小学校の掛け算順序問題×9

小学校の掛け算順序問 ..

80:１３２人目の素数さん
15/03/17 15:23:36.58 1D0F+2gF.net
>>74
既に何らかの実数を表している。
それが無理数であるか有理数であるかは、その式だけからは判定できない。
より簡単な例を出そう。√2 は既に何らかの実数を表している。
しかし、それが無理数なのか有理数なのかは、この式だけからは判定できない。
中学3年(？)で習うように、√2 が有理数だと仮定すると矛盾が生じるので、
√2は無理数であることが証明できる。ここまで来て初めて、√2は無理数であることが判明する。
あなたの感覚ではきっと、
「 √2が実数であることが既に判明しているのに、
　無理数であることが判明してないなんておかしいじゃないか」
と思うのだろう。たぶんそれは、「実数は特定のフォーマットで定義される」
という根本的な勘違いから来ているものと思われる。
まず、√ の定義からおさらいしよう。0以上の実数全体の集合をAと置く。
f：A→R をf(x)＝x^2 で定義すると、fはA全体で連続となる。
また、f(x)≧0 (x∈A) が証明できる。さらに、f(x)は上に有界でないことが証明できる。
fは連続だったから、中間値の定理から、任意のc≧0に対して、c＝f(x)なるx∈Aが存在する。
このxのことを "√c" と表記するのであり、これが√の定義である。
この定義のもとでは、√c は既に1つの実数を表している。
その決定のされ方は中間値の定理がもとになっているので、
√c が無理数なのか有理数なのかは、この定義からは判明しない
(中間値の定理は、そこまで決定してくれない)。

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