集合論について - 暇つぶし2ch

集合論について ..

35:１３２人目の素数さん
13/11/28 20:27:25.03 .net
＞そもそも不完全性定理って数学の定理じゃないからｗ
だからなんやねん

36:狸 ◆2VB8wsVUoo
13/11/28 20:28:12.90 .net
>>32
はい、毎日元気に馬鹿板潰しに精を出してますぅ～

ケケケ狸

37:１３２人目の素数さん
13/11/28 20:43:47.16 .net
算術の定理と言いたいんだろうか

38:狸 ◆2VB8wsVUoo
13/11/28 20:55:24.63 .net
運営の失敗と言いたいんだろうか

ケケケ狸

39:１３２人目の素数さん
13/11/28 22:10:37.34 .net
ZFCってでかすぎるんだよね
成り立つかどうか胡散臭い定理が結構ある
全体的にあまりに空想的な命題が多すぎて設定次第でどうにでもできてしまうからね
そこが人工的な感じがして今一本気でやればい部分がある

40:１３２人目の素数さん
13/11/28 23:25:10.92 .net
>>36
それはよかった、これからも元気に生きてください

41:狸 ◆2VB8wsVUoo
13/11/29 08:18:55.54 .net
>>40
なので今日もこれから作業を開始します。

狸

42:１３２人目の素数さん
13/11/29 20:56:22.16 .net
>>12
> 集合論って、情報系>哲学系>数学系の順に人気があるイメージ

こういう事を書く人って集合論も情報系も全然知らないって自白しているも同然ですね。
情報系にとって興味があるのは基本的に計算可能な対象ですから集合でも高々可算無限濃度まで。
連続体濃度以上の一般の集合は情報系にとって関心はありません。
従って、連続体の濃度がどうだとか巨大基数とかが関心の中心になっている現代の集合論は
情報系の関心の範囲外ですし情報系での応用もありません。
同様に、超準解析を始めとして一般の無限集合を用いるモデル論も情報系にとってはほぼ無縁です。
情報系で関心の高い「モデル論」と言えば有限モデル論(finite model theory)です。

集合論と同様に基礎論系統の分野でも証明論、特にGentzen流の還元的証明論なんかは確かに情報系で
関心のある人も多い（といっても、そもそも理論計算機科学屋そのものが情報系では極めて少数派）ですが。

情報系つまり理論計算機科学屋にとって通常の公理的集合論や一般のモデル論なんて関心ありませんよ。
せいぜい情報系のポストにもぐりこんでいる基礎論屋さんだけです、そんな巨大なサイズの枠組みに興味を持つのは。

43:１３２人目の素数さん
13/11/29 22:29:25.02 .net
>>39
ZFよりはるかに弱い集合論もあるし、それなりに研究もされてるよ

たとえば新井敏康「数学基礎論」にはKripke-Platek集合論の
証明論的分析が載ってる。
同じ本の集合論の章に載ってる「BST」も弱い集合論の一つ。

44:１３２人目の素数さん
13/11/30 03:05:01.88 .net
うお！補足されてる(>>42)、ありがたいですね
実際俺は"集合論も情報系も全然知"らんわ

けど、集合論を勉強しようとした時に内容が最もよく整理されてて
役に立ったのは"情報"分野の本棚ですね
次に哲学。"この公理を採用する正当性は何か？"みたいな
テーマが議論されてて深さという点ではダントツだった
数学の本棚が一番しょぼかった
素人目からは。

45:１３２人目の素数さん
13/11/30 03:14:41.90 .net
↑"しょぼい"は悪い表現だった
内容は豊かでした

なんていうか、公理を定めてどんどん演繹してくんだけど、
公理を疑ったりみたいな話題にはノータッチだった
俺はそこに一番興味があったんだけど

46:１３２人目の素数さん
13/11/30 06:55:35.64 .net
ほんとに素人目だな
ここに無料テキストが山ほどあるから勉強しなすこと
URLﾘﾝｸ(projecteuclid.org)

47:１３２人目の素数さん
13/11/30 08:11:14.00 .net
集合は集合か？

48:１３２人目の素数さん
13/11/30 08:49:07.78 .net
同語反復じゃねえか。
何を言いたいのか、
整理してみな。

49:１３２人目の素数さん
13/11/30 09:16:31.95 .net
公理を疑うというのはナンセンス。
数学は公理を定めてどんどん演繹してくことにより、なにが導かれるかを明確に示してくれる。
それが目的にあわないなら別の公理を用いればよい。
それがいい加減な思考ではなくて論理的に演繹により示されるのに、なにが不満なんだか。
選択公理のない集合論、無限公理のない集合論、基礎の公理のない集合論(や、これらの否定を公理に持つ集合論)などなど、研究されていて面白い結果も導かれている。

50:１３２人目の素数さん
13/11/30 11:53:19.60 .net
>>46
いきなりそのシリーズは無理や

案外キュネンの和訳に載ってる数学の哲学的な部分が良いかも

51:１３２人目の素数さん
13/11/30 13:10:05.34 .net
集合論とか意味不だわ
後期も単位落としそうでつらい

52:１３２人目の素数さん
13/11/30 17:20:38.34 .net
単位とか言ってる時点でだめだ
死んだほうがいいよ

53:１３２人目の素数さん
13/11/30 19:16:04.59 .net
>>46
助かります！
便利な情報はもっと目立って存在してくれればいいのにと思う

54:１３２人目の素数さん
13/11/30 19:32:58.91 .net
>>49
数学の体系を「この公理を採用したらこれが演繹できる」っていうペアの平等な寄せ集め
と見るならばそうかもしれないけれども、
現実の"数"の性質をどれだけ忠実に表現しているかっていう視点で
公理系を見ることには意味があると思うんです

55:１３２人目の素数さん
13/11/30 19:35:46.55 .net
そういうことは「公理を定めてどんどん演繹して」いかないとわからないよ
もちろん、現実の"数"の性質について知るためには、現実の数学について知らなければならないし

56:１３２人目の素数さん
13/11/30 20:03:26.49 .net
>>53
基礎論は無料でテキストが公開されている場合が多いから
洋書なんかは購入前に調べたほうがいいよ

57:１３２人目の素数さん
13/11/30 20:05:23.45 .net
URLﾘﾝｸ(klapaucius.web.fc2.com)

こういうサイトって他にもあるんですか？

58:１３２人目の素数さん
13/11/30 20:32:09.82 .net
基礎論やるんだったら以下のページはおさえとくべき

集合論の公理詳細
URLﾘﾝｸ(us.metamath.org)

論理体系のリスト
URLﾘﾝｸ(home.utah.edu)

計算量クラスのリストとその図
URLﾘﾝｸ(www.math.ucdavis.edu)
URLﾘﾝｸ(www.math.ucdavis.edu)

逆数学とかの小型の数学体系とか
URLﾘﾝｸ(rmzoo.uconn.edu)

59:１３２人目の素数さん
13/11/30 21:17:47.76 .net
>>58さん
ありがとうございますm(_ _)m

60:１３２人目の素数さん
13/12/05 00:19:36.84 .net
色んな集合論があるもんだなと
URLﾘﾝｸ(stanford.library.usyd.edu.au)

61:１３２人目の素数さん
13/12/08 00:10:18.08 .net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

62:１３２人目の素数さん
13/12/16 21:15:09.09 .net
Complexity Zoo とか、種類が多すぎてとても追っかけきれそうもない
どういう態度で臨めばいいんだろう…？

63:１３２人目の素数さん
13/12/27 05:54:12.77 .net
a?aa?aaaaaaaaa

64:１３２人目の素数さん
13/12/28 11:03:16.00 .net
>>62
文字通り動物図鑑とか昆虫図鑑を見るような態度ではないですか？
動物や昆虫と違うのは、いくらでも人工的に新種を作り出せることですが。

65:裁判負一声会さくら接骨院親分歌代英二
13/12/28 12:52:09.17 .net
qaz

66:１３２人目の素数さん
14/01/05 06:40:16.83 .net
素人なんだけど純粋な疑問がある
空集合って「任意の集合の部分集合」なんだろ？
それで居て空集合は「内部に何も含まない」だろ？
?∋?なのか？　???なの？
どっちなのか分からない

67:１３２人目の素数さん
14/01/05 06:46:52.30 .net
空集合は空集合を「含む」のか「含まない」のか

68:１３２人目の素数さん
14/01/05 06:53:32.25 .net
空集合は元を含まないので、空集合が空集合の部分集合であっても矛盾しない。

69:１３２人目の素数さん
14/01/05 06:57:37.64 .net
|A|=|B|=0 のとき、A=B だから、A⊆B、B⊆A はどちらも真

70:１３２人目の素数さん
14/01/05 15:20:39.47 .net
>>66 集合をビニール袋だと思え。
空集合は何も中身が入っていないビニール袋だ。

x∈A はAという集合にxが含まれている。
A⊂B は集合Bが集合Aを覆う。（含む含まないという言葉を使わない方が理解しやすい）
BがAを覆うというのは、Bの袋から要素を取り除くという操作をしたかもしくは何も操作しないときに
Aにできるということ。

空集合は空集合を覆う。（φ⊂φ）
これは、何もないビニール袋に何も操作しなければなにもないビニール袋のままであるということ。

71:１３２人目の素数さん
14/01/05 16:23:23.73 .net
>>68-70
ここまで丁寧に答えていただけるとは
脳みそのムズムズが取れてスッキリしました

72:１３２人目の素数さん
14/01/30 10:57:19.45 .net
初コメです。
集合論・数理論理学ガチでやりたいんですけど,不完全性定理終えた今からどの分野やったらいいんですかね?
キューネンの独立性証明の集合論にも興味ありますし,様相論理にも興味あるし,・・・
山本新の｢数学基礎論｣は最後までやったほうがいいのかな

73:１３２人目の素数さん
14/01/30 19:05:06.45 .net
自分の好きな分野をやればいいんじゃないの

74:１３２人目の素数さん
14/01/30 21:58:43.73 .net
やりたい分野を片っ端からやるしかないでしょ

75:１３２人目の素数さん
14/01/30 23:25:46.85 .net
自分がやりたいと思うものをやれば善し
それを人に聞くのはナンセンス

76:１３２人目の素数さん
14/01/31 01:50:36.01 .net
了解
今一番興味あるのは,｢巨大基数の集合論｣ですけど,結構なハイレベルな気がします。
前提知識はどの位いるのかな？

77:１３２人目の素数さん
14/01/31 03:18:57.97 .net
最低ラインは田中の公理的集合論をソラで再現できること

78:１３２人目の素数さん
14/01/31 16:20:35.11 .net
とある場所で
「対角線論法は間違ってる！
　なぜなら実数は無限小数ではないからだ
　無限小数は全ての桁が確定しないから数ではない
　自然数と実数は１対１対応”し続けられる”」
と吠えてるヤツがいるんだが

実数の完備性（コーシー列の収束）は否定してないらしいが
完備性から非可算性も導かれることが全然分かってない
どうにかならんかね？

79:１３２人目の素数さん
14/01/31 16:26:50.41 .net
害がないなら珍獣の生態観察をして楽しむのがよろし

80:１３２人目の素数さん
14/01/31 19:31:49.39 .net
>>76
二回の反復強制法と多少のモデル理論が分かってれば良い

KunenじゃなくてJechで勉強した、というパターン以外は
キューネンより先にその本読むのはほぼ無理だと思うよ

81:１３２人目の素数さん
14/02/01 00:01:01.59 .net
0.999・・・≠1　のやつだろ

82:１３２人目の素数さん
14/02/01 00:15:08.43 .net
>>78
クロネッカー？

83:１３２人目の素数さん
14/02/01 00:45:47.75 .net
直観主義の解析学でしょ

84:１３２人目の素数さん
14/02/01 01:15:55.15 .net
>>77,80
あざっす

それにしても,公理的集合論,数理論理学を自主勉強でやってきた物だから,
自分がどの程度出来ているor出来ていないのかがわからない

85:１３２人目の素数さん
14/02/01 18:03:01.22 .net
自主勉強の教材の命題を自力で証明できたらその教材は修了
でいいんじゃない？

86:１３２人目の素数さん
14/02/04 16:49:16.95 .net
>>78
非主流だけど、何人も指摘しているがそういう考えもあるからどうしようもないｗ

87:１３２人目の素数さん
14/02/04 17:16:47.27 .net
直観主義解析学でいうところの「実数」は通常の意味での実数とはまったく別物だから注意してね

88:１３２人目の素数さん
14/02/04 20:45:56.80 .net
√2やπが実数であることも認めないのかな？

89:１３２人目の素数さん
14/02/04 21:50:50.40 .net
直観主義なら認めるだろ

90:１３２人目の素数さん
14/02/05 14:33:13.85 .net
「πなどという数は存在しない」と言った数学者がいたとか

91:１３２人目の素数さん
14/02/05 22:06:12.48 .net
クロネッカーの主張は直観主義というよりはもっと過激な有限主義に近い

92:１３２人目の素数さん
14/02/06 00:30:44.88 .net
自然数は存在するけど負の数や有理数は存在しない、というのは
ちょっと過激すぎるよねえ

まあ、体をなさずモノイドにしかならない自然数は軽視されがちだから
その点はありがたいけど

93:１３２人目の素数さん
14/02/08 19:06:33.73 .net
田中の公理的集合論をそらで復唱できるぐらいになるっていうのは修士レベル?
公理的集合論辺りでは,
どの程度出来て学部4年・修士・博士レベルっていうか知りたいんですけど・・・

94:１３２人目の素数さん
14/02/08 19:13:02.30 .net
1回述語論理の完全性定理の証明抑えて学部3年ぐらい,不完全性定理の証明まで
そらで言えるようになって学部4年or修士1年じゃないのかなぁって
個人的には思ってるんですが。
それと,公理的集合論を深くやる人は,数理論理学は
どの程度抑えておいたほうがいいのかも教えて欲しいです
自然数論の無矛盾性の証明は是非抑えておきたいと思いつつも
全然手を付けていないっていう事もあります・・

95:１３２人目の素数さん
14/02/08 19:14:54.74 .net
がんばれ

96:１３２人目の素数さん
14/02/08 20:09:17.48 .net
素早いレスちょっとワロタ
このスレ逐一見てる人いるんですな

97:１３２人目の素数さん
14/02/08 21:06:53.43 .net
>>94
証明は覚えるもんじゃないけどなｗ

あと「抑える」じゃなく「押さえる」な

98:１３２人目の素数さん
14/02/10 02:00:20.42 .net
急にレスがなくなりましたね

99:１３２人目の素数さん
14/02/15 00:23:06.79 .net
何か急にレスがなくなりましたね
2月8日まではあったのに

100:１３２人目の素数さん
14/02/16 16:52:56.34 .net
形式主義を意識しながら圏論を勉強していきたいのですけど,
BGの公理系を学んだ後に圏論やったら見方がどういう風に変わりますかね？
BGの集合論やBGとZFCの関係について学べる本・論文あれば教えてください。

101:１３２人目の素数さん
14/02/21 01:23:04.67 .net
おーい
誰か～
コメントしてよぅ～

102:１３２人目の素数さん
14/02/22 09:10:34.22 .net
BGの一般存在定理あたりかな。
変数は全て束縛、クラス束縛変数は含まない式Aならクラスとして存在。
系として、任意のZFCの式についてそれを充たすクラスの存在がBGで言える。
公理に関する簡単な議論でZFCで証明できるならBGで証明できる。
でも、ZFCに関するかぎり強さは同等。
BGが書いてある本ならほとんど書いているはず。

倉田令二朗、篠田寿一公理的集合論の初めの方など

圏論の見方がどう変わるかはわからない。
クラスに意識はすると思うが。

103:１３２人目の素数さん
14/02/22 23:08:24.51 .net
別に大して見方は変わらず、圏論を集合論的に定式化する方法の
一つを学べるだけだよ

104:１３２人目の素数さん
14/02/22 23:48:42.15 .net
>>102,103
あざっす近いうちにBG集合論勉強します

105:１３２人目の素数さん
14/02/23 14:48:40.14 .net
クラスなんて大したもんじゃないよ

集合全体の集まりをＳとすると
クラスというのは２＾Ｓの要素
そのうちもとのＳに対応するものを
除いたのが集合以外の固有クラス

クラスの要素は集合だから
クラスを要素とする集まりは
クラスですらない

106:１３２人目の素数さん
14/02/25 23:27:59.31 .net
明日の16時39分頃に気をつけて下さい。
日本にも世界にも巨大地震が起きませんように。
皆さんも一緒に祈って下さい。

太陽フレアのＸが発生したそうです。
太陽黒点数の100越えが24日間継続しているようです。

107:１３２人目の素数さん
14/02/28 02:35:59.16 .net
セマンティクスを使わずに
３つの公理スキーマとＭＰだけを使って
命題論理式の証明を自動で導く
アルゴリズムの名前を教えてください

108:１３２人目の素数さん
14/02/28 14:34:21.97 .net
そんなのあるんだ
っていうかその質問スレ違いでは？

109:１３２人目の素数さん
14/02/28 14:36:25.68 .net
命題論理が完全であり決定可能であるという証明で使われている手法で定理を生み出していくアルゴリズムとはまた違うアルゴリズムなんですか？

110:１３２人目の素数さん
14/02/28 15:41:52.96 .net
ゲーデル数の小さい定理から順に自動生成するアルゴリズムとか？

111:107
14/02/28 16:34:36.53 .net
スレ違いスンマセン

論理学スレはどれも荒れていて
こちらのスレの雰囲気が良かったので

そういうようなアルゴリズムがあったら教えて
あるいは、関連する研究があったら教えて
という意図での質問でした

誰かしら研究はされてるはずと思っているのですがなかなか見つからない

ゲーデル数を使ったアルゴリズムは読んでいる教科書で軽くスケッチされているけど
細かい部分がよくわからないのでレシピがあったら読みたい

たぶん直接的に組むと指数関数的爆発だろうから
素人目には枝刈りのやり方とか研究のしがいがありそうな気が

112:１３２人目の素数さん
14/03/01 01:39:26.64 .net
>>110
"順に"っていうならゲーデル数で考えたくなりますけど,ゲーデル数は理屈上の概念であって
実用上あんな巨大な数はまず計算が間に合わないでしょうからっていうのが私の印象

113:１３２人目の素数さん
14/03/01 01:51:08.20 .net
変数記号を無限個 {x1、x2、x3、x4、……} 用意するんじゃなくて
{x'、x''、x'''、x''''、……} で代用してコード化すると有限文字（N文字）しか要らないから、
それぞれの文字を0～N-1と対応させてそのまま読むと
m文字の論理式はN進法でm桁のゲーデル数を対応させられる。
つまり N^m くらいしか要らない。

スマリヤンの本にあるゲーデル数化の方法だけど
m文字以下の論理式はある定数c、kに対してc^(m/k)程度はあるから、
このコード化は割と良い線言ってると思うよ。

114:１３２人目の素数さん
14/03/01 02:35:52.36 .net
それって,ｍを固定した時の議論に過ぎない気がします

115:１３２人目の素数さん
14/03/05 11:46:52.07 .net
WangのアルゴリズムでLKの証明は作れるから
LKとヒルベルトスタイルの同等性の証明をじっと見つめれば

116:107
14/03/05 20:56:52.52 .net
Wang のほうの資料は見つかったけど
同等性のほうの参考文献みつけられません…

同等性はセマンティクスを経由せずに証明できますか？
Deduction Theorem や完全性定理を仮定せずに証明できそうですか？

３つの公理スキーマについては、どの３種類を選ぶかは固定しておりませんが
その手法はそれでも適用できそうですか？

117:107
14/03/07 22:24:34.33 .net
セマンティクスを経由しないでという意味が分かりづらかったので説明します

３つの公理スキーマ
（Ａ１）Ｂ⇒（Ｃ⇒Ｂ）
（Ａ２）（Ｂ⇒（Ｃ⇒Ｄ））⇒（（Ｂ⇒Ｃ）⇒（Ｂ⇒Ｄ））
（Ａ３）（￢Ｃ⇒￢Ｂ）⇒（（￢Ｃ⇒Ｂ）⇒Ｃ）
とＭＰからなる公理系から出発すると、Deduction定理などを経由して完全系定理を示すことができて
この公理系はトートロジーの集合と一致することが示せます

一方、ルカシーヴィッツの公理系
（Ｌ１）（￢Ｂ⇒Ｂ）⇒Ｂ
（Ｌ２）Ｂ⇒（￢Ｂ⇒Ｃ）
（Ｌ３）（Ｂ⇒Ｃ）⇒（（Ｃ⇒Ｄ）⇒（Ｂ⇒Ｄ））
も同等の性質を持つ公理系らしいので、完全性定理の証明ができるはずですが
導くのにヒラメキが必要そうで、自分では証明を構成できていません

自分の第一の動機は、ルカシーヴィッツの公理系を出発点にした
完全性定理の証明を見つけたいので、コンピュータを援用したいという動機です

そして、一般の公理系は、適当に３つの公理スキーマを指定して考えることができるので、
適当に３つの公理スキーマが与えられたときに、それが完全性定理を満足するかを
ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要だろう、というのが第２の動機です

よろしくお願いします

118:１３２人目の素数さん
14/03/07 22:56:10.71 .net
二つの体系S1、S2が同等であることを確かめるには

S1の公理がS2で証明できることと、S1の推論規則がS2の推論を（何回か）使ってできること
S1とS2を入れ替えて上と同じこと

を確かめればよい

119:107
14/03/07 23:13:42.15 .net
(A1)～(A3) が定理であることが示せれば
それを使って完全性定理を示せ、
逆に完全性定理を示せるなら
(A1)～(A3) が定理であることが示せるので、
>118 の条件と >117 の条件は同じ意味になると思います

その >118 での確かめるアルゴリズムがあったらいいのですが…

120:１３２人目の素数さん
14/03/08 01:52:42.79 .net
このスレはちょっと活発そうなので,ここで聞いてみたいんですけど,
公理的集合論･数理論理学･証明論･モデル理論と代数･幾何･解析を扱う方の数学をまたぐ分野ってありますか？
そういう分野,研究にかなり興味あるんですけど。
数学基礎論の理論を代数･幾何･解析の土俵で扱うことが出来るような研究にも興味あります(逆も勿論興味あります)

何で現在,こんなにも｢情報数理と純粋数学｣って住み分けが進んでいるんだろうなっていう気分です。

121:１３２人目の素数さん
14/03/08 02:07:45.99 .net
超準解析はモデル理論の応用

122:１３２人目の素数さん
14/03/08 02:15:11.17 .net
その言葉聴いた事ある・・・でも知らない・
特殊な微積分を構築するんですか・・

123:１３２人目の素数さん
14/03/08 07:21:46.89 .net
ここに行ってくるんだ
URLﾘﾝｸ(www.math.wisc.edu)

124:１３２人目の素数さん
14/03/08 11:38:23.17 .net
URLﾘﾝｸ(library.msri.org)
MSRI Publications -- Volume 39

Model Theory, Algebra, and Geometry

Edited by Deirdre Haskell, Anand Pillay, and Charles Steinhorn

125:１３２人目の素数さん
14/03/08 12:40:57.03 .net
>>123,124
詳しい方々どうもです

126:１３２人目の素数さん
14/03/08 12:48:38.78 .net
MSRIって凄いですな日本で言えば,京大のリポジトリで過去のRIMS研究集会の講演内容を公開してる感じなのかな

127:１３２人目の素数さん
14/03/08 16:26:39.54 .net
>>107と>>117でだいぶ言ってることが違ってる気がするけど。
>>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。

なんで命題論理の公理図式は一般に3つだと思うようになったのか知らないけど
その体系の公理図式が3つであるのは偶然で、大した意味は無いよ
メレディスの図式みたいに一個からトートロジーを全て導き出せるようなものもある

ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。

＞ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。

128:１３２人目の素数さん
14/03/08 17:49:04.92 .net
>>117
＞ルカシーヴィッツの公理系も同等の性質を持つ公理系らしい

違うと思う
117の公理系では重複する前提を１つにまとめられないと思う

129:１３２人目の素数さん
14/03/08 17:55:32.28 .net
>>128のつづき

例えば(L1)～(L3)で
（Ａ⇒（Ａ⇒Ｂ））⇒（Ａ⇒Ｂ）
を証明できる？

130:１３２人目の素数さん
14/03/08 20:22:17.65 .net
>>128-129

129 の命題式は恒真なので、(L1)～(L3) から証明できると思ってました

自分のネタ元は
Elliott Mendelson 『Introduction to Mathematical Logic, 5th ed.』
の
Exercise 1.58
で
"Prove that a wf B of L is provable in L if and only if B is a tautology."
とあります

131:１３２人目の素数さん
14/03/08 20:35:07.14 .net
>>127
＞ >>107と>>117でだいぶ言ってることが違ってる気がするけど。
＞ >>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
＞ 2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。

とすると、>115 のアルゴリズムはまだ自分では把握できていないのですが、
上記のような考え方でのアルゴリズムになるんですかね？

＞ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
＞ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。

確かに目の前のエクササイズの解答を得るにはそれが良さそうですが、それでも
別のｎ個の公理図式を与えた場合はどうか、また別の…、というふうに
いくらでも問うことができて、そのたびに解くためにヒラメキが必要とされるのであれば
一般的に解けたといいにくいなあと思うので

＞＞ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
＞そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。

まだ誰も研究テーマにしたことないでしょうか？

132:１３２人目の素数さん
14/03/09 00:00:03.36 .net
かなり踏み込んだ話題でもレスしてくださる方がいらっしゃるようですが,
じゃあ,私も山本新先生の数学基礎論についても埋めれなかった行間が沢山あるんですが・・・

133:１３２人目の素数さん
14/03/09 01:06:27.21 .net
別に有名というわけでもない本の題名を挙げられても…

134:１３２人目の素数さん
14/03/09 03:20:02.50 .net
あぁ・・有名じゃないのか・・・
中身は結構いいんですけどね・・・

135:１３２人目の素数さん
14/03/09 19:58:11.72 .net
質問の仕方次第

136:１３２人目の素数さん
14/04/01 02:12:29.10 .net
無限公理として ∃y(φ∈y∧∀x(x∈y→x∪{x}∈y)) を採用した場合、
∃y(φ∈y∧∀x(x∈y→{x}∈y)) は証明できますか？

137:１３２人目の素数さん
14/04/01 02:39:15.45 .net
置換公理があれば可能、なければ
ZC（ZFC - 置換公理 + 分出公理）では不可能

138:１３２人目の素数さん
14/04/01 03:18:46.38 .net
そうですか、安心しました
ありがとうございます

139:１３２人目の素数さん
14/04/01 15:00:34.74 .net
可能である事を主張するのは,証明図を見つけたらいいだけいい一方,,
不可能である事を主張するのって大分困難だと思ってるんですが,
それをささっとレスして凄いですね。

140:１３２人目の素数さん
14/04/01 15:04:00.48 .net
質問文を読んでから問題を検討したわけでもあるまいに
ささっとレスすることの何が凄いのだろうか

141:１３２人目の素数さん
14/04/01 21:12:47.16 .net
最近公理的集合論の勉強を始めたばかりなのですが、
整列可能性と可算性の関係はどういう関係なのでしょうか？同じに見えるのですが。
また、選択公理の独立性は話題になるのに、置換公理や無限公理など他の公理の
独立性が話題になることが余りないのは何故なのでしょうか？

142:１３２人目の素数さん
14/04/01 23:10:36.51 .net
割と有名な教科書にそのまま載ってます。
片方が成り立ってもう片方が成り立たないモデルを作れば良い。

>>141
可算⇒整列可能は成り立つけど
整列可能⇒可算は成り立たない。
実際、ちょっと厳密じゃない言い方になるけど
可算な整列順序の順序型の全体は整列可能だけど
ω＝aleph_0の次の基数になる。

置換公理や無限公理の独立性は選択公理より遥かに簡単に示せます。
これも丁寧に書いた教科書なら大抵載ってます。

143:１３２人目の素数さん
14/04/02 02:06:44.02 .net
ZFCの各公理の独立性の証明では,ACの独立性の証明が一番難しいんですか?

144:１３２人目の素数さん
14/04/02 20:15:28.26 .net
>>142
ありがとうございます。
可算でないのに整列可能ということがあり得るということですが、どうもよく
わかりません。非可算な集合を整列するとき、最初の可算部分を整列させた後、
残りの非可算の部分をどうやって整列させるのでしょうか？

ところで、無矛盾性や独立性を示すには、モデルの存在によって示すしか他に方法は
方法はないのでしょうか？モデルを持ち出さずに直接？示すことはできないのでしょうか？
また、モデルが矛盾するということはないのでしょうか？

145:１３２人目の素数さん
14/04/02 21:44:12.03 .net
>>144
松坂の｢集合･位相入門｣の整列可能定理見ればいいと思う

146:１３２人目の素数さん
14/04/02 22:58:02.79 .net
144は任意の非可算集合を整列させることを問題にしているけど
142で言っているのは非可算な整列集合が存在するということだけで、
後者を示すだけなら選択公理みたいなものは使わない。

無矛盾性について言えば、
証明を形式的に分析して0=1に至る証明が存在しないことを
何らかの方法で示すという証明論的方法もあるにはある。
正直あまり実用的な感じではないけど。

あとは教科書読んで勉強して下さい

147:１３２人目の素数さん
14/04/03 15:40:43.86 .net
>142で言っているのは非可算な整列集合が存在するということだけで、
>後者を示すだけなら選択公理みたいなものは使わない。
実数の集合がその例ですね。非可算かつ自然な順序関係によって整列される

148:１３２人目の素数さん
14/04/03 18:28:01.78 .net
>>147
> 実数の集合がその例ですね。非可算かつ自然な順序関係によって整列される

？

149:１３２人目の素数さん
14/04/03 18:48:18.89 .net
整列の定義も知らんみたいね

150:１３２人目の素数さん
14/04/03 21:29:54.80 .net
まあ取り敢えずは教科書で整列順序の定義を確認しよう

151:１３２人目の素数さん
14/04/04 20:31:23.75 .net
>>148
そうか、０以上の実数の集合、としても駄目ですね。
じゃあ、非可算な整列集合ってどういうものだろう？
整列って変な性質ですね

152:１３２人目の素数さん
14/04/04 20:47:11.41 .net
変に見えるから選択公理にいちゃもんつける人がまだまだいるんだろう

153:１３２人目の素数さん
14/04/04 22:53:16.63 .net
選択公理はどこが変なのでしょうか？無限公理が変だと思わないように
選択公理も全然変だと思わないですけどね。
整列の方は、可算でもなく単なる全順序でもないという、なんだか変な
感じがするけど。

154:１３２人目の素数さん
14/04/04 23:39:15.03 .net
147みたく教科書も読んでない人みたいなレスだな

155:１３２人目の素数さん
14/04/04 23:49:09.46 .net
整列可能定理よりもZornの補題の方が遥かに「成り立ってそうな感じ」がする

156:１３２人目の素数さん
14/04/05 02:25:50.34 .net
選択公理 ⇔ 整列可能定理 ⇔ ツォルンの補題

157:１３２人目の素数さん
14/04/05 03:07:01.43 .net
>>153
選択公理の帰結や、選択公理と同値な命題を色々眺めてれば何か悟るんじゃね？

158:１３２人目の素数さん
14/04/05 04:44:42.62 .net
選択公理が変だと思う奴はあまりいないだろ
選択公理から出る結果が変だと思うから選択公理も疑われるだけ
有名なのはバナッハ・タルスキーの定理だな

159:１３２人目の素数さん
14/04/05 08:26:10.40 .net
濃度をまともに扱いたければ結局選択公理に頼るしかなくなるから大抵は悟ることになる。

160:１３２人目の素数さん
14/04/05 12:48:31.25 .net
>>151
たしかに変なことが起きるのは非可算な整列集合のときだけかもしれん
可算集合の場合はいくら選択公理を適用してもおかしなことは起きんのじゃないかな

161:１３２人目の素数さん
14/04/05 13:38:50.39 .net
選択公理そのものは認めずに、可算選択や従属選択に制限してADつけ加えるとかもあるけど、実数を扱うならちゃんとした選択公理が欲しい。
たとえばRを、差が有理数な時同値という同値関係～で類別した時に、従属選択ぐらいではR/～の濃度がRの濃度より大きくなったりしてしまう。

162:１３２人目の素数さん
14/04/06 00:35:26.00 .net
＞R/～の濃度がRの濃度より大きくなったりしてしまう
それはバナッハ・タルスキーの定理よりもよっぽど気持ち悪いですね

163:１３２人目の素数さん
14/04/06 00:40:03.52 .net
ここはお前の日記帳だ

164:１３２人目の素数さん
14/04/06 00:41:49.70 .net
え、何か気に障ることを書いてしまいましたか

165:１３２人目の素数さん
14/04/06 00:57:32.19 .net
集合論が終わったのは全部ラッセルのせいらしいな

166:１３２人目の素数さん
14/04/06 02:09:43.26 .net
虚数集合の行列演算は可能でしょうか？

167:１３２人目の素数さん
14/04/06 02:11:01.99 .net
私は掛け算ができません

168:１３２人目の素数さん
14/04/06 10:36:34.63 .net
ラッセルが、１足づつある靴下（左右の区別がつかない）の集合から片方を
一つづつ選んだ選択集合は作れないだろうという主旨のことを言っているが、
なんでつくれないんだっけ？

169:１３２人目の素数さん
14/04/06 11:08:33.83 .net
写像というのは定義域のすべての要素に対してそれぞれ値がただひとつ決まらなければならない。重要なのは順に決めるんじゃなく、一気に全部決まる必要があること。写像は集合の一種。
脚が有限組なら、もちろん具体的に指示して前から順に靴下を選べばよい。終われば一気に決めたのと実質同じだから。しかし、無限組ある場合、このような具体的な指示ではいつまでも対応づけは終わらない。一気に決めた状態に辿り着くことはない。
無限にあっても前の組までの対応から次の組の対応が決まるならそれは具体的な指示だから値は決められるかもしれない。可算選択や従属選択が比較的嫌われないのはそのあたりにあるわけで、その意味で靴下のたとえはあまり適切ではないかも。
また、靴なら右を選ぶという具体的な指示ですべて一気に選べるだろう。
しかし、たとえば無限組の脚がぐちゃぐちゃな配置で前から並んでいない虫で、ペアとなる脚の組から靴下をひとつずつ選ぶ時、適当な指示を与える有効な手段は無いかもしれない。となると、一気に決まると断言することはできない。
選択公理はそれができると断言することにあたる。

170:１３２人目の素数さん
14/04/06 11:28:18.61 .net
選択公理は、「そういう写像が在る」ということを主張しているだけで、
「そういう写像が決まる」ことを言ってるのじゃないから、ラッセルの
例は、選択公理に対する反例（というのかな）にはならないのでは？

171:１３２人目の素数さん
14/04/06 11:52:46.06 .net
ラッセルのは反例というよりは、じゃあこの場合は本当に選択関数はあるの？という問いかけでしょう。あるというなら具体的に示して、と。
ヒルベルトの「神学」や、カントールの実無限に対する批判を見れば感じると思うけど、20世紀に抽象数学が発達する以前は具体的手段がないのに選択ができるというのは数学者のスタンダードから外れていた。
まだ選択公理批判が始まった頃はその感覚は相当残っていたんじゃないかと。

172:１３２人目の素数さん
14/04/06 11:54:36.43 .net
互いに素な（空でない）集合からなる（空でない）集合　から代表元を選び出すことの喩え
左右の区別がつかないので、一斉に左を選ぶというような方法で代表元を指定することはできない

173:１３２人目の素数さん
14/04/06 11:55:55.92 .net
急にポエム化が進んだな

174:１３２人目の素数さん
14/04/06 11:58:12.67 .net
おまえさんにはこれがポエムに見えるのか…

175:１３２人目の素数さん
14/04/06 12:00:02.49 .net
可算集合の場合はいくら選択公理を適用してもおかしなことは起きんのじゃないかな

176:１３２人目の素数さん
14/04/06 12:09:37.12 .net
整列してあれば当然問題ないけどそのような構造を与えてない怪しい可算集合なら安心できないというのもひとつの考え方。

177:１３２人目の素数さん
14/04/06 12:12:04.46 .net
>>174
完成された現代数学しか見てなきゃこんなもんだと思うよ。

178:１３２人目の素数さん
14/04/06 12:40:09.79 .net
ラッセルの靴下の例は選択公理の理解に有用だけど
「虚数集合」とか良く分からない用語を勝手に自分流で使ったりするのはアレだね
しかも集合論の話っぽくないし

179:１３２人目の素数さん
14/04/06 12:44:05.45 .net
行列を習ったばかりの高校生が、複素係数の行列も考えられるのでしょうか？
という趣旨の質問をしたと解釈

180:１３２人目の素数さん
14/04/06 14:40:40.82 .net
>>176
自然な整列ができない可算集合があるということ？

181:１３２人目の素数さん
14/04/06 15:41:58.79 .net
可算ということは自然数全体の集合からの1対1ontoな写像はあるはずだから、それを具体的に与えれば整列できるはず。ただ、写像がある、というだけだと、具体的には整列しようがない。

182:１３２人目の素数さん
14/04/06 18:18:59.77 .net
全単射があれば整列順序は得られるし
具体的な全単射があれば具体的な整列順序が得られるというだけの話じゃないの

183:１３２人目の素数さん
14/04/06 18:35:34.96 .net
>>182
>全単射があれば整列順序は得られるし

それができるというのがまさしく可算選択公理なわけで。つい当たり前と思ってしまうが、自明からはほど遠い話。

184:１３２人目の素数さん
14/04/06 18:59:06.26 .net
Xが可算集合であるとは全単射f:X→Nが存在することであり、
x, y∈X に対してx≦y⇔f(x)≦f(y)と定義すると(X,≦)は順序集合となり、fは順序同型写像。
ゆえに(X,≦)は整列集合である。

これだとどこか間違ってるの？

185:１３２人目の素数さん
14/04/06 19:18:19.83 .net
具体的な全単射が指定されていればそれで整列できるが、全単射があるというだけではそのように順序を与えることができない。

186:１３２人目の素数さん
14/04/06 19:29:17.01 .net
んん？？
そうなのか？

Xが可算集合であるとは∃f(fはXからNへの全単射)のことであり、
x, y∈X に対してx≦y⇔f(x)≦f(y)と定義すると(X,≦)は順序集合となり、fは順序同型写像。
ゆえに(X,≦)は整列集合である。
したがってXは整列可能な集合である(変数fは消えた)。

上の論証でも、Nが整列集合であることの証明でも、選択公理を使っていない。

187:１３２人目の素数さん
14/04/06 19:40:29.06 .net
非可算無限ある全単射: X→N から一個の f を取り出すのはまさに選択公理でしょう

188:１３２人目の素数さん
14/04/06 19:48:48.12 .net
それは選択公理ではなく、ヒルベルトのchoice operatorというやつなのでは。
不定にchoiceされたfは最終的に消えるので「可算集合は整列可能である」は証明できたことになると思う。

189:１３２人目の素数さん
14/04/06 20:06:02.05 .net
何度繰り返しても選択公理を使ってないと思い込んでしまうくらい勘違いしやすいということだな。

190:１３２人目の素数さん
14/04/06 20:15:35.89 .net
>>188
fが消えるのと同時に X の順序を決める ≦ も消えてんだよ

191:１３２人目の素数さん
14/04/06 20:17:33.68 .net
非常に芳しいやりとりだ。

192:１３２人目の素数さん
14/04/06 20:24:37.47 .net
非可算集合は、選択公理のもとでも、整列可能だが、「具体的には整列
しようがない」のね？

193:１３２人目の素数さん
14/04/06 20:30:21.36 .net
>>192 実数の全体について言えば、その種の言明は正しい。

194:１３２人目の素数さん
14/04/06 20:33:23.45 .net
>>190
最終的な結論は「Xは整列可能である」、つまり∃R[ (X,R)は整列集合) ]だよ。
Rはただの束縛変数。
何の問題もないと思うけど。

195:１３２人目の素数さん
14/04/06 20:34:16.61 .net
>>193
「実数の全体」という限定は必要ないのでは？

なお、可算集合は、選択公理がなくても、整列可能

196:１３２人目の素数さん
14/04/06 20:36:41.60 .net
>>195 ω_1 のような非加算順序数の場合は？整列順序を、論理式
x∈y∨x＝y で定義できると思うけど。

197:１３２人目の素数さん
14/04/06 20:37:50.99 .net
「芳しい」というより、「香ばしい」やりとりだな。
自然数の整列性は、自然数の定義にもよるだろうが、
普通の定義、例えばベアノの自然数なら、証明できる。
その上で、整列順序の存在は、
可算集合と自然数集合との全単射の存在と同値。
可算選択は、数学的帰納法に過ぎない。

198:１３２人目の素数さん
14/04/06 20:39:02.27 .net
>>190
自然演繹の∃除去の規則を思い出せば分かると思うんだけど。

199:１３２人目の素数さん
14/04/06 20:42:57.01 .net
＞可算選択は、数学的帰納法に過ぎない。
可算整列は、数学的帰納法に過ぎない。
の間違い？

200:１３２人目の素数さん
14/04/06 20:43:03.91 .net
集合論の根幹を覆す主張がされてるなw

201:１３２人目の素数さん
14/04/06 20:58:40.92 .net
190はそもそも、fが消えるとか自然演繹とか、意味わかっとらんのやろ

202:１３２人目の素数さん
14/04/06 21:06:39.40 .net
>>183
可算選択公理 axiom of countable choice ってのは
A_n≠φ（n∈ω）のとき選択函数 f : N→∪A_n で f(n) ∈ A_nとなるものが存在する、
という主張のことを言うと思うんだけど。

URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)

可算集合が整列できないなんていう変な主張のことじゃないよ。

一個以上あるものから一個を取り出すだけなら
（具体的なものを取れるかどうかは分からないけど）選択公理は要らない。

203:１３２人目の素数さん
14/04/06 21:12:01.55 .net
選択関数の存在に選択公理が要らないとな

204:１３２人目の素数さん
14/04/06 21:16:21.36 .net
>>203
だからそれ（存在量化された命題から、一つの実例を選び出す）は選択関数じゃないっての
選択公理とは、「存在量化された命題から、一つの実例を選び出す」という操作を無限回行えることを保証する公理

205:１３２人目の素数さん
14/04/06 21:20:20.28 .net
「存在量化された命題から、一つの実例を選び出す」という操作を無限回　　しかも一括で　　行えることを保証する公理

と言った方がいいかも

206:１３２人目の素数さん
14/04/06 21:21:32.37 .net
選択函数ってのは
空でない集合の族 F = {A_i} (i∈I), A_i ≠φがあったときに
f(i)∈A_i となるような函数
（つまり A_i たちからそれぞれ要素 f(i) をチョイスする函数）
のことを言う、という風に定義されてると思うけど。

選択函数とか或る集合が可算であるとか、可算選択公理とかの
定義を確認した方が良いと思う。

207:１３２人目の素数さん
14/04/06 21:42:22.59 .net
与えられた集合 X の整列順序を ZFC の具体的な論理式で書き下してくれとか、
与えられた、空でない集合族 (A_i)_{i∈I} (A_i ≠ φ)の
選択関数を具体的に構成してくれとか、そういう要求でないのかな？

208:１３２人目の素数さん
14/04/06 22:07:51.00 .net
そういう具体的に～ってできるの？

209:１３２人目の素数さん
14/04/06 22:13:21.67 .net
たとえば、実数の全体の整列順序関係を、ZFC + GCH 内で具体的な論理式で
書き下すことが不可能なことは、すでに知られているよ。

210:１３２人目の素数さん
14/04/06 22:14:55.10 .net
>>192
バナッハタルスキの件も、「具体的には整列しようがない」非可算集合を整列しちゃう
ところから生じているの？

211:１３２人目の素数さん
14/04/06 22:56:53.37 .net
代表元が取り出せることだったような。まあ同じことか

212:１３２人目の素数さん
14/04/06 23:29:06.35 .net
ZFCZFCZFC

213:１３２人目の素数さん
14/04/07 01:22:10.73 .net
バナッハ・タルスキーは、体積が違う球体が作れてしまうのが
選択公理のせいではないことは分かっている

214:１３２人目の素数さん
14/04/07 04:03:21.91 .net
今までの議論ざっくり見ましたが,大学2,3年生ぐらいの議論という事ですか?
曖昧な表現や思い込み･勘違いな表現が多数見受けられましたが。

215:１３２人目の素数さん
14/04/07 07:04:16.99 .net
単に定義について勘違いをしてた人が居ただけ
まああまり高度なポイントではなくて
きちんと本に書いてある定義に則って話をするかどうかということだけど

216:１３２人目の素数さん
14/04/07 07:07:01.78 .net
選択公理→ハーンバナッハ→バナッハタルスキ
だから、選択公理のせいではないとは言えない

217:１３２人目の素数さん
14/04/07 07:42:16.27 .net
Banach-Tarskiの定理そのものはACが無いと証明できないけど
同じようにパラドクシカルな定理がAC無しに示せるので、
ACの関わっている部分はかなり微妙な部分になる
URLﾘﾝｸ(www.pnas.org)

218:１３２人目の素数さん
14/04/07 10:22:44.34 .net
>>215
定義の意味についての議論もあるね

219:１３２人目の素数さん
14/04/07 10:24:54.67 .net
ACがあれば証明されるけどACより弱い定理から導かれるのでACが必要というわけではなくAC無しでも証明できる

220:１３２人目の素数さん
14/04/07 10:51:40.77 .net
具体的にはどう弱い公理よ

221:１３２人目の素数さん
14/04/07 11:25:50.58 .net
>>220
>>216

222:１３２人目の素数さん
14/04/07 11:39:57.09 .net
サンクス

223:１３２人目の素数さん
14/04/07 12:21:03.28 .net
>>183を見る限り、定義の勘違いだけではなさそうだが…
本当は必要ないのに、特別な公理が必要だと思い違いをしてて、こっちの方が深刻

224:１３２人目の素数さん
14/04/07 21:30:48.96 .net
深刻にならずにやろうぜｗ

225:１３２人目の素数さん
14/04/10 14:04:13.78 .net
選択公理も含めて、どの公理もその独立性は直感的に明らかだと思うんだが、
独立だと思っていたら実は独立でなかったというような公理はなにかあったの？

226:１３２人目の素数さん
14/04/10 19:16:43.07 .net
ZF + not ACのモデルの存在は直感的に明らかということでOK？

というか分出公理は置換公理から出て来るとか、
公理同士の依存関係は結構あるよ
分出公理や空集合の存在を除いても確か除いて良い公理があったような

227:１３２人目の素数さん
14/04/10 19:30:17.10 .net
> ZF + not ACのモデルの存在は直感的に明らかということでOK？
そのつもり。+ ACも + not ACもどちらも直感的に矛盾しそうにない。
> というか分出公理は置換公理から出て来るとか
分出公理と置換公理は、むしろ直感的に等価だと感じる方に属する。

228:１３２人目の素数さん
14/04/10 19:57:13.17 .net
分出公理から置換公理は出ないから等価というのはおかしいよ。
置換公理の方が遥かに強い。

229:１３２人目の素数さん
14/04/10 20:27:58.02 .net
不用意だった。あなたの言うとおりだ。
ただ、置換公理->分出公理であることは、直感的にもわかりやすいよね。
一方、分出公理!->置換公理であることはオレにはすぐにはわからないのだが

230:１３２人目の素数さん
14/04/10 20:36:40.99 .net
> 分出公理!->置換公理であること

？

231:１３２人目の素数さん
14/04/10 20:41:57.10 .net
分出公理から置換公理は出ない

232:１３２人目の素数さん
14/04/10 21:42:15.56 .net
>>229
累積的階層のR(ω+ω)がZCのモデルになって
置換公理以外は分出も含めて成り立つけど置換公理は満たさない
特に順序数ω＋ωが存在しない

「明らか」という言葉は簡単に証明できると言える場合以外使わない方が無難だと思う

233:１３２人目の素数さん
14/04/10 22:18:53.70 .net
僕は昔集合論を勉強し始まったころ、ZF から AC が証明できると思い込んで、
しかもそれが「直観的にも明らか」だと信じてしまっていた経験がある。

後でゲーデルやコーエンの理論を読んで、じっくり反省しました。

234:１３２人目の素数さん
14/04/10 22:31:37.87 .net
ブルバキの集合論ではACを証明してあるね

235:１３２人目の素数さん
14/04/10 22:58:53.31 .net
ちょっと初歩的な質問をさせて貰いますが,
｢ACがZFから独立である事を証明するには,ZF+￢ACのモデルの存在を言えばいい｣って言うのは何故ですか？

236:１３２人目の素数さん
14/04/11 09:08:21.81 .net
それだけじゃダメだけどな

237:１３２人目の素数さん
14/04/11 09:15:05.52 .net
>>233
それがあなたなりの根拠があってそう直感したということだったとしたら
おもしろいね。どういう根拠だったか知りたい。少なくとも、￢ACの独立性は
正しく直感していたということなわけだし。

>>234
なにか代わりの公理を入れて？

>>235
完全性定理

238:１３２人目の素数さん
14/04/11 09:48:54.27 .net
ブルバキのは確かR(x)を満たすxが存在するならその存在するもののうちひとつを表す記号(なければなんでもよい)
τ_xR(x)
があるので、これを用いれば選択関数が簡単に作れてしまうという、半ば反則的な方法をとっていたと思う。

239:１３２人目の素数さん
14/04/11 10:34:19.41 .net
それは選択関数そのものじゃないの？

240:１３２人目の素数さん
14/04/11 10:57:11.65 .net
そのものじゃないでしょ。でもすべてのx∈Xについてf(x)≠φならば、選択関数gが
g(x)=τ_y(y∈f(x))
で定義できる。

241:１３２人目の素数さん
14/04/11 22:24:32.26 .net
数理論理学的にはちょっと違うけどね。
たとえば選択公理を認めても選択函数はdefinableなもの
（上で言うところの「具体的」な函数）になるとは
限らないけど、ブルバキのτ（ι記号とも言う）を使。うなら
必ず論理式で具体的に書けるような関数になる

集合論は「明らか」だと思われるようなことに
実は数学的・論理学的にすごく微妙subtleな点があるのが面白さの一つだと思う

242:１３２人目の素数さん
14/04/12 07:59:17.41 .net
キューネン『集合論』は、集合論の入門書ですか？それとももっとレベルが高いですか？

243:１３２人目の素数さん
14/04/12 08:33:51.39 .net
レベルが高い入門書です。
何年か前に30年近くぶりに新版が出て内容が一変してます。

244:１３２人目の素数さん
14/04/12 09:08:55.59 .net
ある程度集合論について知識持った方に聞きたいんですけど,
どの学年でどの程度の知識を持っているのが大体の相場なんでしょうか？
例えば, 学部○年で,松坂の集合位相入門の,濃度･順序数をほぼ完璧に理解。○年で,不完全性定理を理解。
修士or博士○年で強制法理解････とか･･

245:１３２人目の素数さん
14/04/12 09:57:40.99 .net
位相もちゃんとやれよ

246:１３２人目の素数さん
14/04/12 12:19:39.02 .net
>>241
>集合論は「明らか」だと思われるようなことに
>実は数学的・論理学的にすごく微妙subtleな点があるのが面白さの一つだと思う
それは集合論に限ったことではないと思うのだが、どう？
それに、（これも一般に）微妙な点というのは弱みであることも多い
（むしろふつううはそう）と思うが、どう？

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