コラッツ予想がとけたらいいな

コラッツ予想がとけたらいいな at MATH

[前50を表示]
550:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/18 11:28:23.95 9Ln5vaRN.net
状態遷移図を修正しました。
before:A1＼after:A1で結果がA8になっているのは、
A1からA1に遷移させるつもりだったけど、実際に計算してみるとA8に遷移してた、ということです。
あと、A4-A2-A2の遷移はA4-A2-A3になってしまうので、
A4-A2-A3-A1-A8-A8-A7-A6-D1　の17*9ステップが最長となります。
実はもう一つ問題があるのですが、それは後で書きます。

551:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/18 13:43:41.26 9Ln5vaRN.net
A6-D1-A1-A8と遷移したとします。
D1の末尾は0なので、A1～A8に繋げる事ができません。
そこで11を挿入します。（1じゃないのは0101010回避のため）
次にA1を普通にやって、A8の先頭で、コラッツパターンの右端を2つ左にずらします。
これで11と相殺されます。
このときのA8のライトエッジパターンは[-2,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,1]
と書いても良いかもしれません。
これで「左端を伸ばすパターン」<「コラッツパターン」<「xsA」の関係も維持されます。

552:tai
16/07/18 15:08:39.36 10r4gZiw.net
2bitで計算して
coqで確認
というのは
どちらかというと
ありそうな証明です
頑張ってください

553:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/18 15:18:39.40 9Ln5vaRN.net
ありがとうございます。励みになります。

554:１３２人目の素数さん
16/07/18 21:31:58.47 XgyK6DxB.net
全てのnに対して2^n-1がコラッツの予想成り立つことは示せないかな。

555:１３２人目の素数さん
16/07/18 21:42:48.17 ltHytvK0.net
数学的帰納法でいけるんじゃね
適当だけど

556:１３２人目の素数さん
16/07/18 21:53:16.94 XgyK6DxB.net
>>535
まじで。
>>1の言うようにビットパターンをセルオートマトンとみなすと
無限大に発散する数というのは自己複製型みたいになるのかな？

557:１３２人目の素数さん
16/07/18 21:54:40.85 ltHytvK0.net
いけんかったわ
すまんまん

558:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/19 05:22:17.53 /x3cNL5P.net
>>531
ちょっと変えます。
A6-D1-A1と遷移したとします。
D1の末尾は0なので、A1～A8に繋げる事ができません。
そこで、適当な後方から11を借りてきます（1じゃないのは0101010回避のため）。
貸した部分まで来たら、また後方から11を借ります。
D1が現れるごとに借りる個数は増えていきますが、コラッツパターンは無限に続くという仮定の元でおこなっているので、問題ないです。
また、11を前方へ移動させているだけなので、ライトエッジパターンの総量はかわらず、
「左端を伸ばすパターン」<「コラッツパターン」<「xsA」の関係も維持されます。

559:１３２人目の素数さん
16/07/19 10:40:37.10 hOf9e9qx.net
まだナントカパターンでやってるのか。頭の悪い奴だな。
左端を延ばすパターンでも、ライトエッジパターンでも、
2進法で表された何らかの数の、左端と右端の数桁だか数十桁だかの
固定された桁数しか見ていない。そのような固定された桁数では、
絶対にパターンに嵌まらないイレギュラーなパターンが出てくる。
それらのパターンまで取り込むと、既存の桁数では足りず、
確認すべき桁数を拡張しなければならない。
＞そこで、適当な後方から11を借りてきます（1じゃないのは0101010回避のため）。
この部分は、まさに桁数を拡張していることに対応する。
そして、この作業は終わらない。すなわち、有限個のパターンでは収まらない。
一般的に記述すると、漸化式の形で延々と続くような記述になってしまう。
その漸化式は、次の項に進むごとに、2進法で表された数の中心に向かって、
左端と右端からどんどんと桁数が侵食されていくような形式になるはず。
＞D1が現れるごとに借りる個数は増えていきますが、コラッツパターンは無限に続くという仮定の元でおこなっているので、問題ないです。
この部分は、まさにこのことを示唆している。
そして、一般的に記述した漸化式を解析することは、もともとのコラッツの問題と
同程度もしくはそれ以上に難しい。よって、この方法では無理。
righ1113 ◆OPKWA8uhcY は、桁の計算をいつもいつも概算で済ませて「問題ないはず」と発言し、
そのたびに、後になって修正するのを繰り返しているが、要するに、
桁の計算は概算で済ませてはいけないのである。いい加減にコイツは気づくべきである。
概算で済ませず、厳密に計算してみろ。
有限個のパターンでは収まらず、漸化式の形で延々と続くような記述にしかならないはずだ。
そして、その漸化式は複雑すぎて手に負えず、この方針では解けないのだ。

560:１３２人目の素数さん
16/07/19 17:16:33.31 HatOoCps.net
仮に全ての奇数で成立することが証明できれば全ての整数で成り立ちますか？

561:534
16/07/19 20:46:50.47 epF0+HEh.net
>>1さんよ
とりあえず目標を>>534まで落としてみないか？
これでも十分難しいぞ？
Coqスレの147あんたじゃろ？
あの時は目標を落としたことで前に進んだじゃろ？
ちなみにCoqスレの148は俺じゃから。
まあ考えてみてくれ。

562:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/20 02:31:18.77 BzZgXVUi.net
ありがとうございます。考えてみます。

563:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/20 14:58:08.77 33UAumcc.net
調べた所、1000000009151が241ステップと長めだったので、計算してみました。
URLﾘﾝｸ(drive.google.com)
状態遷移は上手くいっているみたいです。
11の貸し借りも出来ているんですけど、、貸す所と借りる所がかぶらなかったので、あまり参考になりませんでした……

564:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/20 15:04:00.42 33UAumcc.net
11の貸し借りでかぶるとどうなるかを見るために、
100ステップずつ11を借りる例を考えてみます。
借りる先は2乗ステップ目です。
・100ステップ目で10000ステップ目から11を借りる
・200ステップ目で40000ステップ目から11を借りる
……
・10000ステップ目で貸した11の穴埋めと、新たな11を10^8ステップ目から借りる
・40000ステップ目で貸した11の穴埋めと、新たな11を16*10^8ステップ目から借りる
……
・10^8ステップ目で計111111を、10^16ステップ目から借りる
・16*10^8ステップ目で計111111を、16^2*10^16ステップ目から借りる
……
貸す所が010101…になっている場合もあるので、実際は倍の長さが必要ですが、
それでも、「借りる11…が次のゾーンにひっかかる」というような事は起きません。
この作業に終わりはないのですが、この作業の途中で、
傾きの影響で、左端を伸ばすパターンとxsAの順序が逆転して矛盾します。

565:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/20 16:53:11.61 33UAumcc.net
式で書くと、
100^(2^n-1)ステップで"11"*n*2を100^(2^n)ステップから借りる時、
次のゾーンまでは少なくとも200*100^(2^n-1)空いているから、
2*n*2 < 200*100^(2^n-1)が言えて、次のゾーンにはかからない。です。

566:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/20 17:38:16.68 33UAumcc.net
修正します。
式で書くと、
100nステップで"11"*(log(4√n)+1)*2を(100n)^2ステップから借りる時、
次のゾーンまでは少なくとも200*100(n-1)空いているから、
2*(log(4√n)+1)*2 < 200*100(n-1)が言えて、次のゾーンにはかからない。です。

567:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/20 18:24:37.15 33UAumcc.net
再修正します。
式で書くと、
100nステップで"11"*[(log(4√n)+1)]*2を(100n)^2ステップから借りる時、
(100(n+1))^2 -(100n)^2
=(10000(n+1)^2) -10000n^2
=10000n^2 +20000n +10000 -10000n^2
次のゾーンまでは少なくとも20000n空いているから、
2*[(log(4√n)+1)]*2 < 20000nが言えて、次のゾーンにはかからない。です。

568:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/21 04:10:50.80 gnqJHnrj.net
>>540
全ての偶数は、2で割る事を繰り返せば奇数にたどり着くから、
全ての奇数で成立することが証明できれば、全ての自然数で成り立ちます。
全ての整数で成り立つかどうかは分からない。

569:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/21 05:34:29.16 gnqJHnrj.net
>>541
2^n-1は、2進数で表すと1111…ですね。
試しに3(11)でおこなうと、次ステップは5(101)になります。
7(111)でおこなうと、次ステップは11(1101)になります。
5と11の関係は、101を右シフトして+1しているので、5*2+1=11です。

そこで、次の命題1を考えます。
・x以下で1にたどり着けば、2x+1以下も1にたどり着く

570:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/21 05:36:06.86 gnqJHnrj.net
次に、次の命題2を考えます。
・x以下で1にたどり着けば、4x+2以下も1にたどり着く

まず、これをすべての偶数で証明します。
・2以下の偶数で1にたどり着けば、4*2+2=10以下の偶数も1にたどり着く　は真です。
・x以下の偶数で1にたどり着けば、4*x+2以下の偶数も1にたどり着く　を真としたとき、
x+2は2で割れるので、(x+2)/2 < x、
4*(x+2)+2も2で割れるので、2*(x+2)+1 < 4*x+2、よって
・x+2以下の偶数で1にたどり着けば、4*(x+2)+2以下の偶数も1にたどり着く　も真で、数学的帰納法で証明されました。

571:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/21 05:38:32.36 gnqJHnrj.net
次に、命題2を奇数で証明したいので、2倍した偶数を考えます。
xを例にとると、xを2倍して、
・2x以下の偶数で1にたどり着けば、4*2x+2以下の偶数も1にたどり着く
2で割って
・x以下の数で1にたどり着けば、4*x+1以下の数も1にたどり着く

4*x+1 > 2*x+1なので、命題1
・x以下で1にたどり着けば、2x+1以下も1にたどり着く
も証明されました。
これで、5(101)->11(1101)->23(11101)->……が1にたどり着くことが証明できたので、
2^n-1も1にたどり着くことが証明できました。
>>534さん、これどうですかね。

572:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/21 06:26:46.30 gnqJHnrj.net
ダメっぽい…・・・

573:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/07/21 20:18:12.98 BLLqljYR.net
しばらくお休みします。

574:１３２人目の素数さん
16/07/21 20:33:10.01 t1QOdamn.net
乙カレ～

575:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/08/31 04:00:14.65 CWBtxhlC.net
いまひとつ再開する気が起きません。
すみません。

576:１３２人目の素数さん
16/09/04 22:26:50.46 tnjLMu2d.net
　　　　　　　　　　　　、､､ , , _
　　　 ,. -┬i＾i､._　　　ｨ`,､,､,､,､,.、'、
.　　 /　　 | | .|=ゞ=､　__ｌ/＼　v~／!|
　　 l.　　　ｌｌ l　＼＼{f∥ミゞ, ,ｨ≪:lf＾i　　　　　　もういい…！
　／ヽ.　　ﾉ｢,ﾄ､｢.lﾍ‐iヾ|rｰ~r〉〉，こlﾚ'
/　　｀ヽ//| ﾄ､ヽｌｲ| |/|{王王王王}ﾄ､
|　　　　ﾚﾆ| lﾆゝ冫! l!L_, , ,ｰ, , , ,_｣ｼ’、　　　　もう…
ヽ　　　 __|ーL|┴＾ｰヽ＞'＾ヾ二三シ´＼＼
　,ゝ,／　 .}二二二二二二二二二ｌヽ.　ヽ＼　　　休めっ…！
l/　|ﾄ､.／´＼　　　　　　　　　　 ||.　レ'´￣｀ヽ
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　　||　|.l lﾞ!.|ｉ |ヽ)　　　　　　　　　 |l/　　　　 /　　休めっ…！
　　||　`ﾍ)U'J　　　　　　　　　　　/-─　　　,ｲ.|
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　　||.　ヾ＝--一'`ーゝ　　　　　　 _,. く　ノ|

577:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/14 15:41:14.53 YiRX+BJ9.net
再開ではないですが、気になっている事があります。
x0から始まるコラッツ列が無限大に発散するとき、以下の式は成り立つのでしょうか。
lim[s->∞](1+1/3x_1)…(1+1/3x_s) > lim[y->∞](1+1/y)^y ≒ 2.718
自分としては、各x_sが定数な分だけ、左辺が大きいと思うのですが……

成り立つとすると、>>504と矛盾するのではないかという気がします。
（ε=0.1とおいて、有限積では1.1を越えないのに、無限積にすると2.718を超える）

自信がないので、ご意見お待ちしています。

578:１３２人目の素数さん
16/09/14 21:38:55.68 42EFYQdO.net
各x_sが定数ってどういうこと？
x_sはsが増えるにしたがって大きくなるじゃねーの？

579:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/14 22:20:57.91 KaaHqR5J.net
左辺はsが増えても、それ以前の項のx_sは変わらないという意味で定数と書きました。
一方右辺はyが増えると、初項から全てのyが増加します。

580:１３２人目の素数さん
16/09/14 23:06:47.15 42EFYQdO.net
よくわからんが無限和が有限になることもあるように無限積も有限になる可能性がある？

581:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/15 01:32:11.84 4GoSOaRl.net
無限積も有限になる可能性があるというのは、
lim[y->∞](1+1/y)^y ≒ 2.718
からも明らかです。
問題はこれより左辺
lim[s->∞](1+1/3x_1)…(1+1/3x_s)
が大きいと思われる事です。

582:１３２人目の素数さん
16/09/15 20:20:12.11 1hPVzgzD.net
定数だからって理由だけでは大小は決められないでしょ。
積の形だから惑わされるんじゃない？

おれもあんまり自信ないが
両辺logとって和の形にすればx_sになんらかの制限がなければ
大小は論じられないという結論になりそうな気がする。

583:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/15 22:49:08.11 rOYm3tIQ.net
ダメって事でしょうか？
う～ん……

584:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/15 23:00:23.25 rOYm3tIQ.net
定数だから単純に
1/100 > 1/∞
だと思ったんですけどねえ。

585:１３２人目の素数さん
16/09/15 23:15:27.77

586:1hPVzgzD.net

587:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/16 00:42:30.45 omw/37vT.net
すぐには理解できないのでじっくり考えてみます。

588:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/16 01:26:35.56 omw/37vT.net
e^(1/2)*e^(1/4)*e^(1/8)*…
と
(1+1/3x_1)*(1+1/3x_2)*(1+1/3x_3)*…

を比べて(1+1/3x_s)の減少スピードが速ければ

lim[s->∞](1+1/3x_1)…(1+1/3x_s)

はeに届かないって事ですか……

589:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/26 20:09:15.44 R1V5Q8Wt.net
あと一つだけネタがあるので、しばしお待ちください。
ループする方です。

590:１３２人目の素数さん
16/09/26 21:50:09.74 y4QSY03k.net
+　　　+
　 ∧＿∧ 　+
　（0゜・∀・）　　　ワクワクテカテカ
　（0゜∪ ∪ + 　　　　　　　
　と＿_）__）　+

591:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/26 23:57:35.95 R1V5Q8Wt.net
・前準備1
例えばx_sが7,11,17,13,5,17,13,5……とループするなら、先頭2項は外して,17,13,5,17,13,5……にします。
例ではx_3=x_0になります。

・前準備2
x_0~x_s-1がループ1周期として（x_0=x_s）、コラッツパターンXsと左端を伸ばすパターンYsのビット長は
[logYs] = [log(x_0*(3/2)^s)]
[logXs] = [log(x_0*(3/2)^s)+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)]
です。このときの[logYs]と[logXs]のずれが1とすると、周期を重ねるごとに[logXs]と[logYs]の差は
2log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)、3log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)、……と増大するので、
ずれも際限なく増大していきます。

592:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/27 00:00:15.90 OPt8+Q0B.net
・ループして、コラッツパターンXsと左端を伸ばすパターンYsのずれがずっと0の場合
[]は切り上げです。　　logはlog_2です。
[logXs] - [logYs] = 0　　から始めて
[log(x_0*(3/2)^s)+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)] - [log(x_0*(3/2)^s)] = 0
切り上げを外して
-1 < log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1) < 1
logを外して
1/2 < (1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1) < 2
ループ1周期の(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)をXとおくと、X>1なので、
X*X*X*……はいずれ2を超えて、上の式と矛盾します。

593:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/27 00:04:17.73 OPt8+Q0B.net
・ずれがあってループした場合
ずれは増大していくので、ずれが3になったところをsとします。
そして、Xsを3ビット下位へシフトしてずれを消します。これをXs'とおきます。
Xs'=x_0*(3/2)^s*(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8　　です。

[logXs'] - [logYs] = 0　　から始めて
[log(x_0*(3/2)^s)+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8] - [log(x_0*(3/2)^s)] = 0
切り上げを外して
-1 < log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8 < 1
logを外して
1/2 < (1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8 < 2

ここで、
x_0からx_s-1のうちで最小のものをx_mとおいて、
(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1) < ((1+1/3x_m)^3x_m)^(s/3x_m) < (1+1/3x_m)^3x_m < e
なので、
(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8 < e/8 ≒ 0.339
となって1/2を下回って矛盾します。

よって、4-2-1ループを除いて、ループする数はない
と言えるのではないかと思うのですが、どうでしょうか。

594:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/27 19:30:43.67 KYZG9Eqo.net
と思ったら
s > 3x_m　の時はループの可能性が残りますね。

妥協策としては、
（これも証明がいるけど）ループ1周期でずれ1をs、ループ3周期でずれ3を3sとしたら、
s > x_mでループの可能性があります。
コラッツは5*2^60までは反例がないので、
ループがあるとしたら、ループ周期は5*2^60(≒500京!)より大きい
が言えると思います。

595:１３２人目の素数さん
16/09/27 19:33:39.19 TNGFWIb5.net
ホントなら反例を探す方向は絶望的ってことか

596:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/27 20:03:01.17 KYZG9Eqo.net
ループに関してはそうだと思います。
そして無限大に発散する方もコンピュータではしにくい（できない？）でしょうから……

597:１３２人目の素数さん
16/09/27 22:46:16.60 TNGFWIb5.net
もしかして1からnまでの範囲にコラッツ問題の反例がなければ
周期n以下のループがないというのはもし本当に言えれば相当の成果じゃないの？

598:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/28 09:53:53.09 OfSirrVp.net
がんばります。
現状ではかなり怪しいので……

599:１３２人目の素数さん
16/09/28 21:53:45.02 CUtGRWb+.net
求めすぎかもしれないが多分俺じゃ証明の検証できないから
可能ならCoqでの証明つけてほしい。

600:１３２人目の素数さん
16/09/28 22:07:27.38 CUtGRWb+.net
>>571
切り上げを外してってところがわからない。
なぜこのような式変形になるのだろう？

601:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/28 23:40:22.51 f+crTCSI.net
>>578
Coqきびしいですねー
やるとしてもずっと後になると思います。

>>579
[a+b]-[a]=0
から
-1 < b < 1
が言えると思うんですけど間違ってますかね？

602:１３２人目の素数さん
16/09/29 00:06:45.39 qXaHr1Ih.net
>>580
なるほど言えそう。

603:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/09/29 02:32:43.06 RkZyuYm8.net
ずれが3になったところをsとする
s<=3x_mだと矛盾する
よってs>3x_mである
　　　　　　　　ループを何回か繰り返した物を大ループと名付けて
　　　　　　　　1～nまででコラッツ予想の反例がなければ周期n以下の大ループはない
で
sはループ何周目か
で苦戦しております。

604:１３２人目の素数さん
16/10/04 23:14:50.46 wLiYPVvk.net
奇数×奇数＋１＝偶数
偶数÷偶数＝偶数
必ず以下の手順を通る
1　２　４　８　１６　５　１０　２０　４０　８０　１６０
これは　1＋１＝２予想を解けと言ってるようなもんだｗｗｗ
小学生にも解り易く説明するとｗｗ

605:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/10/04 23:18:14.68 ZaAz6bOT.net
若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

￥

606:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/10/04 23:18:32.03 ZaAz6bOT.net
若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

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607:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/10/04 23:18:48.38 ZaAz6bOT.net
若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
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２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
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608:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/10/04 23:19:04.06 ZaAz6bOT.net
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何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
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せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
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であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
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２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
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609:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/10/04 23:19:20.88 ZaAz6bOT.net
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何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
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に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

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610:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/10/04 23:19:36.94 ZaAz6bOT.net
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何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
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611:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/10/04 23:19:56.33 ZaAz6bOT.net
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612:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/10/04 23:20:12.84 ZaAz6bOT.net
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であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

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613:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/10/04 23:20:29.55 ZaAz6bOT.net
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614:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/10/04 23:20:48.31 ZaAz6bOT.net
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ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
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615:１３２人目の素数さん
16/10/04 23:33:19.10 wLiYPVvk.net
　↑　お～いしっかりしろｗｗ戻ってこ～いよ～(^^♪

616:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/10/04 23:39:50.78 ZaAz6bOT.net
若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
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であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
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617:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/10/04 23:40:07.91 ZaAz6bOT.net
若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
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であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
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でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
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コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

￥

618:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/10/04 23:40:22.72 ZaAz6bOT.net
若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
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コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

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619:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/05 01:13:51.79 gUCeq6IM.net
>>573を証明するわけですが、途中経過です。
x_s=x_0でループするとすると、
x_s=x_0*3^s/2^t*(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)　　　なので
1<(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)=2^t/3^s
3^s < 2^t　　　です。
ここから
2^t > 3^s
tlog2 > slog3
t/s > log3 = log(3/2)+log2
(t-s)/s > log(3/2)
です。

620:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/05 01:16:20.80 gUCeq6IM.net
ここからは図を使います。
(t-s)/sはコラッツパターンの左端傾きで、log(3/2)は左端を伸ばすパターンの右端傾きです。

URLﾘﾝｸ(drive.google.com)

図1よりsステップでずれがz1あるのですが、ひとまずz1=1とおいてみます。（※）
2sステップでz2>z1、3sステップでz3>z2>z1なので、少なくとも3>2>1が成り立って、
3sステップでずれ3になりました。

621:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/05 01:22:28.96 gUCeq6IM.net
さて（※）の部分ですが、実はz1が1より小さい可能性もあるわけです。
そこで、図2のように、sの左端を伸ばすパターンの右端傾きが真にlog(3/2)より小さいなら、
ずれz1は1より大きい事が言えます。

よって現状は、
左端を伸ばすパターンの右端局所的傾きがlog(3/2)より小さいならば、
1～nでコラッツの反例がなければ、周期n以下のループがない
が言えると思います。

622:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/10/05 02:35:34.12 eVbCZSjP.net
￥

623:１３２人目の素数さん
16/10/05 19:34:47.80 EmUjt1Ys.net
俺の頭じゃいまいちついていけないが、頑張ってるようで何よりです。

624:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/05 20:05:10.14 X2wuvr5w.net
ありがとうございます。
疑問点とかあったら遠慮なく質問してくださいねー
今までも穴だらけだったのでw

625:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/05 21:20:30.08 2qBpOII+.net
>>600
正確には
左端を伸ばすパターンのn+1ステップ（以上？）の右端局所的傾きがlog(3/2)より小さいならば、
1～nでコラッツの反例がなければ、周期n以下のループがない
が言えると思います。
「以上？」の部分がはっきりしないので、まだ詰めないといけないです。

626:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/07 00:09:34.33 SRFeELBn.net
微妙に変わっていますが、以下がまとめです。

周期sでループすると仮定する
->左端を伸ばすパターンのsステップ目の右端局所的傾きがlog(3/2)より小さいと仮定する
->sステップ目でずれは1以上になる
->3sステップ目でずれは3以上になる
->ループで一番小さい数をx_mとおいて、3s <= 3x_mだと矛盾する
->よってs > x_mである

1～nでコラッツの反例がなければ、n < x_m < sである。
->周期n+1以下のループは存在しない

よって、
　　左端を伸ばすパターンのn+2ステップの右端局所的傾きがlog(3/2)より小さいならば、
　　1～nでコラッツの反例がなければ、周期n+1以下のループは存在しない
が言えると思います。

627:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/07 01:56:20.79 SRFeELBn.net
やべえ。
大域的傾きより局所的傾きが常に大きい気がしてきた。

628:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/09 02:03:59.97 TAxHXTw4.net
>>605を手直しするのですが、その前に大域的傾きと局所的傾きについて説明します。

大域的傾きは、左端を伸ばすパターンの式Y_s=x_0*(3/2)^sに対して
2の対数目盛をとってlogY_s=logx_0+slog(3/2)となるので、log(3/2)です。

局所的傾きは、初期値x_0のsステップ目で
([logx_0+slog(3/2)]-[logx_0]+1)/(s+1)
になります。

log(3/2)=0.58496250072115619　　　をふまえて
局所的傾きdを少しだけ計算すると
x_0 s d
1 3 0.5
3 100000までlog(3/2)より大きい
5 6 0.571
7 100000までlog(3/2)より大きい
9 11 0.583
で、3と7だけlog(3/2)より小さいのが見当たらないのは（全てのsで大きいかは分かりません）、
2^n-1だからだと思います。
2^nに近づく程、logx_0の小数部分が大きくなって、繰り上がりが起こりやすいのだと思います。

629:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/09 02:07:34.05 TAxHXTw4.net
>>605を手直しすると、

初期値x_0で周期sでループすると仮定する、x_0がループ内最小となるように調整する
->左端を伸ばすパターンのsステップ目の右端局所的傾きがlog(3/2)より小さいと仮定する
->sステップ目でずれは1以上になる
->3sステップ目でずれは3以上になる
->ループで一番小さい数はx_0で、3s <= 3x_0だと矛盾する
->よってs > x_0である

1～nでコラッツの反例がなければ、n < x_0 < sである。
->周期n+1以下のループは存在しない

よって、
　　左端を伸ばすパターンのn < x_0 < sステップの右端局所的傾きがlog(3/2)より小さいならば、
　　1～nでコラッツの反例がなければ、周期n+1以下のループは存在しない
が言えると思います。

630:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/09 03:51:36.82 TAxHXTw4.net
5*2^60に適用すると、
n < x_0 < sにおいて
n=5*2^60、x_0=5*2^60+1、s=5*2^60+2とおいて、
([logx_0+slog(3/2)]-[logx_0]+1)/(s+1)　　　は、
≒([62.535 +2.9248*2^60+1.169]-62)/(5*2^60+3)
≒3372064816674106002/5764607523034235003
≒0.584959　　　となってlog(3/2)より小さくなりました。

よって、現状、周期5*2^60+1以下のループは存在しない
事が言えました。

631:１３２人目の素数さん
16/10/09 17:58:01.56 YkBA6MQD.net
ほほう？俺じゃ検証できないけどこれは世間的にも新しい成果じゃないの？
専門家の判定が欲しいですね。

632:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/10 23:12:39.35 5WwYmGVW.net
そうですね、
識者の意見が欲しいですねー

633:１３２人目の素数さん
16/10/11 03:55:33.43 fTseXfiY.net
>>609

> よって、現状、周期5*2^60+1以下のループは存在しない
> 事が言えました。

610さんも書いてるけど、これが本当ならばとても面白い結果だね。
新規性があるのか既に知られていた結果なのか知りたいところ。

以前、このスレだったと思うけど、紹介されてたアメリカ数学会から出てるコラッツ予想の現状に関する論文集とかには何か載ってない？
この結果を研究レポートの形に纏めて日本の大学の数学科で関連ありそうな先生とかに郵便で送って意見を求めるなり
より適切な先生を紹介して読んで意見をもらうのが良いんじゃない？

634:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/11 06:48:49.04 P9DfhTrD.net
The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem
今さらポチりました。届くまで一ヶ月かかるみたいです。
別の大学に移られた、高専時代にお世話になった教授に、レポートとして送ってみようかな、
どうしようかなと思っているところです。

635:１３２人目の素数さん
16/10/11 18:35:57.86 OocWoZJR.net
コラッツの問題. 浦田敏夫著. （愛知教育大学ブックレット, . 数学/数理科学セレクト|| スウガクスウリカガクセレクト ; 1）

定義を明確にして何を前提に何を示したのかはっきりわかるように書けばコラッツ本を出してる先生なら比較的受け入れてくれやすいかもよ。

636:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/11 19:25:43.66 5EmkDPZC.net
情報ありがとうございます。
Web上にpdfがあったので読んでみます。

637:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/15 21:28:08.79 CJRKHWsE.net
>>614の本を読むと、
　　　（奇数）周期12500以下のループは存在しない
事は初等的に証明できるみたいですね。
あと、(1+1/3x_0)の形の式もありました。

638:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/17 01:43:30.85 I7uzGcTG.net
問題発生です。
n < x_0 < sにおいて、x_0が1にたどり着いたらどうなるでしょう。
x_0はループする仮定なので、x_0<sが言えなくなってしまいます。
5*2^60+1は1にたどり着く事を確認したので、
>>609の計算は無意味になってしまいました。

『ループするx_0』の左端を伸ばすパターンのsステップ目の右端局所的傾きがlog(3/2)より小さい（※）
事を言わないといけないので、具体的な数を当てはめて計算することは出来ないように思います。
（x_0をものすごい大きい値にしても、そのコラッツ遷移が1にたどり着いた時点で無効です）

よって、>>608までは言えても、具体的な数の周期以下のループは存在しない、とは言えないです。
全ての自然数で（※）が言えれば良いのですが……

639:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/17 21:14:55.53 1T2r2akc.net
ごちゃごちゃしてすみません。
いけるかもしれないので、しばらくお待ちください。

640:１３２人目の素数さん
16/10/17 21:27:51.87 rQK3cmEd.net
頑張れ～

641:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/18 00:58:26.28 CYv3Q31K.net
今までのレスはなかったことにして、まっさらな気持ちでご覧ください。

・前準備1
例えばx_sが7,11,17,13,5,17,13,5……とループするなら、先頭2項は外して、
さらに最小値をx_0とおいて、5,17,13,5,17,13……にします。
例ではx_3=x_0になります。

・前準備2
x_0~x_s-1がループ1周期として（x_0=x_s）、コラッツパターンX_sと左端を伸ばすパターンY_sのビット長は
[logY_s] = [log(x_0*(3/2)^s)]
[logX_s] = [log(x_0*(3/2)^s)+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)]
です。このときの[logY_s]と[logX_s]のずれがあってもなくても、周期を重ねるごとに[logX_s]と[logY_s]�

642:ﾌ差は 2log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)、3log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)、……と増大するので、ずれも際限なく増大していきます。

643:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/18 01:00:14.91 CYv3Q31K.net
x_s=x_0でループするとすると、
x_s=x_0*3^s/2^t*(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)　　　なので
1<(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)=2^t/3^s
3^s < 2^t　　　です。
ここから
2^t > 3^s
tlog2 > slog3
t/s > log3 = log(3/2)+log2
(t-s)/s > log(3/2)
です。

644:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/18 01:06:55.59 CYv3Q31K.net
ここで図を使います。
(t-s)/sはコラッツパターンの左端傾きで、log(3/2)は左端を伸ばすパターンの右端傾きです。

URLﾘﾝｸ(drive.google.com)

(t-s)/sとlog(3/2)の交点をs'とおくと、
0=logx_0+s'log(3/2)-(t-s)/s*s'　　　より
[s']=[logx_0/(t/s-log3)] < 3x_0　　　……(1)
です。

左端を伸ばすパターンの
大域的傾きは、左端を伸ばすパターンの式Y_s=x_0*(3/2)^sに対して　
2の対数目盛をとってlogY_s=logx_0+slog(3/2)となるので、log(3/2)です。　
局所的傾きは、初期値x_0のsステップ目で　
([logx_0+slog(3/2)]-[logx_0]+1)/(s+1)　
になります。

645:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/18 01:10:35.44 CYv3Q31K.net
局所的傾きが大域的傾きより大きいとすると、
[logx_0+slog(3/2)]-[logx_0]+1 > (s+1)log(3/2)　　　で、
左辺が最大になるのは
[logx_0]+[slog(3/2)]-[logx_0]+1 > (s+1)log(3/2)
[slog(3/2)]+1 > (s+1)log(3/2)　　　……(2)
です。
例えばslog(3/2)=1.9とすると
(2)は　　　3 > 2.485　　　となります。
slog(3/2)=1.1とすると
(2)は　　　3 > 1.685　　　となります。
よって最大2の差が生まれます。
従ってlogx_0を5bit以上にとれば、
ずれは3以上になります。

646:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/18 01:14:46.20 CYv3Q31K.net
[s']のところを考えます。
X_[s']を3ビット(以上)下位へシフトしてずれを消します。これをXX_[s']とおきます。
XX_[s']=x_0*(3/2)^[s']*(1+1/3x_0)…(1+1/3x_[s']-1)/k　　　とします。

[logXX_[s']] - [logY_[s']] = 0　　　から始めて
[log(x_0*(3/2)^[s'])+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_[s']-1)/k] - [log(x_0*(3/2)^[s'])] = 0
切り上げを外して
-1 < log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_[s']-1)/k < 1
logを外して
1/2 < (1+1/3x_0)…(1+1/3x_[s']-1)/k < 2

ここで、
x_0からx_s-1のうちで最小はx_0かつ、(1)より
(1+1/3x_0)…(1+1/3x_[s']-1) < ((1+1/3x_0)^3x_0)^([s']/3x_0) < (1+1/3x_0)^3x_0 < e
なので、
(1+1/3x_0)…(1+1/3x_[s']-1)/k < e/8 ≒ 0.339
となって1/2を下回って矛盾します。

よって、4-2-1ループを除いて、ループする数はない
と言えるのではないかと思うのですが、どうでしょうか。

647:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/18 04:08:57.55 CYv3Q31K.net
>>623を差し替えます。

局所的傾きが大域的傾きより大きいとすると、
[logx_0+slog(3/2)]-[logx_0]+1 > (s+1)log(3/2)　　　で、
天井関数の定義から
logx_0+slog(3/2)+1 -logx_0-1 +1 > [logx_0+slog(3/2)]-[logx_0]+1 > (s+1)log(3/2)
slog(3/2)+1 > (s+1)log(3/2)
1 > log(3/2)
となって、最大で約0.415大きい事になります。
従ってlogx_0を4bit以上にとれば、
ずれは3以上になります。

648:１３２人目の素数さん
16/10/20 20:08:35.13 6y9qoLIu.net
>>621
このイコールが成り立つ理由がよくわからないです。

(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)=2^t/3^s

649:１３２人目の素数さん
16/10/20 20:11:22.72 6y9qoLIu.net
あ、すいません分かったかも。

650:１３２人目の素数さん
16/10/20 20:13:42.76 6y9qoLIu.net
>局所的傾きが大域的傾きより大きいとすると

現状ここは真偽不明なんでしょうか？

651:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/20 20:57:08.94 AWGNcB8y.net
URLﾘﾝｸ(drive.google.com)
局所的傾きが大域的傾きより大きくても小さくても問題ないという事です。

局所的傾き<大域的傾きの場合は、
ずれがlogx_0になって、これが3以上なら問題ないです。

局所的傾き>大域的傾きの場合は、
ずれがlogx_0より小さくなるので、検討が必要です。
これでも問題ない事を言ったのが、>>625です。

652:１３２人目の素数さん
16/10/25 21:40:30.29 cDC1fB5j.net
すまん。
やっぱ俺にはついていけないorz orz orz.
だれか頭の良い奴が来てくれればいいんだが。

653:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/29 14:08:57.19 jW4H6xMA.net
アルティメットチャレンジ届きました。
思ってたより薄くて良い感じです。
パラパラとめくったところ、
自分の考察やコラッツパターンに似たものは無いですねえ。

654:１３２人目の素数さん
16/10/29 18:21:27.58 WZYdEPHx.net
アルティメットチャレンジとやらに載ってる現状出ている成果ってどんな感じ？

655:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/10/29 20:17:19.13 jW4H6xMA.net
>>632
こんなところですかね。
(W1)5*2^60までは反例がない
(W2)非自明なループがあればその周期は10439860591以上、奇数周期では6586818670以上
(W3)無限に多くの正の整数nは、コラッツ操作で1にたどり着くまでに、少なくとも6.143lognステップかかる（(3x+1)/2でやる）
(W4)The positive integer n with the largest currently known value of C,
　　　　such that it takes Clogn iterations of the 3x+1 function T(x)（(3x+1)/2でやる） to reach 1,
　　　　is n=7219136416377236271195 with C ≒ 36.7169.　　　わかんねえ
(W5)　>>513
後は細かい成果がつらつらと載っているんですが、僕の頭じゃ追えないです。

656:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/11/05 21:49:46.65 RZr/JMDK.net
これからやること
1.>>620-625の細切れCoq証明とpdf化
2.無限大に発散する方をぼんやり考える

2.だけど>>504を考えています。
（これを書いてくれた事はとてもありがたいです。自分ではとても思いつかなかった）
詳細は書けませんが、>>504から、
無限大に発散する初期値があれば、それは無限個存在するのか？などと思っております。

あと、「ランダムになりたがってる」の方のレスを読み返したりしています。

657:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
16/11/14 23:14:49.45 kpU8w0wc.net
すいません休憩してます

658:１３２人目の素数さん
16/11/14 23:28:44.63 DedSNXWK.net
乙

659:１３２人目の素数さん
17/01/10 23:16:43.82 /EwYzUzP.net
グッドスタインの定理というのがあって
これはペアノ算術では証明も否定もできないらしいんだが
コラッツの予想もペアノ算術では証明も否定もできないとかあり得るんだろうか

660:１３２人目の素数さん
17/01/11 17:58:42.63 SHs9UIoK.net
当然あるけど、そっちの方向で成果があるのかどうかは知らない。

661:１３２人目の素数さん
17/01/11 18:57:35.84 JpjtJU9D.net
ペアノ算術で否定できなかったら
ループの反例はないと言えるかな

662:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
17/01/11 21:09:59.90 0q3R6j84.net
そうなんですか!?

663:639
17/01/11 21:39:21.73 4dNkupCE.net
>>640
すまんｗ。俺も全然詳しくはないんだが
ループの反例があれば、それを具体的に示せばいいだけだからペアノ算術の範疇かなと思った。
然詳しくはないんだが

664:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
17/01/12 17:15:06.15 wPu6fm6S.net
なるほど。

665:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
17/01/12 20:05:52.30 l1WvgA7X.net
・ループがある→ペアノ算術で証明できる
・ペアノ算術で証明できない→ループはない
ですか。

666:639
17/01/12 21:42:31.87 LK/xnVvN.net
俺は全然詳しくないのであれだが、
ペアノ算術で証明できないと一口に言っても肯定が証明できないのか否定が証明できないのかで微妙に違うのかもしれん。
正直よくわからん。
誰か詳しい人help

667:righ1113 ◆OPKWA8uhcY
17/01/18 20:32:46.62 ZtV8agPE.net
ところで、面白いことを思いついたのでいいでしょうか。

停止性問題
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)　と
不動点コンビネータfix f = f (fix f)を参考にして。

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