遠い解法でしたが…。

158:１３２人目の素数さん
15/06/16 05:24:18.29 goQtvF3x.net
プログラムでカウントさせたところ、1493通りでした。
ちなみに、色を入れ替えて一致するものも同一視すると297通り

159:１３２人目の素数さん
15/06/16 06:06:45.29 H1/I840P.net
>>158
ありがとうございます。プログラムはご自分で作られたのですか？
模範解答と答えが違うとき、まず自分を疑ってしまいがちですが、こんなこともあるのですね。

160:１３２人目の素数さん
15/06/16 08:49:30.12 deTZhkJL.net
>>159
こんな感じのもので確かめました。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)

161:１３２人目の素数さん
15/06/16 13:35:34.98 TmgIPwFn.net
誰か>>18 >>40 >>66の解き方教えて

162:１３２人目の素数さん
15/06/16 21:57:51.55 LTpWN3vT.net
>>66 (1)は解けた
(50k^2+20k+2)^2+1=5(10k^2+6k+1)(50k^2+10k+1)
よりn=50k^2+20k+2(k≧1)のときn!はn^2+1で割り切れる
(2)は素数pが4n-1型のとき、((p-1)/2)!≡±1 (mod p) になることまでは分かったが…

163:１３２人目の素数さん
15/06/17 01:20:30.74 QCqizCQx.net
>>155-157
あまり責めないでやれ。
SAPIXというと、ある年代以降の生まれの人には
絶大な信用があるが、
要するに代ゼミだよと言えば、ある年代以前の人なら
多くを期待すべき相手でないことが解る。
M&Aは、ブランド名のロンダリングでもある。

164:１３２人目の素数さん
15/06/18 09:44:50.83 XPs4xt6p.net
2015個の連続する正の整数からなる列であって, ちょうど155個の素数を含むようなものが存在することを示せ

165:１３２人目の素数さん
15/06/18 11:26:36.76 pAuqikyi.net
>>164
nからn+2014までの自然数のうち素数の個数をf(n)とおくと、
f(1)=305であり、
素数定理などから、明らかにf(N)<155となるNが存在する。
ここで、任意の自然数nについて、
f(n+1)-f(n)は、1,0,-1のいずれかなので、
f(n)=155，1<n<Nを満たすnが存在する。
定義域が整数である場合の中間値の定理のようなものですな。
本当はf(N)<155となるNの具体例を示したかったのだが、
いきなりf(500000)=155となることを見つけてしまったので^^;

166:１３２人目の素数さん
15/06/18 19:54:40.67 /w4mTADd.net
>>165
f(N)<155となるNの存在をいうだけなら素数定理を持ちださなくても
あきらかにf(2016!+2)=0だよね

167:１３２人目の素数さん
15/06/19 18:55:13.73 n/Pn+0sj.net
>>40は上手くいきそうでいかない
「六角形」の辺を適当に結んで平行云々でパスカルの逆、って流れだと
いまいち綺麗にできない（場合分けが下手？）
数式に持ち込んでもごちゃごちゃ
前提条件が妙に強いからサクッとできるのだろうが

168:１３２人目の素数さん
15/06/21 14:51:11.58 eRDPXgWJ.net
>>66 (2)
まず, 条件を満たすnを具体的に構成する方法を示す.
kを3以上の奇数とする. k!+1は奇数なのでp|(k!+1)である奇素数pが存在する.
k!+1は1,2,...,kで割り切れず, またk,pはともに奇数なのでp-1>k
ここで, ウィルソンの定理より(p-1)!≡-1(mod p)なので,
-1≡(p-1)!
≡k!*(k+1)*...*(p-1)
≡(-1)*(k+1)*...*(p-1)
≡(-1)^(p-k)*(p-k-1)!
≡(p-k-1)! (∵p-kは偶数)
よってp|((p-k-1)!+1)
k+(p-k-1)=p-1<pより, kかp-k-1の一方はp/2より小さい.
その小さい方をnとすれば, p|(n!+1)かつ2n<pが成り立つので, このnは条件を満たす.
次に条件を満たすnが無限個存在することを示す.
条件を満たすnとして n_1,n_2,...,n_m が与えられたとき, そのいずれとも異なるn_(m+1)が存在して条件を満たすことを示せばよい.
(n_1)!+1,(n_2)!+1,...,(n_m)!+1の素因数全体の集合をPとする.
Pの元のいずれよりも大きな3以上の奇数kをとり, 上記の構成法に従ってp,nを定める.
このときp>kよりp∉Pなので, nはn_1,n_2,...,n_mのいずれとも異なる.
よってn=n_(m+1)とすればよい. 以上より示された.

169:１３２人目の素数さん
15/06/21 14:59:56.59 eRDPXgWJ.net
正の整数からなる集合Aは次の条件(i),(ii),(iii)を全て満たす：
条件(i)：Aは3個以上の元を持つ
条件(ii)：a∈Aかつ d|a (d>0)ならばd∈A
条件(iii)：a, b∈Aかつ1<a<bならば1+ab∈A
このとき, Aは全ての正の整数を含むことを示せ.

170:１３２人目の素数さん
15/06/22 20:30:45.44 pYzkOfH1.net
>>169
条件より1<a<bなるa,bが存在して1,a,b,ab+1∈A
a,b,ab+1のうち少なくとも1つは偶数なので2∈A
よって2b+1,2(2b+1)+1∈A
b,2b+1,2(2b+1)+1のうち少なくとも1つは
3の倍数であるかまたは6で割った余りが2
前者の場合3∈A
後者の場合6k+2∈Aとして
3k+1∈A
2(3k+1)+1=3(2k+1)∈A
よって3∈A
ここまでで1,2,3∈Aが示せたので4,5∈Aもいえる
ここでn(≧5)以下の正整数が全てAに属すると仮定する
nが偶数のとき2<n/2∈Aよりn+1∈A
nが奇数のとき2<(n+1)/2∈Aよりn+2∈A
よってn(n+2)+1=(n+1)^2∈Aよりn+1∈A
以上よりAは全ての正整数を含む

171:１３２人目の素数さん
15/06/22 21:01:14.59 pYzkOfH1.net
>>170
抜けがあったので訂正
＞b,2b+1,2(2b+1)+1のうち少なくとも1つは
＞3の倍数であるかまたは6で割った余りが2
b≡5(mod 6)の場合これは成り立たないが
このときはb(2b+1)+1≡2(mod 6)がAに属するので
「後者の場合」に帰着する

172:１３２人目の素数さん
15/06/22 21:16:09.10 pYzkOfH1.net
＞よって2b+1,2(2b+1)+1∈A
＞b,2b+1,2(2b+1)+1のうち少なくとも1つは
よって2b+1,b(2b+1)+1∈A
b,2b+1,b(2b+1)+1のうち少なくとも1つは
とすればいいだけだった…

173:１３２人目の素数さん
15/06/23 05:42:15.74 bZvTLbCC.net
>>169の条件(iii)を改変したバージョンも解けたので問題として出しておく
正の整数からなる集合Aは次の条件(i),(ii),(iii)を全て満たす：
条件(i)：Aは3個以上の元を持つ
条件(ii)：a∈Aかつ d|a (d>0)ならばd∈A
条件(iii)：a, b∈Aかつ1<a<bならばab-1∈A
このとき, Aは全ての正の整数を含むことを示せ.

174:１３２人目の素数さん
15/06/23 23:32:20.59 rY+w350S.net
どことなくコラッツの問題に似てるから
実は解くのが難しいとかそういう話なのかと思ったら
解けるのか

175:１３２人目の素数さん
15/06/25 21:00:57.54 35Y69c7I.net
表裏の出る確率が均等でないコインが1枚ある。
これを繰り返し投げて出た結果によって、確率1/2の試行を実現したい。
投げる回数の期待値を最小にするにはどうすればいいか。

176:１３２人目の素数さん
15/06/25 22:22:23.83 2yBiznPm.net
右手か左手に表裏の出る確率が均等でないコインを隠し、選んで貰う

177:１３２人目の素数さん
15/06/26 10:13:21.94 5yy/K2nU.net
>>175
最初「期待値」の意味がわからなかったけど、例えばこういうことかな。（これが期待値最小かどうかはおいといて）
判定結果は○／×で表すものとします。
偶数回目のみにチェックポイントを設け、以下の判定を行う。
そこまでに投げた回数をN=2^n*a（aは奇数、nは正の整数）とする。
次の判定を、決着がつかない限り、k=1からnまで順に繰り返す。
・N回目とN-2^(k-1)回目のコインの表裏が異なる場合、N回目は表なら○、裏なら×で決着。そうでない場合は決着せず。
有限回数で必ず決着する手段が存在しない以上、「ある条件を満たせば決着」という手法を考え
その条件に至るまでの回数の期待値ってのが問題になるわけね

178:１３２人目の素数さん
15/06/26 10:42:50.12 5yy/K2nU.net
さっきの >>177 の判定の意味がわかりにくいので補足。
基本となる手法は以下
　偶数回目のみチェックする。
　直前の２回が「裏表」なら○、「表裏」なら×で決着
　それ以外は、その回では決着せず

この手法では、決着せずに試行を繰り返さないといけないケースは
２回ずつまとめてみると「表表」もしくは「裏裏」のパターンのみをくりかえす場合。
その決着しないケースをなるべく救済するために、今度は4の倍数回にチェックポイントを設け
直前４回が「裏裏表表」なら○、「表表裏裏」なら×とする。
この手法を追加しても、決着せずに試行を繰り返さないといけないケースは
４回ずつまとめてみると「表表表表」もしくは「裏裏裏裏」のパターンのみをくりかえす場合。
それををなるべく救済するため、8の倍数回にチェックポイントを設け
直前８回が「裏裏裏裏表表表表」なら○、「表表表表裏裏裏裏」なら×とする。
（以下略）
というのをまとめた結果。

179:１３２人目の素数さん
15/06/26 12:09:01.54 IIy/cicI.net
1/2を期待できる方法（小道具を使うが、１回で完了）
コインの表を偶数、裏を奇数に対応づけ、コインを振り、止まった瞬間に時計の秒針を見て
偶数か奇数かをチェック。コインの偶奇と一致するかどうかで判定
ほぼ1/2を期待できる方法
でやすい面を表、でづらい面を裏と表すこととし、表のでる確率をpとする
コインを繰り返し振り、n回目の裏がでたのが、偶数回目だったか、奇数回目だったかで判定
確率pに対応して、下のようなｎを採用すれば、最大誤差1%程度になる。
0.99<p<1　なら、n=1で十分。
初めて裏がでるのが偶数回目となる確率＝p(1-p)+p^3(1-p)+...=p/(1+p)
初めて裏がでるのが奇数回目となる確率＝(1-p)+p^2(1-p)+...=1/(1+p)
0.8<p<0.99　なら、n=2辺りを用いる
二回目の裏がでるのが偶数回目となる確率＝(1-p)^2+C[3,1]p^2(1-p)^2+...=(1+p^2)/(1+p)^2
二回目の裏がでるのが奇数回目となる確率＝2p/(1+p)^2
0.6<p<0.8　なら、n=3辺り
３回目の裏がでるのが偶数回目となる確率＝3p(1-p)^3+C[5,2]p^3(1-p)^3+...=(3p+p^3)/(1+p)^3
３回目の裏がでるのが奇数回目となる確率＝(3p^2+1)/(1+p)^3
0.5<p<0.6　なら、n=4
４回目の裏がでるのが偶数回目となる確率＝(1-p)^4+C[5,3]p^2(1-p)^4+...=(p^4+6p^2+1)/(1+p)^4
４回目の裏がでるのが奇数回目となる確率＝(4p^3+4p)/(1+p)^3

180:１３２人目の素数さん
15/06/26 12:13:45.71 ya3KuOPO.net
あ、最後の行、ミスってる
×：４回目の裏がでるのが奇数回目となる確率＝(4p^3+4p)/(1+p)^3
○：４回目の裏がでるのが奇数回目となる確率＝(4p^3+4p)/(1+p)^4
ごらんのように、パスカルの三角形が登場してます。

181:１３２人目の素数さん
15/06/26 12:44:04.27 /ysslOVn.net
コイン以外のところから、確率1/2の事象を引っ張ってくるのは出題者の意図とはたぶん違うんじゃないかね。
それだったら、コインいらないし……。

182:１３２人目の素数さん
15/06/26 20:46:11.23 h7iWFEKI.net
>>175
ちょっと考えた
pが既知かつ近似解で良い場合
中心極限定理で適当にやればp=0,1以外はどうにでもなる
pが既知かつ厳密解が欲しい場合
初めて表が出るまでの回数をNとしてNが特定の回数だった場合を
新たに「表」として定義する
N=nの確率はp*(1-p)^(n-1)となるので適当に組み合わせれば
p=0,1以外なら任意の精度で「表」の確率が定義できそう
pが未知の場合
ベイズ的には初回は必ず1/2
と言うのは冗談だがpを推定してから上記の場合に持ち込むのかな

183:１３２人目の素数さん
15/06/26 20:53:56.32 h7iWFEKI.net
>>182に補足
元のお題は最小回数の作り方だから
pが既知かつ厳密解が欲しい場合については
N回投げて各出目の確率の和が1/2になる
組み合わせが見つかったらそれが最小のN

184:１３２人目の素数さん
15/06/27 00:30:06.71 /+u9NzxP.net
>>175 は、確率は未知という設定じゃないとつまんないので、自分はそっちで考える。
確率は未知であっても、確実に1/2の確率を実現できる方法を考えて、
回数の期待値は、未知だけど実際には存在する確率pの関数として表す。
「期待値最小」ということを厳密にどう判定するかは難しいが、
まずはよりよい関数となる手法を考え、もしかしたら
「pが未知でも成り立つ手法の中では、どんなpに対しても最小の期待値を持つ」手法が
存在するのかもしれない。
ちなみに、>>178 の「基本となる手法」で期待値を計算すると1/(p(1-p))となる。
（p=1/2で最小値4をとる）
>>177 の手法ではそれよりもどんなpにおいても小さい値になるのは明らかだが、
うまい計算方法が見つからなくて困ってる。

185:１３２人目の素数さん
15/06/27 03:03:16.58 /+u9NzxP.net
>>177 の期待値
f(p) = Π[n=0,∞](1+p^(2^n)+(1-p)^(2^n))
となるようだ。
>>178 の「基本となる手法」の期待値
g(p) = 1/(p(1-p))
と比較すると、こんな感じ。
p g(p) f(p)
0.1 11.111 10.585
0.2 6.250 5.698
0.3 4.762 4.186
0.4 4.167 3.574
0.5 4.000 3.401

186:１３２人目の素数さん
15/06/27 03:30:28.63 /+u9NzxP.net
pが未知なら、>>177が最強な気がしてきた。
誰か証明もしくは反証よろしく

187:１３２人目の素数さん
15/06/27 09:14:57.33 S/MSoatr.net
>>177の判定原理は表と裏の回数が等しい試行を組にして
「表」「裏」と名づけていると見ることができる
ゆえに>>178が最短の判定方法となっていることが証明できる

188:１３２人目の素数さん
15/06/27 12:56:11.26 AqwryHTX.net
177(178)の方法において、どの出方はAが勝ちか、どの出方はBが勝ちか決めてみることにする。
その決め方は複数(多数)候補があるけれど、いいやりかたを選べば、
(177(178)の方法を使ったときに)ある場面において、表がでても裏が出てもAが勝ち(あるいはBが勝ち)
という場面を作り出すことができそう。
そういう場面が出来たなら、そこは実はコインを投げる必要がないということになる。
そして期待値は下がる。
となりそうな気がする。

189:１３２人目の素数さん
15/06/27 14:30:27.03 /+u9NzxP.net
>>188
なるほど。>>177 のルールのままだと、最後が表なら○と決めているので
最後まで決着しないけど、判定の部分のルールをたとえば
・N回目とN-2^(k-1)回目のコインの表裏が異なる場合、
　kが奇数ならば、N回目は表なら○、裏なら×で決着。
　kが偶数ならば、N回目は表なら×、裏なら○で決着。
としておけば、
表表裏
となった時点で、４回目は表でも裏でも○になるから
追加ルールとして
・その後のコインの表裏によらず、○か×かが確定した時点で、コインは投げない
というのを入れとくと、さらに回数の期待値は減るわけですね。
ううむ、最強からはほど遠かったか。

190:１３２人目の素数さん
15/06/27 14:33:16.85 /+u9NzxP.net
（さすがに、>>189 のルールでの期待値の計算はあきらめた）

191:１３２人目の素数さん
15/06/27 14:50:27.11 /+u9NzxP.net
>>188-190
よく考えたら、チェックポイントの２手以上前に○×が確定することは
ありえない（最後の２回が表裏と裏表で必ず○×が異なる）ので、
>>177のルール変更を
・N回目とN-2^(k-1)回目のコインの表裏が異なる場合、
　N-1回目が表なら○、裏なら×で決着。
とでもしておくと、元のルールで表でも裏でも決着するケースでは
確実に１手減らすことができますね。
この方向性での改善としてはこれが最良かな。

192:１３２人目の素数さん
15/06/27 16:41:16.45 imKgYOrh.net
n次元空間にn+1個の頂点があり、全ての面が正三角形となる超立体の体積をエレガントに求めよ。

193:１３２人目の素数さん
15/06/27 19:40:48.41 n9T/LEaD.net
f(n)=2n^2+29と定める.
f(0),f)1),f(2),f(3)はいずれも素数であることが分かっている.
このとき,f(4),f(5),...,f(28)も全て素数であることを示せ.
ただし, 各fの値を実際に求めたり, 素数で順に割ったりしてはならない.

194:１３２人目の素数さん
15/06/27 19:41:47.15 iChne//v.net
>>175
これ、極端に考えればp=1.0でも題意を満たす必要があるんじゃ？

195:１３２人目の素数さん
15/06/27 20:29:05.21 iv70QRnH.net
p=1.0の場合はどのみち不可能なんだから期待値は∞ってことで問題なくね？

196:１３２人目の素数さん
15/06/27 21:37:06.11 1W0Ez/9a.net
(1)
自然数nに対して
(Σ[k=1..n],1/k)=P(n)/Q(n)
をみたす実数係数の多項式P(x),Q(x)は存在しないことを示せ
(2)
数列a(n)を
a(1)=2,a(n+1)=(1/(a(1)*a(2)*a(3)*....a(n)))-1
として定義する。
この時、nが偶然ならば、数列a(n)は定数数列であることを示し、その値を求めよ

197:１３２人目の素数さん
15/06/27 21:43:26.06 /+u9NzxP.net
>>192
1辺が1のn次元の正単体のn次元の体積をV(n)，中心から各頂点までの距離をR(n)とする。
V(1)=1，R(1)=1/2
n+1次元空間内に1辺1のn次元の正単体X(n)を配し、X(n)の各頂点から距離1となる点Aをとると、
AとX(n)はn+1次元の正単体X(n+1)を構成する。
AからX(n)におろした垂線の足をM、X(n+1)の中心をO、X(n)の1つの頂点をBとすると、
OA=OB=R(n+1)、MB=R(n)であり、
X(n+1)の各頂点に重さ1の質点を置いた時の重心がOであることからOA:OM=n+1:1となり、
OM=R(n+1)/(n+1)
OB^2-OM^2=MB^2（三平方の定理）より、整理すると(n(n+2)/(n+1)^2)(R(n+1))^2=(R(n))^2
∴ ((n+2)/(n+1))(R(n+1))^2=((n+1)/n)(R(n))^2=…=(2/1)(R(1))^2=1/2
∴ (R(n))^2=n/(2(n+1))
AM=((n+2)/(n+1))R(n+1)より、
V(n+1)=(1/(n+1))・AM・V(n)=((n+2)/(n+1)^2)R(n+1)V(n)
(V(n+1))^2=((n+2)^2/(n+1)^4)((n+1)/(2(n+2)))(V(n))^2=((n+2)/(2(n+1)^3))(V(n))^2
n≧2において
(V(n))^2=Π[k=1,n-1]((k+2)/(2(k+1)^3))
=((n+2)!/2)/(2^(n-1)・(n!)^3)=(n+1)/(2^n・(n!)^2)
∴ V(n)=(1/n!)√((n+1)/2^n)
n次元の錐体の体積が　(1/n)・底面積・高さ　であることは断りなく使った。
エレガント、ではない。

198:１３２人目の素数さん
15/06/27 21:45:05.79 1W0Ez/9a.net
(3)
面積および外接円の半径が全て整数であるような三角形は無数に存在することを示せ。
ただし相似な三角形は除く。

199:１３２人目の素数さん
15/06/27 21:48:38.69 /+u9NzxP.net
（数式を、カッコ多用ではなくちゃんと紙に書けば、そんなにゴチャゴチャはしてないんだよ…）

200:１３２人目の素数さん
15/06/27 21:52:29.64 /+u9NzxP.net
>>198
辺の長さは整数じゃなくていいのか？

201:１３２人目の素数さん
15/06/27 21:58:42.68 1W0Ez/9a.net
>>200
どちらでも構わない

202:１３２人目の素数さん
15/06/29 04:10:45.50 jBA8xQxN.net
>>196
(1) そのようなP(x),Q(x)が存在するとして矛盾を導く。
lim[n→∞](1/log n)Σ[k=1..n],1/k＝1であるから、
lim[n→∞](1/log n)(P(n)/Q(n))＝1 でなければならないが、
P(x)とQ(x)の最高次数に注目して計算すると矛盾することが分かる。■
(2) nが偶数なら a(n)＝－1/2, nが3以上の奇数なら a(n)＝－2が
成り立つことが数学的帰納法で証明できる。■

203:１３２人目の素数さん
15/06/29 04:31:16.19 jBA8xQxN.net
>>198
そのような三角形の無限列であって、互いに相似でないものが
構成できることを証明しようかと思ったが、別にその必要はなかった。

(3) 面積と外接円の半径が整数であるような三角形の集合をMと置く。
M上の二項関係～を以下のように定義する。
a,b∈Mに対して、a～b ⇔ aとbは相似.
このとき、～はM上の同値関係となることが分かる。
a∈Mの同値類を[a]と書くことにする。同値類の集合M/～は
M/～＝{ [a]｜a∈M }と表せる。このM/～が無限集合であることを
示せばよい。以下の補題を使う(証明は後回しにする)。
補題：任意の正整数nに対して、次を満たすA⊂Mが存在する。
・Aはn元集合.
・Aの任意の異なる2元は相似でない.
この補題により、各nに対して対応するA⊂Mを取れば、次が成り立つ。
・{ [a]｜a∈A }⊂M/～.
・{ [a]｜a∈A }はn元集合.
従って、M/～は少なくともn個の元を含む。nは任意だから、
M/～は無限集合である。最後に、上の補題を証明する。

204:１３２人目の素数さん
15/06/29 04:43:55.79 jBA8xQxN.net
補題の証明：半径がnの円Sを用意し、S上の3点A,B,Cを、三角形ABCが正三角形であるように取る。
円Sにおける弧BCは2つあるが、その中で短い方の弧をL1とする。L1から両端点B,Cを除いたものをL2とする。
L2上の点Pを任意に取ると、三角形APBについて、次が成り立つことが分かる。
(i) ∠PAB ＜ 60°＜∠PBA.
(ii) ∠APB＝60°.
(iii) APBの面積をs(P)と置くと、0＜s(P)＜(3√3/4)n^2 が成り立つ.
(iv) P→Bのときs(P)→0であり、P→Cのときs(P)→(3√3/4)n^2 である.
さて、s(P)はP∈L2に関して連続関数であるから、(iii)と(iv)にも注意して、中間値の定理から、
任意のλ∈(0, (3√3/4)n^2) に対して、s(P)＝λを満たすようなP∈L2が存在する。
特に、λが正整数のときを考える。(3√3/4)n^2＞nであるから、λとしては
少なくとも1,2,…,nまでが選べる。対応するPをP_1,…,P_n とする。
三角形AP_iBをa_iと置けば、a_iの面積は i であり、a_iの外接円の半径はnである。
従って、a_i∈Mである。A＝{ a_1,…,a_n } と置けば、このAが題意を満たす。
実際、Aがn元集合であることは明らか。Aの任意の異なる2元が相似でないことは、
a_iの3頂点の角度に注目すればすぐに従う(具体的には(i),(ii)を使う)。■

205:１３２人目の素数さん
15/06/30 20:34:38.25 H5GoaVHE.net
>>198
3辺の長さを
4n+2, 4n^2*4n, 4n^2+4n+2
とすれば、面積は4n(n+1)(2n+1), 外接円の半径は2n^2+2n+1

206:１３２人目の素数さん
15/06/30 22:09:05.54 M1LX+grn.net
>>198
0より大きく1未満の任意の有理数　t　を持ってきて、それを　t=b/a　と表したとき
(つまり、aとbは互いに素で、0<b<aの整数)
a^2-b^2,2ab,a^2+b^2
の3数は、原始ピタゴラス三角形の3辺を成す。その二倍形
2(a^2-b^2),4ab,2(a^2+b^2)
は、>>198の条件を満たす。

なお、205の例(4n^2*4nは4n^2+4nの誤植と思われる)は、ここに挙げたもので
a=b+1　としたものにあたる

207:１３２人目の素数さん
15/07/01 01:01:33.17 rdTrEG2D.net
>>205-206
その答えは、おととい
「高校生が自作問題を世に問うスレ」
の ≫584 に書いといたのと、同じものだな。

208:１３２人目の素数さん
15/07/03 23:23:02.20 rGXRJhyh.net
一次独立な２つのベクトルx↑、y↑について
|x↑|≦|x↑+y↑|が成り立っているならば
任意の実数a≧1に対して　|x↑+y↑|≦|x↑+a*y↑|となることを示せ。

209:１３２人目の素数さん
15/07/03 23:43:12.41 hJIQsZ5a.net
最近話題のルーローの三角形形の掃除機ロボットを見て思いついた問題。
直径１の正方形の内部で、直径１のルーローの三角形が滑らかに回転するとき、
ルーローの三角形が通過する領域の面積を求めよ。

210:１３２人目の素数さん
15/07/04 13:02:24.94 fKcIqKgn.net
わりときれいな値になるんだな。
それに検索してみると、この動き自体がなかなかおもしろい。

211:１３２人目の素数さん
15/07/04 13:20:18.83 ZDm2eXaJ.net
内部に入らない。

212:209
15/07/04 21:29:26.26 TU5VZOTE.net
ちなみに俺は解けなかったぜ

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